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1. Shard Calculation

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Calculated Shard: 152 (from laksa031)

2. Crawled Status Check

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curl -X POST \
  'http://laksa152.int.ahrefs:8124/' \
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Response:

{"found_url":"https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8","crawl_time":1769918621,"first_indexed_time":1400403963,"http_code":200,"src_unparsed":"org,wikipedia!zh,\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 s443","src_root_hash":"17790707453426894952","history_drop_reason":null,"meta_title":"自然對數 - 维基百科，自由的百科全书","meta_descriptions":[],"attrs_boilerpipe_text":"自然對數\n的\n函數圖像\n自然对数\n的積分定義\n自然对数\n（英語：\nNatural logarithm\n）為以\n数学常数\n為\n底數\n的\n对数函数\n，標記作\n或\n，其\n反函数\n為\n指數函數\n。\n[\n註 1\n]\n自然\n对数积分\n定義為對任何正\n實數\n，由\n到\n所圍成，\n曲線下的面積\n。如果\n小於1，則計算面積為負數。\n則定義為唯一的實數\n使得\n。\n自然对数一般表示為\n，數學中亦有以\n表示自然對數。\n[\n1\n]\n[\n註 2\n]\n雙曲線扇形\n是\n笛卡爾平面\n上的一個區域，由從原點到\n和\n的射線，以及\n雙曲線\n圍成。在標準位置的雙曲線扇形有\n且\n，它的面積為\n[\n2\n]\n，此時雙曲線扇形對應正\n雙曲角\n。\n當直角雙曲線下的兩段面積相等時，\n的值呈\n等比數列\n，\n，\n的值也呈等比數列，\n。\n約翰·納皮爾\n在1614年\n[\n3\n]\n以及\n约斯特·比尔吉\n在6年後\n[\n4\n]\n，分別發表了獨立編制的\n對數表\n，當時通過對接近1的底數的大量乘\n冪\n運算，來找到指定範圍和精度的\n對數\n和所對應的真數。當時還沒出現\n有理數\n冪的概念，按後世的觀點，\n約翰·納皮爾\n的底數0.9999999\n10000000\n相當接近\n[\n5\n]\n，而\n约斯特·比尔吉\n的底數1.0001\n10000\n相當接近自然對數的底數\n。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，\n約翰·納皮爾\n用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，\n亨利·布里格斯\n建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法\n[\n6\n]\n於1624年部份完成了\n常用對數\n表的編制。\n形如\n的曲線都有一個代數\n反導數\n，除了特殊情況\n對應於雙曲線的\n弓形面積\n，即\n雙曲線扇形\n；其他情況都由1635年發表的\n卡瓦列里弓形面積公式\n給出\n[\n7\n]\n，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的\n阿基米德\n完成（\n拋物線的弓形面積\n），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年\n圣文森特的格列高利\n將對數聯繫於雙曲線\n的弓形面積，他發現x軸上\n兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的\n雙曲線扇形\n同\n對應的扇形，在\n時面積相同，這指出了雙曲線從\n到\n的積分\n滿足\n[\n8\n]\n：\n1649年，\n萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥\n將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，\n伊薩克·牛頓\n推廣了\n二項式定理\n，他將\n展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於\n尼古拉斯·麥卡托\n在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中\n[\n9\n]\n，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的\n麥卡托級數\n。\n大約1730年，\n歐拉\n定義互為逆函數的\n指數函數\n和自然對數為\n[\n10\n]\n[\n11\n]\n：\n1742年\n威廉·琼斯\n發表了現在的\n冪\n指數\n概念\n[\n12\n]\n。\n歐拉\n定義自然對數為\n序列的極限\n：\n正式定義為\n積分\n，\n這個函數為對數是因滿足\n對數\n的基本性質:\n這可以通過將定義了\n的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行\n換元\n來證實:\n冪公式\n可如下推出:\n第二個等式使用了\n換元\n。\n自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：\n(參見\n複數對數\n)\n證明\n自然對數的圖像和它在\n處的切線。\n的泰勒多項式只在\n範圍內有逐步精確的近似。\n自然對數的\n導數\n為\n證明一（微積分第一基本定理）:\n證明二：\n按此影片\n（\n页面存档备份\n，存于\n互联网档案馆\n）\n设\n设\n用自然對數定義的更一般的對數函數，\n，根據其\n逆函數\n即一般\n指數函數\n的性質，它的導數為\n[\n13\n]\n[\n14\n]\n：\n根據\n鏈式法則\n，以\n為參數的自然對數的導數為\n右手端的商叫做\n的\n對數導數\n，通過\n的導數的方法計算\n叫做\n對數微分\n[\n15\n]\n。\n自然對數的導數性質導致了\n在0處的\n泰勒級數\n，也叫做\n麥卡托級數\n：\n對於所有\n但不包括\n把\n代入\n中，可得到\n自身的級數。通過在麥卡托級數上使用\n歐拉變換\n，可以得到對\n絕對值\n大於1的任何\n有效的如下級數:\n這個級數類似於\n贝利-波尔温-普劳夫公式\n。\n還要注意到\n是自身的逆函數，所以要生成特定數\n的自然對數，簡單把\n代入\n中。\n對於\n自然數的倒數的總和\n叫做\n調和級數\n。它與自然對數有密切聯繫：當\n趨於無窮的時候，差\n收斂\n於\n欧拉-马歇罗尼常数\n。這個關係有助於分析算法比如\n快速排序\n的性能。\n[\n16\n]\n自然對數通過\n分部積分法\n積分:\n假設:\n所以:\n自然對數可以簡化形如\n的函數的積分：\n的一個\n原函數\n給出為\n。這是基於\n鏈式法則\n和如下事實:\n換句話說，\n且\n下面是\n的例子：\n設\n且\n：\n在\n直角雙曲線\n(方程\n)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於\n雙曲角\n的\n雙曲線扇形\n(紅色)。這個三角形的邊分別是\n雙曲函數\n中\n和\n的\n倍。\n射線出原點交\n單位雙曲線\n於點\n，這裡的\n是射線、雙曲線和\n軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。\n在18世紀，\n約翰·海因里希·蘭伯特\n介入\n雙曲函數\n[\n17\n]\n，並計算\n雙曲幾何\n中\n雙曲三角形\n的面積\n[\n18\n]\n。對數函數是在\n直角雙曲線\n下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線\n上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數\n指數函數\n，即要形成指定\n雙曲角\n，在漸近線即x或y軸上需要有的\n或\n的值。顯見這裡的底邊是\n，垂線是\n。\n通過旋轉和縮小\n線性變換\n，得到\n單位雙曲線\n下的情況，有：\n單位雙曲線\n中雙曲線扇形的面積是對應\n直角雙曲線\n下雙曲角的\n。\n儘管自然對數沒有簡單的\n連分數\n，但有一些\n廣義連分數\n如:\n這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。\n例如，因為\n，\n2的自然對數\n可以計算為:\n進而，因為\n，10的自然對數可以計算為:\n指數函數\n可以擴展為對任何複數\n得出複數值為\n的函數，只需要簡單使用\n為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在\n使得\n；並且有著\n。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，\n，對於所有複數\n和整數\n。\n所以對數不能定義在整個\n複平面\n上，並且它是\n多值函數\n，就是說任何複數對數都可以增加\n的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在\n切割平面\n上是單值函數。例如，\n或\n或\n等等；儘管\n，\n不能定義為\n或\n或\n，以此類推。\n自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖\nz\n=Re(ln(x+iy))\n前三圖的疊加\n對於每個非0複數\n，主值\n是虛部位於區間\n內的對數。表達式\n不做定義，因為沒有複數\n滿足\n。\n要對\n給出一個公式，可以先將\n表達為\n極坐標\n形式，\n。給定\n，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向\n增加\n的整數倍，所以為了保證唯一性而要求\n位於區間\n內；這個\n叫做幅角的主值，有時寫為\n或\n。則對數的主值可以定義為\n[\n19\n]\n：\n例如，\n。\n自然指数有应用於表达\n放射性衰變\n的过程，如放射性原子数目的\n微分方程\n随时间变化率\n，常数\n为原子衰变概率，积分得\n。\n^\n例如\n哈代\n和\n賴特\n所著的《數論入門》\"Introduction to the theory of numbers\" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 \"log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest.\"（log x 當然是以e為基，x的「\n納皮爾\n」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）\n^\n證明：從1到\nb\n積分1\/\nx\n，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (\nb\n, 0), (\nb\n, 1\/\nb\n)}。\n^\nErnest William Hobson,\nJohn Napier and the invention of logarithms, 1614\n, Cambridge: The University Press, 1914\n^\nBoyer, Carl B.\n, 14，Section \"Jobst Bürgi\n\"\n, A History of Mathematics, New York:\nJohn Wiley & Sons\n, 1991,\nISBN\n 978-0-471-54397-8\n^\n選取接近e的底數b，對數表涉及的b\nx\n為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1\/e的底數b，對數表涉及的b\nx\n為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。\n^\n以\n這個接近1的數為基礎。\n^\n博納文圖拉·卡瓦列里\n在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出\n定積分\n：\n其\n不定積分\n形式為：\n獨立發現者還有：\n皮埃爾·德·費馬\n、\n罗贝瓦尔的吉尔\n和\n埃萬傑利斯塔·托里拆利\n。\n^\n設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的\n雙曲線扇形\n面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。\n^\nJ. J. O'Connor; E. F. Robertson,\nThe number e\n, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001\n[\n2009-02-02\n]\n, （\n原始内容\n存档于2012-02-19）\n^\n卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的\nn\n(\nx\n的負數冪)，由於在\nx\n = 0處有個\n奇點\n，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：\n歐拉\n的自然對數定義：\n^\nMaor, Eli, e: The Story of a Number,\nPrinceton University Press\n, 2009,\nISBN\n 978-0-691-14134-3\n,sections 1, 1.\nEves, Howard Whitley\n, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992,\nISBN\n 978-0-03-029558-4\n, section 9-3\nBoyer, Carl B.\n, A History of Mathematics, New York:\nJohn Wiley & Sons\n, 1991,\nISBN\n 978-0-471-54397-8\n, p. 484, 489\n^\n在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x\/n。\n^\nLang \n1997\n, section IV.2\n^\nWolfram, Stephen\n.\n\"\nCalculation of\nd\/dx(Log(b,x))\n\"\n. from\nWolfram Alpha\n: Computational Knowledge Engine,\nWolfram Research\n. （\n原始内容\n存档于2011-07-18）\n（英语）\n.\n^\nKline, Morris\n, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York:\nDover Publications\n, 1998,\nISBN\n 978-0-486-40453-0\n, p. 386\n^\nHavil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant,\nPrinceton University Press\n, 2003,\nISBN\n 978-0-691-09983-5\n, sections 11.5 and 13.8\n^\nEves, Howard,\nFoundations and Fundamental Concepts of Mathematics\n, Courier Dover Publications: 59, 2012,\nISBN\n 9780486132204\n,\nWe also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.\n^\nRatcliffe, John,\nFoundations of Hyperbolic Manifolds\n, Graduate Texts in Mathematics\n149\n, Springer: 99, 2006\n[\n2014-03-28\n]\n,\nISBN\n 9780387331973\n, （\n原始内容\n存档于2014-01-12）,\nThat the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph\nTheorie der Parallellinien\n, which was published posthumously in 1786.\n^\nSarason, Section IV.9.\nJohn B. Conway,\nFunctions of one complex variable\n, 2nd edition, Springer, 1978.\nSerge Lang\n,\nComplex analysis\n, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.\nGino Moretti,\nFunctions of a Complex Variable\n, Prentice-Hall, Inc., 1964.\nDonald Sarason,\nComplex function theory\n（\n页面存档备份\n，存于\n互联网档案馆\n）\n, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.\nE. T. Whittaker\nand\nG. N. Watson\n,\nA Course in Modern Analysis\n, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.","attrs_markdown":"[跳转到内容](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#bodyContent)\n\n主菜单\n\n主菜单\n\n移至侧栏\n\n隐藏\n\n导航\n\n- [首页](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5 \"访问首页[z]\")\n- [分类索引](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:%E5%88%86%E7%B1%BB%E7%B4%A2%E5%BC%95 \"以分类索引搜寻中文维基百科\")\n- [特色内容](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Portal:%E7%89%B9%E8%89%B2%E5%85%A7%E5%AE%B9 \"查看中文维基百科的特色内容\")\n- [新闻动态](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Portal:%E6%96%B0%E8%81%9E%E5%8B%95%E6%85%8B \"提供当前新闻事件的背景资料\")\n- [最近更改](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:RecentChanges \"列出维基百科中的最近修改[r]\")\n- [随机条目](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:Random \"随机载入一个页面[x]\")\n\n帮助\n\n- [帮助](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Help:%E9%A6%96%E9%A1%B5 \"寻求帮助\")\n- [维基社群](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:%E7%A4%BE%E7%BE%A4%E9%A6%96%E9%A1%B5 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![维基百科](https:\/\/zh.wikipedia.org\/static\/images\/mobile\/copyright\/wikipedia-wordmark-zh-25.svg) ![自由的百科全书](https:\/\/zh.wikipedia.org\/static\/images\/mobile\/copyright\/wikipedia-tagline-zh-25.svg)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:%E9%A6%96%E9%A1%B5)\n\n[搜索](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:Search \"搜索维基百科[f]\")\n\n外观\n\n- [资助维基百科](https:\/\/donate.wikimedia.org\/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=zh.wikipedia.org&uselang=zh)\n- [创建账号](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:CreateAccount&returnto=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"我们推荐您创建账号并登录，但这不是强制性的\")\n- [登录](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:UserLogin&returnto=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"建议你登录，尽管并非必须。[o]\")\n\n个人工具\n\n- [资助维基百科](https:\/\/donate.wikimedia.org\/?wmf_source=donate&wmf_medium=sidebar&wmf_campaign=zh.wikipedia.org&uselang=zh)\n- [创建账号](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:CreateAccount&returnto=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"我们推荐您创建账号并登录，但这不是强制性的\")\n- [登录](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:UserLogin&returnto=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"建议你登录，尽管并非必须。[o]\")\n\n## 目录\n移至侧栏\n\n隐藏\n\n- [序言](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8)\n- [1 歷史](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E6%AD%B7%E5%8F%B2)\n  开关歷史子章节\n  - [1\\.1 十七世纪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8D%81%E4%B8%83%E4%B8%96%E7%BA%AA)\n  - [1\\.2 十八世纪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8D%81%E5%85%AB%E4%B8%96%E7%BA%AA)\n- [2 形式定義](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%BE%A9)\n- [3 性質](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E6%80%A7%E8%B3%AA)\n- [4 導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%B0%8E%E6%95%B8)\n- [5 冪級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B8)\n- [6 積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E7%A9%8D%E5%88%86)\n  开关積分子章节\n  - [6\\.1 例子](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E4%BE%8B%E5%AD%90)\n- [7 與雙曲函數的關係](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%88%87%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82)\n- [8 連分數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8)\n- [9 複數對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8)\n  开关複數對數子章节\n  - [9\\.1 主值定義](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E4%B8%BB%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%BE%A9)\n- [10 科学應用](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E7%A7%91%E5%AD%A6%E6%87%89%E7%94%A8)\n- [11 註釋](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%A8%BB%E9%87%8B)\n- [12 参考资料](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8F%82%E8%80%83%E8%B5%84%E6%96%99)\n- [13 延伸阅读](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%BB%B6%E4%BC%B8%E9%98%85%E8%AF%BB)\n\n开关目录\n\n# 自然對數\n62种语言\n\n- [Afrikaans](https:\/\/af.wikipedia.org\/wiki\/Natuurlike_logaritme \"Natuurlike logaritme – 南非荷兰语\")\n- [العربية](https:\/\/ar.wikipedia.org\/wiki\/%D9%84%D8%BA%D8%A7%D8%B1%D8%AA%D9%85_%D8%B7%D8%A8%D9%8A%D8%B9%D9%8A \"لغارتم طبيعي – 阿拉伯语\")\n- [Azərbaycanca](https:\/\/az.wikipedia.org\/wiki\/Natural_loqarifm \"Natural loqarifm – 阿塞拜疆语\")\n- [Беларуская](https:\/\/be.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B_%D0%BB%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%80%D1%8B%D1%84%D0%BC \"Натуральны лагарыфм – 白俄罗斯语\")\n- [Български](https:\/\/bg.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D1%8A%D0%BC \"Натурален логаритъм – 保加利亚语\")\n- [Brezhoneg](https:\/\/br.wikipedia.org\/wiki\/Logaritm_neperian \"Logaritm neperian – 布列塔尼语\")\n- [Bosanski](https:\/\/bs.wikipedia.org\/wiki\/Prirodni_logaritam \"Prirodni logaritam – 波斯尼亚语\")\n- [Català](https:\/\/ca.wikipedia.org\/wiki\/Logaritme_natural \"Logaritme natural – 加泰罗尼亚语\")\n- [کوردی](https:\/\/ckb.wikipedia.org\/wiki\/%D9%84%DB%86%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85%DB%8C_%D8%B3%D8%B1%D9%88%D8%B4%D8%AA%DB%8C \"لۆگاریتمی سروشتی – 中库尔德语\")\n- [Чӑвашла](https:\/\/cv.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%C4%83_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC \"Натураллă логарифм – 楚瓦什语\")\n- [Dansk](https:\/\/da.wikipedia.org\/wiki\/Naturlig_logaritme \"Naturlig logaritme – 丹麦语\")\n- [Deutsch](https:\/\/de.wikipedia.org\/wiki\/Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus \"Natürlicher Logarithmus – 德语\")\n- [Ελληνικά](https:\/\/el.wikipedia.org\/wiki\/%CE%A6%CF%85%CF%83%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CF%82_%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AC%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CE%BF%CF%82 \"Φυσικός λογάριθμος – 希腊语\")\n- [English](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Natural_logarithm \"Natural logarithm – 英语\")\n- [Español](https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmo_natural \"Logaritmo natural – 西班牙语\")\n- [Eesti](https:\/\/et.wikipedia.org\/wiki\/Naturaallogaritm \"Naturaallogaritm – 爱沙尼亚语\")\n- [Euskara](https:\/\/eu.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmo_natural \"Logaritmo natural – 巴斯克语\")\n- [فارسی](https:\/\/fa.wikipedia.org\/wiki\/%D9%84%DA%AF%D8%A7%D8%B1%DB%8C%D8%AA%D9%85_%D8%B7%D8%A8%DB%8C%D8%B9%DB%8C \"لگاریتم طبیعی – 波斯语\")\n- [Suomi](https:\/\/fi.wikipedia.org\/wiki\/Luonnollinen_logaritmi \"Luonnollinen logaritmi – 芬兰语\")\n- [Føroyskt](https:\/\/fo.wikipedia.org\/wiki\/N%C3%A1tt%C3%BArlig_logaritma \"Náttúrlig logaritma – 法罗语\")\n- [Français](https:\/\/fr.wikipedia.org\/wiki\/Logarithme_n%C3%A9p%C3%A9rien \"Logarithme népérien – 法语\")\n- [Galego](https:\/\/gl.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmo_natural \"Logaritmo natural – 加利西亚语\")\n- [עברית](https:\/\/he.wikipedia.org\/wiki\/%D7%9C%D7%95%D7%92%D7%A8%D7%99%D7%AA%D7%9D_%D7%98%D7%91%D7%A2%D7%99 \"לוגריתם טבעי – 希伯来语\")\n- [हिन्दी](https:\/\/hi.wikipedia.org\/wiki\/%E0%A4%AA%E0%A5%8D%E0%A4%B0%E0%A4%BE%E0%A4%95%E0%A5%83%E0%A4%A4%E0%A4%BF%E0%A4%95_%E0%A4%B2%E0%A4%98%E0%A5%81%E0%A4%97%E0%A4%A3%E0%A4%95 \"प्राकृतिक लघुगणक – 印地语\")\n- [Magyar](https:\/\/hu.wikipedia.org\/wiki\/Term%C3%A9szetes_logaritmus \"Természetes logaritmus – 匈牙利语\")\n- [Հայերեն](https:\/\/hy.wikipedia.org\/wiki\/%D4%B2%D5%B6%D5%A1%D5%AF%D5%A1%D5%B6_%D5%AC%D5%B8%D5%A3%D5%A1%D6%80%D5%AB%D5%A9%D5%B4 \"Բնական լոգարիթմ – 亚美尼亚语\")\n- [Bahasa Indonesia](https:\/\/id.wikipedia.org\/wiki\/Logaritma_alami \"Logaritma alami – 印度尼西亚语\")\n- [Italiano](https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmo_naturale \"Logaritmo naturale – 意大利语\")\n- [日本語](https:\/\/ja.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0 \"自然対数 – 日语\")\n- [ქართული](https:\/\/ka.wikipedia.org\/wiki\/%E1%83%9C%E1%83%90%E1%83%A2%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%90%E1%83%9A%E1%83%A3%E1%83%A0%E1%83%98_%E1%83%9A%E1%83%9D%E1%83%92%E1%83%90%E1%83%A0%E1%83%98%E1%83%97%E1%83%9B%E1%83%98 \"ნატურალური ლოგარითმი – 格鲁吉亚语\")\n- [Қазақша](https:\/\/kk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC \"Натурал логарифм – 哈萨克语\")\n- [한국어](https:\/\/ko.wikipedia.org\/wiki\/%EC%9E%90%EC%97%B0%EB%A1%9C%EA%B7%B8 \"자연로그 – 韩语\")\n- [Lombard](https:\/\/lmo.wikipedia.org\/wiki\/Logaritm_natural \"Logaritm natural – 伦巴第语\")\n- [Lietuvių](https:\/\/lt.wikipedia.org\/wiki\/Nat%C5%ABrinis_logaritmas \"Natūrinis logaritmas – 立陶宛语\")\n- [Latviešu](https:\/\/lv.wikipedia.org\/wiki\/Natur%C4%81lais_logaritms \"Naturālais logaritms – 拉脱维亚语\")\n- [Македонски](https:\/\/mk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BD_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC \"Природен логаритам – 马其顿语\")\n- [Bahasa Melayu](https:\/\/ms.wikipedia.org\/wiki\/Logaritma_asli \"Logaritma asli – 马来语\")\n- [Nederlands](https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Natuurlijke_logaritme \"Natuurlijke logaritme – 荷兰语\")\n- [Norsk bokmål](https:\/\/no.wikipedia.org\/wiki\/Naturlig_logaritme \"Naturlig logaritme – 书面挪威语\")\n- [Occitan](https:\/\/oc.wikipedia.org\/wiki\/Logaritme_neperian \"Logaritme neperian – 奥克语\")\n- [Polski](https:\/\/pl.wikipedia.org\/wiki\/Logarytm_naturalny \"Logarytm naturalny – 波兰语\")\n- [Piemontèis](https:\/\/pms.wikipedia.org\/wiki\/Logaritm_%C3%ABd_Napier \"Logaritm ëd Napier – 皮埃蒙特文\")\n- [Português](https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmo_natural \"Logaritmo natural – 葡萄牙语\")\n- [Română](https:\/\/ro.wikipedia.org\/wiki\/Logaritm_natural \"Logaritm natural – 罗马尼亚语\")\n- [Русский](https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC \"Натуральный логарифм – 俄语\")\n- [Srpskohrvatski \/ српскохрватски](https:\/\/sh.wikipedia.org\/wiki\/Prirodni_logaritam \"Prirodni logaritam – 塞尔维亚-克罗地亚语\")\n- [Taclḥit](https:\/\/shi.wikipedia.org\/wiki\/Alugaritm_agaman \"Alugaritm agaman – 希尔哈语\")\n- [සිංහල](https:\/\/si.wikipedia.org\/wiki\/%E0%B6%B4%E0%B7%8A%E2%80%8D%E0%B6%BB%E0%B6%9A%E0%B7%98%E0%B6%AD%E0%B7%92_%E0%B6%BD%E0%B6%9D%E0%B7%94%E0%B6%9C%E0%B6%AB%E0%B6%9A \"ප්‍රකෘති ලඝුගණක – 僧伽罗语\")\n- [Slovenščina](https:\/\/sl.wikipedia.org\/wiki\/Naravni_logaritem \"Naravni logaritem – 斯洛文尼亚语\")\n- [Shqip](https:\/\/sq.wikipedia.org\/wiki\/Logaritmi_natyror \"Logaritmi natyror – 阿尔巴尼亚语\")\n- [Српски \/ srpski](https:\/\/sr.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B8_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BC \"Природни логаритам – 塞尔维亚语\")\n- [Svenska](https:\/\/sv.wikipedia.org\/wiki\/Naturliga_logaritmen \"Naturliga logaritmen – 瑞典语\")\n- [தமிழ்](https:\/\/ta.wikipedia.org\/wiki\/%E0%AE%87%E0%AE%AF%E0%AE%B2%E0%AF%8D_%E0%AE%AE%E0%AE%9F%E0%AE%95%E0%AF%8D%E0%AE%95%E0%AF%88 \"இயல் மடக்கை – 泰米尔语\")\n- [ไทย](https:\/\/th.wikipedia.org\/wiki\/%E0%B8%A5%E0%B8%AD%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%97%E0%B8%B6%E0%B8%A1%E0%B8%98%E0%B8%A3%E0%B8%A3%E0%B8%A1%E0%B8%8A%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%B4 \"ลอการิทึมธรรมชาติ – 泰语\")\n- [Українська](https:\/\/uk.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC \"Натуральний логарифм – 乌克兰语\")\n- [اردو](https:\/\/ur.wikipedia.org\/wiki\/%D9%82%D8%AF%D8%B1%D8%AA%DB%8C_%D9%84%D8%A7%DA%AF%D8%B1%D8%AA%DA%BE%D9%85 \"قدرتی لاگرتھم – 乌尔都语\")\n- [Oʻzbekcha \/ ўзбекча](https:\/\/uz.wikipedia.org\/wiki\/Natural_logarifm \"Natural logarifm – 乌兹别克语\")\n- [Tiếng Việt](https:\/\/vi.wikipedia.org\/wiki\/Logarit_t%E1%BB%B1_nhi%C3%AAn \"Logarit tự nhiên – 越南语\")\n- [吴语](https:\/\/wuu.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0 \"自然对数 – 吴语\")\n- [文言](https:\/\/zh-classical.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"自然對數 – 文言文\")\n- [閩南語 \/ Bân-lâm-gí](https:\/\/zh-min-nan.wikipedia.org\/wiki\/Ch%C5%AB-ji%C3%A2n_t%C3%B9i-s%C3%B2%CD%98 \"Chū-jiân tùi-sò͘ – 闽南语\")\n- [粵語](https:\/\/zh-yue.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"自然對數 – 粤语\")\n\n[编辑链接](https:\/\/www.wikidata.org\/wiki\/Special:EntityPage\/Q204037#sitelinks-wikipedia \"编辑跨语言链接\")\n\n- [条目](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"浏览条目正文[c]\")\n- [讨论](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Talk:%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"关于此页面的讨论[t]\")\n\n不转换\n\n- [不转换](https:\/\/zh.wikipedia.org\/zh\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8)\n- 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[引用此页](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:CiteThisPage&page=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&id=91225956&wpFormIdentifier=titleform \"有关如何引用此页面的信息\")\n- [获取短链接](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:UrlShortener&url=https%3A%2F%2Fzh.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E8%2587%25AA%25E7%2584%25B6%25E5%25B0%258D%25E6%2595%25B8)\n- [下载二维码](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:QrCode&url=https%3A%2F%2Fzh.wikipedia.org%2Fwiki%2F%25E8%2587%25AA%25E7%2584%25B6%25E5%25B0%258D%25E6%2595%25B8)\n\n打印\/导出\n\n- [下载为PDF](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Special:DownloadAsPdf&page=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=show-download-screen)\n- [打印页面](\"本页面的可打印版本[p]\")\n\n在其他项目中\n\n- [Wikifunctions](https:\/\/www.wikifunctions.org\/wiki\/Z21003)\n- [维基数据项目](https:\/\/www.wikidata.org\/wiki\/Special:EntityPage\/Q204037 \"链接到连接的数据仓库项目[g]\")\n\n外观\n\n移至侧栏\n\n隐藏\n\n![本页使用了标题或全文手工转换](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/cd\/Zh_conversion_icon_m.svg\/40px-Zh_conversion_icon_m.svg.png)\n\n维基百科，自由的百科全书\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3e\/Mplwp_ln.svg\/330px-Mplwp_ln.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Mplwp_ln.svg)\n\n自然對數\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)\n\n的[函數圖像](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F \"函数图像\")\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/35\/Log-def.svg\/330px-Log-def.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Log-def.svg)\n\n自然对数\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)\n\n的積分定義\n\n**自然对数**（英語：Natural logarithm）為以[数学常数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0 \"数学常数\")[e {\\\\displaystyle e} ![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/E_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\\) \"E (数学常数)\")為[底數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%95%E6%95%B0_\\(%E5%AF%B9%E6%95%B0\\) \"底数 (对数)\")的[对数函数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 \"对数函数\")，標記作ln ⁡ x {\\\\displaystyle \\\\ln x} ![{\\\\displaystyle \\\\ln x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)或log e ⁡ x {\\\\displaystyle \\\\log \\_{e}x} ![{\\\\displaystyle \\\\log \\_{e}x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b74001a2ed34b09d34925acf521a9d5fe2705b0a)，其[反函数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B8 \"反函數\")為[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")e x {\\\\displaystyle e^{x}} ![{\\\\displaystyle e^{x}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)。[\\[註 1\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-1)\n\n自然[对数积分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86 \"对数积分\")定義為對任何正[實數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%A6%E6%95%B8 \"實數\")x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)，由1 {\\\\displaystyle 1} ![{\\\\displaystyle 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)到x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)所圍成，x y \\= 1 {\\\\displaystyle xy=1} ![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)[曲線下的面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%A9%8D%E5%88%86 \"積分\")。如果x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)小於1，則計算面積為負數。\n\nln\n\n⁡\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\nx\n\nd\n\nt\n\nt\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln x=\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {dt}{t}}\\\\,}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln x=\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {dt}{t}}\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0cf5babc054c34c4d39919f5f55f9c95af9cf031)\n\ne {\\\\displaystyle e} ![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)則定義為唯一的實數x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得ln ⁡ x \\= 1 {\\\\displaystyle \\\\ln x=1} ![{\\\\displaystyle \\\\ln x=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1aa887840dd8f2c3044838f1f16c6441c17d8f42)。\n\n自然对数一般表示為ln ⁡ x {\\\\displaystyle \\\\ln x\\\\!} ![{\\\\displaystyle \\\\ln x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0634f0148eb7149a10e09fcb4bf0975eba8f92a5)，數學中亦有以log ⁡ x {\\\\displaystyle \\\\log x\\\\!} ![{\\\\displaystyle \\\\log x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265)表示自然對數。[\\[1\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-2)[\\[註 2\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-3)\n\n## 歷史\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=1 \"编辑章节：歷史\")\\]\n\n### 十七世纪\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=2 \"编辑章节：十七世纪\")\\]\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/cd\/Hyperbolic_sector.svg\/250px-Hyperbolic_sector.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Hyperbolic_sector.svg)\n\n[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")是[笛卡爾平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"笛卡尔平面\")\n\n{\n\n(\n\nx\n\n,\n\ny\n\n)\n\n}\n\n{\\\\displaystyle \\\\{(x,y)\\\\}}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\{(x,y)\\\\}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f352e04e23fa05b4f06df4d7d86c052da0420e99)\n\n上的一個區域，由從原點到\n\n(\n\na\n\n,\n\n1\n\na\n\n)\n\n{\\\\textstyle (a,{\\\\frac {1}{a}})}\n\n![{\\\\textstyle (a,{\\\\frac {1}{a}})}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5577951ae3c642b5c1826cace146c124e74ba23e)\n\n和\n\n(\n\nb\n\n,\n\n1\n\nb\n\n)\n\n{\\\\textstyle (b,{\\\\frac {1}{b}})}\n\n![{\\\\textstyle (b,{\\\\frac {1}{b}})}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68430db32917c6ca965d7a3d4e45457af92519e0)\n\n的射線，以及[雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A \"雙曲線\")\n\nx\n\ny\n\n\\=\n\n1\n\n{\\\\displaystyle xy=1}\n\n![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)\n\n圍成。在標準位置的雙曲線扇形有\n\na\n\n\\=\n\n1\n\n{\\\\displaystyle a=1}\n\n![{\\\\displaystyle a=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)\n\n且\n\nb\n\n\\>\n\n1\n\n{\\\\displaystyle b\\>1}\n\n![{\\\\displaystyle b\\>1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b)\n\n，它的面積為\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nb\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(b)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(b)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c1478e03c7ceb988b4af61f838234692f2b183b1)\n\n[\\[2\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-4)，此時雙曲線扇形對應正[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/4\/47\/Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg\/250px-Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg)\n\n當直角雙曲線下的兩段面積相等時，\n\nx\n\n{\\\\displaystyle x}\n\n![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)\n\n的值呈[等比數列](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B8%E5%88%97 \"等比數列\")，\n\nx\n\n2\n\nx\n\n1\n\n\\=\n\nx\n\n1\n\nx\n\n0\n\n\\=\n\nk\n\n{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}=k}\n\n![{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}=k}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/250efff44fa3e372308dd42351c77d37fa544126)\n\n，\n\ny\n\n{\\\\displaystyle y}\n\n![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)\n\n的值也呈等比數列，\n\nx\n\n2\n\nx\n\n1\n\n\\=\n\nx\n\n1\n\nx\n\n0\n\n\\=\n\n1\n\nk\n\n{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}={\\\\frac {1}{k}}}\n\n![{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}={\\\\frac {1}{k}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b5daa310ee1515618b0e69e66969c2391548805f)\n\n。\n\n[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")在1614年[\\[3\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-5)以及[约斯特·比尔吉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 \"约斯特·比尔吉\")在6年後[\\[4\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-6)，分別發表了獨立編制的[對數表](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E8%A1%A8 \"对数表\")，當時通過對接近1的底數的大量乘[冪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%86%AA \"冪\")運算，來找到指定範圍和精度的[對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"對數\")和所對應的真數。當時還沒出現[有理數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 \"有理数\")冪的概念，按後世的觀點，[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")的底數0.999999910000000相當接近1 e {\\\\textstyle {\\\\frac {1}{e}}} ![{\\\\textstyle {\\\\frac {1}{e}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fe63386d4ee481420baab9ee462769a274ed7fa4)[\\[5\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-7)，而[约斯特·比尔吉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 \"约斯特·比尔吉\")的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e {\\\\displaystyle e} ![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[亨利·布里格斯](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E4%BA%A8%E5%88%A9%C2%B7%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%96%AF&action=edit&redlink=1 \"亨利·布里格斯（页面不存在）\")（英语：[Henry Briggs (mathematician)](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Henry_Briggs_\\(mathematician\\) \"en:Henry Briggs (mathematician)\")）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[\\[6\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-8)於1624年部份完成了[常用對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"常用對數\")表的編制。\n\n形如f ( x ) \\= x p {\\\\displaystyle f(x)=x^{p}} ![{\\\\displaystyle f(x)=x^{p}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/287686868142439d014dfc66870fcb01efab941b)的曲線都有一個代數[反導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8D%E5%B0%8E%E6%95%B8 \"反導數\")，除了特殊情況p \\= − 1 {\\\\displaystyle p=-1} ![{\\\\displaystyle p=-1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f21ac8555bb1dfc99be2fa1f5120d4885f343e8)對應於雙曲線的[弓形面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1 \"弓形面積（页面不存在）\")（英语：[Quadrature (mathematics)](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Quadrature_\\(mathematics\\) \"en:Quadrature (mathematics)\")），即[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")；其他情況都由1635年發表的[卡瓦列里弓形面積公式](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1 \"卡瓦列里弓形面積公式（页面不存在）\")（英语：[Cavalieri's quadrature formula](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Cavalieri%27s_quadrature_formula \"en:Cavalieri's quadrature formula\")）給出[\\[7\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-9)，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的[阿基米德](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7 \"阿基米德\")完成（[拋物線的弓形面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8B%8B%E7%89%A9%E7%B7%9A%E7%9A%84%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D \"拋物線的弓形面積\")），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年[圣文森特的格列高利](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%9C%A3%E6%96%87%E6%A3%AE%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%A0%BC%E5%88%97%E9%AB%98%E5%88%A9&action=edit&redlink=1 \"圣文森特的格列高利（页面不存在）\")（英语：[Grégoire de Saint-Vincent](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Gr%C3%A9goire_de_Saint-Vincent \"en:Grégoire de Saint-Vincent\")）將對數聯繫於雙曲線x y \\= 1 {\\\\displaystyle xy=1} ![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)的弓形面積，他發現x軸上\\[ a , b \\] {\\\\displaystyle \\[a,b\\]} ![{\\\\displaystyle \\[a,b\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")同\\[ c , d \\] {\\\\displaystyle \\[c,d\\]} ![{\\\\displaystyle \\[c,d\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d85b3b21d6d891d97f85e263d394e3c90287586f)對應的扇形，在a b \\= c d {\\\\textstyle {\\\\frac {a}{b}}={\\\\frac {c}{d}}} ![{\\\\textstyle {\\\\frac {a}{b}}={\\\\frac {c}{d}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/40b8b02893772e7f72dbec7a37b0a29d8dd53666)時面積相同，這指出了雙曲線從x \\= 1 {\\\\displaystyle x=1} ![{\\\\displaystyle x=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)到x \\= t {\\\\displaystyle x=t} ![{\\\\displaystyle x=t}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f6c0426ebd38c267805e4308c63f11cb976e4963)的積分f ( t ) {\\\\displaystyle f(t)} ![{\\\\displaystyle f(t)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6)滿足[\\[8\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-10)：\n\nf\n\n(\n\nt\n\nu\n\n)\n\n\\=\n\nf\n\n(\n\nt\n\n)\n\n\\+\n\nf\n\n(\n\nu\n\n)\n\n{\\\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\\\,}\n\n![{\\\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e5524cc6602864dea1790c4837747285d864d12c)\n\n1649年，[萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%90%A8%E6%8B%89%E8%90%A8%E7%9A%84%E9%98%BF%E5%B0%94%E4%B8%B0%E6%96%AF%C2%B7%E5%AE%89%E4%B8%9C%E5%B0%BC%E5%A5%A5&action=edit&redlink=1 \"萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（页面不存在）\")（英语：[Alphonse Antonio de Sarasa](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Alphonse_Antonio_de_Sarasa \"en:Alphonse Antonio de Sarasa\")）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，[伊薩克·牛頓](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BC%8A%E8%90%A8%E5%85%8B%C2%B7%E7%89%9B%E9%A1%BF \"伊萨克·牛顿\")推廣了[二項式定理](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 \"二项式定理\")，他將1 1 \\+ x {\\\\textstyle {\\\\frac {1}{1+x}}} ![{\\\\textstyle {\\\\frac {1}{1+x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aefe1ccc97077c50816a247269eb2d1c18a14b72)展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於[尼古拉斯·麥卡托](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%E6%96%AF%C2%B7%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98 \"尼古拉斯·麥卡托\")在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[\\[9\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-11)，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的[麥卡托級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"麥卡托級數\")。\n\n### 十八世纪\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=3 \"编辑章节：十八世纪\")\\]\n\n大約1730年，[歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")定義互為逆函數的[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")和自然對數為[\\[10\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-12)[\\[11\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-ReferenceA-13)：\n\ne\n\nx\n\n\\=\n\nlim\n\nn\n\n→\n\n∞\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nx\n\nn\n\n)\n\nn\n\n,\n\n{\\\\displaystyle e^{x}=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {x}{n}}\\\\right)^{n},}\n\n![{\\\\displaystyle e^{x}=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {x}{n}}\\\\right)^{n},}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb8ddbfe425a744c0f8e5df2f32d0b4205b04e71)\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\nlim\n\nn\n\n→\n\n∞\n\nn\n\n(\n\nx\n\n1\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/746bb68f6df1407a9935f1aa611084b3fd6fc5e9)\n\n1742年[威廉·琼斯](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E7%90%BC%E6%96%AF_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6\\) \"威廉·琼斯 (数学家)\")發表了現在的[冪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%86%AA \"冪\")[指數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B0 \"指数\")概念[\\[12\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-14)。\n\n## 形式定義\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=4 \"编辑章节：形式定義\")\\]\n\n[歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")定義自然對數為[序列的極限](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 \"序列的极限\")：\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\nlim\n\nn\n\n→\n\n∞\n\nn\n\n(\n\nx\n\n1\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right).}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4f70dff77adffb727f2a442319343749a795902c)\n\nln ⁡ ( a ) {\\\\displaystyle \\\\ln(a)} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(a)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9ddec5ff9f887294161d0cf715b0451b0edf8193)正式定義為[積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%A9%8D%E5%88%86 \"積分\")，\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\na\n\n)\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\na\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(a)=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\,dx.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(a)=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\,dx.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8adff47b619ff4663410ba2c44033f4614cf0657)\n\n這個函數為對數是因滿足[對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"對數\")的基本性質:\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\na\n\nb\n\n)\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\na\n\n)\n\n\\+\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nb\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).\\\\,\\\\!}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).\\\\,\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4c921687b577c8089b416eb37db454755a8dd7af)\n\n這可以通過將定義了ln ⁡ ( a b ) {\\\\displaystyle \\\\ln(ab)} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b06642442f5d9320df4962f16a8e16ed5b95ca3b)的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行[換元](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 \"换元积分法\")x \\= t a {\\\\displaystyle x=ta} ![{\\\\displaystyle x=ta}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/898bef5176cf2a1892523fc525e2c2a155e31b7b)來證實:\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\na\n\nb\n\n)\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\na\n\nb\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\na\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\+\n\n∫\n\na\n\na\n\nb\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\na\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\+\n\n∫\n\n1\n\nb\n\n1\n\na\n\nt\n\nd\n\n(\n\na\n\nt\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\int \\_{1}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{a}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{at}}\\\\;d(at)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\int \\_{1}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{a}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{at}}\\\\;d(at)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/12ef1c9479821157ad3b9a708c2cb2460f933ad1)\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\na\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\+\n\n∫\n\n1\n\nb\n\n1\n\nt\n\nd\n\nt\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\na\n\n)\n\n\\+\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nb\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle =\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{t}}\\\\;dt=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).}\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{t}}\\\\;dt=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d217cf5aeef9397a144fb99b5cfc7ee8a53adaa1)\n\n冪公式ln ⁡ ( t r ) \\= r ln ⁡ ( t ) {\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=r\\\\ln(t)} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=r\\\\ln(t)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5e7ad5857976c3e6c7cdb053fecf7c1e6cc1cdd9)可如下推出:\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nt\n\nr\n\n)\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\nt\n\nr\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\nt\n\n1\n\nu\n\nr\n\nd\n\n(\n\nu\n\nr\n\n)\n\n\\=\n\n∫\n\n1\n\nt\n\n1\n\nu\n\nr\n\n(\n\nr\n\nu\n\nr\n\n−\n\n1\n\nd\n\nu\n\n)\n\n\\=\n\nr\n\n∫\n\n1\n\nt\n\n1\n\nu\n\nd\n\nu\n\n\\=\n\nr\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nt\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=\\\\int \\_{1}^{t^{r}}{\\\\frac {1}{x}}dx=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}d\\\\left(u^{r}\\\\right)=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}\\\\left(ru^{r-1}\\\\,du\\\\right)=r\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u}}\\\\,du=r\\\\ln(t).}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=\\\\int \\_{1}^{t^{r}}{\\\\frac {1}{x}}dx=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}d\\\\left(u^{r}\\\\right)=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}\\\\left(ru^{r-1}\\\\,du\\\\right)=r\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u}}\\\\,du=r\\\\ln(t).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c19f7c2e9451026cfa4f39aacc2425d830baeedd)\n\n第二個等式使用了[換元](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 \"换元积分法\")u \\= x 1 r {\\\\displaystyle u=x^{\\\\frac {1}{r}}} ![{\\\\displaystyle u=x^{\\\\frac {1}{r}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3b6e454948b3240c90efb616937e535e3ff4d5d6)。\n\n自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\n−\n\nlim\n\nϵ\n\n→\n\n0\n\n∫\n\nϵ\n\n∞\n\nd\n\nt\n\nt\n\n(\n\ne\n\n−\n\nx\n\nt\n\n−\n\ne\n\n−\n\nt\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=-\\\\lim \\_{\\\\epsilon \\\\to 0}\\\\int \\_{\\\\epsilon }^{\\\\infty }{\\\\frac {dt}{t}}\\\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\\\right).}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=-\\\\lim \\_{\\\\epsilon \\\\to 0}\\\\int \\_{\\\\epsilon }^{\\\\infty }{\\\\frac {dt}{t}}\\\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\\\right).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee0d6258fcea4a3d9e9a9e4cd570d5477cc0fbd5)\n\n## 性質\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=5 \"编辑章节：性質\")\\]\n\n- ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  1\n  \n  )\n  \n  \\=\n  \n  ∫\n  \n  1\n  \n  1\n  \n  1\n  \n  t\n  \n  d\n  \n  t\n  \n  \\=\n  \n  0\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\ln(1)=\\\\int \\_{1}^{1}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt=0\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\ln(1)=\\\\int \\_{1}^{1}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt=0\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bd3a9c22f19fa8abd4d37de5cceecdff4634f104)\n- ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  −\n  \n  1\n  \n  )\n  \n  \\=\n  \n  i\n  \n  π\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\operatorname {ln} (-1)=i\\\\pi \\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {ln} (-1)=i\\\\pi \\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2b8153d0afcb10d5b4b310c85592aac814d9be48)\n\n(參見[複數對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"複數對數\"))\n\n- ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  x\n  \n  )\n  \n  \\<\n  \n  ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  y\n  \n  )\n  \n  f\n  \n  o\n  \n  r\n  \n  0\n  \n  \\<\n  \n  x\n  \n  \\<\n  \n  y\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\ln(x)\\<\\\\ln(y)\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad 0\\<x\\<y\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)\\<\\\\ln(y)\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad 0\\<x\\<y\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/43bf10d984b9ec846a4c4ab09064f69dc2fcd588)\n- lim\n  \n  x\n  \n  →\n  \n  0\n  \n  ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  1\n  \n  \\+\n  \n  x\n  \n  )\n  \n  x\n  \n  \\=\n  \n  1\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\lim \\_{x\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+x)}{x}}=1\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\lim \\_{x\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+x)}{x}}=1\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/afcec75678f93c5ab7554b3a39a540f2f58020ee)\n- ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  x\n  \n  y\n  \n  )\n  \n  \\=\n  \n  y\n  \n  ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  x\n  \n  )\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\ln(x^{y})=y\\\\,\\\\ln(x)\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\ln(x^{y})=y\\\\,\\\\ln(x)\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c6ef1a589f92ea7cef6f2fa1d9284a9354f1a3d6)\n- x\n  \n  −\n  \n  1\n  \n  x\n  \n  ≤\n  \n  ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  x\n  \n  )\n  \n  ≤\n  \n  x\n  \n  −\n  \n  1\n  \n  f\n  \n  o\n  \n  r\n  \n  x\n  \n  \\>\n  \n  0\n  \n  {\\\\displaystyle {\\\\frac {x-1}{x}}\\\\leq \\\\ln(x)\\\\leq x-1\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\>0\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {x-1}{x}}\\\\leq \\\\ln(x)\\\\leq x-1\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\>0\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1d7633647306612a5dba05eb1069b7d0464f8393)\n- ln\n  \n  ⁡\n  \n  (\n  \n  1\n  \n  \\+\n  \n  x\n  \n  α\n  \n  )\n  \n  ≤\n  \n  α\n  \n  x\n  \n  f\n  \n  o\n  \n  r\n  \n  x\n  \n  ≥\n  \n  0\n  \n  ,\n  \n  α\n  \n  ≥\n  \n  1\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\ln {(1+x^{\\\\alpha })}\\\\leq \\\\alpha x\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\\\geq 0,\\\\alpha \\\\geq 1\\\\,}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\ln {(1+x^{\\\\alpha })}\\\\leq \\\\alpha x\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\\\geq 0,\\\\alpha \\\\geq 1\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d1afe552f3b880d10d4746a1b53681bfd6702c7d)\n\n| 證明 |\n|---|\n| lim h → 0 ln ⁡ ( 1 \\+ h ) h \\= lim h → 0 ln ⁡ ( 1 \\+ h ) − ln ⁡ 1 h \\= d d x ln ⁡ x \\| x \\= 1 \\= 1 {\\\\displaystyle \\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)}{h}}=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)-\\\\ln 1}{h}}={\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln x{\\\\Bigg \\|}\\_{x=1}=1} ![{\\\\displaystyle \\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)}{h}}=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)-\\\\ln 1}{h}}={\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln x{\\\\Bigg \\|}\\_{x=1}=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f95e0831f1228ba61e98cd96eac29e4d55dca89d) |\n\n## 導數\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=6 \"编辑章节：導數\")\\]\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/5\/57\/Logarithm_derivative.svg\/330px-Logarithm_derivative.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Logarithm_derivative.svg)\n\n自然對數的圖像和它在\n\nx\n\n\\=\n\n1\\.5\n\n{\\\\displaystyle x=1.5}\n\n![{\\\\displaystyle x=1.5}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/073413584cae74e89a5a3128150905b9aff34108)\n\n處的切線。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/73\/LogTay.svg\/330px-LogTay.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:LogTay.svg)\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)\n\n的泰勒多項式只在\n\n−\n\n1\n\n\\<\n\nx\n\n≤\n\n1\n\n{\\\\displaystyle -1\\<x\\\\leq 1}\n\n![{\\\\displaystyle -1\\<x\\\\leq 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6b3146f6393631821d264b39f7bf2a9fc1e60cb0)\n\n範圍內有逐步精確的近似。\n\n自然對數的[導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8E%E6%95%B8 \"導數\")為\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}.\\\\,}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}.\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/450bbcf4fc982e5c9d6244746c48bbf1dc5cb174)\n\n證明一（微積分第一基本定理）:d d x ln ⁡ ( x ) \\= d d x ∫ 1 x 1 t d t \\= 1 x {\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {d}{dx}}\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt={\\\\frac {1}{x}}} ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {d}{dx}}\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b5717ba13a505ab2d2deb5d9a4bf8a6e64dd05db)\n\n證明二：[按此影片](https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)（[页面存档备份](https:\/\/web.archive.org\/web\/20210402030947\/https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)，存于[互联网档案馆](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 \"互联网档案馆\")）\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\nlim\n\nh\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n\\+\n\nh\n\n)\n\n−\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\nh\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(x+h)-\\\\ln(x)}{h}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(x+h)-\\\\ln(x)}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb480bfd80181b743afe480c7e318a9a687878da)\n\n\\=\n\nlim\n\nh\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n\\+\n\nh\n\nx\n\n)\n\nh\n\n{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln({\\\\frac {x+h}{x}})}{h}}}\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln({\\\\frac {x+h}{x}})}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2b08aae24f97c4f91c2011a049bb0ab05c970041)\n\n\\=\n\nlim\n\nh\n\n→\n\n0\n\n\\[\n\n1\n\nh\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nh\n\nx\n\n)\n\n\\]\n\n{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\left\\[{\\\\frac {1}{h}}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)\\\\right\\]\\\\quad }\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\left\\[{\\\\frac {1}{h}}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)\\\\right\\]\\\\quad }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1)\n\n\\=\n\nlim\n\nh\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nh\n\nx\n\n)\n\n1\n\nh\n\n{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)^{\\\\frac {1}{h}}}\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)^{\\\\frac {1}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b051744a03bf3da278c66271d52e12e986848c23)\n\n设u \\= h x ⇒ u x \\= h {\\\\displaystyle u={\\\\frac {h}{x}}\\\\Rightarrow ux=h} ![{\\\\displaystyle u={\\\\frac {h}{x}}\\\\Rightarrow ux=h}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/320065355f1d23bd07343e77b588ee450252ac2b)\n\n1\n\nh\n\n\\=\n\n1\n\nu\n\nx\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{h}}={\\\\frac {1}{ux}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{h}}={\\\\frac {1}{ux}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d19b2c0f15b25a082e5d381d002dfa2c72f38efa)\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\nlim\n\nu\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nu\n\n)\n\n1\n\nu\n\nx\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{ux}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{ux}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6cf130c86e41fb21031d40a64934c8dfe081a63a)\n\n\\=\n\nlim\n\nu\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n\\[\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nu\n\n)\n\n1\n\nu\n\n\\]\n\n1\n\nx\n\n{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln \\\\left\\[(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}\\\\right\\]^{\\\\frac {1}{x}}}\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln \\\\left\\[(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}\\\\right\\]^{\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5a1cdcd1187e5294c22ac0293d87549d6e1eef9a)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\nlim\n\nu\n\n→\n\n0\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nu\n\n)\n\n1\n\nu\n\n{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}}\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4bc76a790bc63e7abb9a1cce610f5c5f322e179b)\n\n设n \\= 1 u ⇒ u \\= 1 n {\\\\displaystyle n={\\\\frac {1}{u}}\\\\Rightarrow u={\\\\frac {1}{n}}} ![{\\\\displaystyle n={\\\\frac {1}{u}}\\\\Rightarrow u={\\\\frac {1}{n}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1a0f27fd2ec184f1bf47cdae77799a887f58f4be)\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\nlim\n\nn\n\n→\n\n∞\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n1\n\nn\n\n)\n\nn\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/31e23f18d904dd4bd0b341ad094f9d2cd5b6d52b)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n\\[\n\nlim\n\nn\n\n→\n\n∞\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n1\n\nn\n\n)\n\nn\n\n\\]\n\n{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln \\\\left\\[\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right\\]}\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln \\\\left\\[\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0e0380744b61c8586952f38a93d51089fad2b6c3)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\ne\n\n{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln e}\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/72e07b19250f2f54213a3f9a07da3353a9e33f2f)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\n{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}}\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fee12096bed04e8b72030794d211b2467d3b25d0)\n\n用自然對數定義的更一般的對數函數，log b ⁡ ( x ) \\= ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( b ) {\\\\displaystyle \\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {\\\\ln(x)}{\\\\ln(b)}}} ![{\\\\displaystyle \\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {\\\\ln(x)}{\\\\ln(b)}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/52a93d813551fae4ee9a530804b1ca385e094c01)，根據其[逆函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0 \"逆函数\")即一般[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")的性質，它的導數為[\\[13\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-LangIV.2-15)[\\[14\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-16)：\n\nd\n\nd\n\nx\n\nlog\n\nb\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nb\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {1}{x\\\\ln(b)}}.}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {1}{x\\\\ln(b)}}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/794d02caaee43f681800270031cd94aadc8192df)\n\n根據[鏈式法則](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 \"链式法则\")，以f ( x ) {\\\\displaystyle f(x)} ![{\\\\displaystyle f(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)為參數的自然對數的導數為\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n\\[\n\nf\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\]\n\n\\=\n\nf\n\n′\n\n(\n\nx\n\n)\n\nf\n\n(\n\nx\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln\\[f(x)\\]={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}.}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln\\[f(x)\\]={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4d12207bb467c5467b6f0587fd9e0f56a983e4c4)\n\n右手端的商叫做f {\\\\displaystyle f} ![{\\\\displaystyle f}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)的[對數導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%B0%8E%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 \"對數導數（页面不存在）\")（英语：[logarithmic derivative](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/logarithmic_derivative \"en:logarithmic derivative\")），通過ln ⁡ ( f ( x ) ) {\\\\displaystyle \\\\ln(f(x))} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(f(x))}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8e8403d6c5b2b7957e475e81100f1338049071da)的導數的方法計算f ′ ( x ) {\\\\displaystyle f'(x)} ![{\\\\displaystyle f'(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)叫做[對數微分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%BE%AE%E5%88%86 \"對數微分\")[\\[15\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-17)。\n\n## 冪級數\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=7 \"编辑章节：冪級數\")\\]\n\n自然對數的導數性質導致了ln ⁡ ( 1 \\+ x ) {\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)在0處的[泰勒級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 \"泰勒级数\")，也叫做[麥卡托級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"麥卡托級數\")：\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\n∑\n\nn\n\n\\=\n\n1\n\n∞\n\n(\n\n−\n\n1\n\n)\n\nn\n\n\\+\n\n1\n\nn\n\nx\n\nn\n\n\\=\n\nx\n\n−\n\nx\n\n2\n\n2\n\n\\+\n\nx\n\n3\n\n3\n\n−\n\n⋯\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{\\\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-\\\\cdots }\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{\\\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-\\\\cdots }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/69ac92d9db1e98a32e8c4232e97a117158eba05b)\n\n對於所有\n\n\\|\n\nx\n\n\\|\n\n≤\n\n1\n\n,\n\n{\\\\displaystyle \\\\left\\|x\\\\right\\|\\\\leq 1,}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\left\\|x\\\\right\\|\\\\leq 1,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c53ba55423fa548eed5fef83ac6af9b17326420f)\n\n但不包括\n\nx\n\n\\=\n\n−\n\n1\\.\n\n{\\\\displaystyle x=-1.}\n\n![{\\\\displaystyle x=-1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a51899e84bbbb14d044de1e69f57f73f70178b4c)\n\n把x − 1 {\\\\displaystyle x-1} ![{\\\\displaystyle x-1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f1a88d34243b98b57c4df9db5724f61b59a4b9d)代入x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中，可得到ln ⁡ ( x ) {\\\\displaystyle \\\\ln(x)} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用[歐拉變換](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E8%AE%8A%E6%8F%9B \"二項式變換\")，可以得到對[絕對值](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC \"绝对值\")大於1的任何x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)有效的如下級數:\n\nln\n\n⁡\n\nx\n\nx\n\n−\n\n1\n\n\\=\n\n∑\n\nn\n\n\\=\n\n1\n\n∞\n\n1\n\nn\n\nx\n\nn\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\n\\+\n\n1\n\n2\n\nx\n\n2\n\n\\+\n\n1\n\n3\n\nx\n\n3\n\n\\+\n\n⋯\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln {x \\\\over {x-1}}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {nx^{n}}}={1 \\\\over x}+{1 \\\\over {2x^{2}}}+{1 \\\\over {3x^{3}}}+\\\\cdots \\\\,.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln {x \\\\over {x-1}}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {nx^{n}}}={1 \\\\over x}+{1 \\\\over {2x^{2}}}+{1 \\\\over {3x^{3}}}+\\\\cdots \\\\,.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9498b73b3d5be246ef64ee69e3fc6a38d6062fdd)\n\n這個級數類似於[贝利-波尔温-普劳夫公式](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%B4%9D%E5%88%A9-%E6%B3%A2%E5%B0%94%E6%B8%A9-%E6%99%AE%E5%8A%B3%E5%A4%AB%E5%85%AC%E5%BC%8F \"贝利-波尔温-普劳夫公式\")。\n\n還要注意到x x − 1 {\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}} ![{\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)是自身的逆函數，所以要生成特定數y {\\\\displaystyle y} ![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的自然對數，簡單把x x − 1 {\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}} ![{\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)代入*x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*中。\n\nln\n\n⁡\n\nx\n\n\\=\n\n∑\n\nn\n\n\\=\n\n1\n\n∞\n\n1\n\nn\n\n(\n\nx\n\n−\n\n1\n\nx\n\n)\n\nn\n\n\\=\n\n(\n\nx\n\n−\n\n1\n\nx\n\n)\n\n\\+\n\n1\n\n2\n\n(\n\nx\n\n−\n\n1\n\nx\n\n)\n\n2\n\n\\+\n\n1\n\n3\n\n(\n\nx\n\n−\n\n1\n\nx\n\n)\n\n3\n\n\\+\n\n⋯\n\n{\\\\displaystyle \\\\ln {x}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {n}}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{n}=\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)+{1 \\\\over 2}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{2}+{1 \\\\over 3}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{3}+\\\\cdots \\\\,}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln {x}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {n}}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{n}=\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)+{1 \\\\over 2}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{2}+{1 \\\\over 3}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{3}+\\\\cdots \\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e33cfb6cb640b25679e70408fba5d69e3151e628)\n\n對於\n\nRe\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n≥\n\n1\n\n2\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Re} (x)\\\\geq {\\\\frac {1}{2}}\\\\,.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Re} (x)\\\\geq {\\\\frac {1}{2}}\\\\,.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0a53cda089abfc94de810784e89823d5f50afd58)\n\n自然數的倒數的總和\n\n1\n\n\\+\n\n1\n\n2\n\n\\+\n\n1\n\n3\n\n\\+\n\n⋯\n\n\\+\n\n1\n\nn\n\n\\=\n\n∑\n\nk\n\n\\=\n\n1\n\nn\n\n1\n\nk\n\n,\n\n{\\\\displaystyle 1+{\\\\frac {1}{2}}+{\\\\frac {1}{3}}+\\\\cdots +{\\\\frac {1}{n}}=\\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}},}\n\n![{\\\\displaystyle 1+{\\\\frac {1}{2}}+{\\\\frac {1}{3}}+\\\\cdots +{\\\\frac {1}{n}}=\\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}},}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/12f50a7390e77e5beed851612314d2d03991d564)\n\n叫做[調和級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"調和級數\")。它與自然對數有密切聯繫：當n {\\\\displaystyle n} ![{\\\\displaystyle n}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)趨於無窮的時候，差\n\n∑\n\nk\n\n\\=\n\n1\n\nn\n\n1\n\nk\n\n−\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nn\n\n)\n\n,\n\n{\\\\displaystyle \\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}}-\\\\ln(n),}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}}-\\\\ln(n),}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0f1edf2104b89524c509d6cb9ea1a667251d3ac)\n\n[收斂](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 \"序列的极限\")於[欧拉-马歇罗尼常数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AC%A7%E6%8B%89-%E9%A9%AC%E6%AD%87%E7%BD%97%E5%B0%BC%E5%B8%B8%E6%95%B0 \"欧拉-马歇罗尼常数\")。這個關係有助於分析算法比如[快速排序](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F \"快速排序\")的性能。[\\[16\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-18)\n\n## 積分\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=8 \"编辑章节：積分\")\\]\n\n自然對數通過[分部積分法](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95 \"分部積分法\")積分:\n\n∫\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n−\n\nx\n\n\\+\n\nC\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx=x\\\\ln(x)-x+C.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx=x\\\\ln(x)-x+C.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ffcaf5c8b14b232de9ff79e9ae0960ea4966bd10)\n\n假設:\n\nu\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n⇒\n\nd\n\nu\n\n\\=\n\nd\n\nx\n\nx\n\n{\\\\displaystyle u=\\\\ln(x)\\\\Rightarrow du={\\\\frac {dx}{x}}}\n\n![{\\\\displaystyle u=\\\\ln(x)\\\\Rightarrow du={\\\\frac {dx}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c07f106dec4139287b8fa6ea0af0f9233afb3ee9)\n\nd\n\nv\n\n\\=\n\nd\n\nx\n\n⇒\n\nv\n\n\\=\n\nx\n\n{\\\\displaystyle dv=dx\\\\Rightarrow v=x\\\\,}\n\n![{\\\\displaystyle dv=dx\\\\Rightarrow v=x\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c30adc0b089b174086fcd71fa2a2d6c55dd4ac9c)\n\n所以:\n\n∫\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n−\n\n∫\n\nx\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n−\n\n∫\n\n1\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\nx\n\n)\n\n−\n\nx\n\n\\+\n\nC\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx&=x\\\\ln(x)-\\\\int {\\\\frac {x}{x}}\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-\\\\int 1\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-x+C\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx&=x\\\\ln(x)-\\\\int {\\\\frac {x}{x}}\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-\\\\int 1\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-x+C\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/52916fee071fbe482bee84e9da920fe184d86473)\n\n自然對數可以簡化形如g ( x ) \\= f ′ ( x ) f ( x ) {\\\\displaystyle g(x)={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}} ![{\\\\displaystyle g(x)={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/855ec85038d18bd7c78c473575ac4191ecac341b)的函數的積分：g ( x ) {\\\\displaystyle g(x)} ![{\\\\displaystyle g(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)的一個[原函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0 \"原函数\")給出為ln ⁡ ( \\| f ( x ) \\| ) {\\\\displaystyle \\\\ln(\\\\left\\\\vert f(x)\\\\right\\\\vert )} ![{\\\\displaystyle \\\\ln(\\\\left\\\\vert f(x)\\\\right\\\\vert )}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f9975e179080dba16b101e6ca58f7da6d42e93e9)。這是基於[鏈式法則](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 \"链式法则\")和如下事實:\n\nd\n\nd\n\nx\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\nx\n\n\\|\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\ {d \\\\over dx}\\\\ln \\\\left\\|x\\\\right\\|={1 \\\\over x}.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ {d \\\\over dx}\\\\ln \\\\left\\|x\\\\right\\|={1 \\\\over x}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d8ac4cfdc2a4a98263b4d0103ea90b760529440)\n\n換句話說，\n\n∫\n\n1\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\nx\n\n\\|\n\n\\+\n\nC\n\n{\\\\displaystyle \\\\int {1 \\\\over x}dx=\\\\ln \\|x\\|+C}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int {1 \\\\over x}dx=\\\\ln \\|x\\|+C}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bde26fca8bed415e46c7676a746046f49a977695)\n\n且\n\n∫\n\nf\n\n′\n\n(\n\nx\n\n)\n\nf\n\n(\n\nx\n\n)\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\nf\n\n(\n\nx\n\n)\n\n\\|\n\n\\+\n\nC\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\int {{\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\\\,dx}=\\\\ln \\|f(x)\\|+C.}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int {{\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\\\,dx}=\\\\ln \\|f(x)\\|+C.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0d2683aa09c111fd31ccc4bc0759816701d790f7)\n\n### 例子\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=9 \"编辑章节：例子\")\\]\n\n下面是g ( x ) \\= tan ⁡ x {\\\\displaystyle g(x)=\\\\tan x} ![{\\\\displaystyle g(x)=\\\\tan x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5ab38455820b36af96b8d054bf38f277f545f0b1)的例子：\n\n∫\n\ntan\n\n⁡\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\nsin\n\n⁡\n\nx\n\ncos\n\n⁡\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n∫\n\n−\n\nd\n\nd\n\nx\n\ncos\n\n⁡\n\nx\n\ncos\n\n⁡\n\nx\n\nd\n\nx\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=\\\\int {\\\\sin x \\\\over \\\\cos x}\\\\,dx\\\\\\\\&=\\\\int {-{d \\\\over dx}\\\\cos x \\\\over {\\\\cos x}}\\\\,dx.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=\\\\int {\\\\sin x \\\\over \\\\cos x}\\\\,dx\\\\\\\\&=\\\\int {-{d \\\\over dx}\\\\cos x \\\\over {\\\\cos x}}\\\\,dx.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/73b630a5510b6af7a6774037d831cbcb8c585b77)\n\n設f ( x ) \\= cos ⁡ x {\\\\displaystyle f(x)=\\\\cos x} ![{\\\\displaystyle f(x)=\\\\cos x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0287cb9d4a431cc7cc469339b15807eca263a770)且f ′ ( x ) \\= − sin ⁡ x {\\\\displaystyle f'(x)=-\\\\sin x} ![{\\\\displaystyle f'(x)=-\\\\sin x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9068becdff494367c57cb1e755323438e5e2c36f)：\n\n∫\n\ntan\n\n⁡\n\nx\n\nd\n\nx\n\n\\=\n\n−\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\ncos\n\n⁡\n\nx\n\n\\|\n\n\\+\n\nC\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\nsec\n\n⁡\n\nx\n\n\\|\n\n\\+\n\nC\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=-\\\\ln {\\\\left\\|\\\\cos x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\&=\\\\ln {\\\\left\\|\\\\sec x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=-\\\\ln {\\\\left\\|\\\\cos x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\&=\\\\ln {\\\\left\\|\\\\sec x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/44e1747b1c7d53dffed302bb2b9742e962beed03)\n\n## 與雙曲函數的關係\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=10 \"编辑章节：與雙曲函數的關係\")\\]\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3f\/Cartesian_hyperbolic_triangle.svg\/250px-Cartesian_hyperbolic_triangle.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Cartesian_hyperbolic_triangle.svg)\n\n在[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")(方程\n\ny\n\n\\=\n\n1\n\nx\n\n{\\\\displaystyle y={\\\\frac {1}{x}}}\n\n![{\\\\displaystyle y={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0871f6114093b98d171970f2974952524b02d1b)\n\n)下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")*u {\\\\displaystyle u} ![{\\\\displaystyle u}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)*的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")(紅色)。這個三角形的邊分別是[雙曲函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 \"雙曲函數\")中\n\n[cosh {\\\\displaystyle \\\\cosh } ![{\\\\displaystyle \\\\cosh }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/011ccafd311d38f9bbc0fcf3f7b13f7d81469d84)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E9%A4%98%E5%BC%A6 \"雙曲餘弦\")\n\n和\n\n[sinh {\\\\displaystyle \\\\sinh } ![{\\\\displaystyle \\\\sinh }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb6649e190c30e91b280cc02b27acdfe00055e58)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E6%AD%A3%E5%BC%A6 \"雙曲正弦\")\n\n的\n\n2\n\n{\\\\displaystyle {\\\\sqrt {2}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\sqrt {2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff)\n\n倍。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/b\/bc\/Hyperbolic_functions-2.svg\/250px-Hyperbolic_functions-2.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Hyperbolic_functions-2.svg)\n\n射線出原點交[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")\n\nx\n\n2\n\n−\n\ny\n\n2\n\n\\=\n\n1\n\n{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x^{2}\\\\ -\\\\ y^{2}\\\\ =\\\\ 1}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x^{2}\\\\ -\\\\ y^{2}\\\\ =\\\\ 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fc2ff17ec3621153664213260986ed1dfad5bf80)\n\n於點\n\n(\n\ncosh\n\na\n\n,\n\nsinh\n\na\n\n)\n\n{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle (\\\\cosh \\\\,a,\\\\,\\\\sinh \\\\,a)}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle (\\\\cosh \\\\,a,\\\\,\\\\sinh \\\\,a)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/91b1a06ba0c78f08e6f7435751a74587ba2774c0)\n\n，這裡的\n\na\n\n{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle a}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle a}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c5f7e8e9e4ccfbf1f3f9e920dacf9c4250c1e164)\n\n是射線、雙曲線和\n\nx\n\n{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a6f6eaddec053fdd1c4a73fd001e579241d248a8)\n\n軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。\n\n在18世紀，[約翰·海因里希·蘭伯特](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E7%BF%B0%C2%B7%E6%B5%B7%E5%9B%A0%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E5%85%B0%E4%BC%AF%E7%89%B9 \"约翰·海因里希·兰伯特\")介入[雙曲函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 \"雙曲函數\")[\\[17\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-19)，並計算[雙曲幾何](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95 \"双曲几何\")中[雙曲三角形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 \"雙曲三角形\")的面積[\\[18\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-20)。對數函數是在[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")x y \\= 1 {\\\\displaystyle xy=1} ![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y \\= x {\\\\displaystyle y=x} ![{\\\\displaystyle y=x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77)上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")，即要形成指定[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")u {\\\\displaystyle u} ![{\\\\displaystyle u}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)，在漸近線即x或y軸上需要有的x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)或y {\\\\displaystyle y} ![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值。顯見這裡的底邊是( e u \\+ e − u ) 2 2 {\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}+e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}} ![{\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}+e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f549b97e4cb52d6c3cfe8fde1ff4bed25dc39a50)，垂線是( e u − e − u ) 2 2 {\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}-e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}} ![{\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}-e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88ce3f07a6794311b5fb0bb5dda043bf3be712cb)。\n\n通過旋轉和縮小[線性變換](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 \"线性变换\")，得到[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")下的情況，有：\n\n- cosh\n  \n  ⁡\n  \n  x\n  \n  \\=\n  \n  e\n  \n  x\n  \n  \\+\n  \n  e\n  \n  −\n  \n  x\n  \n  2\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\cosh x={\\\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\cosh x={\\\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aadfb8f7ca46307b22bbc2a582eefe7c538f76e7)\n- sinh\n  \n  ⁡\n  \n  x\n  \n  \\=\n  \n  e\n  \n  x\n  \n  −\n  \n  e\n  \n  −\n  \n  x\n  \n  2\n  \n  {\\\\displaystyle \\\\sinh x={\\\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}\n  \n  ![{\\\\displaystyle \\\\sinh x={\\\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d04165b783b3e1f882a8d31ebe803180ed55f604)\n\n[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")中雙曲線扇形的面積是對應[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")x y \\= 1 {\\\\displaystyle xy=1} ![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下雙曲角的1 2 {\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{2}}} ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55)。\n\n## 連分數\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=11 \"编辑章节：連分數\")\\]\n\n儘管自然對數沒有簡單的[連分數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8 \"連分數\")，但有一些[廣義連分數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 \"廣義連分數（页面不存在）\")如:\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n\\=\n\nx\n\n1\n\n1\n\n−\n\nx\n\n2\n\n2\n\n\\+\n\nx\n\n3\n\n3\n\n−\n\nx\n\n4\n\n4\n\n\\+\n\nx\n\n5\n\n5\n\n−\n\n⋯\n\n\\=\n\nx\n\n1\n\n−\n\n0\n\nx\n\n\\+\n\n1\n\n2\n\nx\n\n2\n\n−\n\n1\n\nx\n\n\\+\n\n2\n\n2\n\nx\n\n3\n\n−\n\n2\n\nx\n\n\\+\n\n3\n\n2\n\nx\n\n4\n\n−\n\n3\n\nx\n\n\\+\n\n4\n\n2\n\nx\n\n5\n\n−\n\n4\n\nx\n\n\\+\n\n⋱\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(1+x)&={\\\\frac {x^{1}}{1}}-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-{\\\\frac {x^{4}}{4}}+{\\\\frac {x^{5}}{5}}-\\\\cdots \\\\\\\\&={\\\\cfrac {x}{1-0x+{\\\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(1+x)&={\\\\frac {x^{1}}{1}}-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-{\\\\frac {x^{4}}{4}}+{\\\\frac {x^{5}}{5}}-\\\\cdots \\\\\\\\&={\\\\cfrac {x}{1-0x+{\\\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/723beb84a823566c37ab560d8b4f0a0bab04805b)\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\nx\n\ny\n\n)\n\n\\=\n\nx\n\ny\n\n\\+\n\n1\n\nx\n\n2\n\n\\+\n\n1\n\nx\n\n3\n\ny\n\n\\+\n\n2\n\nx\n\n2\n\n\\+\n\n2\n\nx\n\n5\n\ny\n\n\\+\n\n3\n\nx\n\n2\n\n\\+\n\n⋱\n\n\\=\n\n2\n\nx\n\n2\n\ny\n\n\\+\n\nx\n\n−\n\n(\n\n1\n\nx\n\n)\n\n2\n\n3\n\n(\n\n2\n\ny\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n−\n\n(\n\n2\n\nx\n\n)\n\n2\n\n5\n\n(\n\n2\n\ny\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n−\n\n(\n\n3\n\nx\n\n)\n\n2\n\n7\n\n(\n\n2\n\ny\n\n\\+\n\nx\n\n)\n\n−\n\n⋱\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {x}{y}}\\\\right)&={\\\\cfrac {x}{y+{\\\\cfrac {1x}{2+{\\\\cfrac {1x}{3y+{\\\\cfrac {2x}{2+{\\\\cfrac {2x}{5y+{\\\\cfrac {3x}{2+\\\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\\\\\&={\\\\cfrac {2x}{2y+x-{\\\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\\\ddots }}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {x}{y}}\\\\right)&={\\\\cfrac {x}{y+{\\\\cfrac {1x}{2+{\\\\cfrac {1x}{3y+{\\\\cfrac {2x}{2+{\\\\cfrac {2x}{5y+{\\\\cfrac {3x}{2+\\\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\\\\\&={\\\\cfrac {2x}{2y+x-{\\\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\\\ddots }}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e10e8545fe0192e1696b4f3ee35811dd8a769e9b)\n\n這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。\n\n例如，因為2 \\= 1\\.25 3 × 1\\.024 {\\\\displaystyle 2=1.25^{3}\\\\times 1.024} ![{\\\\displaystyle 2=1.25^{3}\\\\times 1.024}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a69a8d5baabbb41b99617ca9edf3f57d9f0bf686)，[2的自然對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/2%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"2的自然對數\")可以計算為:\n\nln\n\n⁡\n\n2\n\n\\=\n\n3\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n1\n\n4\n\n)\n\n\\+\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n3\n\n125\n\n)\n\n\\=\n\n6\n\n9\n\n−\n\n1\n\n2\n\n27\n\n−\n\n2\n\n2\n\n45\n\n−\n\n3\n\n2\n\n63\n\n−\n\n⋱\n\n\\+\n\n6\n\n253\n\n−\n\n3\n\n2\n\n759\n\n−\n\n6\n\n2\n\n1265\n\n−\n\n9\n\n2\n\n1771\n\n−\n\n⋱\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 2&=3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {6}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {6}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 2&=3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {6}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {6}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e43156608242f8e611672c9c427ff20949003adf)\n\n進而，因為10 \\= 1\\.25 10 × 1\\.024 3 {\\\\displaystyle 10=1.25^{10}\\\\times 1.024^{3}} ![{\\\\displaystyle 10=1.25^{10}\\\\times 1.024^{3}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/84615852b232d67b0fa2e9868a512094857e8f31)，10的自然對數可以計算為:\n\nln\n\n⁡\n\n10\n\n\\=\n\n10\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n1\n\n4\n\n)\n\n\\+\n\n3\n\nln\n\n⁡\n\n(\n\n1\n\n\\+\n\n3\n\n125\n\n)\n\n\\=\n\n20\n\n9\n\n−\n\n1\n\n2\n\n27\n\n−\n\n2\n\n2\n\n45\n\n−\n\n3\n\n2\n\n63\n\n−\n\n⋱\n\n\\+\n\n18\n\n253\n\n−\n\n3\n\n2\n\n759\n\n−\n\n6\n\n2\n\n1265\n\n−\n\n9\n\n2\n\n1771\n\n−\n\n⋱\n\n.\n\n{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 10&=10\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {20}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {18}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 10&=10\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {20}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {18}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/df078fe09c406d7d837f3f3b28a2c860a8d592e6)\n\n## 複數對數\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=12 \"编辑章节：複數對數\")\\]\n\n主条目：[複數對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"複數對數\")\n\n[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")可以擴展為對任何複數x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)得出複數值為e x {\\\\displaystyle e^{x}} ![{\\\\displaystyle e^{x}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)的函數，只需要簡單使用*x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在*x {\\\\displaystyle x} ![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*使得e x \\= 0 {\\\\displaystyle e^{x}=0} ![{\\\\displaystyle e^{x}=0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7c16101b4eb2d20685091ec65f9e85d5a3e18425)；並且有著e 2 π i \\= 1 \\= e 0 {\\\\displaystyle e^{2\\\\pi i}=1=e^{0}} ![{\\\\displaystyle e^{2\\\\pi i}=1=e^{0}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9b7824793c7c837d6bd582f91df6e8cd0a274e65)。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，e z \\= e z \\+ 2 n π i {\\\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\\\pi i}} ![{\\\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\\\pi i}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/59991ce6a41a083a5a155b93ef1216ccebd39b7e)，對於所有複數z {\\\\displaystyle z} ![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)和整數n {\\\\displaystyle n} ![{\\\\displaystyle n}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)。\n\n所以對數不能定義在整個[複平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"複平面\")上，並且它是[多值函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A4%9A%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0 \"多值函数\")，就是說任何複數對數都可以增加2 π i {\\\\displaystyle 2\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle 2\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在[切割平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2#%E5%88%87%E5%89%B2%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"複平面\")上是單值函數。例如，log ⁡ i \\= 1 2 π i {\\\\displaystyle \\\\log i={\\\\frac {1}{2}}\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle \\\\log i={\\\\frac {1}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/acc8650b2ff58c60aaab5f1242730871d4c5121f)或5 2 π i {\\\\displaystyle {\\\\frac {5}{2}}\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {5}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/70df664443ab75415d0c19045c884e2efe8aefcc)或− 3 2 π i {\\\\displaystyle -{\\\\frac {3}{2}}\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle -{\\\\frac {3}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fa112e34cd5b242ba68ce0a4a1c7c0046be0c9f3)等等；儘管i 4 \\= 1 {\\\\displaystyle i^{4}=1} ![{\\\\displaystyle i^{4}=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e290e918d282a25fe61c1eb4162696c2806b6b68)，4 log \\= i {\\\\displaystyle 4\\\\log =i} ![{\\\\displaystyle 4\\\\log =i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/999ba580087a47c8271fd87fa06be38a2267bf61)不能定義為2 π i {\\\\displaystyle 2\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle 2\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)或10 π i {\\\\displaystyle 10\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle 10\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6fc7dbdbb1836dc91393769b5ec62584c88cb488)或− 6 π i {\\\\displaystyle -6\\\\pi i} ![{\\\\displaystyle -6\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0ee3fa887fc256adda468beb26a5af52732c070)，以此類推。\n\n- 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖\n- [![z=Re(ln(x+iy))](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/c8\/Natural_Logarithm_Re.svg\/250px-Natural_Logarithm_Re.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Re.svg \"z=Re(ln(x+iy))\")\n  *z*\\=Re(ln(x+iy))\n- [![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/37\/Natural_Logarithm_Im_Abs.svg\/250px-Natural_Logarithm_Im_Abs.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Im_Abs.svg)\n- [![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/74\/Natural_Logarithm_Abs.svg\/250px-Natural_Logarithm_Abs.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Abs.svg)\n- [![前三圖的疊加](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/2\/29\/Natural_Logarithm_All.svg\/250px-Natural_Logarithm_All.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_All.svg \"前三圖的疊加\")\n  前三圖的疊加\n\n### 主值定義\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=13 \"编辑章节：主值定義\")\\]\n\n對於每個非0複數z \\= x \\+ y i {\\\\displaystyle z=x+yi} ![{\\\\displaystyle z=x+yi}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/639f77c05613faa61f43ee28a4d5ca7c35fffa38)，主值log ⁡ z {\\\\displaystyle \\\\log z} ![{\\\\displaystyle \\\\log z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)是虛部位於區間( − π , π \\] {\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]} ![{\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內的對數。表達式log ⁡ 0 {\\\\displaystyle \\\\log 0} ![{\\\\displaystyle \\\\log 0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c1b275ca0bbc82c90acc9ab79286340b93f555e7)不做定義，因為沒有複數w {\\\\displaystyle w} ![{\\\\displaystyle w}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)滿足e w \\= 0 {\\\\displaystyle e^{w}=0} ![{\\\\displaystyle e^{w}=0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/98117ff5f5190893ea558bd99c544dd973eafbcd)。\n\n要對log ⁡ z {\\\\displaystyle \\\\log z} ![{\\\\displaystyle \\\\log z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)給出一個公式，可以先將z {\\\\displaystyle z} ![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)表達為[極坐標](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87 \"极坐标\")形式，z \\= r e i θ {\\\\displaystyle z=re^{i\\\\theta }} ![{\\\\displaystyle z=re^{i\\\\theta }}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e5b36ddd965193c2b7d6ea24a7c3678814d0dc8d)。給定z {\\\\displaystyle z} ![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向θ {\\\\displaystyle \\\\theta } ![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)增加2 π {\\\\displaystyle 2\\\\pi } ![{\\\\displaystyle 2\\\\pi }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)的整數倍，所以為了保證唯一性而要求*θ {\\\\displaystyle \\\\theta } ![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)*位於區間( − π , π \\] {\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]} ![{\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內；這個*θ {\\\\displaystyle \\\\theta } ![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)*叫做幅角的主值，有時寫為arg ⁡ z {\\\\displaystyle \\\\operatorname {arg} z} ![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {arg} z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f08b2c439c1afe3614ac0029eab9720ab9fcd23)或atan ⁡ 2 ( y , x ) {\\\\displaystyle \\\\operatorname {atan} 2(y,x)} ![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {atan} 2(y,x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1c0d4d04d7cbb402d184082367a90edb34c15063)。則對數的主值可以定義為[\\[19\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-Sarason-21)：\n\nLog\n\n⁡\n\nz\n\n:=\n\nln\n\nr\n\n\\+\n\ni\n\nθ\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\n\\|\n\nz\n\n\\|\n\n\\+\n\ni\n\nArg\n\n⁡\n\nz\n\n\\=\n\nln\n\n⁡\n\nx\n\n2\n\n\\+\n\ny\n\n2\n\n\\+\n\ni\n\natan2\n\n⁡\n\n(\n\ny\n\n,\n\nx\n\n)\n\n.\n\n{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} z:={\\\\text{ln }}r+i\\\\theta =\\\\ln \\|z\\|+i\\\\operatorname {Arg} z=\\\\operatorname {ln} {\\\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\\\operatorname {atan2} (y,x).}\n\n![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} z:={\\\\text{ln }}r+i\\\\theta =\\\\ln \\|z\\|+i\\\\operatorname {Arg} z=\\\\operatorname {ln} {\\\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\\\operatorname {atan2} (y,x).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0e166c4fa33b82a7f8371e45146f2eb604ebc4f3)\n\n例如，Log ⁡ ( − 3 i ) \\= ln ⁡ 3 − π i 2 {\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} (-3i)=\\\\ln 3-{\\\\frac {\\\\pi i}{2}}} ![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} (-3i)=\\\\ln 3-{\\\\frac {\\\\pi i}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3ee2b48a0390da895a6c8c25a03fec73427b071b)。\n\n## 科学應用\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=14 \"编辑章节：科学應用\")\\]\n\n自然指数有应用於表达[放射性衰變](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%94%BE%E5%B0%84%E6%80%A7%E8%A1%B0%E8%AE%8A \"放射性衰變\")的过程，如放射性原子数目的[微分方程](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B \"微分方程\")N {\\\\displaystyle N} ![{\\\\displaystyle N}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)随时间变化率d N d t \\= − p N {\\\\displaystyle {\\\\frac {dN}{dt}}=-pN} ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {dN}{dt}}=-pN}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ecfe7b6c395a603fd24b8901e9b2e84e52030115)，常数p {\\\\displaystyle p} ![{\\\\displaystyle p}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)为原子衰变概率，积分得N ( t ) \\= N ( 0 ) exp ⁡ ( − p t ) {\\\\displaystyle N(t)=N(0)\\\\exp(-pt)} ![{\\\\displaystyle N(t)=N(0)\\\\exp(-pt)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/428a86d94fe20efd936be0cfb20a2fc4314fa45a)。\n\n## 註釋\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=15 \"编辑章节：註釋\")\\]\n\n1. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-1)**\n   根據[微積分學](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%B8 \"微積分學\")，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因\n   \n   e\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle e^{x}}\n   \n   ![{\\\\displaystyle e^{x}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)\n   \n   的值域為\n   \n   (\n   \n   0\n   \n   ,\n   \n   ∞\n   \n   )\n   \n   {\\\\displaystyle (0,\\\\infty )}\n   \n   ![{\\\\displaystyle (0,\\\\infty )}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/da17102e4ed0886686094ee531df040d2e86352a)\n   \n   ，且其為\n   \n   ln\n   \n   ⁡\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\ln x}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\ln x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)\n   \n   之反函數，故可知\n   \n   ln\n   \n   ⁡\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\ln x}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\ln x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)\n   \n   之定義域為\n   \n   (\n   \n   0\n   \n   ,\n   \n   ∞\n   \n   )\n   \n   {\\\\displaystyle (0,\\\\infty )}\n   \n   ![{\\\\displaystyle (0,\\\\infty )}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/da17102e4ed0886686094ee531df040d2e86352a)\n   \n   ，即\n   \n   ln\n   \n   ⁡\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\ln x}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\ln x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)\n   \n   在非正實數系無法定義。\n2. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-3)**\n   若要避免與底為10的[常用對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"常用對數\")\n   \n   log\n   \n   ⁡\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\log x\\\\!}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\log x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265)\n   \n   混淆，可用「全寫」\n   \n   log\n   \n   e\n   \n   ⁡\n   \n   x\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\log \\_{\\\\boldsymbol {e}}x\\\\!}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\log \\_{\\\\boldsymbol {e}}x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b85c0c9e69d51a664537251395aa6ef73dbb0591)\n   \n   。\n\n## 参考资料\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=16 \"编辑章节：参考资料\")\\]\n\n1. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-2)** 例如[哈代](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3 \"戈弗雷·哈罗德·哈代\")和[賴特](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E6%A2%85%E7%89%B9%E8%98%AD%C2%B7%E8%B3%B4%E7%89%B9 \"愛德華·梅特蘭·賴特\")所著的《數論入門》\"Introduction to the theory of numbers\" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 \"log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest.\"（log x 當然是以e為基，x的「[納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）\n2. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-4)** 證明：從1到*b*積分1\/*x*，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (*b*, 0), (*b*, 1\/*b*)}。\n3. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-5)**\n   Ernest William Hobson, [John Napier and the invention of logarithms, 1614](http:\/\/www.archive.org\/details\/johnnapierinvent00hobsiala), Cambridge: The University Press, 1914\n4. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-6)**\n   [Boyer, Carl B.](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 \"Carl Benjamin Boyer（页面不存在）\"), 14，Section \"Jobst Bürgi\", A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/John_Wiley_%26_Sons \"John Wiley & Sons\"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-471-54397-8 \"Special:BookSources\/978-0-471-54397-8\")\n5. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-7)** 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1\/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。\n6. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-8)**\n   以\n   \n   10\n   \n   1\n   \n   2\n   \n   54\n   \n   {\\\\displaystyle 10^{\\\\frac {1}{2^{54}}}}\n   \n   ![{\\\\displaystyle 10^{\\\\frac {1}{2^{54}}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/36d9dd11072280a595f5e666a4e5f06968393f15)\n   \n   這個接近1的數為基礎。\n7. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-9)**\n   [博納文圖拉·卡瓦列里](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%9A%E7%B4%8D%E6%96%87%E5%9C%96%E6%8B%89%C2%B7%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C \"博納文圖拉·卡瓦列里\")在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[定積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86 \"定积分\")：\n   \n   ∫\n   \n   0\n   \n   a\n   \n   x\n   \n   n\n   \n   d\n   \n   x\n   \n   \\=\n   \n   1\n   \n   n\n   \n   \\+\n   \n   1\n   \n   a\n   \n   n\n   \n   \\+\n   \n   1\n   \n   n\n   \n   ≥\n   \n   0\n   \n   ,\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\int \\_{0}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,a^{n+1}\\\\qquad n\\\\geq 0,}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\int \\_{0}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,a^{n+1}\\\\qquad n\\\\geq 0,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/70b05bbf6c8be79b76b81da949078352148eaed6)\n   \n   其[不定積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86 \"不定積分\")形式為：\n   \n   ∫\n   \n   x\n   \n   n\n   \n   d\n   \n   x\n   \n   \\=\n   \n   1\n   \n   n\n   \n   \\+\n   \n   1\n   \n   x\n   \n   n\n   \n   \\+\n   \n   1\n   \n   \\+\n   \n   C\n   \n   n\n   \n   ≠\n   \n   −\n   \n   1\\.\n   \n   {\\\\displaystyle \\\\int x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,x^{n+1}+C\\\\qquad n\\\\neq -1.}\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\int x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,x^{n+1}+C\\\\qquad n\\\\neq -1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3a909d97d1feaacee10f36951226e929753dad32)\n   \n   獨立發現者還有：[皮埃爾·德·費馬](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%9A%AE%E5%9F%83%E7%88%BE%C2%B7%E5%BE%B7%C2%B7%E8%B2%BB%E9%A6%AC \"皮埃爾·德·費馬\")、[罗贝瓦尔的吉尔](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%BD%97%E8%B4%9D%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%9A%84%E5%90%89%E5%B0%94&action=edit&redlink=1 \"罗贝瓦尔的吉尔（页面不存在）\")（英语：[Gilles de Roberval](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Gilles_de_Roberval \"en:Gilles de Roberval\")）和[埃萬傑利斯塔·托里拆利](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%9F%83%E8%90%AC%E5%82%91%E5%88%A9%E6%96%AF%E5%A1%94%C2%B7%E6%89%98%E9%87%8C%E6%8B%86%E5%88%A9 \"埃萬傑利斯塔·托里拆利\")。\n8. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-10)** 設a=1，x軸上\\[a,b\\]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")面積為f(b)，\\[c,d\\]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。\n9. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-11)**\n   J. J. O'Connor; E. F. Robertson, [The number e](https:\/\/web.archive.org\/web\/20120219231529\/http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/HistTopics\/e.html), The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001  \\[2009-02-02\\], （[原始内容](http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/HistTopics\/e.html)存档于2012-02-19）\n10. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-12)**\n    卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的*n*(*x*的負數冪)，由於在*x* = 0處有個[奇點](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A5%87%E7%82%B9_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6\\) \"奇点 (数学)\")，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：\n    \n    ∫\n    \n    1\n    \n    a\n    \n    x\n    \n    n\n    \n    d\n    \n    x\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    (\n    \n    a\n    \n    n\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    n\n    \n    ≠\n    \n    −\n    \n    1\\.\n    \n    {\\\\displaystyle \\\\int \\_{1}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\\\qquad n\\\\neq -1.}\n    \n    ![{\\\\displaystyle \\\\int \\_{1}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\\\qquad n\\\\neq -1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/57da64605f422f39c27b169071013c36c3334af6)\n    \n    [歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")的自然對數定義：\n    \n    ln\n    \n    ⁡\n    \n    (\n    \n    x\n    \n    )\n    \n    \\=\n    \n    lim\n    \n    n\n    \n    →\n    \n    ∞\n    \n    n\n    \n    (\n    \n    x\n    \n    1\n    \n    \/\n    \n    n\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    \\=\n    \n    lim\n    \n    n\n    \n    →\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    (\n    \n    x\n    \n    n\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    {\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(x)&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n(x^{1\/n}-1)\\\\\\\\&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow -1}{\\\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}\n    \n    ![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(x)&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n(x^{1\/n}-1)\\\\\\\\&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow -1}{\\\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c796050dbf13a5613f27d0ed1e65e49e47f9a95e)\n11. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-ReferenceA_13-0)**\n    Maor, Eli, e: The Story of a Number, [Princeton University Press](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Princeton_University_Press \"Princeton University Press\"), 2009, [ISBN 978-0-691-14134-3](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-691-14134-3 \"Special:BookSources\/978-0-691-14134-3\")\n    \n    ,sections 1, 1.\n    \n    [Eves, Howard Whitley](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Howard_Eves&action=edit&redlink=1 \"Howard Eves（页面不存在）\"), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, [ISBN 978-0-03-029558-4](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-03-029558-4 \"Special:BookSources\/978-0-03-029558-4\")\n    \n    , section 9-3\n    \n    [Boyer, Carl B.](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 \"Carl Benjamin Boyer（页面不存在）\"), A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/John_Wiley_%26_Sons \"John Wiley & Sons\"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-471-54397-8 \"Special:BookSources\/978-0-471-54397-8\")\n    \n    , p. 484, 489\n12. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-14)**\n    (\n    \n    1\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    )\n    \n    x\n    \n    \\=\n    \n    (\n    \n    (\n    \n    1\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    )\n    \n    n\n    \n    )\n    \n    x\n    \n    n\n    \n    {\\\\displaystyle \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{x}=\\\\left(\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right)^{\\\\frac {x}{n}}}\n    \n    ![{\\\\displaystyle \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{x}=\\\\left(\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right)^{\\\\frac {x}{n}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7882e11f940d70266b3946bf81da4c0d72208890)\n    \n    在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x\/n。\n13. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-LangIV.2_15-0)**\n    Lang [1997](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#CITEREFLang1997), section IV.2\n14. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-16)**\n    [Wolfram, Stephen](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%B2%83%E7%88%BE%E5%A4%AB%E5%8B%92%E5%A7%86 \"史蒂芬·沃爾夫勒姆\"). [\"Calculation of *d\/dx(Log(b,x))*\"](https:\/\/web.archive.org\/web\/20110718075346\/http:\/\/www.wolframalpha.com\/input\/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29). from [Wolfram Alpha](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wolfram_Alpha \"Wolfram Alpha\"): Computational Knowledge Engine, [Wolfram Research](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wolfram_Research \"Wolfram Research\"). （[原始内容](http:\/\/www.wolframalpha.com\/input\/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29)存档于2011-07-18） （英语）.\n15. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-17)**\n    [Kline, Morris](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Morris_Kline&action=edit&redlink=1 \"Morris Kline（页面不存在）\"), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: [Dover Publications](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Dover_Publications&action=edit&redlink=1 \"Dover Publications（页面不存在）\"), 1998, [ISBN 978-0-486-40453-0](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-486-40453-0 \"Special:BookSources\/978-0-486-40453-0\")\n    \n    , p. 386\n16. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-18)**\n    Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, [Princeton University Press](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Princeton_University_Press \"Princeton University Press\"), 2003, [ISBN 978-0-691-09983-5](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-691-09983-5 \"Special:BookSources\/978-0-691-09983-5\")\n    \n    , sections 11.5 and 13.8\n17. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-19)**\n    Eves, Howard, [Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics](http:\/\/books.google.com\/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59), Courier Dover Publications: 59, 2012, [ISBN 9780486132204](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/9780486132204 \"Special:BookSources\/9780486132204\"), \"We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.\"\n18. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-20)**\n    Ratcliffe, John, [Foundations of Hyperbolic Manifolds](https:\/\/web.archive.org\/web\/20140112001533\/http:\/\/books.google.com\/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99), Graduate Texts in Mathematics **149**, Springer: 99, 2006  \\[2014-03-28\\], [ISBN 9780387331973](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/9780387331973 \"Special:BookSources\/9780387331973\"), （[原始内容](http:\/\/books.google.com\/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99)存档于2014-01-12）, \"That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph *Theorie der Parallellinien*, which was published posthumously in 1786.\"\n19. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-Sarason_21-0)** Sarason, Section IV.9.\n\n## 延伸阅读\n\\[[编辑](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=17 \"编辑章节：延伸阅读\")\\]\n\n- John B. Conway, *Functions of one complex variable*, 2nd edition, Springer, 1978.\n- [Serge Lang](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%97%A5%C2%B7%E5%85%B0 \"塞尔日·兰\"), *Complex analysis*, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.\n- Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc., 1964.\n- Donald Sarason, *[Complex function theory](http:\/\/books.google.com\/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw) （[页面存档备份](https:\/\/web.archive.org\/web\/20140111075715\/http:\/\/books.google.com\/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw)，存于[互联网档案馆](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 \"互联网档案馆\")）*, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.\n- [E. T. Whittaker](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=E._T._Whittaker&action=edit&redlink=1 \"E. T. Whittaker（页面不存在）\")（英语：[E. T. Whittaker](https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/E._T._Whittaker \"en:E. T. Whittaker\")） and [G. N. Watson](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%96%AC%E6%B2%BB%C2%B7%E5%A5%88%E7%B6%AD%E7%88%BE%C2%B7%E6%B2%83%E6%A3%AE \"喬治·奈維爾·沃森\"), *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.\n\n![](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:CentralAutoLogin\/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1)\n\n检索自“<https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=自然對數&oldid=91225956>”\n\n[分类](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:Categories \"Special:Categories\")：\n\n- [对数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:%E5%AF%B9%E6%95%B0 \"Category:对数\")\n- [基本特殊函数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%89%B9%E6%AE%8A%E5%87%BD%E6%95%B0 \"Category:基本特殊函数\")\n- [E (数学常数)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:E_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\\) \"Category:E (数学常数)\")\n- [一元运算](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:%E4%B8%80%E5%85%83%E8%BF%90%E7%AE%97 \"Category:一元运算\")\n\n隐藏分类：\n\n- [CS1英语来源 (en)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:CS1%E8%8B%B1%E8%AF%AD%E6%9D%A5%E6%BA%90_\\(en\\) \"Category:CS1英语来源 (en)\")\n- [含有英語的條目](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Category:%E5%90%AB%E6%9C%89%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E7%9A%84%E6%A2%9D%E7%9B%AE \"Category:含有英語的條目\")\n\n- 本页面最后修订于2026年1月23日 (星期五) 19:22。\n- 本站的全部文字在[知识共享 署名-相同方式共享 4.0协议](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:CC_BY-SA_4.0%E5%8D%8F%E8%AE%AE%E6%96%87%E6%9C%AC \"Wikipedia:CC BY-SA 4.0协议文本\")之条款下提供，附加条款亦可能应用。（请参阅[使用条款](https:\/\/foundation.wikimedia.org\/wiki\/Special:MyLanguage\/Policy:Terms_of_Use)）  \n   Wikipedia®和维基百科标志是[维基媒体基金会](https:\/\/wikimediafoundation.org\/)的注册商标；维基™是维基媒体基金会的商标。  \n   维基媒体基金会是按美国国內稅收法501(c)(3)登记的[非营利慈善机构](https:\/\/donate.wikimedia.org\/wiki\/Special:MyLanguage\/Tax_deductibility)。\n\n- [隐私政策](https:\/\/foundation.wikimedia.org\/wiki\/Special:MyLanguage\/Policy:Privacy_policy)\n- [关于维基百科](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wikipedia:%E5%85%B3%E4%BA%8E)\n- 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MediaWiki](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/resources\/assets\/mediawiki_compact.svg)](https:\/\/www.mediawiki.org\/)\n\n搜索\n\n开关目录\n\n自然對數\n\n62种语言\n\n[添加话题](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8)","attrs_readable_markdown":"[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3e\/Mplwp_ln.svg\/330px-Mplwp_ln.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Mplwp_ln.svg)\n\n自然對數![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)的[函數圖像](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F \"函数图像\")\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/35\/Log-def.svg\/330px-Log-def.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Log-def.svg)\n\n自然对数![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)的積分定義\n\n**自然对数**（英語：Natural logarithm）為以[数学常数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0 \"数学常数\")[![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/E_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\\) \"E (数学常数)\")為[底數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%95%E6%95%B0_\\(%E5%AF%B9%E6%95%B0\\) \"底数 (对数)\")的[对数函数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 \"对数函数\")，標記作![{\\\\displaystyle \\\\ln x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)或![{\\\\displaystyle \\\\log \\_{e}x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b74001a2ed34b09d34925acf521a9d5fe2705b0a)，其[反函数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B8 \"反函數\")為[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")![{\\\\displaystyle e^{x}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)。[\\[註 1\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-1)\n\n自然[对数积分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86 \"对数积分\")定義為對任何正[實數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%A6%E6%95%B8 \"實數\")![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)，由![{\\\\displaystyle 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)到![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)所圍成，![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)[曲線下的面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%A9%8D%E5%88%86 \"積分\")。如果![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)小於1，則計算面積為負數。\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln x=\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {dt}{t}}\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0cf5babc054c34c4d39919f5f55f9c95af9cf031)\n\n![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)則定義為唯一的實數![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得![{\\\\displaystyle \\\\ln x=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1aa887840dd8f2c3044838f1f16c6441c17d8f42)。\n\n自然对数一般表示為![{\\\\displaystyle \\\\ln x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0634f0148eb7149a10e09fcb4bf0975eba8f92a5)，數學中亦有以![{\\\\displaystyle \\\\log x\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265)表示自然對數。[\\[1\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-2)[\\[註 2\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-3)\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/cd\/Hyperbolic_sector.svg\/250px-Hyperbolic_sector.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Hyperbolic_sector.svg)\n\n[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")是[笛卡爾平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"笛卡尔平面\")![{\\\\displaystyle \\\\{(x,y)\\\\}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f352e04e23fa05b4f06df4d7d86c052da0420e99)上的一個區域，由從原點到![{\\\\textstyle (a,{\\\\frac {1}{a}})}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5577951ae3c642b5c1826cace146c124e74ba23e)和![{\\\\textstyle (b,{\\\\frac {1}{b}})}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/68430db32917c6ca965d7a3d4e45457af92519e0)的射線，以及[雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A \"雙曲線\")![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)圍成。在標準位置的雙曲線扇形有![{\\\\displaystyle a=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)且![{\\\\displaystyle b\\>1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b)，它的面積為![{\\\\displaystyle \\\\ln(b)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c1478e03c7ceb988b4af61f838234692f2b183b1)[\\[2\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-4)，此時雙曲線扇形對應正[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/4\/47\/Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg\/250px-Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg)\n\n當直角雙曲線下的兩段面積相等時，![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)的值呈[等比數列](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B8%E5%88%97 \"等比數列\")，![{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}=k}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/250efff44fa3e372308dd42351c77d37fa544126)，![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值也呈等比數列，![{\\\\textstyle {\\\\frac {x\\_{2}}{x\\_{1}}}={\\\\frac {x\\_{1}}{x\\_{0}}}={\\\\frac {1}{k}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b5daa310ee1515618b0e69e66969c2391548805f)。\n\n[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")在1614年[\\[3\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-5)以及[约斯特·比尔吉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 \"约斯特·比尔吉\")在6年後[\\[4\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-6)，分別發表了獨立編制的[對數表](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E8%A1%A8 \"对数表\")，當時通過對接近1的底數的大量乘[冪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%86%AA \"冪\")運算，來找到指定範圍和精度的[對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"對數\")和所對應的真數。當時還沒出現[有理數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 \"有理数\")冪的概念，按後世的觀點，[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")的底數0.999999910000000相當接近![{\\\\textstyle {\\\\frac {1}{e}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fe63386d4ee481420baab9ee462769a274ed7fa4)[\\[5\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-7)，而[约斯特·比尔吉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 \"约斯特·比尔吉\")的底數1.000110000相當接近自然對數的底數![{\\\\displaystyle e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[約翰·納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[亨利·布里格斯](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E4%BA%A8%E5%88%A9%C2%B7%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%96%AF&action=edit&redlink=1 \"亨利·布里格斯（页面不存在）\")建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[\\[6\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-8)於1624年部份完成了[常用對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"常用對數\")表的編制。\n\n形如![{\\\\displaystyle f(x)=x^{p}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/287686868142439d014dfc66870fcb01efab941b)的曲線都有一個代數[反導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8D%E5%B0%8E%E6%95%B8 \"反導數\")，除了特殊情況![{\\\\displaystyle p=-1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f21ac8555bb1dfc99be2fa1f5120d4885f343e8)對應於雙曲線的[弓形面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1 \"弓形面積（页面不存在）\")，即[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")；其他情況都由1635年發表的[卡瓦列里弓形面積公式](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1 \"卡瓦列里弓形面積公式（页面不存在）\")給出[\\[7\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-9)，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的[阿基米德](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7 \"阿基米德\")完成（[拋物線的弓形面積](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8B%8B%E7%89%A9%E7%B7%9A%E7%9A%84%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D \"拋物線的弓形面積\")），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年[圣文森特的格列高利](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%9C%A3%E6%96%87%E6%A3%AE%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%A0%BC%E5%88%97%E9%AB%98%E5%88%A9&action=edit&redlink=1 \"圣文森特的格列高利（页面不存在）\")將對數聯繫於雙曲線![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)的弓形面積，他發現x軸上![{\\\\displaystyle \\[a,b\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")同![{\\\\displaystyle \\[c,d\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d85b3b21d6d891d97f85e263d394e3c90287586f)對應的扇形，在![{\\\\textstyle {\\\\frac {a}{b}}={\\\\frac {c}{d}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/40b8b02893772e7f72dbec7a37b0a29d8dd53666)時面積相同，這指出了雙曲線從![{\\\\displaystyle x=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)到![{\\\\displaystyle x=t}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f6c0426ebd38c267805e4308c63f11cb976e4963)的積分![{\\\\displaystyle f(t)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6)滿足[\\[8\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-10)：\n\n![{\\\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e5524cc6602864dea1790c4837747285d864d12c)\n\n1649年，[萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E8%90%A8%E6%8B%89%E8%90%A8%E7%9A%84%E9%98%BF%E5%B0%94%E4%B8%B0%E6%96%AF%C2%B7%E5%AE%89%E4%B8%9C%E5%B0%BC%E5%A5%A5&action=edit&redlink=1 \"萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（页面不存在）\")將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，[伊薩克·牛頓](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BC%8A%E8%90%A8%E5%85%8B%C2%B7%E7%89%9B%E9%A1%BF \"伊萨克·牛顿\")推廣了[二項式定理](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 \"二项式定理\")，他將![{\\\\textstyle {\\\\frac {1}{1+x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aefe1ccc97077c50816a247269eb2d1c18a14b72)展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於[尼古拉斯·麥卡托](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%E6%96%AF%C2%B7%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98 \"尼古拉斯·麥卡托\")在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[\\[9\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-11)，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的[麥卡托級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"麥卡托級數\")。\n\n大約1730年，[歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")定義互為逆函數的[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")和自然對數為[\\[10\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-12)[\\[11\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-ReferenceA-13)：\n\n![{\\\\displaystyle e^{x}=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {x}{n}}\\\\right)^{n},}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb8ddbfe425a744c0f8e5df2f32d0b4205b04e71)\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/746bb68f6df1407a9935f1aa611084b3fd6fc5e9)\n\n1742年[威廉·琼斯](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E7%90%BC%E6%96%AF_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6\\) \"威廉·琼斯 (数学家)\")發表了現在的[冪](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%86%AA \"冪\")[指數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B0 \"指数\")概念[\\[12\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-14)。\n\n[歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")定義自然對數為[序列的極限](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 \"序列的极限\")：\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n\\\\left(x^{\\\\frac {1}{n}}-1\\\\right).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4f70dff77adffb727f2a442319343749a795902c)\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(a)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9ddec5ff9f887294161d0cf715b0451b0edf8193)正式定義為[積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%A9%8D%E5%88%86 \"積分\")，\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(a)=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\,dx.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8adff47b619ff4663410ba2c44033f4614cf0657)\n\n這個函數為對數是因滿足[對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"對數\")的基本性質:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).\\\\,\\\\!}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4c921687b577c8089b416eb37db454755a8dd7af)\n\n這可以通過將定義了![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b06642442f5d9320df4962f16a8e16ed5b95ca3b)的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行[換元](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 \"换元积分法\")![{\\\\displaystyle x=ta}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/898bef5176cf2a1892523fc525e2c2a155e31b7b)來證實:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(ab)=\\\\int \\_{1}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{a}^{ab}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx=\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{at}}\\\\;d(at)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/12ef1c9479821157ad3b9a708c2cb2460f933ad1)\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\int \\_{1}^{a}{\\\\frac {1}{x}}\\\\;dx\\\\;+\\\\int \\_{1}^{b}{\\\\frac {1}{t}}\\\\;dt=\\\\ln(a)+\\\\ln(b).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d217cf5aeef9397a144fb99b5cfc7ee8a53adaa1)\n\n冪公式![{\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=r\\\\ln(t)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5e7ad5857976c3e6c7cdb053fecf7c1e6cc1cdd9)可如下推出:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(t^{r})=\\\\int \\_{1}^{t^{r}}{\\\\frac {1}{x}}dx=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}d\\\\left(u^{r}\\\\right)=\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u^{r}}}\\\\left(ru^{r-1}\\\\,du\\\\right)=r\\\\int \\_{1}^{t}{\\\\frac {1}{u}}\\\\,du=r\\\\ln(t).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c19f7c2e9451026cfa4f39aacc2425d830baeedd)\n\n第二個等式使用了[換元](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 \"换元积分法\")![{\\\\displaystyle u=x^{\\\\frac {1}{r}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3b6e454948b3240c90efb616937e535e3ff4d5d6)。\n\n自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)=-\\\\lim \\_{\\\\epsilon \\\\to 0}\\\\int \\_{\\\\epsilon }^{\\\\infty }{\\\\frac {dt}{t}}\\\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\\\right).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ee0d6258fcea4a3d9e9a9e4cd570d5477cc0fbd5)\n\n- ![{\\\\displaystyle \\\\ln(1)=\\\\int \\_{1}^{1}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt=0\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bd3a9c22f19fa8abd4d37de5cceecdff4634f104)\n- ![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {ln} (-1)=i\\\\pi \\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2b8153d0afcb10d5b4b310c85592aac814d9be48)\n\n(參見[複數對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"複數對數\"))\n\n- ![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)\\<\\\\ln(y)\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad 0\\<x\\<y\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/43bf10d984b9ec846a4c4ab09064f69dc2fcd588)\n- ![{\\\\displaystyle \\\\lim \\_{x\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+x)}{x}}=1\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/afcec75678f93c5ab7554b3a39a540f2f58020ee)\n- ![{\\\\displaystyle \\\\ln(x^{y})=y\\\\,\\\\ln(x)\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c6ef1a589f92ea7cef6f2fa1d9284a9354f1a3d6)\n- ![{\\\\displaystyle {\\\\frac {x-1}{x}}\\\\leq \\\\ln(x)\\\\leq x-1\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\>0\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1d7633647306612a5dba05eb1069b7d0464f8393)\n- ![{\\\\displaystyle \\\\ln {(1+x^{\\\\alpha })}\\\\leq \\\\alpha x\\\\quad {\\\\rm {for}}\\\\quad x\\\\geq 0,\\\\alpha \\\\geq 1\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d1afe552f3b880d10d4746a1b53681bfd6702c7d)\n\n| 證明 |\n|---|\n| ![{\\\\displaystyle \\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)}{h}}=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(1+h)-\\\\ln 1}{h}}={\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln x{\\\\Bigg \\|}\\_{x=1}=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f95e0831f1228ba61e98cd96eac29e4d55dca89d) |\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/5\/57\/Logarithm_derivative.svg\/330px-Logarithm_derivative.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Logarithm_derivative.svg)\n\n自然對數的圖像和它在![{\\\\displaystyle x=1.5}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/073413584cae74e89a5a3128150905b9aff34108)處的切線。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/73\/LogTay.svg\/330px-LogTay.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:LogTay.svg)\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)的泰勒多項式只在![{\\\\displaystyle -1\\<x\\\\leq 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6b3146f6393631821d264b39f7bf2a9fc1e60cb0)範圍內有逐步精確的近似。\n\n自然對數的[導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8E%E6%95%B8 \"導數\")為\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}.\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/450bbcf4fc982e5c9d6244746c48bbf1dc5cb174)\n\n證明一（微積分第一基本定理）:![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {d}{dx}}\\\\int \\_{1}^{x}{\\\\frac {1}{t}}\\\\,dt={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b5717ba13a505ab2d2deb5d9a4bf8a6e64dd05db)\n\n證明二：[按此影片](https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)（[页面存档备份](https:\/\/web.archive.org\/web\/20210402030947\/https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)，存于[互联网档案馆](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 \"互联网档案馆\")）\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln(x+h)-\\\\ln(x)}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb480bfd80181b743afe480c7e318a9a687878da)\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}{\\\\frac {\\\\ln({\\\\frac {x+h}{x}})}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/2b08aae24f97c4f91c2011a049bb0ab05c970041)\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\left\\[{\\\\frac {1}{h}}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)\\\\right\\]\\\\quad }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1)\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{h\\\\to 0}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {h}{x}}\\\\right)^{\\\\frac {1}{h}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b051744a03bf3da278c66271d52e12e986848c23)\n\n设![{\\\\displaystyle u={\\\\frac {h}{x}}\\\\Rightarrow ux=h}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/320065355f1d23bd07343e77b588ee450252ac2b)\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{h}}={\\\\frac {1}{ux}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d19b2c0f15b25a082e5d381d002dfa2c72f38efa)\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)=\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{ux}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6cf130c86e41fb21031d40a64934c8dfe081a63a)\n\n![{\\\\displaystyle =\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln \\\\left\\[(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}\\\\right\\]^{\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5a1cdcd1187e5294c22ac0293d87549d6e1eef9a)\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{u\\\\to 0}\\\\ln(1+u)^{\\\\frac {1}{u}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4bc76a790bc63e7abb9a1cce610f5c5f322e179b)\n\n设![{\\\\displaystyle n={\\\\frac {1}{u}}\\\\Rightarrow u={\\\\frac {1}{n}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1a0f27fd2ec184f1bf47cdae77799a887f58f4be)\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln(x)={\\\\frac {1}{x}}\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/31e23f18d904dd4bd0b341ad094f9d2cd5b6d52b)\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln \\\\left\\[\\\\lim \\_{n\\\\to \\\\infty }\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right\\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0e0380744b61c8586952f38a93d51089fad2b6c3)\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}\\\\ln e}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/72e07b19250f2f54213a3f9a07da3353a9e33f2f)\n\n![{\\\\displaystyle ={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fee12096bed04e8b72030794d211b2467d3b25d0)\n\n用自然對數定義的更一般的對數函數，![{\\\\displaystyle \\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {\\\\ln(x)}{\\\\ln(b)}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/52a93d813551fae4ee9a530804b1ca385e094c01)，根據其[逆函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0 \"逆函数\")即一般[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")的性質，它的導數為[\\[13\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-LangIV.2-15)[\\[14\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-16)：\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\log \\_{b}(x)={\\\\frac {1}{x\\\\ln(b)}}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/794d02caaee43f681800270031cd94aadc8192df)\n\n根據[鏈式法則](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 \"链式法则\")，以![{\\\\displaystyle f(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)為參數的自然對數的導數為\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\frac {d}{dx}}\\\\ln\\[f(x)\\]={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/4d12207bb467c5467b6f0587fd9e0f56a983e4c4)\n\n右手端的商叫做![{\\\\displaystyle f}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)的[對數導數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%B0%8E%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 \"對數導數（页面不存在）\")，通過![{\\\\displaystyle \\\\ln(f(x))}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/8e8403d6c5b2b7957e475e81100f1338049071da)的導數的方法計算![{\\\\displaystyle f'(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)叫做[對數微分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%BE%AE%E5%88%86 \"對數微分\")[\\[15\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-17)。\n\n自然對數的導數性質導致了![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)在0處的[泰勒級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 \"泰勒级数\")，也叫做[麥卡托級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"麥卡托級數\")：\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln(1+x)=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{\\\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-\\\\cdots }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/69ac92d9db1e98a32e8c4232e97a117158eba05b)\n\n對於所有![{\\\\displaystyle \\\\left\\|x\\\\right\\|\\\\leq 1,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c53ba55423fa548eed5fef83ac6af9b17326420f)但不包括![{\\\\displaystyle x=-1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a51899e84bbbb14d044de1e69f57f73f70178b4c)\n\n把![{\\\\displaystyle x-1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f1a88d34243b98b57c4df9db5724f61b59a4b9d)代入![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中，可得到![{\\\\displaystyle \\\\ln(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用[歐拉變換](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E8%AE%8A%E6%8F%9B \"二項式變換\")，可以得到對[絕對值](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC \"绝对值\")大於1的任何![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)有效的如下級數:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln {x \\\\over {x-1}}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {nx^{n}}}={1 \\\\over x}+{1 \\\\over {2x^{2}}}+{1 \\\\over {3x^{3}}}+\\\\cdots \\\\,.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9498b73b3d5be246ef64ee69e3fc6a38d6062fdd)\n\n這個級數類似於[贝利-波尔温-普劳夫公式](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%B4%9D%E5%88%A9-%E6%B3%A2%E5%B0%94%E6%B8%A9-%E6%99%AE%E5%8A%B3%E5%A4%AB%E5%85%AC%E5%BC%8F \"贝利-波尔温-普劳夫公式\")。\n\n還要注意到![{\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)是自身的逆函數，所以要生成特定數![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的自然對數，簡單把![{\\\\displaystyle x \\\\over {x-1}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)代入*![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*中。\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ln {x}=\\\\sum \\_{n=1}^{\\\\infty }{1 \\\\over {n}}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{n}=\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)+{1 \\\\over 2}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{2}+{1 \\\\over 3}\\\\left({x-1 \\\\over x}\\\\right)^{3}+\\\\cdots \\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e33cfb6cb640b25679e70408fba5d69e3151e628)\n\n對於![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Re} (x)\\\\geq {\\\\frac {1}{2}}\\\\,.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0a53cda089abfc94de810784e89823d5f50afd58)\n\n自然數的倒數的總和\n\n![{\\\\displaystyle 1+{\\\\frac {1}{2}}+{\\\\frac {1}{3}}+\\\\cdots +{\\\\frac {1}{n}}=\\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}},}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/12f50a7390e77e5beed851612314d2d03991d564)\n\n叫做[調和級數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B8 \"調和級數\")。它與自然對數有密切聯繫：當![{\\\\displaystyle n}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)趨於無窮的時候，差\n\n![{\\\\displaystyle \\\\sum \\_{k=1}^{n}{\\\\frac {1}{k}}-\\\\ln(n),}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0f1edf2104b89524c509d6cb9ea1a667251d3ac)\n\n[收斂](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 \"序列的极限\")於[欧拉-马歇罗尼常数](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AC%A7%E6%8B%89-%E9%A9%AC%E6%AD%87%E7%BD%97%E5%B0%BC%E5%B8%B8%E6%95%B0 \"欧拉-马歇罗尼常数\")。這個關係有助於分析算法比如[快速排序](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F \"快速排序\")的性能。[\\[16\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-18)\n\n自然對數通過[分部積分法](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95 \"分部積分法\")積分:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx=x\\\\ln(x)-x+C.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ffcaf5c8b14b232de9ff79e9ae0960ea4966bd10)\n\n假設:\n\n![{\\\\displaystyle u=\\\\ln(x)\\\\Rightarrow du={\\\\frac {dx}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c07f106dec4139287b8fa6ea0af0f9233afb3ee9)\n\n![{\\\\displaystyle dv=dx\\\\Rightarrow v=x\\\\,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c30adc0b089b174086fcd71fa2a2d6c55dd4ac9c)\n\n所以:\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\ln(x)\\\\,dx&=x\\\\ln(x)-\\\\int {\\\\frac {x}{x}}\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-\\\\int 1\\\\,dx\\\\\\\\&=x\\\\ln(x)-x+C\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/52916fee071fbe482bee84e9da920fe184d86473)\n\n自然對數可以簡化形如![{\\\\displaystyle g(x)={\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/855ec85038d18bd7c78c473575ac4191ecac341b)的函數的積分：![{\\\\displaystyle g(x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)的一個[原函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0 \"原函数\")給出為![{\\\\displaystyle \\\\ln(\\\\left\\\\vert f(x)\\\\right\\\\vert )}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f9975e179080dba16b101e6ca58f7da6d42e93e9)。這是基於[鏈式法則](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 \"链式法则\")和如下事實:\n\n![{\\\\displaystyle \\\\ {d \\\\over dx}\\\\ln \\\\left\\|x\\\\right\\|={1 \\\\over x}.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9d8ac4cfdc2a4a98263b4d0103ea90b760529440)\n\n換句話說，\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int {1 \\\\over x}dx=\\\\ln \\|x\\|+C}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bde26fca8bed415e46c7676a746046f49a977695)\n\n且\n\n![{\\\\displaystyle \\\\int {{\\\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\\\,dx}=\\\\ln \\|f(x)\\|+C.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0d2683aa09c111fd31ccc4bc0759816701d790f7)\n\n下面是![{\\\\displaystyle g(x)=\\\\tan x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/5ab38455820b36af96b8d054bf38f277f545f0b1)的例子：\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=\\\\int {\\\\sin x \\\\over \\\\cos x}\\\\,dx\\\\\\\\&=\\\\int {-{d \\\\over dx}\\\\cos x \\\\over {\\\\cos x}}\\\\,dx.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/73b630a5510b6af7a6774037d831cbcb8c585b77)\n\n設![{\\\\displaystyle f(x)=\\\\cos x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0287cb9d4a431cc7cc469339b15807eca263a770)且![{\\\\displaystyle f'(x)=-\\\\sin x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9068becdff494367c57cb1e755323438e5e2c36f)：\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\int \\\\tan x\\\\,dx&=-\\\\ln {\\\\left\\|\\\\cos x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\&=\\\\ln {\\\\left\\|\\\\sec x\\\\right\\|}+C\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/44e1747b1c7d53dffed302bb2b9742e962beed03)\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/3f\/Cartesian_hyperbolic_triangle.svg\/250px-Cartesian_hyperbolic_triangle.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Cartesian_hyperbolic_triangle.svg)\n\n在[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")(方程![{\\\\displaystyle y={\\\\frac {1}{x}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0871f6114093b98d171970f2974952524b02d1b))下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")*![{\\\\displaystyle u}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)*的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")(紅色)。這個三角形的邊分別是[雙曲函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 \"雙曲函數\")中[![{\\\\displaystyle \\\\cosh }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/011ccafd311d38f9bbc0fcf3f7b13f7d81469d84)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E9%A4%98%E5%BC%A6 \"雙曲餘弦\")和[![{\\\\displaystyle \\\\sinh }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bb6649e190c30e91b280cc02b27acdfe00055e58)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E6%AD%A3%E5%BC%A6 \"雙曲正弦\")的![{\\\\displaystyle {\\\\sqrt {2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff)倍。\n\n[![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/b\/bc\/Hyperbolic_functions-2.svg\/250px-Hyperbolic_functions-2.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Hyperbolic_functions-2.svg)\n\n射線出原點交[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x^{2}\\\\ -\\\\ y^{2}\\\\ =\\\\ 1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fc2ff17ec3621153664213260986ed1dfad5bf80)於點![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle (\\\\cosh \\\\,a,\\\\,\\\\sinh \\\\,a)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/91b1a06ba0c78f08e6f7435751a74587ba2774c0)，這裡的![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle a}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c5f7e8e9e4ccfbf1f3f9e920dacf9c4250c1e164)是射線、雙曲線和![{\\\\displaystyle \\\\scriptstyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a6f6eaddec053fdd1c4a73fd001e579241d248a8)軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。\n\n在18世紀，[約翰·海因里希·蘭伯特](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%A6%E7%BF%B0%C2%B7%E6%B5%B7%E5%9B%A0%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E5%85%B0%E4%BC%AF%E7%89%B9 \"约翰·海因里希·兰伯特\")介入[雙曲函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 \"雙曲函數\")[\\[17\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-19)，並計算[雙曲幾何](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95 \"双曲几何\")中[雙曲三角形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 \"雙曲三角形\")的面積[\\[18\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-20)。對數函數是在[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線![{\\\\displaystyle y=x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77)上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")，即要形成指定[雙曲角](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 \"双曲角\")![{\\\\displaystyle u}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)，在漸近線即x或y軸上需要有的![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)或![{\\\\displaystyle y}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值。顯見這裡的底邊是![{\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}+e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f549b97e4cb52d6c3cfe8fde1ff4bed25dc39a50)，垂線是![{\\\\displaystyle \\\\left(e^{u}-e^{-u}\\\\right){\\\\frac {\\\\sqrt {2}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88ce3f07a6794311b5fb0bb5dda043bf3be712cb)。\n\n通過旋轉和縮小[線性變換](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 \"线性变换\")，得到[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")下的情況，有：\n\n- ![{\\\\displaystyle \\\\cosh x={\\\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/aadfb8f7ca46307b22bbc2a582eefe7c538f76e7)\n- ![{\\\\displaystyle \\\\sinh x={\\\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/d04165b783b3e1f882a8d31ebe803180ed55f604)\n\n[單位雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF \"单位双曲线\")中雙曲線扇形的面積是對應[直角雙曲線](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 \"直角雙曲線（页面不存在）\")![{\\\\displaystyle xy=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下雙曲角的![{\\\\displaystyle {\\\\frac {1}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55)。\n\n儘管自然對數沒有簡單的[連分數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8 \"連分數\")，但有一些[廣義連分數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 \"廣義連分數（页面不存在）\")如:\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(1+x)&={\\\\frac {x^{1}}{1}}-{\\\\frac {x^{2}}{2}}+{\\\\frac {x^{3}}{3}}-{\\\\frac {x^{4}}{4}}+{\\\\frac {x^{5}}{5}}-\\\\cdots \\\\\\\\&={\\\\cfrac {x}{1-0x+{\\\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/723beb84a823566c37ab560d8b4f0a0bab04805b)\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {x}{y}}\\\\right)&={\\\\cfrac {x}{y+{\\\\cfrac {1x}{2+{\\\\cfrac {1x}{3y+{\\\\cfrac {2x}{2+{\\\\cfrac {2x}{5y+{\\\\cfrac {3x}{2+\\\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\\\\\&={\\\\cfrac {2x}{2y+x-{\\\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\\\ddots }}}}}}}}\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e10e8545fe0192e1696b4f3ee35811dd8a769e9b)\n\n這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。\n\n例如，因為![{\\\\displaystyle 2=1.25^{3}\\\\times 1.024}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a69a8d5baabbb41b99617ca9edf3f57d9f0bf686)，[2的自然對數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/2%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 \"2的自然對數\")可以計算為:\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 2&=3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {6}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {6}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e43156608242f8e611672c9c427ff20949003adf)\n\n進而，因為![{\\\\displaystyle 10=1.25^{10}\\\\times 1.024^{3}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/84615852b232d67b0fa2e9868a512094857e8f31)，10的自然對數可以計算為:\n\n![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln 10&=10\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {1}{4}}\\\\right)+3\\\\ln \\\\left(1+{\\\\frac {3}{125}}\\\\right)\\\\\\\\&={\\\\cfrac {20}{9-{\\\\cfrac {1^{2}}{27-{\\\\cfrac {2^{2}}{45-{\\\\cfrac {3^{2}}{63-\\\\ddots }}}}}}}}+{\\\\cfrac {18}{253-{\\\\cfrac {3^{2}}{759-{\\\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\\\cfrac {9^{2}}{1771-\\\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/df078fe09c406d7d837f3f3b28a2c860a8d592e6)\n\n[指數函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 \"指數函數\")可以擴展為對任何複數![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)得出複數值為![{\\\\displaystyle e^{x}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)的函數，只需要簡單使用*![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在*![{\\\\displaystyle x}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)*使得![{\\\\displaystyle e^{x}=0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7c16101b4eb2d20685091ec65f9e85d5a3e18425)；並且有著![{\\\\displaystyle e^{2\\\\pi i}=1=e^{0}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/9b7824793c7c837d6bd582f91df6e8cd0a274e65)。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，![{\\\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\\\pi i}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/59991ce6a41a083a5a155b93ef1216ccebd39b7e)，對於所有複數![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)和整數![{\\\\displaystyle n}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)。\n\n所以對數不能定義在整個[複平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"複平面\")上，並且它是[多值函數](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A4%9A%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0 \"多值函数\")，就是說任何複數對數都可以增加![{\\\\displaystyle 2\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在[切割平面](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2#%E5%88%87%E5%89%B2%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 \"複平面\")上是單值函數。例如，![{\\\\displaystyle \\\\log i={\\\\frac {1}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/acc8650b2ff58c60aaab5f1242730871d4c5121f)或![{\\\\displaystyle {\\\\frac {5}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/70df664443ab75415d0c19045c884e2efe8aefcc)或![{\\\\displaystyle -{\\\\frac {3}{2}}\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/fa112e34cd5b242ba68ce0a4a1c7c0046be0c9f3)等等；儘管![{\\\\displaystyle i^{4}=1}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e290e918d282a25fe61c1eb4162696c2806b6b68)，![{\\\\displaystyle 4\\\\log =i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/999ba580087a47c8271fd87fa06be38a2267bf61)不能定義為![{\\\\displaystyle 2\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)或![{\\\\displaystyle 10\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6fc7dbdbb1836dc91393769b5ec62584c88cb488)或![{\\\\displaystyle -6\\\\pi i}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f0ee3fa887fc256adda468beb26a5af52732c070)，以此類推。\n\n- 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖\n- [![z=Re(ln(x+iy))](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/c\/c8\/Natural_Logarithm_Re.svg\/250px-Natural_Logarithm_Re.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Re.svg \"z=Re(ln(x+iy))\")\n  *z*\\=Re(ln(x+iy))\n- [![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/3\/37\/Natural_Logarithm_Im_Abs.svg\/250px-Natural_Logarithm_Im_Abs.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Im_Abs.svg)\n- [![](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/7\/74\/Natural_Logarithm_Abs.svg\/250px-Natural_Logarithm_Abs.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_Abs.svg)\n- [![前三圖的疊加](https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/2\/29\/Natural_Logarithm_All.svg\/250px-Natural_Logarithm_All.svg.png)](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/File:Natural_Logarithm_All.svg \"前三圖的疊加\")\n  前三圖的疊加\n\n對於每個非0複數![{\\\\displaystyle z=x+yi}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/639f77c05613faa61f43ee28a4d5ca7c35fffa38)，主值![{\\\\displaystyle \\\\log z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)是虛部位於區間![{\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內的對數。表達式![{\\\\displaystyle \\\\log 0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c1b275ca0bbc82c90acc9ab79286340b93f555e7)不做定義，因為沒有複數![{\\\\displaystyle w}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)滿足![{\\\\displaystyle e^{w}=0}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/98117ff5f5190893ea558bd99c544dd973eafbcd)。\n\n要對![{\\\\displaystyle \\\\log z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)給出一個公式，可以先將![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)表達為[極坐標](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87 \"极坐标\")形式，![{\\\\displaystyle z=re^{i\\\\theta }}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/e5b36ddd965193c2b7d6ea24a7c3678814d0dc8d)。給定![{\\\\displaystyle z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)增加![{\\\\displaystyle 2\\\\pi }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)的整數倍，所以為了保證唯一性而要求*![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)*位於區間![{\\\\displaystyle (-\\\\pi ,\\\\pi \\]}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內；這個*![{\\\\displaystyle \\\\theta }](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)*叫做幅角的主值，有時寫為![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {arg} z}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0f08b2c439c1afe3614ac0029eab9720ab9fcd23)或![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {atan} 2(y,x)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/1c0d4d04d7cbb402d184082367a90edb34c15063)。則對數的主值可以定義為[\\[19\\]](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-Sarason-21)：\n\n![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} z:={\\\\text{ln }}r+i\\\\theta =\\\\ln \\|z\\|+i\\\\operatorname {Arg} z=\\\\operatorname {ln} {\\\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\\\operatorname {atan2} (y,x).}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/0e166c4fa33b82a7f8371e45146f2eb604ebc4f3)\n\n例如，![{\\\\displaystyle \\\\operatorname {Log} (-3i)=\\\\ln 3-{\\\\frac {\\\\pi i}{2}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3ee2b48a0390da895a6c8c25a03fec73427b071b)。\n\n自然指数有应用於表达[放射性衰變](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%94%BE%E5%B0%84%E6%80%A7%E8%A1%B0%E8%AE%8A \"放射性衰變\")的过程，如放射性原子数目的[微分方程](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B \"微分方程\")![{\\\\displaystyle N}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)随时间变化率![{\\\\displaystyle {\\\\frac {dN}{dt}}=-pN}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/ecfe7b6c395a603fd24b8901e9b2e84e52030115)，常数![{\\\\displaystyle p}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)为原子衰变概率，积分得![{\\\\displaystyle N(t)=N(0)\\\\exp(-pt)}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/428a86d94fe20efd936be0cfb20a2fc4314fa45a)。\n\n1. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-2)** 例如[哈代](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3 \"戈弗雷·哈罗德·哈代\")和[賴特](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E6%A2%85%E7%89%B9%E8%98%AD%C2%B7%E8%B3%B4%E7%89%B9 \"愛德華·梅特蘭·賴特\")所著的《數論入門》\"Introduction to the theory of numbers\" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 \"log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest.\"（log x 當然是以e為基，x的「[納皮爾](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE \"約翰·納皮爾\")」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。）\n2. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-4)** 證明：從1到*b*積分1\/*x*，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (*b*, 0), (*b*, 1\/*b*)}。\n3. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-5)**\n   Ernest William Hobson, [John Napier and the invention of logarithms, 1614](http:\/\/www.archive.org\/details\/johnnapierinvent00hobsiala), Cambridge: The University Press, 1914\n4. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-6)**\n   [Boyer, Carl B.](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 \"Carl Benjamin Boyer（页面不存在）\"), 14，Section \"Jobst Bürgi\", A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/John_Wiley_%26_Sons \"John Wiley & Sons\"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-471-54397-8 \"Special:BookSources\/978-0-471-54397-8\")\n5. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-7)** 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1\/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。\n6. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-8)** 以![{\\\\displaystyle 10^{\\\\frac {1}{2^{54}}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/36d9dd11072280a595f5e666a4e5f06968393f15)這個接近1的數為基礎。\n7. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-9)**\n   [博納文圖拉·卡瓦列里](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8D%9A%E7%B4%8D%E6%96%87%E5%9C%96%E6%8B%89%C2%B7%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C \"博納文圖拉·卡瓦列里\")在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[定積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86 \"定积分\")：\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\int \\_{0}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,a^{n+1}\\\\qquad n\\\\geq 0,}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/70b05bbf6c8be79b76b81da949078352148eaed6)\n   \n   其[不定積分](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86 \"不定積分\")形式為：\n   \n   ![{\\\\displaystyle \\\\int x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}\\\\,x^{n+1}+C\\\\qquad n\\\\neq -1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/3a909d97d1feaacee10f36951226e929753dad32)\n   \n   獨立發現者還有：[皮埃爾·德·費馬](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E7%9A%AE%E5%9F%83%E7%88%BE%C2%B7%E5%BE%B7%C2%B7%E8%B2%BB%E9%A6%AC \"皮埃爾·德·費馬\")、[罗贝瓦尔的吉尔](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=%E7%BD%97%E8%B4%9D%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%9A%84%E5%90%89%E5%B0%94&action=edit&redlink=1 \"罗贝瓦尔的吉尔（页面不存在）\")和[埃萬傑利斯塔·托里拆利](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%9F%83%E8%90%AC%E5%82%91%E5%88%A9%E6%96%AF%E5%A1%94%C2%B7%E6%89%98%E9%87%8C%E6%8B%86%E5%88%A9 \"埃萬傑利斯塔·托里拆利\")。\n8. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-10)** 設a=1，x軸上\\[a,b\\]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 \"雙曲線扇形\")面積為f(b)，\\[c,d\\]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。\n9. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-11)**\n   J. J. O'Connor; E. F. Robertson, [The number e](https:\/\/web.archive.org\/web\/20120219231529\/http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/HistTopics\/e.html), The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001  \\[2009-02-02\\], （[原始内容](http:\/\/www-history.mcs.st-and.ac.uk\/HistTopics\/e.html)存档于2012-02-19）\n10. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-12)**\n    卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的*n*(*x*的負數冪)，由於在*x* = 0處有個[奇點](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A5%87%E7%82%B9_\\(%E6%95%B0%E5%AD%A6\\) \"奇点 (数学)\")，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：\n    \n    ![{\\\\displaystyle \\\\int \\_{1}^{a}x^{n}\\\\,dx={\\\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\\\qquad n\\\\neq -1.}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/57da64605f422f39c27b169071013c36c3334af6)\n    \n    [歐拉](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E6%AD%90%E6%8B%89 \"歐拉\")的自然對數定義：\n    \n    ![{\\\\displaystyle {\\\\begin{aligned}\\\\ln(x)&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow \\\\infty }n(x^{1\/n}-1)\\\\\\\\&=\\\\lim \\_{n\\\\rightarrow -1}{\\\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\\\\\\\end{aligned}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/c796050dbf13a5613f27d0ed1e65e49e47f9a95e)\n11. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-ReferenceA_13-0)**\n    Maor, Eli, e: The Story of a Number, [Princeton University Press](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Princeton_University_Press \"Princeton University Press\"), 2009, [ISBN 978-0-691-14134-3](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-691-14134-3 \"Special:BookSources\/978-0-691-14134-3\")\n    \n    ,sections 1, 1.\n    \n    [Eves, Howard Whitley](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Howard_Eves&action=edit&redlink=1 \"Howard Eves（页面不存在）\"), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, [ISBN 978-0-03-029558-4](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-03-029558-4 \"Special:BookSources\/978-0-03-029558-4\")\n    \n    , section 9-3\n    \n    [Boyer, Carl B.](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 \"Carl Benjamin Boyer（页面不存在）\"), A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/John_Wiley_%26_Sons \"John Wiley & Sons\"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-471-54397-8 \"Special:BookSources\/978-0-471-54397-8\")\n    \n    , p. 484, 489\n12. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-14)** ![{\\\\displaystyle \\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{x}=\\\\left(\\\\left(1+{\\\\frac {1}{n}}\\\\right)^{n}\\\\right)^{\\\\frac {x}{n}}}](https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7882e11f940d70266b3946bf81da4c0d72208890)  \n    在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x\/n。\n13. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-LangIV.2_15-0)**\n    Lang [1997](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#CITEREFLang1997), section IV.2\n14. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-16)**\n    [Wolfram, Stephen](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%B2%83%E7%88%BE%E5%A4%AB%E5%8B%92%E5%A7%86 \"史蒂芬·沃爾夫勒姆\"). [\"Calculation of *d\/dx(Log(b,x))*\"](https:\/\/web.archive.org\/web\/20110718075346\/http:\/\/www.wolframalpha.com\/input\/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29). from [Wolfram Alpha](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wolfram_Alpha \"Wolfram Alpha\"): Computational Knowledge Engine, [Wolfram Research](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Wolfram_Research \"Wolfram Research\"). （[原始内容](http:\/\/www.wolframalpha.com\/input\/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29)存档于2011-07-18） （英语）.\n15. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-17)**\n    [Kline, Morris](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Morris_Kline&action=edit&redlink=1 \"Morris Kline（页面不存在）\"), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: [Dover Publications](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Dover_Publications&action=edit&redlink=1 \"Dover Publications（页面不存在）\"), 1998, [ISBN 978-0-486-40453-0](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-486-40453-0 \"Special:BookSources\/978-0-486-40453-0\")\n    \n    , p. 386\n16. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-18)**\n    Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, [Princeton University Press](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Princeton_University_Press \"Princeton University Press\"), 2003, [ISBN 978-0-691-09983-5](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/978-0-691-09983-5 \"Special:BookSources\/978-0-691-09983-5\")\n    \n    , sections 11.5 and 13.8\n17. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-19)**\n    Eves, Howard, [Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics](http:\/\/books.google.com\/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59), Courier Dover Publications: 59, 2012, [ISBN 9780486132204](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/9780486132204 \"Special:BookSources\/9780486132204\"), \"We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.\"\n18. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-20)**\n    Ratcliffe, John, [Foundations of Hyperbolic Manifolds](https:\/\/web.archive.org\/web\/20140112001533\/http:\/\/books.google.com\/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99), Graduate Texts in Mathematics **149**, Springer: 99, 2006  \\[2014-03-28\\], [ISBN 9780387331973](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/Special:BookSources\/9780387331973 \"Special:BookSources\/9780387331973\"), （[原始内容](http:\/\/books.google.com\/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99)存档于2014-01-12）, \"That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph *Theorie der Parallellinien*, which was published posthumously in 1786.\"\n19. **[^](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-Sarason_21-0)** Sarason, Section IV.9.\n\n- John B. Conway, *Functions of one complex variable*, 2nd edition, Springer, 1978.\n- [Serge Lang](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%97%A5%C2%B7%E5%85%B0 \"塞尔日·兰\"), *Complex analysis*, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.\n- Gino Moretti, *Functions of a Complex Variable*, Prentice-Hall, Inc., 1964.\n- Donald Sarason, *[Complex function theory](http:\/\/books.google.com\/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw) （[页面存档备份](https:\/\/web.archive.org\/web\/20140111075715\/http:\/\/books.google.com\/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw)，存于[互联网档案馆](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 \"互联网档案馆\")）*, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.\n- [E. T. Whittaker](https:\/\/zh.wikipedia.org\/w\/index.php?title=E._T._Whittaker&action=edit&redlink=1 \"E. T. Whittaker（页面不存在）\") and [G. N. Watson](https:\/\/zh.wikipedia.org\/wiki\/%E5%96%AC%E6%B2%BB%C2%B7%E5%A5%88%E7%B6%AD%E7%88%BE%C2%B7%E6%B2%83%E6%A3%AE \"喬治·奈維爾·沃森\"), *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.","meta_canonical":null}

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Boilerpipe Text	自然對數的函數圖像自然对数的積分定義自然对数（英語： Natural logarithm ）為以数学常数為底數的对数函数，標記作或，其反函数為指數函數。 [ 註 1 ] 自然对数积分定義為對任何正實數，由到所圍成，曲線下的面積。如果小於1，則計算面積為負數。則定義為唯一的實數使得。自然对数一般表示為，數學中亦有以表示自然對數。 [ 1 ] [ 註 2 ] 雙曲線扇形是笛卡爾平面上的一個區域，由從原點到和的射線，以及雙曲線圍成。在標準位置的雙曲線扇形有且，它的面積為 [ 2 ] ，此時雙曲線扇形對應正雙曲角。當直角雙曲線下的兩段面積相等時，的值呈等比數列，，的值也呈等比數列，。約翰·納皮爾在1614年 [ 3 ] 以及约斯特·比尔吉在6年後 [ 4 ] ，分別發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念，按後世的觀點，約翰·納皮爾的底數0.9999999 10000000 相當接近 [ 5 ] ，而约斯特·比尔吉的底數1.0001 10000 相當接近自然對數的底數。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法 [ 6 ] 於1624年部份完成了常用對數表的編制。形如的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況對應於雙曲線的弓形面積，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出 [ 7 ] ，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年圣文森特的格列高利將對數聯繫於雙曲線的弓形面積，他發現x軸上兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同對應的扇形，在時面積相同，這指出了雙曲線從到的積分滿足 [ 8 ] ： 1649年，萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中 [ 9 ] ，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為 [ 10 ] [ 11 ] ： 1742年威廉·琼斯發表了現在的冪指數概念 [ 12 ] 。歐拉定義自然對數為序列的極限：正式定義為積分，這個函數為對數是因滿足對數的基本性質: 這可以通過將定義了的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元來證實: 冪公式可如下推出: 第二個等式使用了換元。自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示： (參見複數對數 ) 證明自然對數的圖像和它在處的切線。的泰勒多項式只在範圍內有逐步精確的近似。自然對數的導數為證明一（微積分第一基本定理）: 證明二：按此影片（页面存档备份，存于互联网档案馆）设设用自然對數定義的更一般的對數函數，，根據其逆函數即一般指數函數的性質，它的導數為 [ 13 ] [ 14 ] ：根據鏈式法則，以為參數的自然對數的導數為右手端的商叫做的對數導數，通過的導數的方法計算叫做對數微分 [ 15 ] 。自然對數的導數性質導致了在0處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：對於所有但不包括把代入中，可得到自身的級數。通過在麥卡托級數上使用歐拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何有效的如下級數: 這個級數類似於贝利-波尔温-普劳夫公式。還要注意到是自身的逆函數，所以要生成特定數的自然對數，簡單把代入中。對於自然數的倒數的總和叫做調和級數。它與自然對數有密切聯繫：當趨於無窮的時候，差收斂於欧拉-马歇罗尼常数。這個關係有助於分析算法比如快速排序的性能。 [ 16 ] 自然對數通過分部積分法積分: 假設: 所以: 自然對數可以簡化形如的函數的積分：的一個原函數給出為。這是基於鏈式法則和如下事實: 換句話說，且下面是的例子：設且：在直角雙曲線 (方程 )下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於雙曲角的雙曲線扇形 (紅色)。這個三角形的邊分別是雙曲函數中和的倍。射線出原點交單位雙曲線於點，這裡的是射線、雙曲線和軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。在18世紀，約翰·海因里希·蘭伯特介入雙曲函數 [ 17 ] ，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積 [ 18 ] 。對數函數是在直角雙曲線下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數指數函數，即要形成指定雙曲角，在漸近線即x或y軸上需要有的或的值。顯見這裡的底邊是，垂線是。通過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線下雙曲角的。儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如: 這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。例如，因為， 2的自然對數可以計算為: 進而，因為，10的自然對數可以計算為: 指數函數可以擴展為對任何複數得出複數值為的函數，只需要簡單使用為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在使得；並且有著。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，，對於所有複數和整數。所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函數，就是說任何複數對數都可以增加的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函數。例如，或或等等；儘管，不能定義為或或，以此類推。自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖 z =Re(ln(x+iy)) 前三圖的疊加對於每個非0複數，主值是虛部位於區間內的對數。表達式不做定義，因為沒有複數滿足。要對給出一個公式，可以先將表達為極坐標形式，。給定，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向增加的整數倍，所以為了保證唯一性而要求位於區間內；這個叫做幅角的主值，有時寫為或。則對數的主值可以定義為 [ 19 ] ：例如，。自然指数有应用於表达放射性衰變的过程，如放射性原子数目的微分方程随时间变化率，常数为原子衰变概率，积分得。 ^ 例如哈代和賴特所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「納皮爾」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。） ^ 證明：從1到 b 積分1/ x ，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )}。 ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614 , Cambridge: The University Press, 1914 ^ Boyer, Carl B. , 14，Section "Jobst Bürgi " , A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons , 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 ^ 選取接近e的底數b，對數表涉及的b x 為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的b x 為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。 ^ 以這個接近1的數為基礎。 ^ 博納文圖拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出定積分：其不定積分形式為：獨立發現者還有：皮埃爾·德·費馬、罗贝瓦尔的吉尔和埃萬傑利斯塔·托里拆利。 ^ 設a=1，x軸上[a,b]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形面積為f(b)，[c,d]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。 ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e , The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [ 2009-02-02 ] , （原始内容存档于2012-02-19） ^ 卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的 n ( x 的負數冪)，由於在 x = 0處有個奇點，因此定積分的下限為1，而不是0，即為：歐拉的自然對數定義： ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press , 2009, ISBN 978-0-691-14134-3 ,sections 1, 1. Eves, Howard Whitley , An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4 , section 9-3 Boyer, Carl B. , A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons , 1991, ISBN 978-0-471-54397-8 , p. 484, 489 ^ 在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。 ^ Lang 1997 , section IV.2 ^ Wolfram, Stephen . 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歷史](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E6%AD%B7%E5%8F%B2) 开关歷史子章节 - [1\.1 十七世纪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8D%81%E4%B8%83%E4%B8%96%E7%BA%AA) - [1\.2 十八世纪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8D%81%E5%85%AB%E4%B8%96%E7%BA%AA) - [2 形式定義](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%BE%A9) - [3 性質](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E6%80%A7%E8%B3%AA) - [4 導數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%B0%8E%E6%95%B8) - [5 冪級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B8) - [6 積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E7%A9%8D%E5%88%86) 开关積分子章节 - [6\.1 例子](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E4%BE%8B%E5%AD%90) - [7 與雙曲函數的關係](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%88%87%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8%E7%9A%84%E9%97%9C%E4%BF%82) - [8 連分數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8) - [9 複數對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8) 开关複數對數子章节 - [9\.1 主值定義](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E4%B8%BB%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%BE%A9) - [10 科学應用](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E7%A7%91%E5%AD%A6%E6%87%89%E7%94%A8) - [11 註釋](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E8%A8%BB%E9%87%8B) - [12 参考资料](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%8F%82%E8%80%83%E8%B5%84%E6%96%99) - [13 延伸阅读](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#%E5%BB%B6%E4%BC%B8%E9%98%85%E8%AF%BB) 开关目录 # 自然對數 62种语言 - 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维基百科，自由的百科全书 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Mplwp_ln.svg/330px-Mplwp_ln.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Mplwp_ln.svg) 自然對數 ln ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\ln(x)} ![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8) 的[函數圖像](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F "函数图像") [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Log-def.svg/330px-Log-def.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Log-def.svg) 自然对数 ln ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\ln(x)} ![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8) 的積分定義自然对数（英語：Natural logarithm）為以[数学常数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0 "数学常数")[e {\\displaystyle e} ![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)](https://zh.wikipedia.org/wiki/E_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\) "E (数学常数)")為[底數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%95%E6%95%B0_\(%E5%AF%B9%E6%95%B0\) "底数 (对数)")的[对数函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 "对数函数")，標記作ln ⁡ x {\\displaystyle \\ln x} ![{\\displaystyle \\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)或log e ⁡ x {\\displaystyle \\log \_{e}x} ![{\\displaystyle \\log \_{e}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74001a2ed34b09d34925acf521a9d5fe2705b0a)，其[反函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B8 "反函數")為[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")e x {\\displaystyle e^{x}} ![{\\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)。[\[註 1\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-1) 自然[对数积分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86 "对数积分")定義為對任何正[實數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8 "實數")x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)，由1 {\\displaystyle 1} ![{\\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)到x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)所圍成，x y \= 1 {\\displaystyle xy=1} ![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)[曲線下的面積](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86 "積分")。如果x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)小於1，則計算面積為負數。 ln ⁡ x \= ∫ 1 x d t t {\\displaystyle \\ln x=\\int \_{1}^{x}{\\frac {dt}{t}}\\,} ![{\\displaystyle \\ln x=\\int \_{1}^{x}{\\frac {dt}{t}}\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf5babc054c34c4d39919f5f55f9c95af9cf031) e {\\displaystyle e} ![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)則定義為唯一的實數x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得ln ⁡ x \= 1 {\\displaystyle \\ln x=1} ![{\\displaystyle \\ln x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa887840dd8f2c3044838f1f16c6441c17d8f42)。自然对数一般表示為ln ⁡ x {\\displaystyle \\ln x\\!} ![{\\displaystyle \\ln x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634f0148eb7149a10e09fcb4bf0975eba8f92a5)，數學中亦有以log ⁡ x {\\displaystyle \\log x\\!} ![{\\displaystyle \\log x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265)表示自然對數。[\[1\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-2)[\[註 2\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-3) ## 歷史 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=1 "编辑章节：歷史")\] ### 十七世纪 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=2 "编辑章节：十七世纪")\] [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Hyperbolic_sector.svg/250px-Hyperbolic_sector.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbolic_sector.svg) [雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")是[笛卡爾平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "笛卡尔平面") { ( x , y ) } {\\displaystyle \\{(x,y)\\}} ![{\\displaystyle \\{(x,y)\\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f352e04e23fa05b4f06df4d7d86c052da0420e99) 上的一個區域，由從原點到 ( a , 1 a ) {\\textstyle (a,{\\frac {1}{a}})} ![{\\textstyle (a,{\\frac {1}{a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5577951ae3c642b5c1826cace146c124e74ba23e) 和 ( b , 1 b ) {\\textstyle (b,{\\frac {1}{b}})} ![{\\textstyle (b,{\\frac {1}{b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68430db32917c6ca965d7a3d4e45457af92519e0) 的射線，以及[雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A "雙曲線") x y \= 1 {\\displaystyle xy=1} ![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1) 圍成。在標準位置的雙曲線扇形有 a \= 1 {\\displaystyle a=1} ![{\\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4) 且 b \> 1 {\\displaystyle b\>1} ![{\\displaystyle b\>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b) ，它的面積為 ln ⁡ ( b ) {\\displaystyle \\ln(b)} ![{\\displaystyle \\ln(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1478e03c7ceb988b4af61f838234692f2b183b1) [\[2\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-4)，此時雙曲線扇形對應正[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg/250px-Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg) 當直角雙曲線下的兩段面積相等時， x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4) 的值呈[等比數列](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B8%E5%88%97 "等比數列")， x 2 x 1 \= x 1 x 0 \= k {\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}=k} ![{\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250efff44fa3e372308dd42351c77d37fa544126) ， y {\\displaystyle y} ![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d) 的值也呈等比數列， x 2 x 1 \= x 1 x 0 \= 1 k {\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}={\\frac {1}{k}}} ![{\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}={\\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5daa310ee1515618b0e69e66969c2391548805f) 。 [約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")在1614年[\[3\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-5)以及[约斯特·比尔吉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 "约斯特·比尔吉")在6年後[\[4\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-6)，分別發表了獨立編制的[對數表](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E8%A1%A8 "对数表")，當時通過對接近1的底數的大量乘[冪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA "冪")運算，來找到指定範圍和精度的[對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8 "對數")和所對應的真數。當時還沒出現[有理數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 "有理数")冪的概念，按後世的觀點，[約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")的底數0.999999910000000相當接近1 e {\\textstyle {\\frac {1}{e}}} ![{\\textstyle {\\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe63386d4ee481420baab9ee462769a274ed7fa4)[\[5\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-7)，而[约斯特·比尔吉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 "约斯特·比尔吉")的底數1.000110000相當接近自然對數的底數e {\\displaystyle e} ![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[亨利·布里格斯](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%BA%A8%E5%88%A9%C2%B7%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%96%AF&action=edit&redlink=1 "亨利·布里格斯（页面不存在）")（英语：[Henry Briggs (mathematician)](https://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Briggs_\(mathematician\) "en:Henry Briggs (mathematician)")）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[\[6\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-8)於1624年部份完成了[常用對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "常用對數")表的編制。形如f ( x ) \= x p {\\displaystyle f(x)=x^{p}} ![{\\displaystyle f(x)=x^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287686868142439d014dfc66870fcb01efab941b)的曲線都有一個代數[反導數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%8E%E6%95%B8 "反導數")，除了特殊情況p \= − 1 {\\displaystyle p=-1} ![{\\displaystyle p=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f21ac8555bb1dfc99be2fa1f5120d4885f343e8)對應於雙曲線的[弓形面積](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1 "弓形面積（页面不存在）")（英语：[Quadrature (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrature_\(mathematics\) "en:Quadrature (mathematics)")），即[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")；其他情況都由1635年發表的[卡瓦列里弓形面積公式](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1 "卡瓦列里弓形面積公式（页面不存在）")（英语：[Cavalieri's quadrature formula](https://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_quadrature_formula "en:Cavalieri's quadrature formula")）給出[\[7\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-9)，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的[阿基米德](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7 "阿基米德")完成（[拋物線的弓形面積](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%8B%E7%89%A9%E7%B7%9A%E7%9A%84%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D "拋物線的弓形面積")），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年[圣文森特的格列高利](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%9C%A3%E6%96%87%E6%A3%AE%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%A0%BC%E5%88%97%E9%AB%98%E5%88%A9&action=edit&redlink=1 "圣文森特的格列高利（页面不存在）")（英语：[Grégoire de Saint-Vincent](https://en.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A9goire_de_Saint-Vincent "en:Grégoire de Saint-Vincent")）將對數聯繫於雙曲線x y \= 1 {\\displaystyle xy=1} ![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)的弓形面積，他發現x軸上\[ a , b \] {\\displaystyle \[a,b\]} ![{\\displaystyle \[a,b\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")同\[ c , d \] {\\displaystyle \[c,d\]} ![{\\displaystyle \[c,d\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85b3b21d6d891d97f85e263d394e3c90287586f)對應的扇形，在a b \= c d {\\textstyle {\\frac {a}{b}}={\\frac {c}{d}}} ![{\\textstyle {\\frac {a}{b}}={\\frac {c}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b8b02893772e7f72dbec7a37b0a29d8dd53666)時面積相同，這指出了雙曲線從x \= 1 {\\displaystyle x=1} ![{\\displaystyle x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)到x \= t {\\displaystyle x=t} ![{\\displaystyle x=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c0426ebd38c267805e4308c63f11cb976e4963)的積分f ( t ) {\\displaystyle f(t)} ![{\\displaystyle f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6)滿足[\[8\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-10)： f ( t u ) \= f ( t ) \+ f ( u ) {\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\,} ![{\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5524cc6602864dea1790c4837747285d864d12c) 1649年，[萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%90%A8%E6%8B%89%E8%90%A8%E7%9A%84%E9%98%BF%E5%B0%94%E4%B8%B0%E6%96%AF%C2%B7%E5%AE%89%E4%B8%9C%E5%B0%BC%E5%A5%A5&action=edit&redlink=1 "萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（页面不存在）")（英语：[Alphonse Antonio de Sarasa](https://en.wikipedia.org/wiki/Alphonse_Antonio_de_Sarasa "en:Alphonse Antonio de Sarasa")）將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，[伊薩克·牛頓](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%90%A8%E5%85%8B%C2%B7%E7%89%9B%E9%A1%BF "伊萨克·牛顿")推廣了[二項式定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 "二项式定理")，他將1 1 \+ x {\\textstyle {\\frac {1}{1+x}}} ![{\\textstyle {\\frac {1}{1+x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefe1ccc97077c50816a247269eb2d1c18a14b72)展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於[尼古拉斯·麥卡托](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%E6%96%AF%C2%B7%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98 "尼古拉斯·麥卡托")在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[\[9\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-11)，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的[麥卡托級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 "麥卡托級數")。 ### 十八世纪 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=3 "编辑章节：十八世纪")\] 大約1730年，[歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")定義互為逆函數的[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")和自然對數為[\[10\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-12)[\[11\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-ReferenceA-13)： e x \= lim n → ∞ ( 1 \+ x n ) n , {\\displaystyle e^{x}=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }\\left(1+{\\frac {x}{n}}\\right)^{n},} ![{\\displaystyle e^{x}=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }\\left(1+{\\frac {x}{n}}\\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8ddbfe425a744c0f8e5df2f32d0b4205b04e71) ln ⁡ ( x ) \= lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) {\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right)} ![{\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746bb68f6df1407a9935f1aa611084b3fd6fc5e9) 1742年[威廉·琼斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E7%90%BC%E6%96%AF_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6\) "威廉·琼斯 (数学家)")發表了現在的[冪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA "冪")[指數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0 "指数")概念[\[12\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-14)。 ## 形式定義 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=4 "编辑章节：形式定義")\] [歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")定義自然對數為[序列的極限](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 "序列的极限")： ln ⁡ ( x ) \= lim n → ∞ n ( x 1 n − 1 ) . {\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right).} ![{\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f70dff77adffb727f2a442319343749a795902c) ln ⁡ ( a ) {\\displaystyle \\ln(a)} ![{\\displaystyle \\ln(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddec5ff9f887294161d0cf715b0451b0edf8193)正式定義為[積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86 "積分")， ln ⁡ ( a ) \= ∫ 1 a 1 x d x . {\\displaystyle \\ln(a)=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\,dx.} ![{\\displaystyle \\ln(a)=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adff47b619ff4663410ba2c44033f4614cf0657) 這個函數為對數是因滿足[對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8 "對數")的基本性質: ln ⁡ ( a b ) \= ln ⁡ ( a ) \+ ln ⁡ ( b ) . {\\displaystyle \\ln(ab)=\\ln(a)+\\ln(b).\\,\\!} ![{\\displaystyle \\ln(ab)=\\ln(a)+\\ln(b).\\,\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c921687b577c8089b416eb37db454755a8dd7af) 這可以通過將定義了ln ⁡ ( a b ) {\\displaystyle \\ln(ab)} ![{\\displaystyle \\ln(ab)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06642442f5d9320df4962f16a8e16ed5b95ca3b)的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行[換元](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 "换元积分法")x \= t a {\\displaystyle x=ta} ![{\\displaystyle x=ta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898bef5176cf2a1892523fc525e2c2a155e31b7b)來證實: ln ⁡ ( a b ) \= ∫ 1 a b 1 x d x \= ∫ 1 a 1 x d x \+ ∫ a a b 1 x d x \= ∫ 1 a 1 x d x \+ ∫ 1 b 1 a t d ( a t ) {\\displaystyle \\ln(ab)=\\int \_{1}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{a}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{at}}\\;d(at)} ![{\\displaystyle \\ln(ab)=\\int \_{1}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{a}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{at}}\\;d(at)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ef1c9479821157ad3b9a708c2cb2460f933ad1) \= ∫ 1 a 1 x d x \+ ∫ 1 b 1 t d t \= ln ⁡ ( a ) \+ ln ⁡ ( b ) . {\\displaystyle =\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{t}}\\;dt=\\ln(a)+\\ln(b).} ![{\\displaystyle =\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{t}}\\;dt=\\ln(a)+\\ln(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d217cf5aeef9397a144fb99b5cfc7ee8a53adaa1) 冪公式ln ⁡ ( t r ) \= r ln ⁡ ( t ) {\\displaystyle \\ln(t^{r})=r\\ln(t)} ![{\\displaystyle \\ln(t^{r})=r\\ln(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7ad5857976c3e6c7cdb053fecf7c1e6cc1cdd9)可如下推出: ln ⁡ ( t r ) \= ∫ 1 t r 1 x d x \= ∫ 1 t 1 u r d ( u r ) \= ∫ 1 t 1 u r ( r u r − 1 d u ) \= r ∫ 1 t 1 u d u \= r ln ⁡ ( t ) . {\\displaystyle \\ln(t^{r})=\\int \_{1}^{t^{r}}{\\frac {1}{x}}dx=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}d\\left(u^{r}\\right)=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}\\left(ru^{r-1}\\,du\\right)=r\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u}}\\,du=r\\ln(t).} ![{\\displaystyle \\ln(t^{r})=\\int \_{1}^{t^{r}}{\\frac {1}{x}}dx=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}d\\left(u^{r}\\right)=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}\\left(ru^{r-1}\\,du\\right)=r\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u}}\\,du=r\\ln(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19f7c2e9451026cfa4f39aacc2425d830baeedd) 第二個等式使用了[換元](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 "换元积分法")u \= x 1 r {\\displaystyle u=x^{\\frac {1}{r}}} ![{\\displaystyle u=x^{\\frac {1}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6e454948b3240c90efb616937e535e3ff4d5d6)。自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示： ln ⁡ ( x ) \= − lim ϵ → 0 ∫ ϵ ∞ d t t ( e − x t − e − t ) . {\\displaystyle \\ln(x)=-\\lim \_{\\epsilon \\to 0}\\int \_{\\epsilon }^{\\infty }{\\frac {dt}{t}}\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\right).} ![{\\displaystyle \\ln(x)=-\\lim \_{\\epsilon \\to 0}\\int \_{\\epsilon }^{\\infty }{\\frac {dt}{t}}\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0d6258fcea4a3d9e9a9e4cd570d5477cc0fbd5) ## 性質 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=5 "编辑章节：性質")\] - ln ⁡ ( 1 ) \= ∫ 1 1 1 t d t \= 0 {\\displaystyle \\ln(1)=\\int \_{1}^{1}{\\frac {1}{t}}\\,dt=0\\,} ![{\\displaystyle \\ln(1)=\\int \_{1}^{1}{\\frac {1}{t}}\\,dt=0\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3a9c22f19fa8abd4d37de5cceecdff4634f104) - ln ⁡ ( − 1 ) \= i π {\\displaystyle \\operatorname {ln} (-1)=i\\pi \\,} ![{\\displaystyle \\operatorname {ln} (-1)=i\\pi \\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8153d0afcb10d5b4b310c85592aac814d9be48) (參見[複數對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "複數對數")) - ln ⁡ ( x ) \< ln ⁡ ( y ) f o r 0 \< x \< y {\\displaystyle \\ln(x)\<\\ln(y)\\quad {\\rm {for}}\\quad 0\<x\<y\\,} ![{\\displaystyle \\ln(x)\<\\ln(y)\\quad {\\rm {for}}\\quad 0\<x\<y\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bf10d984b9ec846a4c4ab09064f69dc2fcd588) - lim x → 0 ln ⁡ ( 1 \+ x ) x \= 1 {\\displaystyle \\lim \_{x\\to 0}{\\frac {\\ln(1+x)}{x}}=1\\,} ![{\\displaystyle \\lim \_{x\\to 0}{\\frac {\\ln(1+x)}{x}}=1\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcec75678f93c5ab7554b3a39a540f2f58020ee) - ln ⁡ ( x y ) \= y ln ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\ln(x^{y})=y\\,\\ln(x)\\,} ![{\\displaystyle \\ln(x^{y})=y\\,\\ln(x)\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ef1a589f92ea7cef6f2fa1d9284a9354f1a3d6) - x − 1 x ≤ ln ⁡ ( x ) ≤ x − 1 f o r x \> 0 {\\displaystyle {\\frac {x-1}{x}}\\leq \\ln(x)\\leq x-1\\quad {\\rm {for}}\\quad x\>0\\,} ![{\\displaystyle {\\frac {x-1}{x}}\\leq \\ln(x)\\leq x-1\\quad {\\rm {for}}\\quad x\>0\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7633647306612a5dba05eb1069b7d0464f8393) - ln ⁡ ( 1 \+ x α ) ≤ α x f o r x ≥ 0 , α ≥ 1 {\\displaystyle \\ln {(1+x^{\\alpha })}\\leq \\alpha x\\quad {\\rm {for}}\\quad x\\geq 0,\\alpha \\geq 1\\,} ![{\\displaystyle \\ln {(1+x^{\\alpha })}\\leq \\alpha x\\quad {\\rm {for}}\\quad x\\geq 0,\\alpha \\geq 1\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afe552f3b880d10d4746a1b53681bfd6702c7d) \| 證明 \| \|---\| \| lim h → 0 ln ⁡ ( 1 \+ h ) h \= lim h → 0 ln ⁡ ( 1 \+ h ) − ln ⁡ 1 h \= d d x ln ⁡ x \\| x \= 1 \= 1 {\\displaystyle \\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)-\\ln 1}{h}}={\\frac {d}{dx}}\\ln x{\\Bigg \\|}\_{x=1}=1} ![{\\displaystyle \\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)-\\ln 1}{h}}={\\frac {d}{dx}}\\ln x{\\Bigg \\|}\_{x=1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e0831f1228ba61e98cd96eac29e4d55dca89d) \| ## 導數 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=6 "编辑章节：導數")\] [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Logarithm_derivative.svg/330px-Logarithm_derivative.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logarithm_derivative.svg) 自然對數的圖像和它在 x \= 1\.5 {\\displaystyle x=1.5} ![{\\displaystyle x=1.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073413584cae74e89a5a3128150905b9aff34108) 處的切線。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/LogTay.svg/330px-LogTay.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:LogTay.svg) ln ⁡ ( 1 \+ x ) {\\displaystyle \\ln(1+x)} ![{\\displaystyle \\ln(1+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4) 的泰勒多項式只在 − 1 \< x ≤ 1 {\\displaystyle -1\<x\\leq 1} ![{\\displaystyle -1\<x\\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3146f6393631821d264b39f7bf2a9fc1e60cb0) 範圍內有逐步精確的近似。自然對數的[導數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%95%B8 "導數")為 d d x ln ⁡ ( x ) \= 1 x . {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}.\\,} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}.\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450bbcf4fc982e5c9d6244746c48bbf1dc5cb174) 證明一（微積分第一基本定理）:d d x ln ⁡ ( x ) \= d d x ∫ 1 x 1 t d t \= 1 x {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {d}{dx}}\\int \_{1}^{x}{\\frac {1}{t}}\\,dt={\\frac {1}{x}}} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {d}{dx}}\\int \_{1}^{x}{\\frac {1}{t}}\\,dt={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5717ba13a505ab2d2deb5d9a4bf8a6e64dd05db) 證明二：[按此影片](https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)（[页面存档备份](https://web.archive.org/web/20210402030947/https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)，存于[互联网档案馆](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 "互联网档案馆")） d d x ln ⁡ ( x ) \= lim h → 0 ln ⁡ ( x \+ h ) − ln ⁡ ( x ) h {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(x+h)-\\ln(x)}{h}}} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(x+h)-\\ln(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb480bfd80181b743afe480c7e318a9a687878da) \= lim h → 0 ln ⁡ ( x \+ h x ) h {\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln({\\frac {x+h}{x}})}{h}}} ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln({\\frac {x+h}{x}})}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b08aae24f97c4f91c2011a049bb0ab05c970041) \= lim h → 0 \[ 1 h ln ⁡ ( 1 \+ h x ) \] {\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\left\[{\\frac {1}{h}}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)\\right\]\\quad } ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\left\[{\\frac {1}{h}}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)\\right\]\\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1) \= lim h → 0 ln ⁡ ( 1 \+ h x ) 1 h {\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)^{\\frac {1}{h}}} ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)^{\\frac {1}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b051744a03bf3da278c66271d52e12e986848c23) 设u \= h x ⇒ u x \= h {\\displaystyle u={\\frac {h}{x}}\\Rightarrow ux=h} ![{\\displaystyle u={\\frac {h}{x}}\\Rightarrow ux=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320065355f1d23bd07343e77b588ee450252ac2b) 1 h \= 1 u x {\\displaystyle {\\frac {1}{h}}={\\frac {1}{ux}}} ![{\\displaystyle {\\frac {1}{h}}={\\frac {1}{ux}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19b2c0f15b25a082e5d381d002dfa2c72f38efa) d d x ln ⁡ ( x ) \= lim u → 0 ln ⁡ ( 1 \+ u ) 1 u x {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{ux}}} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{ux}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf130c86e41fb21031d40a64934c8dfe081a63a) \= lim u → 0 ln ⁡ \[ ( 1 \+ u ) 1 u \] 1 x {\\displaystyle =\\lim \_{u\\to 0}\\ln \\left\[(1+u)^{\\frac {1}{u}}\\right\]^{\\frac {1}{x}}} ![{\\displaystyle =\\lim \_{u\\to 0}\\ln \\left\[(1+u)^{\\frac {1}{u}}\\right\]^{\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1cdcd1187e5294c22ac0293d87549d6e1eef9a) \= 1 x lim u → 0 ln ⁡ ( 1 \+ u ) 1 u {\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{u}}} ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc76a790bc63e7abb9a1cce610f5c5f322e179b) 设n \= 1 u ⇒ u \= 1 n {\\displaystyle n={\\frac {1}{u}}\\Rightarrow u={\\frac {1}{n}}} ![{\\displaystyle n={\\frac {1}{u}}\\Rightarrow u={\\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0f27fd2ec184f1bf47cdae77799a887f58f4be) d d x ln ⁡ ( x ) \= 1 x lim n → ∞ ln ⁡ ( 1 \+ 1 n ) n {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}\\lim \_{n\\to \\infty }\\ln \\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}\\lim \_{n\\to \\infty }\\ln \\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e23f18d904dd4bd0b341ad094f9d2cd5b6d52b) \= 1 x ln ⁡ \[ lim n → ∞ ( 1 \+ 1 n ) n \] {\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln \\left\[\\lim \_{n\\to \\infty }\\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}\\right\]} ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln \\left\[\\lim \_{n\\to \\infty }\\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}\\right\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0380744b61c8586952f38a93d51089fad2b6c3) \= 1 x ln ⁡ e {\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln e} ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e07b19250f2f54213a3f9a07da3353a9e33f2f) \= 1 x {\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}} ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee12096bed04e8b72030794d211b2467d3b25d0) 用自然對數定義的更一般的對數函數，log b ⁡ ( x ) \= ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( b ) {\\displaystyle \\log \_{b}(x)={\\frac {\\ln(x)}{\\ln(b)}}} ![{\\displaystyle \\log \_{b}(x)={\\frac {\\ln(x)}{\\ln(b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a93d813551fae4ee9a530804b1ca385e094c01)，根據其[逆函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0 "逆函数")即一般[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")的性質，它的導數為[\[13\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-LangIV.2-15)[\[14\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-16)： d d x log b ⁡ ( x ) \= 1 x ln ⁡ ( b ) . {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\log \_{b}(x)={\\frac {1}{x\\ln(b)}}.} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\log \_{b}(x)={\\frac {1}{x\\ln(b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d02caaee43f681800270031cd94aadc8192df) 根據[鏈式法則](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 "链式法则")，以f ( x ) {\\displaystyle f(x)} ![{\\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)為參數的自然對數的導數為 d d x ln ⁡ \[ f ( x ) \] \= f ′ ( x ) f ( x ) . {\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln\[f(x)\]={\\frac {f'(x)}{f(x)}}.} ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln\[f(x)\]={\\frac {f'(x)}{f(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d12207bb467c5467b6f0587fd9e0f56a983e4c4) 右手端的商叫做f {\\displaystyle f} ![{\\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)的[對數導數](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%B0%8E%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 "對數導數（页面不存在）")（英语：[logarithmic derivative](https://en.wikipedia.org/wiki/logarithmic_derivative "en:logarithmic derivative")），通過ln ⁡ ( f ( x ) ) {\\displaystyle \\ln(f(x))} ![{\\displaystyle \\ln(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8403d6c5b2b7957e475e81100f1338049071da)的導數的方法計算f ′ ( x ) {\\displaystyle f'(x)} ![{\\displaystyle f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)叫做[對數微分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%BE%AE%E5%88%86 "對數微分")[\[15\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-17)。 ## 冪級數 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=7 "编辑章节：冪級數")\] 自然對數的導數性質導致了ln ⁡ ( 1 \+ x ) {\\displaystyle \\ln(1+x)} ![{\\displaystyle \\ln(1+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)在0處的[泰勒級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 "泰勒级数")，也叫做[麥卡托級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 "麥卡托級數")： ln ⁡ ( 1 \+ x ) \= ∑ n \= 1 ∞ ( − 1 ) n \+ 1 n x n \= x − x 2 2 \+ x 3 3 − ⋯ {\\displaystyle \\ln(1+x)=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-\\cdots } ![{\\displaystyle \\ln(1+x)=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-\\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ac92d9db1e98a32e8c4232e97a117158eba05b) 對於所有 \\| x \\| ≤ 1 , {\\displaystyle \\left\\|x\\right\\|\\leq 1,} ![{\\displaystyle \\left\\|x\\right\\|\\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53ba55423fa548eed5fef83ac6af9b17326420f) 但不包括 x \= − 1\. {\\displaystyle x=-1.} ![{\\displaystyle x=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51899e84bbbb14d044de1e69f57f73f70178b4c) 把x − 1 {\\displaystyle x-1} ![{\\displaystyle x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1a88d34243b98b57c4df9db5724f61b59a4b9d)代入x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中，可得到ln ⁡ ( x ) {\\displaystyle \\ln(x)} ![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用[歐拉變換](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E8%AE%8A%E6%8F%9B "二項式變換")，可以得到對[絕對值](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC "绝对值")大於1的任何x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)有效的如下級數: ln ⁡ x x − 1 \= ∑ n \= 1 ∞ 1 n x n \= 1 x \+ 1 2 x 2 \+ 1 3 x 3 \+ ⋯ . {\\displaystyle \\ln {x \\over {x-1}}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {nx^{n}}}={1 \\over x}+{1 \\over {2x^{2}}}+{1 \\over {3x^{3}}}+\\cdots \\,.} ![{\\displaystyle \\ln {x \\over {x-1}}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {nx^{n}}}={1 \\over x}+{1 \\over {2x^{2}}}+{1 \\over {3x^{3}}}+\\cdots \\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9498b73b3d5be246ef64ee69e3fc6a38d6062fdd) 這個級數類似於[贝利-波尔温-普劳夫公式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%88%A9-%E6%B3%A2%E5%B0%94%E6%B8%A9-%E6%99%AE%E5%8A%B3%E5%A4%AB%E5%85%AC%E5%BC%8F "贝利-波尔温-普劳夫公式")。還要注意到x x − 1 {\\displaystyle x \\over {x-1}} ![{\\displaystyle x \\over {x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)是自身的逆函數，所以要生成特定數y {\\displaystyle y} ![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的自然對數，簡單把x x − 1 {\\displaystyle x \\over {x-1}} ![{\\displaystyle x \\over {x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)代入x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中。 ln ⁡ x \= ∑ n \= 1 ∞ 1 n ( x − 1 x ) n \= ( x − 1 x ) \+ 1 2 ( x − 1 x ) 2 \+ 1 3 ( x − 1 x ) 3 \+ ⋯ {\\displaystyle \\ln {x}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {n}}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{n}=\\left({x-1 \\over x}\\right)+{1 \\over 2}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{2}+{1 \\over 3}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{3}+\\cdots \\,} ![{\\displaystyle \\ln {x}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {n}}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{n}=\\left({x-1 \\over x}\\right)+{1 \\over 2}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{2}+{1 \\over 3}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{3}+\\cdots \\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33cfb6cb640b25679e70408fba5d69e3151e628) 對於 Re ⁡ ( x ) ≥ 1 2 . {\\displaystyle \\operatorname {Re} (x)\\geq {\\frac {1}{2}}\\,.} ![{\\displaystyle \\operatorname {Re} (x)\\geq {\\frac {1}{2}}\\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a53cda089abfc94de810784e89823d5f50afd58) 自然數的倒數的總和 1 \+ 1 2 \+ 1 3 \+ ⋯ \+ 1 n \= ∑ k \= 1 n 1 k , {\\displaystyle 1+{\\frac {1}{2}}+{\\frac {1}{3}}+\\cdots +{\\frac {1}{n}}=\\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}},} ![{\\displaystyle 1+{\\frac {1}{2}}+{\\frac {1}{3}}+\\cdots +{\\frac {1}{n}}=\\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f50a7390e77e5beed851612314d2d03991d564) 叫做[調和級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B8 "調和級數")。它與自然對數有密切聯繫：當n {\\displaystyle n} ![{\\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)趨於無窮的時候，差 ∑ k \= 1 n 1 k − ln ⁡ ( n ) , {\\displaystyle \\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}}-\\ln(n),} ![{\\displaystyle \\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}}-\\ln(n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f1edf2104b89524c509d6cb9ea1a667251d3ac) [收斂](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 "序列的极限")於[欧拉-马歇罗尼常数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89-%E9%A9%AC%E6%AD%87%E7%BD%97%E5%B0%BC%E5%B8%B8%E6%95%B0 "欧拉-马歇罗尼常数")。這個關係有助於分析算法比如[快速排序](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F "快速排序")的性能。[\[16\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-18) ## 積分 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=8 "编辑章节：積分")\] 自然對數通過[分部積分法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95 "分部積分法")積分: ∫ ln ⁡ ( x ) d x \= x ln ⁡ ( x ) − x \+ C . {\\displaystyle \\int \\ln(x)\\,dx=x\\ln(x)-x+C.} ![{\\displaystyle \\int \\ln(x)\\,dx=x\\ln(x)-x+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcaf5c8b14b232de9ff79e9ae0960ea4966bd10) 假設: u \= ln ⁡ ( x ) ⇒ d u \= d x x {\\displaystyle u=\\ln(x)\\Rightarrow du={\\frac {dx}{x}}} ![{\\displaystyle u=\\ln(x)\\Rightarrow du={\\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07f106dec4139287b8fa6ea0af0f9233afb3ee9) d v \= d x ⇒ v \= x {\\displaystyle dv=dx\\Rightarrow v=x\\,} ![{\\displaystyle dv=dx\\Rightarrow v=x\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30adc0b089b174086fcd71fa2a2d6c55dd4ac9c) 所以: ∫ ln ⁡ ( x ) d x \= x ln ⁡ ( x ) − ∫ x x d x \= x ln ⁡ ( x ) − ∫ 1 d x \= x ln ⁡ ( x ) − x \+ C {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\ln(x)\\,dx&=x\\ln(x)-\\int {\\frac {x}{x}}\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-\\int 1\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-x+C\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\ln(x)\\,dx&=x\\ln(x)-\\int {\\frac {x}{x}}\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-\\int 1\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-x+C\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52916fee071fbe482bee84e9da920fe184d86473) 自然對數可以簡化形如g ( x ) \= f ′ ( x ) f ( x ) {\\displaystyle g(x)={\\frac {f'(x)}{f(x)}}} ![{\\displaystyle g(x)={\\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ec85038d18bd7c78c473575ac4191ecac341b)的函數的積分：g ( x ) {\\displaystyle g(x)} ![{\\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)的一個[原函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0 "原函数")給出為ln ⁡ ( \\| f ( x ) \\| ) {\\displaystyle \\ln(\\left\\vert f(x)\\right\\vert )} ![{\\displaystyle \\ln(\\left\\vert f(x)\\right\\vert )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9975e179080dba16b101e6ca58f7da6d42e93e9)。這是基於[鏈式法則](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 "链式法则")和如下事實: d d x ln ⁡ \\| x \\| \= 1 x . {\\displaystyle \\ {d \\over dx}\\ln \\left\\|x\\right\\|={1 \\over x}.} ![{\\displaystyle \\ {d \\over dx}\\ln \\left\\|x\\right\\|={1 \\over x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8ac4cfdc2a4a98263b4d0103ea90b760529440) 換句話說， ∫ 1 x d x \= ln ⁡ \\| x \\| \+ C {\\displaystyle \\int {1 \\over x}dx=\\ln \\|x\\|+C} ![{\\displaystyle \\int {1 \\over x}dx=\\ln \\|x\\|+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde26fca8bed415e46c7676a746046f49a977695) 且 ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x \= ln ⁡ \\| f ( x ) \\| \+ C . {\\displaystyle \\int {{\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\,dx}=\\ln \\|f(x)\\|+C.} ![{\\displaystyle \\int {{\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\,dx}=\\ln \\|f(x)\\|+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2683aa09c111fd31ccc4bc0759816701d790f7) ### 例子 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=9 "编辑章节：例子")\] 下面是g ( x ) \= tan ⁡ x {\\displaystyle g(x)=\\tan x} ![{\\displaystyle g(x)=\\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab38455820b36af96b8d054bf38f277f545f0b1)的例子： ∫ tan ⁡ x d x \= ∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x \= ∫ − d d x cos ⁡ x cos ⁡ x d x . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=\\int {\\sin x \\over \\cos x}\\,dx\\\\&=\\int {-{d \\over dx}\\cos x \\over {\\cos x}}\\,dx.\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=\\int {\\sin x \\over \\cos x}\\,dx\\\\&=\\int {-{d \\over dx}\\cos x \\over {\\cos x}}\\,dx.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b630a5510b6af7a6774037d831cbcb8c585b77) 設f ( x ) \= cos ⁡ x {\\displaystyle f(x)=\\cos x} ![{\\displaystyle f(x)=\\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0287cb9d4a431cc7cc469339b15807eca263a770)且f ′ ( x ) \= − sin ⁡ x {\\displaystyle f'(x)=-\\sin x} ![{\\displaystyle f'(x)=-\\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9068becdff494367c57cb1e755323438e5e2c36f)： ∫ tan ⁡ x d x \= − ln ⁡ \\| cos ⁡ x \\| \+ C \= ln ⁡ \\| sec ⁡ x \\| \+ C {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=-\\ln {\\left\\|\\cos x\\right\\|}+C\\\\&=\\ln {\\left\\|\\sec x\\right\\|}+C\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=-\\ln {\\left\\|\\cos x\\right\\|}+C\\\\&=\\ln {\\left\\|\\sec x\\right\\|}+C\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e1747b1c7d53dffed302bb2b9742e962beed03) ## 與雙曲函數的關係 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=10 "编辑章节：與雙曲函數的關係")\] [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Cartesian_hyperbolic_triangle.svg/250px-Cartesian_hyperbolic_triangle.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian_hyperbolic_triangle.svg) 在[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")(方程 y \= 1 x {\\displaystyle y={\\frac {1}{x}}} ![{\\displaystyle y={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0871f6114093b98d171970f2974952524b02d1b) )下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")u {\\displaystyle u} ![{\\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")(紅色)。這個三角形的邊分別是[雙曲函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 "雙曲函數")中 [cosh {\\displaystyle \\cosh } ![{\\displaystyle \\cosh }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011ccafd311d38f9bbc0fcf3f7b13f7d81469d84)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E9%A4%98%E5%BC%A6 "雙曲餘弦") 和 [sinh {\\displaystyle \\sinh } ![{\\displaystyle \\sinh }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6649e190c30e91b280cc02b27acdfe00055e58)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E6%AD%A3%E5%BC%A6 "雙曲正弦") 的 2 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}} ![{\\displaystyle {\\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff) 倍。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Hyperbolic_functions-2.svg/250px-Hyperbolic_functions-2.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbolic_functions-2.svg) 射線出原點交[單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线") x 2 − y 2 \= 1 {\\displaystyle \\scriptstyle x^{2}\\ -\\ y^{2}\\ =\\ 1} ![{\\displaystyle \\scriptstyle x^{2}\\ -\\ y^{2}\\ =\\ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2ff17ec3621153664213260986ed1dfad5bf80) 於點 ( cosh a , sinh a ) {\\displaystyle \\scriptstyle (\\cosh \\,a,\\,\\sinh \\,a)} ![{\\displaystyle \\scriptstyle (\\cosh \\,a,\\,\\sinh \\,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b1a06ba0c78f08e6f7435751a74587ba2774c0) ，這裡的 a {\\displaystyle \\scriptstyle a} ![{\\displaystyle \\scriptstyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f7e8e9e4ccfbf1f3f9e920dacf9c4250c1e164) 是射線、雙曲線和 x {\\displaystyle \\scriptstyle x} ![{\\displaystyle \\scriptstyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f6eaddec053fdd1c4a73fd001e579241d248a8) 軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。在18世紀，[約翰·海因里希·蘭伯特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%BF%B0%C2%B7%E6%B5%B7%E5%9B%A0%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E5%85%B0%E4%BC%AF%E7%89%B9 "约翰·海因里希·兰伯特")介入[雙曲函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 "雙曲函數")[\[17\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-19)，並計算[雙曲幾何](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95 "双曲几何")中[雙曲三角形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 "雙曲三角形")的面積[\[18\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-20)。對數函數是在[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")x y \= 1 {\\displaystyle xy=1} ![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線y \= x {\\displaystyle y=x} ![{\\displaystyle y=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77)上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")，即要形成指定[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")u {\\displaystyle u} ![{\\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)，在漸近線即x或y軸上需要有的x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)或y {\\displaystyle y} ![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值。顯見這裡的底邊是( e u \+ e − u ) 2 2 {\\displaystyle \\left(e^{u}+e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}} ![{\\displaystyle \\left(e^{u}+e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f549b97e4cb52d6c3cfe8fde1ff4bed25dc39a50)，垂線是( e u − e − u ) 2 2 {\\displaystyle \\left(e^{u}-e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}} ![{\\displaystyle \\left(e^{u}-e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ce3f07a6794311b5fb0bb5dda043bf3be712cb)。通過旋轉和縮小[線性變換](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 "线性变换")，得到[單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线")下的情況，有： - cosh ⁡ x \= e x \+ e − x 2 {\\displaystyle \\cosh x={\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} ![{\\displaystyle \\cosh x={\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadfb8f7ca46307b22bbc2a582eefe7c538f76e7) - sinh ⁡ x \= e x − e − x 2 {\\displaystyle \\sinh x={\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} ![{\\displaystyle \\sinh x={\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04165b783b3e1f882a8d31ebe803180ed55f604) [單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线")中雙曲線扇形的面積是對應[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")x y \= 1 {\\displaystyle xy=1} ![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下雙曲角的1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} ![{\\displaystyle {\\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55)。 ## 連分數 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=11 "编辑章节：連分數")\] 儘管自然對數沒有簡單的[連分數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8 "連分數")，但有一些[廣義連分數](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 "廣義連分數（页面不存在）")如: ln ⁡ ( 1 \+ x ) \= x 1 1 − x 2 2 \+ x 3 3 − x 4 4 \+ x 5 5 − ⋯ \= x 1 − 0 x \+ 1 2 x 2 − 1 x \+ 2 2 x 3 − 2 x \+ 3 2 x 4 − 3 x \+ 4 2 x 5 − 4 x \+ ⋱ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(1+x)&={\\frac {x^{1}}{1}}-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-{\\frac {x^{4}}{4}}+{\\frac {x^{5}}{5}}-\\cdots \\\\&={\\cfrac {x}{1-0x+{\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(1+x)&={\\frac {x^{1}}{1}}-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-{\\frac {x^{4}}{4}}+{\\frac {x^{5}}{5}}-\\cdots \\\\&={\\cfrac {x}{1-0x+{\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723beb84a823566c37ab560d8b4f0a0bab04805b) ln ⁡ ( 1 \+ x y ) \= x y \+ 1 x 2 \+ 1 x 3 y \+ 2 x 2 \+ 2 x 5 y \+ 3 x 2 \+ ⋱ \= 2 x 2 y \+ x − ( 1 x ) 2 3 ( 2 y \+ x ) − ( 2 x ) 2 5 ( 2 y \+ x ) − ( 3 x ) 2 7 ( 2 y \+ x ) − ⋱ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln \\left(1+{\\frac {x}{y}}\\right)&={\\cfrac {x}{y+{\\cfrac {1x}{2+{\\cfrac {1x}{3y+{\\cfrac {2x}{2+{\\cfrac {2x}{5y+{\\cfrac {3x}{2+\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\&={\\cfrac {2x}{2y+x-{\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\ddots }}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln \\left(1+{\\frac {x}{y}}\\right)&={\\cfrac {x}{y+{\\cfrac {1x}{2+{\\cfrac {1x}{3y+{\\cfrac {2x}{2+{\\cfrac {2x}{5y+{\\cfrac {3x}{2+\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\&={\\cfrac {2x}{2y+x-{\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\ddots }}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10e8545fe0192e1696b4f3ee35811dd8a769e9b) 這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。例如，因為2 \= 1\.25 3 × 1\.024 {\\displaystyle 2=1.25^{3}\\times 1.024} ![{\\displaystyle 2=1.25^{3}\\times 1.024}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69a8d5baabbb41b99617ca9edf3f57d9f0bf686)，[2的自然對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/2%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 "2的自然對數")可以計算為: ln ⁡ 2 \= 3 ln ⁡ ( 1 \+ 1 4 ) \+ ln ⁡ ( 1 \+ 3 125 ) \= 6 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ \+ 6 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 2&=3\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {6}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {6}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 2&=3\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {6}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {6}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43156608242f8e611672c9c427ff20949003adf) 進而，因為10 \= 1\.25 10 × 1\.024 3 {\\displaystyle 10=1.25^{10}\\times 1.024^{3}} ![{\\displaystyle 10=1.25^{10}\\times 1.024^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84615852b232d67b0fa2e9868a512094857e8f31)，10的自然對數可以計算為: ln ⁡ 10 \= 10 ln ⁡ ( 1 \+ 1 4 ) \+ 3 ln ⁡ ( 1 \+ 3 125 ) \= 20 9 − 1 2 27 − 2 2 45 − 3 2 63 − ⋱ \+ 18 253 − 3 2 759 − 6 2 1265 − 9 2 1771 − ⋱ . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 10&=10\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+3\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {20}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {18}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 10&=10\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+3\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {20}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {18}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df078fe09c406d7d837f3f3b28a2c860a8d592e6) ## 複數對數 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=12 "编辑章节：複數對數")\] 主条目：[複數對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "複數對數") [指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")可以擴展為對任何複數x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)得出複數值為e x {\\displaystyle e^{x}} ![{\\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)的函數，只需要簡單使用x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在x {\\displaystyle x} ![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得e x \= 0 {\\displaystyle e^{x}=0} ![{\\displaystyle e^{x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16101b4eb2d20685091ec65f9e85d5a3e18425)；並且有著e 2 π i \= 1 \= e 0 {\\displaystyle e^{2\\pi i}=1=e^{0}} ![{\\displaystyle e^{2\\pi i}=1=e^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7824793c7c837d6bd582f91df6e8cd0a274e65)。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，e z \= e z \+ 2 n π i {\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\pi i}} ![{\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\pi i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59991ce6a41a083a5a155b93ef1216ccebd39b7e)，對於所有複數z {\\displaystyle z} ![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)和整數n {\\displaystyle n} ![{\\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)。所以對數不能定義在整個[複平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "複平面")上，並且它是[多值函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0 "多值函数")，就是說任何複數對數都可以增加2 π i {\\displaystyle 2\\pi i} ![{\\displaystyle 2\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在[切割平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2#%E5%88%87%E5%89%B2%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "複平面")上是單值函數。例如，log ⁡ i \= 1 2 π i {\\displaystyle \\log i={\\frac {1}{2}}\\pi i} ![{\\displaystyle \\log i={\\frac {1}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc8650b2ff58c60aaab5f1242730871d4c5121f)或5 2 π i {\\displaystyle {\\frac {5}{2}}\\pi i} ![{\\displaystyle {\\frac {5}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70df664443ab75415d0c19045c884e2efe8aefcc)或− 3 2 π i {\\displaystyle -{\\frac {3}{2}}\\pi i} ![{\\displaystyle -{\\frac {3}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa112e34cd5b242ba68ce0a4a1c7c0046be0c9f3)等等；儘管i 4 \= 1 {\\displaystyle i^{4}=1} ![{\\displaystyle i^{4}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e290e918d282a25fe61c1eb4162696c2806b6b68)，4 log \= i {\\displaystyle 4\\log =i} ![{\\displaystyle 4\\log =i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999ba580087a47c8271fd87fa06be38a2267bf61)不能定義為2 π i {\\displaystyle 2\\pi i} ![{\\displaystyle 2\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)或10 π i {\\displaystyle 10\\pi i} ![{\\displaystyle 10\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7dbdbb1836dc91393769b5ec62584c88cb488)或− 6 π i {\\displaystyle -6\\pi i} ![{\\displaystyle -6\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ee3fa887fc256adda468beb26a5af52732c070)，以此類推。 - 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖 - [![z=Re(ln(x+iy))](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Natural_Logarithm_Re.svg/250px-Natural_Logarithm_Re.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Re.svg "z=Re(ln(x+iy))") z\=Re(ln(x+iy)) - [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Natural_Logarithm_Im_Abs.svg/250px-Natural_Logarithm_Im_Abs.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Im_Abs.svg) - [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Natural_Logarithm_Abs.svg/250px-Natural_Logarithm_Abs.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Abs.svg) - [![前三圖的疊加](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Natural_Logarithm_All.svg/250px-Natural_Logarithm_All.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_All.svg "前三圖的疊加") 前三圖的疊加 ### 主值定義 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=13 "编辑章节：主值定義")\] 對於每個非0複數z \= x \+ y i {\\displaystyle z=x+yi} ![{\\displaystyle z=x+yi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f77c05613faa61f43ee28a4d5ca7c35fffa38)，主值log ⁡ z {\\displaystyle \\log z} ![{\\displaystyle \\log z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)是虛部位於區間( − π , π \] {\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]} ![{\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內的對數。表達式log ⁡ 0 {\\displaystyle \\log 0} ![{\\displaystyle \\log 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b275ca0bbc82c90acc9ab79286340b93f555e7)不做定義，因為沒有複數w {\\displaystyle w} ![{\\displaystyle w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)滿足e w \= 0 {\\displaystyle e^{w}=0} ![{\\displaystyle e^{w}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98117ff5f5190893ea558bd99c544dd973eafbcd)。要對log ⁡ z {\\displaystyle \\log z} ![{\\displaystyle \\log z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)給出一個公式，可以先將z {\\displaystyle z} ![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)表達為[極坐標](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87 "极坐标")形式，z \= r e i θ {\\displaystyle z=re^{i\\theta }} ![{\\displaystyle z=re^{i\\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b36ddd965193c2b7d6ea24a7c3678814d0dc8d)。給定z {\\displaystyle z} ![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向θ {\\displaystyle \\theta } ![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)增加2 π {\\displaystyle 2\\pi } ![{\\displaystyle 2\\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)的整數倍，所以為了保證唯一性而要求θ {\\displaystyle \\theta } ![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)位於區間( − π , π \] {\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]} ![{\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內；這個θ {\\displaystyle \\theta } ![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)叫做幅角的主值，有時寫為arg ⁡ z {\\displaystyle \\operatorname {arg} z} ![{\\displaystyle \\operatorname {arg} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f08b2c439c1afe3614ac0029eab9720ab9fcd23)或atan ⁡ 2 ( y , x ) {\\displaystyle \\operatorname {atan} 2(y,x)} ![{\\displaystyle \\operatorname {atan} 2(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0d4d04d7cbb402d184082367a90edb34c15063)。則對數的主值可以定義為[\[19\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-Sarason-21)： Log ⁡ z := ln r \+ i θ \= ln ⁡ \\| z \\| \+ i Arg ⁡ z \= ln ⁡ x 2 \+ y 2 \+ i atan2 ⁡ ( y , x ) . {\\displaystyle \\operatorname {Log} z:={\\text{ln }}r+i\\theta =\\ln \\|z\\|+i\\operatorname {Arg} z=\\operatorname {ln} {\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\operatorname {atan2} (y,x).} ![{\\displaystyle \\operatorname {Log} z:={\\text{ln }}r+i\\theta =\\ln \\|z\\|+i\\operatorname {Arg} z=\\operatorname {ln} {\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\operatorname {atan2} (y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e166c4fa33b82a7f8371e45146f2eb604ebc4f3) 例如，Log ⁡ ( − 3 i ) \= ln ⁡ 3 − π i 2 {\\displaystyle \\operatorname {Log} (-3i)=\\ln 3-{\\frac {\\pi i}{2}}} ![{\\displaystyle \\operatorname {Log} (-3i)=\\ln 3-{\\frac {\\pi i}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee2b48a0390da895a6c8c25a03fec73427b071b)。 ## 科学應用 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=14 "编辑章节：科学應用")\] 自然指数有应用於表达[放射性衰變](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E5%B0%84%E6%80%A7%E8%A1%B0%E8%AE%8A "放射性衰變")的过程，如放射性原子数目的[微分方程](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B "微分方程")N {\\displaystyle N} ![{\\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)随时间变化率d N d t \= − p N {\\displaystyle {\\frac {dN}{dt}}=-pN} ![{\\displaystyle {\\frac {dN}{dt}}=-pN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfe7b6c395a603fd24b8901e9b2e84e52030115)，常数p {\\displaystyle p} ![{\\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)为原子衰变概率，积分得N ( t ) \= N ( 0 ) exp ⁡ ( − p t ) {\\displaystyle N(t)=N(0)\\exp(-pt)} ![{\\displaystyle N(t)=N(0)\\exp(-pt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428a86d94fe20efd936be0cfb20a2fc4314fa45a)。 ## 註釋 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=15 "编辑章节：註釋")\] 1. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-1) 根據[微積分學](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%B8 "微積分學")，某函數之定義域為其反函數之值域，反之其值域為其反函數之定義域。因 e x {\\displaystyle e^{x}} ![{\\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a) 的值域為 ( 0 , ∞ ) {\\displaystyle (0,\\infty )} ![{\\displaystyle (0,\\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da17102e4ed0886686094ee531df040d2e86352a) ，且其為 ln ⁡ x {\\displaystyle \\ln x} ![{\\displaystyle \\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898) 之反函數，故可知 ln ⁡ x {\\displaystyle \\ln x} ![{\\displaystyle \\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898) 之定義域為 ( 0 , ∞ ) {\\displaystyle (0,\\infty )} ![{\\displaystyle (0,\\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da17102e4ed0886686094ee531df040d2e86352a) ，即 ln ⁡ x {\\displaystyle \\ln x} ![{\\displaystyle \\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898) 在非正實數系無法定義。 2. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-3) 若要避免與底為10的[常用對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "常用對數") log ⁡ x {\\displaystyle \\log x\\!} ![{\\displaystyle \\log x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265) 混淆，可用「全寫」 log e ⁡ x {\\displaystyle \\log \_{\\boldsymbol {e}}x\\!} ![{\\displaystyle \\log \_{\\boldsymbol {e}}x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b85c0c9e69d51a664537251395aa6ef73dbb0591) 。 ## 参考资料 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=16 "编辑章节：参考资料")\] 1. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-2) 例如[哈代](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3 "戈弗雷·哈罗德·哈代")和[賴特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E6%A2%85%E7%89%B9%E8%98%AD%C2%B7%E8%B3%B4%E7%89%B9 "愛德華·梅特蘭·賴特")所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「[納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。） 2. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-4) 證明：從1到b積分1/x，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。 3. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-5) Ernest William Hobson, [John Napier and the invention of logarithms, 1614](http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala), Cambridge: The University Press, 1914 4. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-6) [Boyer, Carl B.](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 "Carl Benjamin Boyer（页面不存在）"), 14，Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https://zh.wikipedia.org/wiki/John_Wiley_%26_Sons "John Wiley & Sons"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-471-54397-8 "Special:BookSources/978-0-471-54397-8") 5. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-7) 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。 6. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-8) 以 10 1 2 54 {\\displaystyle 10^{\\frac {1}{2^{54}}}} ![{\\displaystyle 10^{\\frac {1}{2^{54}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d9dd11072280a595f5e666a4e5f06968393f15) 這個接近1的數為基礎。 7. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-9) [博納文圖拉·卡瓦列里](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%9A%E7%B4%8D%E6%96%87%E5%9C%96%E6%8B%89%C2%B7%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C "博納文圖拉·卡瓦列里")在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[定積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86 "定积分")： ∫ 0 a x n d x \= 1 n \+ 1 a n \+ 1 n ≥ 0 , {\\displaystyle \\int \_{0}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,a^{n+1}\\qquad n\\geq 0,} ![{\\displaystyle \\int \_{0}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,a^{n+1}\\qquad n\\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b05bbf6c8be79b76b81da949078352148eaed6) 其[不定積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86 "不定積分")形式為： ∫ x n d x \= 1 n \+ 1 x n \+ 1 \+ C n ≠ − 1\. {\\displaystyle \\int x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,x^{n+1}+C\\qquad n\\neq -1.} ![{\\displaystyle \\int x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,x^{n+1}+C\\qquad n\\neq -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a909d97d1feaacee10f36951226e929753dad32) 獨立發現者還有：[皮埃爾·德·費馬](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%AE%E5%9F%83%E7%88%BE%C2%B7%E5%BE%B7%C2%B7%E8%B2%BB%E9%A6%AC "皮埃爾·德·費馬")、[罗贝瓦尔的吉尔](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%BD%97%E8%B4%9D%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%9A%84%E5%90%89%E5%B0%94&action=edit&redlink=1 "罗贝瓦尔的吉尔（页面不存在）")（英语：[Gilles de Roberval](https://en.wikipedia.org/wiki/Gilles_de_Roberval "en:Gilles de Roberval")）和[埃萬傑利斯塔·托里拆利](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E8%90%AC%E5%82%91%E5%88%A9%E6%96%AF%E5%A1%94%C2%B7%E6%89%98%E9%87%8C%E6%8B%86%E5%88%A9 "埃萬傑利斯塔·托里拆利")。 8. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-10) 設a=1，x軸上\[a,b\]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")面積為f(b)，\[c,d\]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。 9. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-11) J. J. O'Connor; E. F. Robertson, [The number e](https://web.archive.org/web/20120219231529/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html), The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 \[2009-02-02\], （[原始内容](http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html)存档于2012-02-19） 10. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-12) 卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個[奇點](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%87%E7%82%B9_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6\) "奇点 (数学)")，因此定積分的下限為1，而不是0，即為： ∫ 1 a x n d x \= 1 n \+ 1 ( a n \+ 1 − 1 ) n ≠ − 1\. {\\displaystyle \\int \_{1}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\qquad n\\neq -1.} ![{\\displaystyle \\int \_{1}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\qquad n\\neq -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57da64605f422f39c27b169071013c36c3334af6) [歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")的自然對數定義： ln ⁡ ( x ) \= lim n → ∞ n ( x 1 / n − 1 ) \= lim n → − 1 1 n \+ 1 ( x n \+ 1 − 1 ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(x)&=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n(x^{1/n}-1)\\\\&=\\lim \_{n\\rightarrow -1}{\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\end{aligned}}} ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(x)&=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n(x^{1/n}-1)\\\\&=\\lim \_{n\\rightarrow -1}{\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c796050dbf13a5613f27d0ed1e65e49e47f9a95e) 11. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-ReferenceA_13-0) Maor, Eli, e: The Story of a Number, [Princeton University Press](https://zh.wikipedia.org/wiki/Princeton_University_Press "Princeton University Press"), 2009, [ISBN 978-0-691-14134-3](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-691-14134-3 "Special:BookSources/978-0-691-14134-3") ,sections 1, 1. [Eves, Howard Whitley](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Howard_Eves&action=edit&redlink=1 "Howard Eves（页面不存在）"), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, [ISBN 978-0-03-029558-4](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-03-029558-4 "Special:BookSources/978-0-03-029558-4") , section 9-3 [Boyer, Carl B.](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 "Carl Benjamin Boyer（页面不存在）"), A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https://zh.wikipedia.org/wiki/John_Wiley_%26_Sons "John Wiley & Sons"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-471-54397-8 "Special:BookSources/978-0-471-54397-8") , p. 484, 489 12. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-14) ( 1 \+ 1 n ) x \= ( ( 1 \+ 1 n ) n ) x n {\\displaystyle \\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{x}=\\left(\\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}\\right)^{\\frac {x}{n}}} ![{\\displaystyle \\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{x}=\\left(\\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}\\right)^{\\frac {x}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7882e11f940d70266b3946bf81da4c0d72208890) 在最初的概念下，底數是接近1的數，而對數是整數；經過簡單變換後，底數變大了，成為接近數學常量e的數，而對數變小了，成為 x/n。 13. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-LangIV.2_15-0) Lang [1997](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#CITEREFLang1997), section IV.2 14. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-16) [Wolfram, Stephen](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%B2%E8%92%82%E8%8A%AC%C2%B7%E6%B2%83%E7%88%BE%E5%A4%AB%E5%8B%92%E5%A7%86 "史蒂芬·沃爾夫勒姆"). ["Calculation of d/dx(Log(b,x))"](https://web.archive.org/web/20110718075346/http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29). from [Wolfram Alpha](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha "Wolfram Alpha"): Computational Knowledge Engine, [Wolfram Research](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Research "Wolfram Research"). （[原始内容](http://www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx%28Log%28b%2Cx%29%29)存档于2011-07-18）（英语）. 15. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-17) [Kline, Morris](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Morris_Kline&action=edit&redlink=1 "Morris Kline（页面不存在）"), Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: [Dover Publications](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Dover_Publications&action=edit&redlink=1 "Dover Publications（页面不存在）"), 1998, [ISBN 978-0-486-40453-0](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-486-40453-0 "Special:BookSources/978-0-486-40453-0") , p. 386 16. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-18) Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, [Princeton University Press](https://zh.wikipedia.org/wiki/Princeton_University_Press "Princeton University Press"), 2003, [ISBN 978-0-691-09983-5](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-691-09983-5 "Special:BookSources/978-0-691-09983-5") , sections 11.5 and 13.8 17. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-19) Eves, Howard, [Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics](http://books.google.com/books?id=J9QcmFHj8EwC&pg=PA59), Courier Dover Publications: 59, 2012, [ISBN 9780486132204](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9780486132204 "Special:BookSources/9780486132204"), "We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions." 18. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-20) Ratcliffe, John, [Foundations of Hyperbolic Manifolds](https://web.archive.org/web/20140112001533/http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99), Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006 \[2014-03-28\], [ISBN 9780387331973](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/9780387331973 "Special:BookSources/9780387331973"), （[原始内容](http://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99)存档于2014-01-12）, "That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786." 19. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-Sarason_21-0) Sarason, Section IV.9. ## 延伸阅读 \[[编辑](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&action=edit&section=17 "编辑章节：延伸阅读")\] - John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978. - [Serge Lang](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A1%9E%E5%B0%94%E6%97%A5%C2%B7%E5%85%B0 "塞尔日·兰"), Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993. - Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964. - Donald Sarason, [Complex function theory](http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw) （[页面存档备份](https://web.archive.org/web/20140111075715/http://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40&dq=logarithm+intitle:Complex+intitle:function+intitle:theory+inauthor:sarason&lr=&as_brr=0&ei=df4UScGONJ_EtAPZ5-XjCw)，存于[互联网档案馆](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 "互联网档案馆")）, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007. - [E. T. Whittaker](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=E._T._Whittaker&action=edit&redlink=1 "E. T. Whittaker（页面不存在）")（英语：[E. T. Whittaker](https://en.wikipedia.org/wiki/E._T._Whittaker "en:E. T. Whittaker")） and [G. N. Watson](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%96%AC%E6%B2%BB%C2%B7%E5%A5%88%E7%B6%AD%E7%88%BE%C2%B7%E6%B2%83%E6%A3%AE "喬治·奈維爾·沃森"), A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927. ![](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?useformat=desktop&type=1x1&usesul3=1) 检索自“<https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=自然對數&oldid=91225956>” [分类](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:Categories "Special:Categories")： - [对数](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:%E5%AF%B9%E6%95%B0 "Category:对数") - [基本特殊函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%89%B9%E6%AE%8A%E5%87%BD%E6%95%B0 "Category:基本特殊函数") - [E (数学常数)](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:E_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\) "Category:E (数学常数)") - [一元运算](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:%E4%B8%80%E5%85%83%E8%BF%90%E7%AE%97 "Category:一元运算") 隐藏分类： - [CS1英语来源 (en)](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:CS1%E8%8B%B1%E8%AF%AD%E6%9D%A5%E6%BA%90_\(en\) "Category:CS1英语来源 (en)") - [含有英語的條目](https://zh.wikipedia.org/wiki/Category:%E5%90%AB%E6%9C%89%E8%8B%B1%E8%AA%9E%E7%9A%84%E6%A2%9D%E7%9B%AE "Category:含有英語的條目") - 本页面最后修订于2026年1月23日 (星期五) 19:22。 - 本站的全部文字在[知识共享署名-相同方式共享 4.0协议](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:CC_BY-SA_4.0%E5%8D%8F%E8%AE%AE%E6%96%87%E6%9C%AC "Wikipedia:CC BY-SA 4.0协议文本")之条款下提供，附加条款亦可能应用。（请参阅[使用条款](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Terms_of_Use)） Wikipedia®和维基百科标志是[维基媒体基金会](https://wikimediafoundation.org/)的注册商标；维基™是维基媒体基金会的商标。维基媒体基金会是按美国国內稅收法501(c)(3)登记的[非营利慈善机构](https://donate.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Tax_deductibility)。 - [隐私政策](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Privacy_policy) - [关于维基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%E5%85%B3%E4%BA%8E) - [免责声明](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:%E5%85%8D%E8%B4%A3%E5%A3%B0%E6%98%8E) - [行为准则](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Universal_Code_of_Conduct) - [开发者](https://developer.wikimedia.org/) - [统计](https://stats.wikimedia.org/#/zh.wikipedia.org) - [Cookie声明](https://foundation.wikimedia.org/wiki/Special:MyLanguage/Policy:Cookie_statement) - [移动版视图](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8&mobileaction=toggle_view_mobile) - [![Wikimedia Foundation](https://zh.wikipedia.org/static/images/footer/wikimedia.svg)](https://www.wikimedia.org/) - [![Powered by MediaWiki](https://zh.wikipedia.org/w/resources/assets/mediawiki_compact.svg)](https://www.mediawiki.org/) 搜索开关目录自然對數 62种语言 [添加话题](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8)
Readable Markdown	[![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Mplwp_ln.svg/330px-Mplwp_ln.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Mplwp_ln.svg) 自然對數![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)的[函數圖像](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9B%BE%E5%83%8F "函数图像") [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Log-def.svg/330px-Log-def.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Log-def.svg) 自然对数![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)的積分定義自然对数（英語：Natural logarithm）為以[数学常数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0 "数学常数")[![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)](https://zh.wikipedia.org/wiki/E_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0\) "E (数学常数)")為[底數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%95%E6%95%B0_\(%E5%AF%B9%E6%95%B0\) "底数 (对数)")的[对数函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0 "对数函数")，標記作![{\\displaystyle \\ln x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed172b0f5195382a3500c713941f945ad4db3898)或![{\\displaystyle \\log \_{e}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74001a2ed34b09d34925acf521a9d5fe2705b0a)，其[反函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B8 "反函數")為[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")![{\\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)。[\[註 1\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-1) 自然[对数积分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%A7%AF%E5%88%86 "对数积分")定義為對任何正[實數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%A6%E6%95%B8 "實數")![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)，由![{\\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)到![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)所圍成，![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)[曲線下的面積](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86 "積分")。如果![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)小於1，則計算面積為負數。 ![{\\displaystyle \\ln x=\\int \_{1}^{x}{\\frac {dt}{t}}\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cf5babc054c34c4d39919f5f55f9c95af9cf031) ![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)則定義為唯一的實數![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得![{\\displaystyle \\ln x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aa887840dd8f2c3044838f1f16c6441c17d8f42)。自然对数一般表示為![{\\displaystyle \\ln x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634f0148eb7149a10e09fcb4bf0975eba8f92a5)，數學中亦有以![{\\displaystyle \\log x\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1972dea0932e1239d4fbfcc5343b52b890b265)表示自然對數。[\[1\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-2)[\[註 2\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-3) [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cd/Hyperbolic_sector.svg/250px-Hyperbolic_sector.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbolic_sector.svg) [雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")是[笛卡爾平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AC%9B%E5%8D%A1%E5%B0%94%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "笛卡尔平面")![{\\displaystyle \\{(x,y)\\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f352e04e23fa05b4f06df4d7d86c052da0420e99)上的一個區域，由從原點到![{\\textstyle (a,{\\frac {1}{a}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5577951ae3c642b5c1826cace146c124e74ba23e)和![{\\textstyle (b,{\\frac {1}{b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68430db32917c6ca965d7a3d4e45457af92519e0)的射線，以及[雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A "雙曲線")![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)圍成。在標準位置的雙曲線扇形有![{\\displaystyle a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6104442ed30596ef4d7795d3186273f68d796ea4)且![{\\displaystyle b\>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0041c936812fb809c4511e31eb0404de9d48511b)，它的面積為![{\\displaystyle \\ln(b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1478e03c7ceb988b4af61f838234692f2b183b1)[\[2\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-4)，此時雙曲線扇形對應正[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/47/Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg/250px-Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Gregoire_de_St_Vincent_Quadrature.svg) 當直角雙曲線下的兩段面積相等時，![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)的值呈[等比數列](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B8%E5%88%97 "等比數列")，![{\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}=k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250efff44fa3e372308dd42351c77d37fa544126)，![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值也呈等比數列，![{\\textstyle {\\frac {x\_{2}}{x\_{1}}}={\\frac {x\_{1}}{x\_{0}}}={\\frac {1}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5daa310ee1515618b0e69e66969c2391548805f)。 [約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")在1614年[\[3\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-5)以及[约斯特·比尔吉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 "约斯特·比尔吉")在6年後[\[4\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-6)，分別發表了獨立編制的[對數表](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E8%A1%A8 "对数表")，當時通過對接近1的底數的大量乘[冪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA "冪")運算，來找到指定範圍和精度的[對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8 "對數")和所對應的真數。當時還沒出現[有理數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0 "有理数")冪的概念，按後世的觀點，[約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")的底數0.999999910000000相當接近![{\\textstyle {\\frac {1}{e}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe63386d4ee481420baab9ee462769a274ed7fa4)[\[5\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-7)，而[约斯特·比尔吉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E6%96%AF%E7%89%B9%C2%B7%E6%AF%94%E5%B0%94%E5%90%89 "约斯特·比尔吉")的底數1.000110000相當接近自然對數的底數![{\\displaystyle e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd253103f0876afc68ebead27a5aa9867d927467)。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，[約翰·納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，[亨利·布里格斯](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E4%BA%A8%E5%88%A9%C2%B7%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%96%AF&action=edit&redlink=1 "亨利·布里格斯（页面不存在）")建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法[\[6\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-8)於1624年部份完成了[常用對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "常用對數")表的編制。形如![{\\displaystyle f(x)=x^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287686868142439d014dfc66870fcb01efab941b)的曲線都有一個代數[反導數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8D%E5%B0%8E%E6%95%B8 "反導數")，除了特殊情況![{\\displaystyle p=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f21ac8555bb1dfc99be2fa1f5120d4885f343e8)對應於雙曲線的[弓形面積](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D&action=edit&redlink=1 "弓形面積（页面不存在）")，即[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")；其他情況都由1635年發表的[卡瓦列里弓形面積公式](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F&action=edit&redlink=1 "卡瓦列里弓形面積公式（页面不存在）")給出[\[7\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-9)，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的[阿基米德](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7 "阿基米德")完成（[拋物線的弓形面積](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%8B%E7%89%A9%E7%B7%9A%E7%9A%84%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D "拋物線的弓形面積")），雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年[圣文森特的格列高利](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%9C%A3%E6%96%87%E6%A3%AE%E7%89%B9%E7%9A%84%E6%A0%BC%E5%88%97%E9%AB%98%E5%88%A9&action=edit&redlink=1 "圣文森特的格列高利（页面不存在）")將對數聯繫於雙曲線![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)的弓形面積，他發現x軸上![{\\displaystyle \[a,b\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")同![{\\displaystyle \[c,d\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85b3b21d6d891d97f85e263d394e3c90287586f)對應的扇形，在![{\\textstyle {\\frac {a}{b}}={\\frac {c}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b8b02893772e7f72dbec7a37b0a29d8dd53666)時面積相同，這指出了雙曲線從![{\\displaystyle x=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee42176e76ae6b56d68c42ced807e08b962a2b54)到![{\\displaystyle x=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c0426ebd38c267805e4308c63f11cb976e4963)的積分![{\\displaystyle f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf044fe2fbfc4bd8d6d7230f4108430263f9fd6)滿足[\[8\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-10)： ![{\\displaystyle f(tu)=f(t)+f(u)\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5524cc6602864dea1790c4837747285d864d12c) 1649年，[萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%90%A8%E6%8B%89%E8%90%A8%E7%9A%84%E9%98%BF%E5%B0%94%E4%B8%B0%E6%96%AF%C2%B7%E5%AE%89%E4%B8%9C%E5%B0%BC%E5%A5%A5&action=edit&redlink=1 "萨拉萨的阿尔丰斯·安东尼奥（页面不存在）")將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，[伊薩克·牛頓](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%90%A8%E5%85%8B%C2%B7%E7%89%9B%E9%A1%BF "伊萨克·牛顿")推廣了[二項式定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 "二项式定理")，他將![{\\textstyle {\\frac {1}{1+x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefe1ccc97077c50816a247269eb2d1c18a14b72)展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於[尼古拉斯·麥卡托](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%E6%96%AF%C2%B7%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98 "尼古拉斯·麥卡托")在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[\[9\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-11)，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的[麥卡托級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 "麥卡托級數")。大約1730年，[歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")定義互為逆函數的[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")和自然對數為[\[10\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-12)[\[11\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-ReferenceA-13)： ![{\\displaystyle e^{x}=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }\\left(1+{\\frac {x}{n}}\\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8ddbfe425a744c0f8e5df2f32d0b4205b04e71) ![{\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746bb68f6df1407a9935f1aa611084b3fd6fc5e9) 1742年[威廉·琼斯](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A8%81%E5%BB%89%C2%B7%E7%90%BC%E6%96%AF_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6\) "威廉·琼斯 (数学家)")發表了現在的[冪](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA "冪")[指數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0 "指数")概念[\[12\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-14)。 [歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")定義自然對數為[序列的極限](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 "序列的极限")： ![{\\displaystyle \\ln(x)=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n\\left(x^{\\frac {1}{n}}-1\\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f70dff77adffb727f2a442319343749a795902c) ![{\\displaystyle \\ln(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ddec5ff9f887294161d0cf715b0451b0edf8193)正式定義為[積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E5%88%86 "積分")， ![{\\displaystyle \\ln(a)=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adff47b619ff4663410ba2c44033f4614cf0657) 這個函數為對數是因滿足[對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8 "對數")的基本性質: ![{\\displaystyle \\ln(ab)=\\ln(a)+\\ln(b).\\,\\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c921687b577c8089b416eb37db454755a8dd7af) 這可以通過將定義了![{\\displaystyle \\ln(ab)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06642442f5d9320df4962f16a8e16ed5b95ca3b)的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行[換元](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 "换元积分法")![{\\displaystyle x=ta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898bef5176cf2a1892523fc525e2c2a155e31b7b)來證實: ![{\\displaystyle \\ln(ab)=\\int \_{1}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{a}^{ab}{\\frac {1}{x}}\\;dx=\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{at}}\\;d(at)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ef1c9479821157ad3b9a708c2cb2460f933ad1) ![{\\displaystyle =\\int \_{1}^{a}{\\frac {1}{x}}\\;dx\\;+\\int \_{1}^{b}{\\frac {1}{t}}\\;dt=\\ln(a)+\\ln(b).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d217cf5aeef9397a144fb99b5cfc7ee8a53adaa1) 冪公式![{\\displaystyle \\ln(t^{r})=r\\ln(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7ad5857976c3e6c7cdb053fecf7c1e6cc1cdd9)可如下推出: ![{\\displaystyle \\ln(t^{r})=\\int \_{1}^{t^{r}}{\\frac {1}{x}}dx=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}d\\left(u^{r}\\right)=\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u^{r}}}\\left(ru^{r-1}\\,du\\right)=r\\int \_{1}^{t}{\\frac {1}{u}}\\,du=r\\ln(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19f7c2e9451026cfa4f39aacc2425d830baeedd) 第二個等式使用了[換元](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A2%E5%85%83%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%B3%95 "换元积分法")![{\\displaystyle u=x^{\\frac {1}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b6e454948b3240c90efb616937e535e3ff4d5d6)。自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示： ![{\\displaystyle \\ln(x)=-\\lim \_{\\epsilon \\to 0}\\int \_{\\epsilon }^{\\infty }{\\frac {dt}{t}}\\left(e^{-xt}-e^{-t}\\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0d6258fcea4a3d9e9a9e4cd570d5477cc0fbd5) - ![{\\displaystyle \\ln(1)=\\int \_{1}^{1}{\\frac {1}{t}}\\,dt=0\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd3a9c22f19fa8abd4d37de5cceecdff4634f104) - ![{\\displaystyle \\operatorname {ln} (-1)=i\\pi \\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8153d0afcb10d5b4b310c85592aac814d9be48) (參見[複數對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E6%95%B8%E5%B0%8D%E6%95%B8 "複數對數")) - ![{\\displaystyle \\ln(x)\<\\ln(y)\\quad {\\rm {for}}\\quad 0\<x\<y\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43bf10d984b9ec846a4c4ab09064f69dc2fcd588) - ![{\\displaystyle \\lim \_{x\\to 0}{\\frac {\\ln(1+x)}{x}}=1\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afcec75678f93c5ab7554b3a39a540f2f58020ee) - ![{\\displaystyle \\ln(x^{y})=y\\,\\ln(x)\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ef1a589f92ea7cef6f2fa1d9284a9354f1a3d6) - ![{\\displaystyle {\\frac {x-1}{x}}\\leq \\ln(x)\\leq x-1\\quad {\\rm {for}}\\quad x\>0\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7633647306612a5dba05eb1069b7d0464f8393) - ![{\\displaystyle \\ln {(1+x^{\\alpha })}\\leq \\alpha x\\quad {\\rm {for}}\\quad x\\geq 0,\\alpha \\geq 1\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afe552f3b880d10d4746a1b53681bfd6702c7d) \| 證明 \| \|---\| \| ![{\\displaystyle \\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)}{h}}=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(1+h)-\\ln 1}{h}}={\\frac {d}{dx}}\\ln x{\\Bigg \\|}\_{x=1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f95e0831f1228ba61e98cd96eac29e4d55dca89d) \| [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Logarithm_derivative.svg/330px-Logarithm_derivative.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logarithm_derivative.svg) 自然對數的圖像和它在![{\\displaystyle x=1.5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/073413584cae74e89a5a3128150905b9aff34108)處的切線。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/LogTay.svg/330px-LogTay.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:LogTay.svg) ![{\\displaystyle \\ln(1+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)的泰勒多項式只在![{\\displaystyle -1\<x\\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3146f6393631821d264b39f7bf2a9fc1e60cb0)範圍內有逐步精確的近似。自然對數的[導數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8E%E6%95%B8 "導數")為 ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}.\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450bbcf4fc982e5c9d6244746c48bbf1dc5cb174) 證明一（微積分第一基本定理）:![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {d}{dx}}\\int \_{1}^{x}{\\frac {1}{t}}\\,dt={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5717ba13a505ab2d2deb5d9a4bf8a6e64dd05db) 證明二：[按此影片](https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)（[页面存档备份](https://web.archive.org/web/20210402030947/https://www.youtube.com/watch?v=yUpDRpkUhf4&list=PL19E79A0638C8D449&index=28)，存于[互联网档案馆](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E8%81%94%E7%BD%91%E6%A1%A3%E6%A1%88%E9%A6%86 "互联网档案馆")） ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln(x+h)-\\ln(x)}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb480bfd80181b743afe480c7e318a9a687878da) ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}{\\frac {\\ln({\\frac {x+h}{x}})}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b08aae24f97c4f91c2011a049bb0ab05c970041) ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\left\[{\\frac {1}{h}}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)\\right\]\\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d8ec064c03dca33ec9440c431407ea9090bbe1) ![{\\displaystyle =\\lim \_{h\\to 0}\\ln \\left(1+{\\frac {h}{x}}\\right)^{\\frac {1}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b051744a03bf3da278c66271d52e12e986848c23) 设![{\\displaystyle u={\\frac {h}{x}}\\Rightarrow ux=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/320065355f1d23bd07343e77b588ee450252ac2b) ![{\\displaystyle {\\frac {1}{h}}={\\frac {1}{ux}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19b2c0f15b25a082e5d381d002dfa2c72f38efa) ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)=\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{ux}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf130c86e41fb21031d40a64934c8dfe081a63a) ![{\\displaystyle =\\lim \_{u\\to 0}\\ln \\left\[(1+u)^{\\frac {1}{u}}\\right\]^{\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1cdcd1187e5294c22ac0293d87549d6e1eef9a) ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\lim \_{u\\to 0}\\ln(1+u)^{\\frac {1}{u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bc76a790bc63e7abb9a1cce610f5c5f322e179b) 设![{\\displaystyle n={\\frac {1}{u}}\\Rightarrow u={\\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a0f27fd2ec184f1bf47cdae77799a887f58f4be) ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln(x)={\\frac {1}{x}}\\lim \_{n\\to \\infty }\\ln \\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31e23f18d904dd4bd0b341ad094f9d2cd5b6d52b) ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln \\left\[\\lim \_{n\\to \\infty }\\left(1+{\\frac {1}{n}}\\right)^{n}\\right\]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0380744b61c8586952f38a93d51089fad2b6c3) ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}\\ln e}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e07b19250f2f54213a3f9a07da3353a9e33f2f) ![{\\displaystyle ={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee12096bed04e8b72030794d211b2467d3b25d0) 用自然對數定義的更一般的對數函數，![{\\displaystyle \\log \_{b}(x)={\\frac {\\ln(x)}{\\ln(b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a93d813551fae4ee9a530804b1ca385e094c01)，根據其[逆函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E5%87%BD%E6%95%B0 "逆函数")即一般[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")的性質，它的導數為[\[13\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-LangIV.2-15)[\[14\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-16)： ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\log \_{b}(x)={\\frac {1}{x\\ln(b)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794d02caaee43f681800270031cd94aadc8192df) 根據[鏈式法則](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 "链式法则")，以![{\\displaystyle f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)為參數的自然對數的導數為 ![{\\displaystyle {\\frac {d}{dx}}\\ln\[f(x)\]={\\frac {f'(x)}{f(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d12207bb467c5467b6f0587fd9e0f56a983e4c4) 右手端的商叫做![{\\displaystyle f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)的[對數導數](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%B0%8E%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 "對數導數（页面不存在）")，通過![{\\displaystyle \\ln(f(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8403d6c5b2b7957e475e81100f1338049071da)的導數的方法計算![{\\displaystyle f'(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd7d7c75340e779d82658e19d1720ce84ab127)叫做[對數微分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8D%E6%95%B8%E5%BE%AE%E5%88%86 "對數微分")[\[15\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-17)。自然對數的導數性質導致了![{\\displaystyle \\ln(1+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16ccd97dc2eaef5ce6d8b7bc593a0e2dbd3dca4)在0處的[泰勒級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E7%BA%A7%E6%95%B0 "泰勒级数")，也叫做[麥卡托級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%BA%A5%E5%8D%A1%E6%89%98%E7%B4%9A%E6%95%B8 "麥卡托級數")： ![{\\displaystyle \\ln(1+x)=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{\\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-\\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ac92d9db1e98a32e8c4232e97a117158eba05b) 對於所有![{\\displaystyle \\left\\|x\\right\\|\\leq 1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53ba55423fa548eed5fef83ac6af9b17326420f)但不包括![{\\displaystyle x=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a51899e84bbbb14d044de1e69f57f73f70178b4c) 把![{\\displaystyle x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f1a88d34243b98b57c4df9db5724f61b59a4b9d)代入![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中，可得到![{\\displaystyle \\ln(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0df055b8e294310e6785701c1c67105e109191d8)自身的級數。通過在麥卡托級數上使用[歐拉變換](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%BC%8F%E8%AE%8A%E6%8F%9B "二項式變換")，可以得到對[絕對值](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC "绝对值")大於1的任何![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)有效的如下級數: ![{\\displaystyle \\ln {x \\over {x-1}}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {nx^{n}}}={1 \\over x}+{1 \\over {2x^{2}}}+{1 \\over {3x^{3}}}+\\cdots \\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9498b73b3d5be246ef64ee69e3fc6a38d6062fdd) 這個級數類似於[贝利-波尔温-普劳夫公式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%9D%E5%88%A9-%E6%B3%A2%E5%B0%94%E6%B8%A9-%E6%99%AE%E5%8A%B3%E5%A4%AB%E5%85%AC%E5%BC%8F "贝利-波尔温-普劳夫公式")。還要注意到![{\\displaystyle x \\over {x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)是自身的逆函數，所以要生成特定數![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的自然對數，簡單把![{\\displaystyle x \\over {x-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc974a5aae3e7c35abb4fbb30031e5f097c7413)代入![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)中。 ![{\\displaystyle \\ln {x}=\\sum \_{n=1}^{\\infty }{1 \\over {n}}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{n}=\\left({x-1 \\over x}\\right)+{1 \\over 2}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{2}+{1 \\over 3}\\left({x-1 \\over x}\\right)^{3}+\\cdots \\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33cfb6cb640b25679e70408fba5d69e3151e628) 對於![{\\displaystyle \\operatorname {Re} (x)\\geq {\\frac {1}{2}}\\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a53cda089abfc94de810784e89823d5f50afd58) 自然數的倒數的總和 ![{\\displaystyle 1+{\\frac {1}{2}}+{\\frac {1}{3}}+\\cdots +{\\frac {1}{n}}=\\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f50a7390e77e5beed851612314d2d03991d564) 叫做[調和級數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B8 "調和級數")。它與自然對數有密切聯繫：當![{\\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)趨於無窮的時候，差 ![{\\displaystyle \\sum \_{k=1}^{n}{\\frac {1}{k}}-\\ln(n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f1edf2104b89524c509d6cb9ea1a667251d3ac) [收斂](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8F%E5%88%97%E7%9A%84%E6%9E%81%E9%99%90 "序列的极限")於[欧拉-马歇罗尼常数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89-%E9%A9%AC%E6%AD%87%E7%BD%97%E5%B0%BC%E5%B8%B8%E6%95%B0 "欧拉-马歇罗尼常数")。這個關係有助於分析算法比如[快速排序](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BF%AB%E9%80%9F%E6%8E%92%E5%BA%8F "快速排序")的性能。[\[16\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-18) 自然對數通過[分部積分法](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E9%83%A8%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95 "分部積分法")積分: ![{\\displaystyle \\int \\ln(x)\\,dx=x\\ln(x)-x+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcaf5c8b14b232de9ff79e9ae0960ea4966bd10) 假設: ![{\\displaystyle u=\\ln(x)\\Rightarrow du={\\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07f106dec4139287b8fa6ea0af0f9233afb3ee9) ![{\\displaystyle dv=dx\\Rightarrow v=x\\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30adc0b089b174086fcd71fa2a2d6c55dd4ac9c) 所以: ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\ln(x)\\,dx&=x\\ln(x)-\\int {\\frac {x}{x}}\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-\\int 1\\,dx\\\\&=x\\ln(x)-x+C\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52916fee071fbe482bee84e9da920fe184d86473) 自然對數可以簡化形如![{\\displaystyle g(x)={\\frac {f'(x)}{f(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ec85038d18bd7c78c473575ac4191ecac341b)的函數的積分：![{\\displaystyle g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ca91363022bd5e4dcb17e5ef29f78b8ef00b59)的一個[原函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%87%BD%E6%95%B0 "原函数")給出為![{\\displaystyle \\ln(\\left\\vert f(x)\\right\\vert )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9975e179080dba16b101e6ca58f7da6d42e93e9)。這是基於[鏈式法則](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%BE%E5%BC%8F%E6%B3%95%E5%88%99 "链式法则")和如下事實: ![{\\displaystyle \\ {d \\over dx}\\ln \\left\\|x\\right\\|={1 \\over x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d8ac4cfdc2a4a98263b4d0103ea90b760529440) 換句話說， ![{\\displaystyle \\int {1 \\over x}dx=\\ln \\|x\\|+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bde26fca8bed415e46c7676a746046f49a977695) 且 ![{\\displaystyle \\int {{\\frac {f'(x)}{f(x)}}\\,dx}=\\ln \\|f(x)\\|+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2683aa09c111fd31ccc4bc0759816701d790f7) 下面是![{\\displaystyle g(x)=\\tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab38455820b36af96b8d054bf38f277f545f0b1)的例子： ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=\\int {\\sin x \\over \\cos x}\\,dx\\\\&=\\int {-{d \\over dx}\\cos x \\over {\\cos x}}\\,dx.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73b630a5510b6af7a6774037d831cbcb8c585b77) 設![{\\displaystyle f(x)=\\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0287cb9d4a431cc7cc469339b15807eca263a770)且![{\\displaystyle f'(x)=-\\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9068becdff494367c57cb1e755323438e5e2c36f)： ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int \\tan x\\,dx&=-\\ln {\\left\\|\\cos x\\right\\|}+C\\\\&=\\ln {\\left\\|\\sec x\\right\\|}+C\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e1747b1c7d53dffed302bb2b9742e962beed03) [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3f/Cartesian_hyperbolic_triangle.svg/250px-Cartesian_hyperbolic_triangle.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Cartesian_hyperbolic_triangle.svg) 在[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")(方程![{\\displaystyle y={\\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0871f6114093b98d171970f2974952524b02d1b))下，雙曲線三角形(黃色)，和對應於[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")![{\\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")(紅色)。這個三角形的邊分別是[雙曲函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 "雙曲函數")中[![{\\displaystyle \\cosh }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011ccafd311d38f9bbc0fcf3f7b13f7d81469d84)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E9%A4%98%E5%BC%A6 "雙曲餘弦")和[![{\\displaystyle \\sinh }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6649e190c30e91b280cc02b27acdfe00055e58)](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E6%AD%A3%E5%BC%A6 "雙曲正弦")的![{\\displaystyle {\\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff)倍。 [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Hyperbolic_functions-2.svg/250px-Hyperbolic_functions-2.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Hyperbolic_functions-2.svg) 射線出原點交[單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线")![{\\displaystyle \\scriptstyle x^{2}\\ -\\ y^{2}\\ =\\ 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2ff17ec3621153664213260986ed1dfad5bf80)於點![{\\displaystyle \\scriptstyle (\\cosh \\,a,\\,\\sinh \\,a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b1a06ba0c78f08e6f7435751a74587ba2774c0)，這裡的![{\\displaystyle \\scriptstyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f7e8e9e4ccfbf1f3f9e920dacf9c4250c1e164)是射線、雙曲線和![{\\displaystyle \\scriptstyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6f6eaddec053fdd1c4a73fd001e579241d248a8)軸圍成的面積的二倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。在18世紀，[約翰·海因里希·蘭伯特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%BF%B0%C2%B7%E6%B5%B7%E5%9B%A0%E9%87%8C%E5%B8%8C%C2%B7%E5%85%B0%E4%BC%AF%E7%89%B9 "约翰·海因里希·兰伯特")介入[雙曲函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E5%87%BD%E6%95%B8 "雙曲函數")[\[17\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-19)，並計算[雙曲幾何](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E5%87%A0%E4%BD%95 "双曲几何")中[雙曲三角形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2 "雙曲三角形")的面積[\[18\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-20)。對數函數是在[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊在線![{\\displaystyle y=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0abe2e7da593fb7b41d44e87a97fefdd8998b77)上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的逆函數[指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")，即要形成指定[雙曲角](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E8%A7%92 "双曲角")![{\\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)，在漸近線即x或y軸上需要有的![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)或![{\\displaystyle y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)的值。顯見這裡的底邊是![{\\displaystyle \\left(e^{u}+e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f549b97e4cb52d6c3cfe8fde1ff4bed25dc39a50)，垂線是![{\\displaystyle \\left(e^{u}-e^{-u}\\right){\\frac {\\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ce3f07a6794311b5fb0bb5dda043bf3be712cb)。通過旋轉和縮小[線性變換](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%8F%98%E6%8D%A2 "线性变换")，得到[單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线")下的情況，有： - ![{\\displaystyle \\cosh x={\\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadfb8f7ca46307b22bbc2a582eefe7c538f76e7) - ![{\\displaystyle \\sinh x={\\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04165b783b3e1f882a8d31ebe803180ed55f604) [單位雙曲線](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%95%E4%BD%8D%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF "单位双曲线")中雙曲線扇形的面積是對應[直角雙曲線](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%9B%B4%E8%A7%92%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A&action=edit&redlink=1 "直角雙曲線（页面不存在）")![{\\displaystyle xy=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7028e7e873eb4ec50f53be53ad478ded8351c1)下雙曲角的![{\\displaystyle {\\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55)。儘管自然對數沒有簡單的[連分數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8 "連分數")，但有一些[廣義連分數](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B8&action=edit&redlink=1 "廣義連分數（页面不存在）")如: ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(1+x)&={\\frac {x^{1}}{1}}-{\\frac {x^{2}}{2}}+{\\frac {x^{3}}{3}}-{\\frac {x^{4}}{4}}+{\\frac {x^{5}}{5}}-\\cdots \\\\&={\\cfrac {x}{1-0x+{\\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\\ddots }}}}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723beb84a823566c37ab560d8b4f0a0bab04805b) ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln \\left(1+{\\frac {x}{y}}\\right)&={\\cfrac {x}{y+{\\cfrac {1x}{2+{\\cfrac {1x}{3y+{\\cfrac {2x}{2+{\\cfrac {2x}{5y+{\\cfrac {3x}{2+\\ddots }}}}}}}}}}}}\\\\&={\\cfrac {2x}{2y+x-{\\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\\ddots }}}}}}}}\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10e8545fe0192e1696b4f3ee35811dd8a769e9b) 這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。例如，因為![{\\displaystyle 2=1.25^{3}\\times 1.024}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69a8d5baabbb41b99617ca9edf3f57d9f0bf686)，[2的自然對數](https://zh.wikipedia.org/wiki/2%E7%9A%84%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8 "2的自然對數")可以計算為: ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 2&=3\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {6}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {6}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43156608242f8e611672c9c427ff20949003adf) 進而，因為![{\\displaystyle 10=1.25^{10}\\times 1.024^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84615852b232d67b0fa2e9868a512094857e8f31)，10的自然對數可以計算為: ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln 10&=10\\ln \\left(1+{\\frac {1}{4}}\\right)+3\\ln \\left(1+{\\frac {3}{125}}\\right)\\\\&={\\cfrac {20}{9-{\\cfrac {1^{2}}{27-{\\cfrac {2^{2}}{45-{\\cfrac {3^{2}}{63-\\ddots }}}}}}}}+{\\cfrac {18}{253-{\\cfrac {3^{2}}{759-{\\cfrac {6^{2}}{1265-{\\cfrac {9^{2}}{1771-\\ddots }}}}}}}}.\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df078fe09c406d7d837f3f3b28a2c860a8d592e6) [指數函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B8%E5%87%BD%E6%95%B8 "指數函數")可以擴展為對任何複數![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)得出複數值為![{\\displaystyle e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841c0d168e64191c45a45e54c7e447defd17ec6a)的函數，只需要簡單使用![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)為複數的無窮級數；這個指數函數的逆函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難：不存在![{\\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)使得![{\\displaystyle e^{x}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c16101b4eb2d20685091ec65f9e85d5a3e18425)；並且有著![{\\displaystyle e^{2\\pi i}=1=e^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7824793c7c837d6bd582f91df6e8cd0a274e65)。因為乘法性質仍適用於複數指數函數，![{\\displaystyle e^{z}=e^{z+2n\\pi i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59991ce6a41a083a5a155b93ef1216ccebd39b7e)，對於所有複數![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)和整數![{\\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)。所以對數不能定義在整個[複平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "複平面")上，並且它是[多值函數](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%80%BC%E5%87%BD%E6%95%B0 "多值函数")，就是說任何複數對數都可以增加![{\\displaystyle 2\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在[切割平面](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2#%E5%88%87%E5%89%B2%E8%A4%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2 "複平面")上是單值函數。例如，![{\\displaystyle \\log i={\\frac {1}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc8650b2ff58c60aaab5f1242730871d4c5121f)或![{\\displaystyle {\\frac {5}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70df664443ab75415d0c19045c884e2efe8aefcc)或![{\\displaystyle -{\\frac {3}{2}}\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa112e34cd5b242ba68ce0a4a1c7c0046be0c9f3)等等；儘管![{\\displaystyle i^{4}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e290e918d282a25fe61c1eb4162696c2806b6b68)，![{\\displaystyle 4\\log =i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999ba580087a47c8271fd87fa06be38a2267bf61)不能定義為![{\\displaystyle 2\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5715af49984c5b33961d55f532d14497b0cbae)或![{\\displaystyle 10\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fc7dbdbb1836dc91393769b5ec62584c88cb488)或![{\\displaystyle -6\\pi i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ee3fa887fc256adda468beb26a5af52732c070)，以此類推。 - 自然對數函數在複平面（主分支）上的繪圖 - [![z=Re(ln(x+iy))](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Natural_Logarithm_Re.svg/250px-Natural_Logarithm_Re.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Re.svg "z=Re(ln(x+iy))") z\=Re(ln(x+iy)) - [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/37/Natural_Logarithm_Im_Abs.svg/250px-Natural_Logarithm_Im_Abs.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Im_Abs.svg) - [![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Natural_Logarithm_Abs.svg/250px-Natural_Logarithm_Abs.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_Abs.svg) - [![前三圖的疊加](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/29/Natural_Logarithm_All.svg/250px-Natural_Logarithm_All.svg.png)](https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Natural_Logarithm_All.svg "前三圖的疊加") 前三圖的疊加對於每個非0複數![{\\displaystyle z=x+yi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639f77c05613faa61f43ee28a4d5ca7c35fffa38)，主值![{\\displaystyle \\log z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)是虛部位於區間![{\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內的對數。表達式![{\\displaystyle \\log 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b275ca0bbc82c90acc9ab79286340b93f555e7)不做定義，因為沒有複數![{\\displaystyle w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88b1e0c8e1be5ebe69d18a8010676fa42d7961e6)滿足![{\\displaystyle e^{w}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98117ff5f5190893ea558bd99c544dd973eafbcd)。要對![{\\displaystyle \\log z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d208820c31babc9dfabefde37b4309cfceecc6e)給出一個公式，可以先將![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)表達為[極坐標](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%81%E5%9D%90%E6%A0%87 "极坐标")形式，![{\\displaystyle z=re^{i\\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5b36ddd965193c2b7d6ea24a7c3678814d0dc8d)。給定![{\\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)增加![{\\displaystyle 2\\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73efd1f6493490b058097060a572606d2c550a06)的整數倍，所以為了保證唯一性而要求![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)位於區間![{\\displaystyle (-\\pi ,\\pi \]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbb1843079a9df3d3bbcce3249bb2599790de9c)內；這個![{\\displaystyle \\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)叫做幅角的主值，有時寫為![{\\displaystyle \\operatorname {arg} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f08b2c439c1afe3614ac0029eab9720ab9fcd23)或![{\\displaystyle \\operatorname {atan} 2(y,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c0d4d04d7cbb402d184082367a90edb34c15063)。則對數的主值可以定義為[\[19\]](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_note-Sarason-21)： ![{\\displaystyle \\operatorname {Log} z:={\\text{ln }}r+i\\theta =\\ln \\|z\\|+i\\operatorname {Arg} z=\\operatorname {ln} {\\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\\operatorname {atan2} (y,x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e166c4fa33b82a7f8371e45146f2eb604ebc4f3) 例如，![{\\displaystyle \\operatorname {Log} (-3i)=\\ln 3-{\\frac {\\pi i}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee2b48a0390da895a6c8c25a03fec73427b071b)。自然指数有应用於表达[放射性衰變](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E5%B0%84%E6%80%A7%E8%A1%B0%E8%AE%8A "放射性衰變")的过程，如放射性原子数目的[微分方程](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B "微分方程")![{\\displaystyle N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)随时间变化率![{\\displaystyle {\\frac {dN}{dt}}=-pN}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecfe7b6c395a603fd24b8901e9b2e84e52030115)，常数![{\\displaystyle p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36)为原子衰变概率，积分得![{\\displaystyle N(t)=N(0)\\exp(-pt)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428a86d94fe20efd936be0cfb20a2fc4314fa45a)。 1. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-2) 例如[哈代](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%88%88%E5%BC%97%E9%9B%B7%C2%B7%E5%93%88%E7%BD%97%E5%BE%B7%C2%B7%E5%93%88%E4%BB%A3 "戈弗雷·哈罗德·哈代")和[賴特](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9B%E5%BE%B7%E8%8F%AF%C2%B7%E6%A2%85%E7%89%B9%E8%98%AD%C2%B7%E8%B3%B4%E7%89%B9 "愛德華·梅特蘭·賴特")所著的《數論入門》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."（log x 當然是以e為基，x的「[納皮爾](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E7%BF%B0%C2%B7%E7%B4%8D%E7%9A%AE%E7%88%BE "約翰·納皮爾")」對數。「常用」對數在數學上毫無重要。） 2. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-4) 證明：從1到b積分1/x，增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)}，並減去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。 3. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-5) Ernest William Hobson, [John Napier and the invention of logarithms, 1614](http://www.archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala), Cambridge: The University Press, 1914 4. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-6) [Boyer, Carl B.](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=Carl_Benjamin_Boyer&action=edit&redlink=1 "Carl Benjamin Boyer（页面不存在）"), 14，Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: [John Wiley & Sons](https://zh.wikipedia.org/wiki/John_Wiley_%26_Sons "John Wiley & Sons"), 1991, [ISBN 978-0-471-54397-8](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-471-54397-8 "Special:BookSources/978-0-471-54397-8") 5. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-7) 選取接近e的底數b，對數表涉及的bx為單調增函數，定義域為0到1而值域為1到b；選取接近1/e的底數b，對數表涉及的bx為單調減函數，定義域為0到∞而值域為1到0。 6. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-8) 以![{\\displaystyle 10^{\\frac {1}{2^{54}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d9dd11072280a595f5e666a4e5f06968393f15)這個接近1的數為基礎。 7. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-9) [博納文圖拉·卡瓦列里](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%9A%E7%B4%8D%E6%96%87%E5%9C%96%E6%8B%89%C2%B7%E5%8D%A1%E7%93%A6%E5%88%97%E9%87%8C "博納文圖拉·卡瓦列里")在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中給出[定積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86 "定积分")： ![{\\displaystyle \\int \_{0}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,a^{n+1}\\qquad n\\geq 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b05bbf6c8be79b76b81da949078352148eaed6) 其[不定積分](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E7%A9%8D%E5%88%86 "不定積分")形式為： ![{\\displaystyle \\int x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}\\,x^{n+1}+C\\qquad n\\neq -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a909d97d1feaacee10f36951226e929753dad32) 獨立發現者還有：[皮埃爾·德·費馬](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9A%AE%E5%9F%83%E7%88%BE%C2%B7%E5%BE%B7%C2%B7%E8%B2%BB%E9%A6%AC "皮埃爾·德·費馬")、[罗贝瓦尔的吉尔](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E7%BD%97%E8%B4%9D%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%9A%84%E5%90%89%E5%B0%94&action=edit&redlink=1 "罗贝瓦尔的吉尔（页面不存在）")和[埃萬傑利斯塔·托里拆利](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%83%E8%90%AC%E5%82%91%E5%88%A9%E6%96%AF%E5%A1%94%C2%B7%E6%89%98%E9%87%8C%E6%8B%86%E5%88%A9 "埃萬傑利斯塔·托里拆利")。 8. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-10) 設a=1，x軸上\[a,b\]兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的[雙曲線扇形](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%99%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E6%89%87%E5%BD%A2 "雙曲線扇形")面積為f(b)，\[c,d\]對應的扇形面積為f(d)-f(c)，d=bc，即為f(bc)-f(c)，當且僅當f(bc)=f(b)+f(c)時，兩雙曲線扇形面積相等。 9. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-11) J. J. O'Connor; E. F. Robertson, [The number e](https://web.archive.org/web/20120219231529/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html), The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 \[2009-02-02\], （[原始内容](http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html)存档于2012-02-19） 10. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-12) 卡瓦列里弓形面積公式，對於負數值的n(x的負數冪)，由於在x = 0處有個[奇點](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%A5%87%E7%82%B9_\(%E6%95%B0%E5%AD%A6\) "奇点 (数学)")，因此定積分的下限為1，而不是0，即為： ![{\\displaystyle \\int \_{1}^{a}x^{n}\\,dx={\\tfrac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\\qquad n\\neq -1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57da64605f422f39c27b169071013c36c3334af6) [歐拉](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%90%E6%8B%89 "歐拉")的自然對數定義： ![{\\displaystyle {\\begin{aligned}\\ln(x)&=\\lim \_{n\\rightarrow \\infty }n(x^{1/n}-1)\\\\&=\\lim \_{n\\rightarrow -1}{\\tfrac {1}{n+1}}(x^{n+1}-1)\\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c796050dbf13a5613f27d0ed1e65e49e47f9a95e) 11. [^](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%B0%8D%E6%95%B8#cite_ref-ReferenceA_13-0) Maor, Eli, e: The Story of a Number, [Princeton University Press](https://zh.wikipedia.org/wiki/Princeton_University_Press "Princeton University Press"), 2009, [ISBN 978-0-691-14134-3](https://zh.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-691-14134-3 "Special:BookSources/978-0-691-14134-3") ,sections 1, 1. 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