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[Gyojun Youn's PS Blog](https://youngyojun.github.io/) @youngyojun, @GyojunYoun, and @yclock's PS Blog - [홈](https://youngyojun.github.io/) - [About](https://youngyojun.github.io/about/) - [카테고리](https://youngyojun.github.io/categories/) - [아카이브](https://youngyojun.github.io/archives/) - [태그](https://youngyojun.github.io/tags/) - [검색]() # Stern-Brocot Tree를 활용한 수론적 함수의 합 계산 작성일 2022-02-18 \| In [Secmem](https://youngyojun.github.io/category/#/Secmem) \| [0 Comments](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#comments) # 개요 정수론에서 주로 다루는 중요한 [수론적 함수](https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_function)로는 약수 함수 \$\\sigma\_k (n)\$, 오일러 피 함수 \$\\phi (n)\$, 뫼비우스 함수 \$\\mu (n)\$ 등이 있다. 이러한 함수의 학문적 중요도는 이루 말할 수 없으며, 컴퓨터과학와 PS 분야에도 종종 등장할 정도로 다양하게 활용된다. 본 글은 수론적 함수의 대표인 약수 함수 \$\\sigma (n)\$의 구간 합을 효율적으로 계산하는 알고리즘을 서술한다. 함수의 합을 기하적으로 해석한 후, 이를 Stern-Brocot Tree 자료구조로 계산한다. 이후, 이 알고리즘의 시간 복잡도가 \$\\tilde{O} \\left( N^{1/3} \\right)\$로 아주 효율적임을 보인다. # 문제 제기 ## 약수 함수의 합 문제 양의 정수 \$n\$에 대하여, \$n\$의 모든 양의 약수의 \$k\$제곱의 합을 생각하자. 이것이 [약수 함수](https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function) \$\\sigma\_k (n)\$의 정의이다. > \\\[\\sigma\_k (n) := \\sum\_{ d \| n } d^k\\\] 이 글에서는 \$k = 1\$인 시그마 함수 \$\\sigma (n) := \\sigma\_1 (n)\$에 대하여 주로 다룬다. 이 값은 \$n\$의 약수의 합을 나타낸다. 이제, 정수 \$N\$이 주어졌을 때, 1부터 \$N\$까지 시그마 함숫값의 합 \$ \\displaystyle \\sum\_{k=1}^{N} \\sigma(k) \$을 구하는 문제를 생각하자. ## 정수론적 접근 \$\\sigma(1) + \\cdots + \\sigma(N)\$의 값은 다음 조건을 만족하는 양의 정수 쌍 \$(n, d)\$의 개수와 같다. > 1. \$d\$는 \$n\$의 약수 > 2. \$1 \\le d \\le n \\le N\$ 이는 시그마 함수의 정의를 생각할 때, \$\\sigma(k)\$의 값은 \$n = k\$인 \$(n, d)\$의 개수와 같으므로 자명하다. 이제, \$d\$의 값을 고정한 후, 위의 조건을 만족하는 \$n\$의 개수를 세자. \$n\$은 \$N\$ 이하인 \$d\$의 배수라야 하므로, 총 \$ \\displaystyle \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor \$개만큼 존재한다. \\\[\\sum \_{k=1}^{N} \\sigma(k) = \\sum \_{d=1}^{N} \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor\\\] 이는 다르게 해석하면, \$y = \\frac{N}{x}\$ 그래프 아래에 있는 양의 정수 쌍 \$(x, y)\$의 개수를 세는 것과 같다. 곡선 \$xy = N\$은 직선 \$x = y\$에 대하여 대칭이며, 이 둘의 교점은 \$\\left( \\sqrt{N}, \\sqrt{N} \\right)\$이므로, 최종적으로 아래의 식을 얻을 수 있다. \\\[\\sum \_{d=1}^{N} \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor = 2 \\sum \_{x=1}^{ \\left\\lfloor \\sqrt{N} \\right\\rfloor } \\left\\lfloor \\frac{ N }{ x } \\right\\rfloor - { \\left\\lfloor \\sqrt{N} \\right\\rfloor }^2\\\] 우리는 시그마 함수 \$\\sigma(n)\$의 값을 어떻게 계산하는지 알지 않아도, 시그마 함수의 합을 \$O \\left( \\sqrt{N} \\right)\$만에 쉽게 계산할 수 있게 되었다. 그러나 \$N\$이 \$10^{18}\$-scale로 아주 큰 수라면, 우리는 이보다도 더욱 효율적인 방법을 찾아야 한다. # Stern-Brocot Tree 효율적인 알고리즘을 구상하기 전에, 페리 수열과 Stern-Brocot Tree 자료구조에 대하여 먼저 알아보자. ## Farey Sequence Stern-Brocot Tree에 대하여 논하기 전에, 먼저 [페리 수열](https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence)의 정의를 소개한다. \$n\$번째 페리 수열 \$F\_n\$는 다음을 만족하는 모든 기약분수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \$를 오름차순으로 나열한 수열이다. > 1. \$0 \\le b \\le a \\le n\$ > 2. \$\\gcd (a, b) = 1\$ 예를 들어, 몇몇의 \$n\$에 대하여 페리 수열 \$F\_n\$을 나열하면 아래와 같다. > \\\[F \_1 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] \\\[F \_2 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] \\\[F \_5 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{5}, \\frac{1}{4}, \\frac{1}{3}, \\frac{2}{5}, \\frac{1}{2}, \\frac{3}{5}, \\frac{2}{3}, \\frac{3}{4}, \\frac{4}{5}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] 여기서, 페리 수열 \$F\_n\$에서 인접한 두 유리수를 “차수 \$n\$에서 페리 이웃하다”라고 한다. 페리 이웃에 관한 중요한 정리를 하나 소개한다. > 차수에 상관없이, 페리 이웃한 두 유리수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \> \\frac{c}{d} \$는 \$ad - bc = 1\$을 만족한다. 이 정리는 아래에 서술할 Stern-Brocot Tree에 관한 정리의 기반이 된다. ## Stern-Brocot Tree 페리 수열 \$F\_n\$을 확장하여, 각 유리수의 역수까지 등장하는 수열을 생각하자. 편의상, \$ \\displaystyle \\frac{1}{0} = + \\infty \$로 생각하면, 이 수열은 \$ \\displaystyle \\frac{0}{1} = 0 \$ 이상 \$ \\displaystyle \\frac{1}{0} = + \\infty \$ 이하인 기약분수를 잘 나열할 것이다. 실제로, \$0\$ 이상의 모든 유리수는 충분히 큰 \$n\$에 대하여 확장된 페리 수열 \$F’ \_n\$에 정확하게 한 번 등장함을 증명할 수 있다. 이제, 깊이 \$n\$에 해당하는 층에 확장된 페리 수열 \$F’ \_n\$을 적어, 아래 그림과 같은 이진 트리를 생각하자. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/SternBrocotTree.png) **그림 1: Stern–Brocot Tree** 확장된 페리 수열 \$F' \_1\$부터 \$F' \_4\$까지 활용하여 깊이 4의 Stern-Brocot Tree를 만들 수 있다. 이 트리는 (1) **완전 이진 검색 트리**이며, (2) **모든 양의 유리수가 정확하게 한 번씩 등장**한다는 강력한 성질을 가진다. 또한, 트리 그 자체로 유리수와 자연수 간의 일대일 대응을 잘 보여준다. 이러한 완전 이진 검색 트리를 [Stern-Brocot Tree](https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree)라고 부른다. ## 유리수 이분탐색 알고리즘 분야에서 Stern-Brocot Tree는 유리수를 대상으로 이분탐색을 할 수 있게 되었다는 점에서 그 의미가 깊다. 두 유리수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \< \\frac{c}{d} \$에 대하여, \$\\displaystyle \\frac{a}{b}\$ 초과 \$\\displaystyle \\frac{c}{d}\$ 미만의 모든 유리수를 담고 있는 Stern-Brocot Subtree의 루트 정점은 \$\\displaystyle \\frac{a+c}{b+d}\$이다. 이를 그대로 활용하면, 다음과 같은 이분탐색 알고리즘을 생각할 수 있다. > 1. \$ \\displaystyle s := \\frac{a}{b} = \\frac{0}{1} \$, \$ \\displaystyle e := \\frac{c}{d} = \\frac{1}{0} \$으로 설정한다. 이제, 각 스텝마다 \$s\$ 초과 \$e\$ 미만인 유리수에 대하여 이분탐색을 수행한다. > 2. 중간값 \$ \\displaystyle m := \\frac{ a+c }{ b+d } \$을 잡자. > 1. 만약, \$m\$이 찾고자 하는 유리수라면, 탐색을 멈춘다. > 2. 아니라면, 찾고자 하는 유리수와 \$m\$에 대한 대소비교를 수행한다. > 3. \$(s, e)\$를 \$(s, m)\$ 혹은 \$(m, e)\$로 대입한 후, 위의 과정을 반복한다. 이러한 이분탐색 과정을 통하여 최종적으로 기약분수 \$ \\displaystyle \\frac{x}{y} \$를 얻었다면, 탐색 횟수는 Stern-Brocot Tree에서 정점 \$ \\displaystyle \\frac{x}{y} \$의 깊이와 같으므로 \$O(x+y)\$이다. 과정 2.는 Stern-Brocot Tree의 정점에서 한 쪽 방향으로 내려가는 것을 나타낸다. 여기서, 연속으로 몇 번까지 같은 방향으로 내려가는지를 알아낼 수 있다면 탐색 횟수를 줄일 수 있다. 예를 들어, 중간값 \$m\$보다 작은 쪽으로 탐색을 이어나가야 한다면, \$e\$ 값을 \$ \\displaystyle \\frac{ ta + c }{ tb + d } \$ 꼴로 제한할 수 있다. 이것이 가능한 최대 정수 \$t\$를 이분탐색으로 찾으면, 전체 탐색 횟수를 \$O(x+y)\$에서 \$O \\left( x + \\lg y \\right)\$로 크게 개선할 수 있다. # 기하적 접근 다시 원래의 문제로 돌아오자. 우리는 아래의 그림과 같이 \$ \\displaystyle y = \\frac{N}{x} \$ 곡선 아래의 회색 영역에 존재하는 양의 정수 쌍 \$(x, y)\$의 수를 세어야 한다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/1.png) **그림 2: \$xy = 20\$ 그래프와 회색 영역** \$N = 20\$이라면 위 회색 영역 내부의 정수 점의 개수를 세어야 한다. 이 그래프에서 기울기가 \$-1\$인 접선을 긋자. 아래의 그림에 접점 \$G\$, \$x\$ 축과 \$y\$ 축과의 교점 \$P \_x\$, \$P \_y\$을 나타내었다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/2.png) **그림 3: \$xy = 20\$ 그래프와 기울기 \$-1\$의 접선** 접점 \$G\$와 중요한 교점 두 개 \$P \_x\$, \$P \_y\$를 나타내었다. 접선 아래 영역의 정수 점의 개수는 쉽게 셀 수 있다. 여기서 아이디어는 이러하다. 곡선 아래의 정수 점의 개수를 세는 것은 어렵지만, 직선 아래의 정수 점의 수는 사칙연산을 이용하여 아주 쉽게 셀 수 있다. 우리는 남은 영역에 대하여 적당한 기울기의 접선을 그어 점의 개수를 세는 작업을 재귀적으로 반복하고자 한다. 정수 점의 개수는 유한하므로, 접선의 기울기를 잘 설정하였다면, 이러한 작업은 유한 시간 안에 종료할 것이다. 편의를 위하여, **그림 4**와 같은 영역 내부의 정수 점의 개수를 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$로 나타내자. 이에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다. > 음이 아닌 정수 \$x \_0\$, \$y \_0\$과 페리 이웃한 두 기약분수 \$\\displaystyle \\frac{a}{b}\$, \$\\displaystyle \\frac{c}{d}\$에 대하여, > > 1. 점 \$P \\left( x \_0, y \_0 \\right)\$을 잡고 > 2. 점 \$P\$로부터 각각 기울기 \$\\displaystyle - \\frac{a}{b}\$, \$\\displaystyle - \\frac{c}{d}\$의 접선을 그어 교점 \$Q\$, \$R\$를 잡았을 때 > 3. 직선과 곡선으로 닫힌 삼각 영역 \$PQR\$ 내부의 정수 점의 개수를 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$로 정의한다. > 4. 인자가 상기한 조건을 만족하지 않으면, 편의상 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right) = 0\$으로 정의한다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/3.png) **그림 4: 점 \$P\$, \$Q\$, \$R\$과 회색 삼각 영역** \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$의 정의에서 사용되는 세 점을 나타내었다. 우리는 결국 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$가 0이 될 때까지 재귀적으로 탐색을 이어나가야 한다. 따라서, 이 함숫값을 계산할 수 있어야 한다. 이를 어떻게 계산할 수 있을까? **그림 4**의 두 접선을 각각 새로운 축으로 잡고, 점 \$P\$를 원점으로 생각한 새로운 좌표계 \$u-v\$를 생각하자. \$u\$ 축이 직선 \$PR\$, \$v\$ 축이 직선 \$PQ\$이다. 이 경우 회색 영역은 다음과 같이 변환된다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/4.png) **그림 5: 변환된 새로운 영역** 드디어 우리는 재귀적으로 정수 점의 개수를 셀 수 있게 되었다\! # 시간 복잡도 재귀적으로 변하는 접선의 기울기는 Stern-Brocot Tree에서 경로를 따라 아래로 내려가는 것과 같으므로, 시간 복잡도를 아래와 같이 쓸 수 있다. \\\[O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1 } I \\left\[ \\sqrt{ \\frac{N}{ c/d } } - \\sqrt{ \\frac{N}{ a/b } } \\ge b + d \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1 } I \\left\[ \\frac{ \\sqrt{bc + 1} - \\sqrt{bc} }{ \\sqrt{ac} } \\ge \\frac{ b + d }{ \\sqrt{N} } \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1} I \\left\[ \\frac{1}{ \\sqrt{ab} c } \\ge \\frac{b+d}{\\sqrt{N}} \\right\] \\right) = O \\left( \\sum \_{ad - bc = 1} I \\left\[ ab c^2 \\left( b + d \\right)^2 \\ge N \\right\] \\right)\\\] 마지막 줄에서는 \$ \\displaystyle \\sqrt{x+1} - \\sqrt{x} = O \\left( \\frac{1}{ \\sqrt{x} } \\right) \$가 사용되었다. 이제, \$t = bc\$ 치환을 적용하면, \\\[O \\left( \\sum \_{t} \\sum \_{ b \| t} \\sum \_{ a \| (t+1) } I \\left\[ \\frac{t^4}{ab} + t^3 + ab t^2 \\ge N \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{t = 1}^{N^{1/3}} \\sigma(t) \\sigma(t+1) \\right) = O \\left( \\sum \_{t=1}^{N^{1/3}} \\sigma^2 (t) \\right)\\\] 엄밀한 증명이나 식 전개는 생략하였다. 이제, 다음의 잘 알려진 정리를 적용하자. > \\\[\\sum \_{k=1}^{N} \\sigma^2 (k) = \\Theta \\left( N \\lg^3 N \\right)\\\] 즉, 서술한 알고리즘의 시간 복잡도는 \$ \\displaystyle O \\left( N^{ \\frac{1}{3} } \\lg^3 N \\right) = \\tilde{O}\\left( N^{ \\frac{1}{3} } \\right) \$ 임을 알 수 있다. # 결론 수론적 함수는 정수론 뿐만 아니라 컴퓨터과학, 알고리즘, PS 분야에도 사용될 정도로 중요하며 그 폭이 아주 넓다. 우리는 대표적인 수론적 함수 \$\\sigma (n)\$의 구간 합 \$ \\displaystyle \\sum \_{k=1}^{N} \\sigma(k) \$을 효율적으로 계산하는 알고리즘에 대하여 알아보았다. 일반적인 식 전개로는 \$ \\displaystyle O \\left( \\sqrt{N} \\right) \$까지 시간 복잡도를 줄일 수 있었다. 그러나, \$N\$이 아주 큰 수라면 이 방법도 아직은 느리다. 우리는 \$ \\displaystyle y = \\frac{N}{x} \$ 그래프와 구하고자 하는 값과의 관계를 알아내고, 그래프의 볼록성이라는 기하적 특성과 Stern-Brocot Tree 자료구조를 활용하여, 재귀적으로 값을 계산하는 새로운 알고리즘을 조사하였다. 또한, 이 알고리즘의 시간 복잡도가 \$ \\displaystyle \\tilde{O} \\left( N^{1/3} \\right) \$로 아주 효율적임을 밝혔다. 이러한 알고리즘의 아이디어는 다양한 볼록 함수에 대하여 접목시킬 수 있으며, 그 응용성이 높다. 다음 글에는 \$\\sigma (n)\$ 외에 다른 수론적 함수의 구간 합을 효율적으로 계산하는 방법에 대하여 알아본다. [\# Algorithm](https://youngyojun.github.io/tag/#/Algorithm) [\# Mathematics](https://youngyojun.github.io/tag/#/Mathematics) [실무에서 빠르게 LCS를 계산하는 실용적인 Hunt-Szymanski 알고리즘에 관하여](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/03/20/Hunt-Szymanski/ "실무에서 빠르게 LCS를 계산하는 실용적인 Hunt-Szymanski 알고리즘에 관하여") [영 타블로의 조합론적 의미와 알고리즘적 응용 (1)](https://youngyojun.github.io/secmem/2021/09/19/young-tableaux/ "영 타블로의 조합론적 의미와 알고리즘적 응용 (1)") - 목차 - 흝어보기  Gyojun Youn @youngyojun, GyojunYoun, and yclock's PS Blog [30 포스트](https://youngyojun.github.io/archives/) [10 카테고리](https://youngyojun.github.io/categories/) [18 태그](https://youngyojun.github.io/tags/) 1. [1 개요](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EA%B0%9C%EC%9A%94) 2. [2 문제 제기](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EB%AC%B8%EC%A0%9C-%EC%A0%9C%EA%B8%B0) 1. [2\.1 약수 함수의 합 문제](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EC%95%BD%EC%88%98-%ED%95%A8%EC%88%98%EC%9D%98-%ED%95%A9-%EB%AC%B8%EC%A0%9C) 2. [2\.2 정수론적 접근](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EC%A0%95%EC%88%98%EB%A1%A0%EC%A0%81-%EC%A0%91%EA%B7%BC) 3. [3 Stern-Brocot Tree](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#stern-brocot-tree) 1. [3\.1 Farey Sequence](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#farey-sequence) 2. [3\.2 Stern-Brocot Tree](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#stern-brocot-tree-1) 3. [3\.3 유리수 이분탐색](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EC%9C%A0%EB%A6%AC%EC%88%98-%EC%9D%B4%EB%B6%84%ED%83%90%EC%83%89) 4. [4 기하적 접근](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EA%B8%B0%ED%95%98%EC%A0%81-%EC%A0%91%EA%B7%BC) 5. [5 시간 복잡도](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EC%8B%9C%EA%B0%84-%EB%B3%B5%EC%9E%A1%EB%8F%84) 6. [6 결론](https://youngyojun.github.io/secmem/2022/02/18/sigma-sum-stern-brocot/#%EA%B2%B0%EB%A1%A0) © 2020 - 2025 Gyojun Youn Powered by [Jekyll](https://jekyllrb.com/) Theme - [NexT.Muse](https://github.com/simpleyyt/jekyll-theme-next)

## 개요 정수론에서 주로 다루는 중요한 [수론적 함수](https://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_function)로는 약수 함수 \$\\sigma\_k (n)\$, 오일러 피 함수 \$\\phi (n)\$, 뫼비우스 함수 \$\\mu (n)\$ 등이 있다. 이러한 함수의 학문적 중요도는 이루 말할 수 없으며, 컴퓨터과학와 PS 분야에도 종종 등장할 정도로 다양하게 활용된다. 본 글은 수론적 함수의 대표인 약수 함수 \$\\sigma (n)\$의 구간 합을 효율적으로 계산하는 알고리즘을 서술한다. 함수의 합을 기하적으로 해석한 후, 이를 Stern-Brocot Tree 자료구조로 계산한다. 이후, 이 알고리즘의 시간 복잡도가 \$\\tilde{O} \\left( N^{1/3} \\right)\$로 아주 효율적임을 보인다. ## 문제 제기 ## 약수 함수의 합 문제 양의 정수 \$n\$에 대하여, \$n\$의 모든 양의 약수의 \$k\$제곱의 합을 생각하자. 이것이 [약수 함수](https://en.wikipedia.org/wiki/Divisor_function) \$\\sigma\_k (n)\$의 정의이다. > \\\[\\sigma\_k (n) := \\sum\_{ d \| n } d^k\\\] 이 글에서는 \$k = 1\$인 시그마 함수 \$\\sigma (n) := \\sigma\_1 (n)\$에 대하여 주로 다룬다. 이 값은 \$n\$의 약수의 합을 나타낸다. 이제, 정수 \$N\$이 주어졌을 때, 1부터 \$N\$까지 시그마 함숫값의 합 \$ \\displaystyle \\sum\_{k=1}^{N} \\sigma(k) \$을 구하는 문제를 생각하자. ## 정수론적 접근 \$\\sigma(1) + \\cdots + \\sigma(N)\$의 값은 다음 조건을 만족하는 양의 정수 쌍 \$(n, d)\$의 개수와 같다. > 1. \$d\$는 \$n\$의 약수 > 2. \$1 \\le d \\le n \\le N\$ 이는 시그마 함수의 정의를 생각할 때, \$\\sigma(k)\$의 값은 \$n = k\$인 \$(n, d)\$의 개수와 같으므로 자명하다. 이제, \$d\$의 값을 고정한 후, 위의 조건을 만족하는 \$n\$의 개수를 세자. \$n\$은 \$N\$ 이하인 \$d\$의 배수라야 하므로, 총 \$ \\displaystyle \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor \$개만큼 존재한다. \\\[\\sum \_{k=1}^{N} \\sigma(k) = \\sum \_{d=1}^{N} \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor\\\] 이는 다르게 해석하면, \$y = \\frac{N}{x}\$ 그래프 아래에 있는 양의 정수 쌍 \$(x, y)\$의 개수를 세는 것과 같다. 곡선 \$xy = N\$은 직선 \$x = y\$에 대하여 대칭이며, 이 둘의 교점은 \$\\left( \\sqrt{N}, \\sqrt{N} \\right)\$이므로, 최종적으로 아래의 식을 얻을 수 있다. \\\[\\sum \_{d=1}^{N} \\left\\lfloor \\frac{ N }{ d } \\right\\rfloor = 2 \\sum \_{x=1}^{ \\left\\lfloor \\sqrt{N} \\right\\rfloor } \\left\\lfloor \\frac{ N }{ x } \\right\\rfloor - { \\left\\lfloor \\sqrt{N} \\right\\rfloor }^2\\\] 우리는 시그마 함수 \$\\sigma(n)\$의 값을 어떻게 계산하는지 알지 않아도, 시그마 함수의 합을 \$O \\left( \\sqrt{N} \\right)\$만에 쉽게 계산할 수 있게 되었다. 그러나 \$N\$이 \$10^{18}\$-scale로 아주 큰 수라면, 우리는 이보다도 더욱 효율적인 방법을 찾아야 한다. ## Stern-Brocot Tree 효율적인 알고리즘을 구상하기 전에, 페리 수열과 Stern-Brocot Tree 자료구조에 대하여 먼저 알아보자. ## Farey Sequence Stern-Brocot Tree에 대하여 논하기 전에, 먼저 [페리 수열](https://en.wikipedia.org/wiki/Farey_sequence)의 정의를 소개한다. \$n\$번째 페리 수열 \$F\_n\$는 다음을 만족하는 모든 기약분수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \$를 오름차순으로 나열한 수열이다. > 1. \$0 \\le b \\le a \\le n\$ > 2. \$\\gcd (a, b) = 1\$ 예를 들어, 몇몇의 \$n\$에 대하여 페리 수열 \$F\_n\$을 나열하면 아래와 같다. > \\\[F \_1 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] \\\[F \_2 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{2}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] \\\[F \_5 = \\left\\{ \\frac{0}{1}, \\frac{1}{5}, \\frac{1}{4}, \\frac{1}{3}, \\frac{2}{5}, \\frac{1}{2}, \\frac{3}{5}, \\frac{2}{3}, \\frac{3}{4}, \\frac{4}{5}, \\frac{1}{1} \\right\\}\\\] 여기서, 페리 수열 \$F\_n\$에서 인접한 두 유리수를 “차수 \$n\$에서 페리 이웃하다”라고 한다. 페리 이웃에 관한 중요한 정리를 하나 소개한다. > 차수에 상관없이, 페리 이웃한 두 유리수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \> \\frac{c}{d} \$는 \$ad - bc = 1\$을 만족한다. 이 정리는 아래에 서술할 Stern-Brocot Tree에 관한 정리의 기반이 된다. ## Stern-Brocot Tree 페리 수열 \$F\_n\$을 확장하여, 각 유리수의 역수까지 등장하는 수열을 생각하자. 편의상, \$ \\displaystyle \\frac{1}{0} = + \\infty \$로 생각하면, 이 수열은 \$ \\displaystyle \\frac{0}{1} = 0 \$ 이상 \$ \\displaystyle \\frac{1}{0} = + \\infty \$ 이하인 기약분수를 잘 나열할 것이다. 실제로, \$0\$ 이상의 모든 유리수는 충분히 큰 \$n\$에 대하여 확장된 페리 수열 \$F’ \_n\$에 정확하게 한 번 등장함을 증명할 수 있다. 이제, 깊이 \$n\$에 해당하는 층에 확장된 페리 수열 \$F’ \_n\$을 적어, 아래 그림과 같은 이진 트리를 생각하자. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/SternBrocotTree.png) **그림 1: Stern–Brocot Tree** 확장된 페리 수열 \$F' \_1\$부터 \$F' \_4\$까지 활용하여 깊이 4의 Stern-Brocot Tree를 만들 수 있다. 이 트리는 (1) **완전 이진 검색 트리**이며, (2) **모든 양의 유리수가 정확하게 한 번씩 등장**한다는 강력한 성질을 가진다. 또한, 트리 그 자체로 유리수와 자연수 간의 일대일 대응을 잘 보여준다. 이러한 완전 이진 검색 트리를 [Stern-Brocot Tree](https://en.wikipedia.org/wiki/Stern%E2%80%93Brocot_tree)라고 부른다. ## 유리수 이분탐색 알고리즘 분야에서 Stern-Brocot Tree는 유리수를 대상으로 이분탐색을 할 수 있게 되었다는 점에서 그 의미가 깊다. 두 유리수 \$ \\displaystyle \\frac{a}{b} \< \\frac{c}{d} \$에 대하여, \$\\displaystyle \\frac{a}{b}\$ 초과 \$\\displaystyle \\frac{c}{d}\$ 미만의 모든 유리수를 담고 있는 Stern-Brocot Subtree의 루트 정점은 \$\\displaystyle \\frac{a+c}{b+d}\$이다. 이를 그대로 활용하면, 다음과 같은 이분탐색 알고리즘을 생각할 수 있다. > 1. \$ \\displaystyle s := \\frac{a}{b} = \\frac{0}{1} \$, \$ \\displaystyle e := \\frac{c}{d} = \\frac{1}{0} \$으로 설정한다. 이제, 각 스텝마다 \$s\$ 초과 \$e\$ 미만인 유리수에 대하여 이분탐색을 수행한다. > 2. 중간값 \$ \\displaystyle m := \\frac{ a+c }{ b+d } \$을 잡자. > 1. 만약, \$m\$이 찾고자 하는 유리수라면, 탐색을 멈춘다. > 2. 아니라면, 찾고자 하는 유리수와 \$m\$에 대한 대소비교를 수행한다. > 3. \$(s, e)\$를 \$(s, m)\$ 혹은 \$(m, e)\$로 대입한 후, 위의 과정을 반복한다. 이러한 이분탐색 과정을 통하여 최종적으로 기약분수 \$ \\displaystyle \\frac{x}{y} \$를 얻었다면, 탐색 횟수는 Stern-Brocot Tree에서 정점 \$ \\displaystyle \\frac{x}{y} \$의 깊이와 같으므로 \$O(x+y)\$이다. 과정 2.는 Stern-Brocot Tree의 정점에서 한 쪽 방향으로 내려가는 것을 나타낸다. 여기서, 연속으로 몇 번까지 같은 방향으로 내려가는지를 알아낼 수 있다면 탐색 횟수를 줄일 수 있다. 예를 들어, 중간값 \$m\$보다 작은 쪽으로 탐색을 이어나가야 한다면, \$e\$ 값을 \$ \\displaystyle \\frac{ ta + c }{ tb + d } \$ 꼴로 제한할 수 있다. 이것이 가능한 최대 정수 \$t\$를 이분탐색으로 찾으면, 전체 탐색 횟수를 \$O(x+y)\$에서 \$O \\left( x + \\lg y \\right)\$로 크게 개선할 수 있다. ## 기하적 접근 다시 원래의 문제로 돌아오자. 우리는 아래의 그림과 같이 \$ \\displaystyle y = \\frac{N}{x} \$ 곡선 아래의 회색 영역에 존재하는 양의 정수 쌍 \$(x, y)\$의 수를 세어야 한다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/1.png) **그림 2: \$xy = 20\$ 그래프와 회색 영역** \$N = 20\$이라면 위 회색 영역 내부의 정수 점의 개수를 세어야 한다. 이 그래프에서 기울기가 \$-1\$인 접선을 긋자. 아래의 그림에 접점 \$G\$, \$x\$ 축과 \$y\$ 축과의 교점 \$P \_x\$, \$P \_y\$을 나타내었다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/2.png) **그림 3: \$xy = 20\$ 그래프와 기울기 \$-1\$의 접선** 접점 \$G\$와 중요한 교점 두 개 \$P \_x\$, \$P \_y\$를 나타내었다. 접선 아래 영역의 정수 점의 개수는 쉽게 셀 수 있다. 여기서 아이디어는 이러하다. 곡선 아래의 정수 점의 개수를 세는 것은 어렵지만, 직선 아래의 정수 점의 수는 사칙연산을 이용하여 아주 쉽게 셀 수 있다. 우리는 남은 영역에 대하여 적당한 기울기의 접선을 그어 점의 개수를 세는 작업을 재귀적으로 반복하고자 한다. 정수 점의 개수는 유한하므로, 접선의 기울기를 잘 설정하였다면, 이러한 작업은 유한 시간 안에 종료할 것이다. 편의를 위하여, **그림 4**와 같은 영역 내부의 정수 점의 개수를 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$로 나타내자. 이에 대한 엄밀한 정의는 다음과 같다. > 음이 아닌 정수 \$x \_0\$, \$y \_0\$과 페리 이웃한 두 기약분수 \$\\displaystyle \\frac{a}{b}\$, \$\\displaystyle \\frac{c}{d}\$에 대하여, > > 1. 점 \$P \\left( x \_0, y \_0 \\right)\$을 잡고 > 2. 점 \$P\$로부터 각각 기울기 \$\\displaystyle - \\frac{a}{b}\$, \$\\displaystyle - \\frac{c}{d}\$의 접선을 그어 교점 \$Q\$, \$R\$를 잡았을 때 > 3. 직선과 곡선으로 닫힌 삼각 영역 \$PQR\$ 내부의 정수 점의 개수를 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$로 정의한다. > 4. 인자가 상기한 조건을 만족하지 않으면, 편의상 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right) = 0\$으로 정의한다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/3.png) **그림 4: 점 \$P\$, \$Q\$, \$R\$과 회색 삼각 영역** \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$의 정의에서 사용되는 세 점을 나타내었다. 우리는 결국 \$\\displaystyle f \\left( x \_0, y \_0, \\frac{a}{b}, \\frac{c}{d} \\right)\$가 0이 될 때까지 재귀적으로 탐색을 이어나가야 한다. 따라서, 이 함숫값을 계산할 수 있어야 한다. 이를 어떻게 계산할 수 있을까? **그림 4**의 두 접선을 각각 새로운 축으로 잡고, 점 \$P\$를 원점으로 생각한 새로운 좌표계 \$u-v\$를 생각하자. \$u\$ 축이 직선 \$PR\$, \$v\$ 축이 직선 \$PQ\$이다. 이 경우 회색 영역은 다음과 같이 변환된다. [](https://youngyojun.github.io/assets/images/posts/2022-02-18-sigma-sum-stern-brocot/4.png) **그림 5: 변환된 새로운 영역** 드디어 우리는 재귀적으로 정수 점의 개수를 셀 수 있게 되었다\! ## 시간 복잡도 재귀적으로 변하는 접선의 기울기는 Stern-Brocot Tree에서 경로를 따라 아래로 내려가는 것과 같으므로, 시간 복잡도를 아래와 같이 쓸 수 있다. \\\[O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1 } I \\left\[ \\sqrt{ \\frac{N}{ c/d } } - \\sqrt{ \\frac{N}{ a/b } } \\ge b + d \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1 } I \\left\[ \\frac{ \\sqrt{bc + 1} - \\sqrt{bc} }{ \\sqrt{ac} } \\ge \\frac{ b + d }{ \\sqrt{N} } \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{ ad - bc = 1} I \\left\[ \\frac{1}{ \\sqrt{ab} c } \\ge \\frac{b+d}{\\sqrt{N}} \\right\] \\right) = O \\left( \\sum \_{ad - bc = 1} I \\left\[ ab c^2 \\left( b + d \\right)^2 \\ge N \\right\] \\right)\\\] 마지막 줄에서는 \$ \\displaystyle \\sqrt{x+1} - \\sqrt{x} = O \\left( \\frac{1}{ \\sqrt{x} } \\right) \$가 사용되었다. 이제, \$t = bc\$ 치환을 적용하면, \\\[O \\left( \\sum \_{t} \\sum \_{ b \| t} \\sum \_{ a \| (t+1) } I \\left\[ \\frac{t^4}{ab} + t^3 + ab t^2 \\ge N \\right\] \\right)\\\] \\\[= O \\left( \\sum \_{t = 1}^{N^{1/3}} \\sigma(t) \\sigma(t+1) \\right) = O \\left( \\sum \_{t=1}^{N^{1/3}} \\sigma^2 (t) \\right)\\\] 엄밀한 증명이나 식 전개는 생략하였다. 이제, 다음의 잘 알려진 정리를 적용하자. > \\\[\\sum \_{k=1}^{N} \\sigma^2 (k) = \\Theta \\left( N \\lg^3 N \\right)\\\] 즉, 서술한 알고리즘의 시간 복잡도는 \$ \\displaystyle O \\left( N^{ \\frac{1}{3} } \\lg^3 N \\right) = \\tilde{O}\\left( N^{ \\frac{1}{3} } \\right) \$ 임을 알 수 있다. ## 결론 수론적 함수는 정수론 뿐만 아니라 컴퓨터과학, 알고리즘, PS 분야에도 사용될 정도로 중요하며 그 폭이 아주 넓다. 우리는 대표적인 수론적 함수 \$\\sigma (n)\$의 구간 합 \$ \\displaystyle \\sum \_{k=1}^{N} \\sigma(k) \$을 효율적으로 계산하는 알고리즘에 대하여 알아보았다. 일반적인 식 전개로는 \$ \\displaystyle O \\left( \\sqrt{N} \\right) \$까지 시간 복잡도를 줄일 수 있었다. 그러나, \$N\$이 아주 큰 수라면 이 방법도 아직은 느리다. 우리는 \$ \\displaystyle y = \\frac{N}{x} \$ 그래프와 구하고자 하는 값과의 관계를 알아내고, 그래프의 볼록성이라는 기하적 특성과 Stern-Brocot Tree 자료구조를 활용하여, 재귀적으로 값을 계산하는 새로운 알고리즘을 조사하였다. 또한, 이 알고리즘의 시간 복잡도가 \$ \\displaystyle \\tilde{O} \\left( N^{1/3} \\right) \$로 아주 효율적임을 밝혔다. 이러한 알고리즘의 아이디어는 다양한 볼록 함수에 대하여 접목시킬 수 있으며, 그 응용성이 높다. 다음 글에는 \$\\sigma (n)\$ 외에 다른 수론적 함수의 구간 합을 효율적으로 계산하는 방법에 대하여 알아본다.