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1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 137 (from laksa027)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa137.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
  -H 'X-ClickHouse-Database: crawler3' \
  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html","crawl_time":1774942981,"first_indexed_time":1713148957,"http_code":200,"src_unparsed":"com,optics-words!www,\/math\/dif\/integral_7.html s443","src_root_hash":"7619034336947736937","history_drop_reason":null,"meta_title":"対数関数logの積分公式の一覧 | 導出と問題","meta_descriptions":["対数関数logの積分公式の一覧、関連する問題と解き方について解説しています。"],"attrs_boilerpipe_text":"本項では、『\n対数関数のlogの積分公式\n』 と 『\n問題の解き方\n』について解説します。\n目次\n1. logの積分公式の一覧\n・logの積分計算のポイント\n2. logx\n3. 底がaの対数\n4. 真数がbx+cの対数\n5. xlogx\n6. x^2logx\n7. (logx)^2\n8. (logx)^3\n9. logx\/x\n10. logx\/x^2\n問題と解き方 : 問題(1)～(3)\n【1】logの積分公式の一覧\n以下に 対数関数 \$\\large{\\log}\$ に関連する不定積分の一覧を示します。\n『\n導出\n』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。\n下表において \$\\large{\\log x}\$ は自然対数 \$\\large{\\log_{\\hspace{1pt}e} x}\$ を表します。\nまた、定数\$\\large{a}\$ は正であり、\$\\large{a \\neq 1}\$ とします。また、\$\\large{b \\neq 0}\$ とします。\n積分の公式\n　　　\$\\displaystyle \\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$\n導出\n　　　 \$\\displaystyle \\large{\\int \\log_{\\hspace{1pt}a} x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$\n導出\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C　\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n導出\n積分の公式\n　　\$\\displaystyle \\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$\n導出\n　　\$\\displaystyle \\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C}\$\n導出\n積分の公式\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C　　　\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n導出\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n導出\n積分の公式\n　　　\$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x}\\hspace{1pt} dx =\\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C  }\$\n導出\n　　　\$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x^2}\\hspace{1pt} dx = -\\frac{\\log x}{x}  -\\frac{1}{x} +C }\$\n導出\n・logの積分計算のポイント\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt} dx}\$ はそのままでは積分の計算ができないため、\n部分積分\nや\n置換積分法\nを使用して、別の積分に変換することが必要です。\n例えば、\nlogxの積分\nを計算する場合は、部分積分\r\n\t\t\t$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\tを利用し、\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて\r\n\t\t\t$$\\large{\\int  \\log x\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx}$$\r\n\t\t\tと変形して計算します。\nまた、\$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ の不定積分は、置換積分法を利用し、\n\$\\large{t=\\log x }\$ とおき、\$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となることから\r\n\t\t\t$$\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx =  \\int t \\hspace{1pt} dt}$$\r\n\t\tと変換して計算します。\n【2】logxの不定積分\n対数関数 \$\\large{\\log x}\$ の積分は、以下の公式で表されます。\n【logxの積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$\n・logxの積分公式の導出\n\$\\large{\\log x}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\tを利用して求めます。\nここで、\$\\large{\\log x}\$ を 『\$\\large{1 \\times \\log x}\$』 という 2つの関数の積とみなし、\n\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて計算します。\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。\r\n\t\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\int  \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n【3】底がaの対数関数の積分\n\$\\large{\\log_a x}\$ (\$\\large{a \\neq 1}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n【底がaの対数関数の不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log_a x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$\n・底がaの対数の積分公式の導出\n\$\\large{\\log_a x}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\tを利用して求めます。\nここで、\$\\large{\\log_a x}\$ を 『\$\\large{1 \\times \\log_a x}\$』 という 2つの関数の積とみなし、\n\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log_a x}\$ とおいて計算します。\n底が \$\\large{a}\$ の\n対数関数の微分\nは、\r\n\t\t$$\\large{(\\log_a x)' = \\frac{1}{x \\log a}}$$\r\n\t\tである点に注意して計算します。\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log_a x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。\r\n\t\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\int  \\log_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log_a x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log_a x)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log_a x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x \\log a}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log_a x -\\frac{1}{\\log a}\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log_a x -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\nここで、\$\\large{a\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}b\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c}\$ が正の数、\$\\large{a \\neq 1\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c \\neq 1}\$ であるときの\n底の変換公式\n$$\\large{\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}}$$\r\n\t\t\t\tから、底\$\\large{a}\$ の対数関数を 底\$\\large{e}\$ の自然対数に変換すると\r\n\t\t\t\t$$\\large{ \\log_a x = \\frac{\\log x}{\\log a}}$$\r\n\t\t\t\tとなります。\nしたがって、\r\n\t\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\\int  \\log_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{\\log a} -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n【4】真数が(bx+c)の対数の積分\n\$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ (ただし、\$\\large{b \\neq 0}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n【真数が(bx+c)の対数の不定積分】\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t&\\large =&\\large  \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C　\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出\n\$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\tを利用して求めます。\nここで、\$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ を 『\$\\displaystyle\\large{ 1 \\times \\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$』 という 2つの関数の積とみなし、\n\$\\displaystyle\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とおいて計算します。\n部分積分を使用するとき、\$\\displaystyle\\large{f(x)=\\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とすると計算が簡単になります。\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large \\int&\\large  \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) - \\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} (\\log (b\\hspace{1pt}x+c))'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} \\frac{b}{b\\hspace{1pt}x+c}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int 1 \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n【5】xlogxの不定積分\n\$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【xlogxの不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$\n・xlogxの積分公式の導出\n\$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\t\tを利用して求めます。\n\$\\large{f'(x)= x\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\int x \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{2}x^2\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x^2\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\tと求められます。\n【6】x^2logxの不定積分\n\$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【x^2logxの不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9} x^3 +C}\$\n・x^2logxの積分公式の導出\n\$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\t\tを利用して求めます。\n\$\\large{f'(x)= x^2\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\int x^2 \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{3}x^3\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^3\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^2 \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\cdot \\frac{1}{3} x^3 +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3  \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\tと求められます。\n【7】(logx)^2の不定積分\n\$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【(logx)^2の不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$\n・(logx)^2の積分公式の導出\n\$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\t\tを利用して求めます。\nここで、\$\\large{(\\log x)^2}\$ を 『\$\\large{1 \\times (\\log x)^2}\$』 という 2つの関数の積とみなし、\n\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^2}\$ として部分積分を使用します。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^2)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 2\\log x \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2 \\int \\log x \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\tとなります。ここで、\nlogxの不定積分\nから\r\n\t\t\t$$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}$$\r\n\t\t\tであるため、\r\n\t\t\t$$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}$$\r\n\t\t\tとなります。\n【8】(logx)^3の不定積分\n\$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【(logx)^3の不定積分】\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n・(logx)^3の積分公式の導出\n\$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\t\tを利用して求めます。\nここで、\$\\large{(\\log x)^3}\$ を 『\$\\large{1 \\times (\\log x)^3}\$』 という 2つの関数の積とみなし、\n\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^3}\$ として部分積分を使用します。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^3)'\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 3(\\log x)^2 \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\tとなります。ここで、\n(logx)^2の不定積分\nから\r\n\t\t\t$$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}$$\r\n\t\t\tが成り立ちます。したがって、\r\n\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t&\\large \\int&\\large \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\{x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x \\}+C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\r\n\t\t\tとなります。\n【9】logx\/xの不定積分\n\$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【logx\/xの不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx = \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C}\$\n・logx\/xの積分公式の導出\n\$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、\n置換積分法\nにより求めます。\n\$\\large{t= \\log x }\$ とおくと、\n対数関数の微分\nから \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となり、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。\r\n\t\t\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\int t \\hspace{1pt} dt\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{2}t^2 + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n【10】logx\/x^2の不定積分\n\$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n【logx\/x^2の不定積分】\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx =  -\\frac{\\log x}{x}  -\\frac{1}{x} +C}\$\n・logx\/x^2の積分公式の導出\n\$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、\n部分積分の公式\n$$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}$$\r\n\t\t\t\tを利用して求めます。\n\$\\displaystyle\\large{f'(x)= \\frac{1}{x^2}\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t\t\t&\\int&\\large \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large  =&\\large -\\frac{1}{x}\\cdot \\log x - \\int \\left(-\\frac{1}{x}\\right) \\cdot (\\log x)' \\hspace{1pt}dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large  =&\\large -\\frac{\\log x}{x}  +\\int \\frac{1}{x} \\cdot \\frac{1}{x} \\hspace{1pt}dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large  =&\\large -\\frac{\\log x}{x}  +\\int \\frac{1}{x^2}  \\hspace{1pt}dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  -\\frac{\\log x}{x}  -\\frac{1}{x} +C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n基本的な問題と解き方\n本章では、\$\\large{\\log}\$ の積分 に関連した基本的な問題について解説します。\n問題(1)\n以下の不定積分を求めよ。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t&&\\large\\int \\log (3x+2) \\hspace{1pt} dx\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n問題(2)\n以下の不定積分を求めよ。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t&&\\large\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n問題(3)\n以下の不定積分を求めよ。\n\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t&&\\large\\int  \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\t\\end{eqnarray}\n(解答と解説 :\n問題(1)\n問題(2)\n問題(3)\n)\n問題(1) log(bx+c)の積分\n【問題(1)】\n次の不定積分を求めよ。\n\$\\displaystyle \\large{\\int \\log (3x+2)\\hspace{1pt} dx}\$\n【解答と解説】\n本問は、真数が (\$\\large{bx+c}\$) の対数関数の不定積分を求める問題です。\n真数が \$\\large{bx+c}\$ の対数の積分公式\n\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\t\t\t\t\tを使用すると、\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large  \\log(3x+2)\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t&\\large =&\\large  \\frac{1}{3}(3\\hspace{1pt}x+2) \\hspace{1pt} \\log (3\\hspace{1pt}x+2) -x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\t\t\t\t\tと求められます。\n問題(2) log(logx)\/xの定積分\n問題(2)\n以下の不定積分を求めよ。\n\$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx}\$\n【解答と解説】\n\$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log (\\log x)}{x}}\$ の不定積分は、\n置換積分法\nにより求めます。\n\$\\large{t=\\log x}\$ とおくと、\n対数関数の微分\nから \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となります。\nすなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。\n\$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して積分すると、以下のようになります。\r\n\t\t\t\t\t$$\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx = \\int \\log t  \\hspace{1pt}dt}$$\r\n\t\t\t\t\tここで、\nlogxの不定積分\nから\r\n\t\t\t\t$$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}$$\r\n\t\t\t\r\n\t\t\tが成り立ちます。したがって、\r\n\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\\large\t\t\r\n\t\t\t&\\large \\int &\\large \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\\large\r\n\t\t\t&\\large  =&\\large \\int \\log t \\hspace{1pt} dt\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\\large\r\n\t\t\t&\\large  =&\\large  t \\hspace{1pt} \\log t -t + C\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\\large\r\n\t\t\t&\\large  =&\\large (\\log x)\\log (\\log x) -\\log x + C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\\end{eqnarray}\r\n\t\t\t\r\n\t\t\tとなります。\n問題(3) 対数関数の不定積分\n問題(3)\n以下の不定積分を求めよ。\n\$\\displaystyle \\large{\\int  \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx}\$\n問題の不定積分は、\n置換積分法\nにより求められます。\n\$\\large{t=\\log (x^2+1) }\$ とおくと、\n対数関数の微分\nから \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{2x}{x^2+1}}\$ となります。\nすなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{2x}{x^2+1}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。\nすなわち、問題の不定積分を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\begin{eqnarray} \r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\int  \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx &\\large  =&\\large \\int t \\hspace{1pt}dt\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t&\\large  =&\\large  \\frac{1}{2}t^2+ C\\\\[0.7em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\large\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t&\\large  =&\\large \\frac{1}{2}\\{\\log (x^2+1)\\}^2+ C\\\\[0.5em]\r\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\\end{eqnarray}","attrs_markdown":"[光学技術の基礎用語](https:\/\/www.optics-words.com\/index.html)\n\n\\-光と光学に関連する用語の解説サイト-\n\n- [トップページ](https:\/\/www.optics-words.com\/index.html)\n- [光学用語](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/optics_index.html)\n- [数学基礎](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index.html)\n- [計算ツール](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/calculation.html)\n- [技術英語](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/english_index.html)\n\n1. [トップページ](https:\/\/www.optics-words.com\/index.html)\n2. [数学基礎](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index.html)\n3. [極限・微積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index_dif.html)\n4. logの積分公式\n\n【お知らせ】\n\n[微分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/dif_ex\/a_dif_index.html), [積分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/int_ex\/a_integral_index.html)を公開しました(2025\/4\/25)\n\n【関連項目の一覧】\n\n◆関数の極限\n\n[関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_1.html)[指数関数と対数関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_2.html)[三角関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_3.html)[ガウス記号と極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_4.html)\n\n◆微分\n\n[微分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/dif_ex\/a_dif_index.html) [平均変化率と微分係数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_1.html)[関数の連続と微分可能性](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_2.html) [導関数の定義](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_3.html)[積の微分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_4.html) [商の微分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_5.html)[合成関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_6.html) [三角関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_7.html)[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)[指数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_14.html) [対数微分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_9.html)[無理関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_13.html)[接線の方程式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_10.html) [法線の方程式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_11.html)[増減表](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_12.html)\n\n◆積分\n\n[積分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/int_ex\/a_integral_index.html)[不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_1.html)[定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_2.html) [置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)[部分積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) [sin,cosの積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_4.html)[tanの積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_5.html)\n\nlogの積分公式\n\n[指数関数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_14.html)[無理関数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_8.html) [円の面積の積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_9.html)[1\/6公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_10.html) [1\/3公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_12.html)[1\/12公式(二次関数)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_11.html) [1\/12公式(三次関数)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_13.html)\n\n◆技術英語\n\n[微分の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_science\/differential.html)[積分の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_science\/integral.html)\n# 対数関数logの積分公式\n本項では、『対数関数のlogの積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。\n\n目次\n\n- [1\\. logの積分公式の一覧](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter1)\n- - [・logの積分計算のポイント](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter1_1)\n- [2\\. logx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)\n- [3\\. 底がaの対数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter3)\n- [4\\. 真数がbx+cの対数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4)\n- [5\\. xlogx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter5)\n- [6\\. x^2logx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter6)\n- [7\\. (logx)^2](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7)\n- [8\\. (logx)^3](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter8)\n- [9\\. logx\/x](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter9)\n- [10\\. logx\/x^2](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter10)\n- [問題と解き方 : 問題(1)～(3)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11)\n## 【1】logの積分公式の一覧\n以下に 対数関数 \\\$\\\\large{\\\\log}\\\$ に関連する不定積分の一覧を示します。  \n 『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。\n\n下表において \\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ は自然対数 \\\$\\\\large{\\\\log\\_{\\\\hspace{1pt}e} x}\\\$ を表します。  \n また、定数\\\$\\\\large{a}\\\$ は正であり、\\\$\\\\large{a \\\\neq 1}\\\$ とします。また、\\\$\\\\large{b \\\\neq 0}\\\$ とします。\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx =x\\\\log x -x + C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log\\_{\\\\hspace{1pt}a} x \\\\hspace{1pt}dx =\\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter3) |\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int x \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter5) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int x^2 \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9}x^3 +C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter6) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7) |\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter8) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{ x}\\\\hspace{1pt} dx =\\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C }\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter9) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{ x^2}\\\\hspace{1pt} dx = -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C }\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter10) |\n### ・logの積分計算のポイント\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt} dx}\\\$ はそのままでは積分の計算ができないため、[部分積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) や [置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html) を使用して、別の積分に変換することが必要です。\n\n例えば、[logxの積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)を計算する場合は、部分積分 \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用し、\\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ とおいて \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx}\\$\\$ と変形して計算します。\n\nまた、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ の不定積分は、置換積分法を利用し、  \n \\\$\\\\large{t=\\\\log x }\\\$ とおき、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となることから \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt}dx = \\\\int t \\\\hspace{1pt} dt}\\$\\$ と変換して計算します。\n\n## 【2】logxの不定積分\n対数関数 \\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ の積分は、以下の公式で表されます。\n\n【logxの積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx =x\\\\log x -x + C}\\\$\n### ・logxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times \\\\log x}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ とおいて計算します。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int x\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【3】底がaの対数関数の積分\n\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ (\\\$\\\\large{a \\\\neq 1}\\\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【底がaの対数関数の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log\\_a x \\\\hspace{1pt}dx =\\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C}\\\$\n### ・底がaの対数の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times \\\\log\\_a x}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log\\_a x}\\\$ とおいて計算します。\n\n底が \\\$\\\\large{a}\\\$ の[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)は、 \\$\\$\\\\large{(\\\\log\\_a x)' = \\\\frac{1}{x \\\\log a}}\\$\\$ である点に注意して計算します。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x - \\\\int x\\\\hspace{1pt} (\\\\log\\_a x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x \\\\log a}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\frac{1}{\\\\log a}\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\frac{1}{\\\\log a}x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\nここで、\\\$\\\\large{a\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}b\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}c}\\\$ が正の数、\\\$\\\\large{a \\\\neq 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}c \\\\neq 1}\\\$ であるときの[底の変換公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/exp\/exponentiation_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\log\\_a b = \\\\frac{\\\\log\\_c b}{\\\\log\\_c a}}\\$\\$ から、底\\\$\\\\large{a}\\\$ の対数関数を 底\\\$\\\\large{e}\\\$ の自然対数に変換すると \\$\\$\\\\large{ \\\\log\\_a x = \\\\frac{\\\\log x}{\\\\log a}}\\$\\$ となります。\n\nしたがって、 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{\\\\log a} -\\\\frac{1}{\\\\log a}x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【4】真数が(bx+c)の対数の積分\n\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ (ただし、\\\$\\\\large{b \\\\neq 0}\\\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【真数が(bx+c)の対数の不定積分】\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n### ・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ を 『\\\$\\\\displaystyle\\\\large{ 1 \\\\times \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\displaystyle\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ とおいて計算します。\n\n部分積分を使用するとき、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{f(x)=\\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ とすると計算が簡単になります。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) - \\\\int \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} (\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c))'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -\\\\int \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} \\\\frac{b}{b\\\\hspace{1pt}x+c}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -\\\\int 1 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【5】xlogxの不定積分\n\\\$\\\\large{x\\\\log x}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【xlogxの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int x \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C}\\\$\n### ・xlogxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{x\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\large{f'(x)= x\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int x \\\\hspace{1pt} \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int \\\\frac{1}{2}x^2\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{2}\\\\int x^2\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{2}\\\\int x \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n## 【6】x^2logxの不定積分\n\\\$\\\\large{x^2\\\\log x}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【x^2logxの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int x^2 \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9} x^3 +C}\\\$\n### ・x^2logxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{x^2\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\large{f'(x)= x^2\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int \\\\frac{1}{3}x^3\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\int x^3\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\int x^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\cdot \\\\frac{1}{3} x^3 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9}x^3 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n## 【7】(logx)^2の不定積分\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【(logx)^2の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\\$\n### ・(logx)^2の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times (\\\\log x)^2}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=(\\\\log x)^2}\\\$ として部分積分を使用します。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 - \\\\int x \\\\hspace{1pt} ((\\\\log x)^2)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 - \\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\cdot 2\\\\log x \\\\cdot \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2 \\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。ここで、[logxの不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C}\\$\\$ であるため、 \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\$\\$ となります。\n\n## 【8】(logx)^3の不定積分\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【(logx)^3の不定積分】\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n### ・(logx)^3の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times (\\\\log x)^3}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=(\\\\log x)^3}\\\$ として部分積分を使用します。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 - \\\\int x \\\\hspace{1pt} ((\\\\log x)^3)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 - \\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\cdot 3(\\\\log x)^2 \\\\cdot \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\int (\\\\log x)^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。ここで、[(logx)^2の不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\$\\$ が成り立ちます。したがって、 \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\int (\\\\log x)^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\{x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x \\\\}+C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。\n\n## 【9】logx\/xの不定積分\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x}}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【logx\/xの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx = \\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C}\\\$\n### ・logx\/xの積分公式の導出\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x}}\\\$ の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求めます。\n\n\\\$\\\\large{t= \\\\log x }\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となり、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx}\\\$ を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\int t \\\\hspace{1pt} dt\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}t^2 + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【10】logx\/x^2の不定積分\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x^2}}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【logx\/x^2の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x^2}\\\\hspace{1pt} dx = -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C}\\\$\n### ・logx\/x^2の積分公式の導出\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x^2}}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{f'(x)= \\\\frac{1}{x^2}\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large &\\\\int&\\\\large \\\\frac{\\\\log x}{x^2}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{1}{x}\\\\cdot \\\\log x - \\\\int \\\\left(-\\\\frac{1}{x}\\\\right) \\\\cdot (\\\\log x)' \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} +\\\\int \\\\frac{1}{x} \\\\cdot \\\\frac{1}{x} \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} +\\\\int \\\\frac{1}{x^2} \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 基本的な問題と解き方\n本章では、\\\$\\\\large{\\\\log}\\\$ の積分 に関連した基本的な問題について解説します。\n\n問題(1)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\log (3x+2) \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n問題(2)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n問題(3)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n(解答と解説 : [問題(1)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_1) [問題(2)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_2) [問題(3)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_3))\n\n### 問題(1) log(bx+c)の積分\n【問題(1)】\n\n次の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log (3x+2)\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n【解答と解説】  \n 本問は、真数が (\\\$\\\\large{bx+c}\\\$) の対数関数の不定積分を求める問題です。\n\n[真数が \\\$\\\\large{bx+c}\\\$ の対数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4) \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} を使用すると、 \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log(3x+2)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}(3\\\\hspace{1pt}x+2) \\\\hspace{1pt} \\\\log (3\\\\hspace{1pt}x+2) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n### 問題(2) log(logx)\/xの定積分\n問題(2)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n【解答と解説】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}}\\\$ の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求めます。\n\n\\\$\\\\large{t=\\\\log x}\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となります。  \n すなわち、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して積分すると、以下のようになります。 \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx = \\\\int \\\\log t \\\\hspace{1pt}dt}\\$\\$ ここで、[logxの不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C}\\$\\$ が成り立ちます。したがって、 \\\\begin{eqnarray} \\\\large &\\\\large \\\\int &\\\\large \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\int \\\\log t \\\\hspace{1pt} dt\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large t \\\\hspace{1pt} \\\\log t -t + C\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large (\\\\log x)\\\\log (\\\\log x) -\\\\log x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。\n\n### 問題(3) 対数関数の不定積分\n問題(3)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n問題の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求められます。\n\n\\\$\\\\large{t=\\\\log (x^2+1) }\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{2x}{x^2+1}}\\\$ となります。  \n すなわち、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{2x}{x^2+1}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\nすなわち、問題の不定積分を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx &\\\\large =&\\\\large \\\\int t \\\\hspace{1pt}dt\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}t^2+ C\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}\\\\{\\\\log (x^2+1)\\\\}^2+ C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n【お知らせ】\n\n[微分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/dif_ex\/a_dif_index.html), [積分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/int_ex\/a_integral_index.html)を公開しました(2025\/4\/25)\n\n【関連項目の一覧】\n\n◆関数の極限\n\n[関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_1.html)[指数関数と対数関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_2.html)[三角関数の極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_3.html)[ガウス記号と極限](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_k_4.html)\n\n◆微分\n\n[微分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/dif_ex\/a_dif_index.html) [平均変化率と微分係数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_1.html)[関数の連続と微分可能性](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_2.html) [導関数の定義](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_3.html)[積の微分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_4.html) [商の微分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_5.html)[合成関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_6.html) [三角関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_7.html)[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)[指数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_14.html) [対数微分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_9.html)[無理関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_13.html)[接線の方程式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_10.html) [法線の方程式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_11.html)[増減表](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_12.html)\n\n◆積分\n\n[積分ランダム問題集](https:\/\/www.optics-words.com\/math_ex\/int_ex\/a_integral_index.html)[不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_1.html)[定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_2.html) [置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)[部分積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) [sin,cosの積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_4.html)[tanの積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_5.html)\n\nlogの積分公式\n\n[指数関数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_14.html)[無理関数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_8.html) [円の面積の積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_9.html)[1\/6公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_10.html) [1\/3公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_12.html)[1\/12公式(二次関数)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_11.html) [1\/12公式(三次関数)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_13.html)\n\n◆技術英語\n\n[微分の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_science\/differential.html)[積分の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_science\/integral.html)\n\n[トップページ](https:\/\/www.optics-words.com\/index.html) \\> [数学基礎](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index.html) \\> [極限・微積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index_dif.html) \\> logの積分公式\n***\n\ninfomation\n\n- [運営者情報](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/profile.html)\n- [本サイトについて](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/about.html)\n- [お問合せ](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/contact.html)\n\n光学 索引\n\n[あ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter1)[か行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter2)[さ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter3)[た行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter4) [な行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter5)[は行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter6)[ま行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter7)[や行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter8) [ら行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter9)[わ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list.html#chapter10)\n\n数学 索引\n\n[あ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter1)[か行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter2)[さ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter3)[た行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter4) [な行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter5)[は行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter6)[ま行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter7)[や行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter8) [ら行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter9)[わ行](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/word_list_math.html#chapter10)\n\nCopyright (c) 光学技術の基礎用語 All Rights Reserved.\n\n[トップページ](https:\/\/www.optics-words.com\/index.html) [1\\.光学用語](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/optics_index.html)  [光学の基礎](https:\/\/www.optics-words.com\/kogaku_kiso\/kogaku_kiso_index.html)  [幾何光学](https:\/\/www.optics-words.com\/kikakogaku\/kikakogaku_index.html)  [波動光学](https:\/\/www.optics-words.com\/wave_optics\/wave_optics_index.html)  [測光・照明](https:\/\/www.optics-words.com\/sokkou\/sokkou_index.html)\n\n[2\\.数学基礎](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/index.html) [3\\.計算ツール](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/calculation.html) [4\\.技術英語](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/english_index.html)  [数学の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_science\/index.html)  [物理の英語](https:\/\/www.optics-words.com\/english_for_physics\/index.html)\n\n[運営者情報](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/profile.html) [プライバシーポリシー・免責事項](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/privacy-policy.html) [利用規約](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/kiyaku.html) [特定商取引法に基づく表記](https:\/\/www.optics-words.com\/sub-page\/tokushouhou.html)","attrs_readable_markdown":"本項では、『対数関数のlogの積分公式』 と 『問題の解き方』について解説します。\n\n目次\n\n- [1\\. logの積分公式の一覧](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter1)\n- - [・logの積分計算のポイント](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter1_1)\n- [2\\. logx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)\n- [3\\. 底がaの対数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter3)\n- [4\\. 真数がbx+cの対数](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4)\n- [5\\. xlogx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter5)\n- [6\\. x^2logx](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter6)\n- [7\\. (logx)^2](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7)\n- [8\\. (logx)^3](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter8)\n- [9\\. logx\/x](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter9)\n- [10\\. logx\/x^2](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter10)\n- [問題と解き方 : 問題(1)～(3)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11)\n## 【1】logの積分公式の一覧\n以下に 対数関数 \\\$\\\\large{\\\\log}\\\$ に関連する不定積分の一覧を示します。  \n 『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。\n\n下表において \\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ は自然対数 \\\$\\\\large{\\\\log\\_{\\\\hspace{1pt}e} x}\\\$ を表します。  \n また、定数\\\$\\\\large{a}\\\$ は正であり、\\\$\\\\large{a \\\\neq 1}\\\$ とします。また、\\\$\\\\large{b \\\\neq 0}\\\$ とします。\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx =x\\\\log x -x + C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log\\_{\\\\hspace{1pt}a} x \\\\hspace{1pt}dx =\\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter3) |\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int x \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter5) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int x^2 \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9}x^3 +C}\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter6) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7) |\n| \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter8) |\n\n| 積分の公式 |   |\n|---|---|\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{ x}\\\\hspace{1pt} dx =\\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C }\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter9) |\n| \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{ x^2}\\\\hspace{1pt} dx = -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C }\\\$ | [導出](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter10) |\n### ・logの積分計算のポイント\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt} dx}\\\$ はそのままでは積分の計算ができないため、[部分積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) や [置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html) を使用して、別の積分に変換することが必要です。\n\n例えば、[logxの積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)を計算する場合は、部分積分 \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用し、\\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ とおいて \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx}\\$\\$ と変形して計算します。\n\nまた、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ の不定積分は、置換積分法を利用し、  \n \\\$\\\\large{t=\\\\log x }\\\$ とおき、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となることから \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt}dx = \\\\int t \\\\hspace{1pt} dt}\\$\\$ と変換して計算します。\n\n## 【2】logxの不定積分\n対数関数 \\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ の積分は、以下の公式で表されます。\n\n【logxの積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx =x\\\\log x -x + C}\\\$\n### ・logxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log x}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times \\\\log x}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ とおいて計算します。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int x\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【3】底がaの対数関数の積分\n\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ (\\\$\\\\large{a \\\\neq 1}\\\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【底がaの対数関数の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log\\_a x \\\\hspace{1pt}dx =\\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C}\\\$\n### ・底がaの対数の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log\\_a x}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times \\\\log\\_a x}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log\\_a x}\\\$ とおいて計算します。\n\n底が \\\$\\\\large{a}\\\$ の[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)は、 \\$\\$\\\\large{(\\\\log\\_a x)' = \\\\frac{1}{x \\\\log a}}\\$\\$ である点に注意して計算します。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x - \\\\int x\\\\hspace{1pt} (\\\\log\\_a x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x \\\\log a}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\frac{1}{\\\\log a}\\\\int 1\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\log\\_a x -\\\\frac{1}{\\\\log a}x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\nここで、\\\$\\\\large{a\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}b\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}c}\\\$ が正の数、\\\$\\\\large{a \\\\neq 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{1pt}c \\\\neq 1}\\\$ であるときの[底の変換公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/exp\/exponentiation_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\log\\_a b = \\\\frac{\\\\log\\_c b}{\\\\log\\_c a}}\\$\\$ から、底\\\$\\\\large{a}\\\$ の対数関数を 底\\\$\\\\large{e}\\\$ の自然対数に変換すると \\$\\$\\\\large{ \\\\log\\_a x = \\\\frac{\\\\log x}{\\\\log a}}\\$\\$ となります。\n\nしたがって、 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\log\\_a x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{\\\\log a} -\\\\frac{1}{\\\\log a}x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{\\\\log a}(x\\\\log x -x)+ C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【4】真数が(bx+c)の対数の積分\n\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ (ただし、\\\$\\\\large{b \\\\neq 0}\\\$) の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【真数が(bx+c)の対数の不定積分】\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n### ・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ を 『\\\$\\\\displaystyle\\\\large{ 1 \\\\times \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\displaystyle\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ とおいて計算します。\n\n部分積分を使用するとき、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{f(x)=\\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c)}\\\$ とすると計算が簡単になります。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) - \\\\int \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} (\\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c))'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -\\\\int \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} \\\\frac{b}{b\\\\hspace{1pt}x+c}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -\\\\int 1 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【5】xlogxの不定積分\n\\\$\\\\large{x\\\\log x}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【xlogxの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int x \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C}\\\$\n### ・xlogxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{x\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\large{f'(x)= x\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int x \\\\hspace{1pt} \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int \\\\frac{1}{2}x^2\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{2}\\\\int x^2\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{2}\\\\int x \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{4} x^2 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n## 【6】x^2logxの不定積分\n\\\$\\\\large{x^2\\\\log x}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【x^2logxの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int x^2 \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9} x^3 +C}\\\$\n### ・x^2logxの積分公式の導出\n\\\$\\\\large{x^2\\\\log x}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\large{f'(x)= x^2\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として計算すると以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int x^2 \\\\hspace{1pt} \\\\log x\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\int \\\\frac{1}{3}x^3\\\\hspace{1pt} (\\\\log x)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\int x^3\\\\hspace{1pt} \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\int x^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{3}\\\\cdot \\\\frac{1}{3} x^3 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}x^3 \\\\hspace{1pt} \\\\log x - \\\\frac{1}{9}x^3 +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n## 【7】(logx)^2の不定積分\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【(logx)^2の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\\$\n### ・(logx)^2の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{(\\\\log x)^2}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times (\\\\log x)^2}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=(\\\\log x)^2}\\\$ として部分積分を使用します。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 - \\\\int x \\\\hspace{1pt} ((\\\\log x)^2)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 - \\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\cdot 2\\\\log x \\\\cdot \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2 \\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。ここで、[logxの不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C}\\$\\$ であるため、 \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\$\\$ となります。\n\n## 【8】(logx)^3の不定積分\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【(logx)^3の不定積分】\n\n\\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n### ・(logx)^3の積分公式の導出\n\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\nここで、\\\$\\\\large{(\\\\log x)^3}\\\$ を 『\\\$\\\\large{1 \\\\times (\\\\log x)^3}\\\$』 という 2つの関数の積とみなし、  \n \\\$\\\\large{f'(x)= 1\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=(\\\\log x)^3}\\\$ として部分積分を使用します。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 - \\\\int x \\\\hspace{1pt} ((\\\\log x)^3)'\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 - \\\\int x\\\\hspace{1pt} \\\\cdot 3(\\\\log x)^2 \\\\cdot \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\int (\\\\log x)^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。ここで、[(logx)^2の不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter7)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2\\\\hspace{1pt} dx = x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x+C}\\$\\$ が成り立ちます。したがって、 \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\int (\\\\log x)^2 \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\{x \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 -2x \\\\log x +2x \\\\}+C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large x\\\\{ \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^3 -3 \\\\hspace{1pt} (\\\\log x)^2 +6 \\\\log x -6\\\\} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。\n\n## 【9】logx\/xの不定積分\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x}}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【logx\/xの不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx = \\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C}\\\$\n### ・logx\/xの積分公式の導出\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x}}\\\$ の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求めます。\n\n\\\$\\\\large{t= \\\\log x }\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となり、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx}\\\$ を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x}\\\\hspace{1pt} dx&\\\\large =&\\\\large \\\\int t \\\\hspace{1pt} dt\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}t^2 + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}(\\\\log x)^2 + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 【10】logx\/x^2の不定積分\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x^2}}\\\$ の不定積分は、以下の式により表されます。\n\n【logx\/x^2の不定積分】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log x}{x^2}\\\\hspace{1pt} dx = -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C}\\\$\n### ・logx\/x^2の積分公式の導出\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log x}{x^2}}\\\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_6.html) \\$\\$\\\\large{\\\\int f'(x)\\\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\\\hspace{1pt}g(x)- \\\\int f(x)\\\\hspace{1pt}g'(x)\\\\hspace{1pt}dx}\\$\\$ を利用して求めます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{f'(x)= \\\\frac{1}{x^2}\\\\hspace{1pt},\\\\hspace{3pt}g(x)=\\\\log x}\\\$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。\n\n\\\\begin{eqnarray} \\\\large &\\\\int&\\\\large \\\\frac{\\\\log x}{x^2}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{1}{x}\\\\cdot \\\\log x - \\\\int \\\\left(-\\\\frac{1}{x}\\\\right) \\\\cdot (\\\\log x)' \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} +\\\\int \\\\frac{1}{x} \\\\cdot \\\\frac{1}{x} \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} +\\\\int \\\\frac{1}{x^2} \\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large -\\\\frac{\\\\log x}{x} -\\\\frac{1}{x} +C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n## 基本的な問題と解き方\n本章では、\\\$\\\\large{\\\\log}\\\$ の積分 に関連した基本的な問題について解説します。\n\n問題(1)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\log (3x+2) \\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n問題(2)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt}dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n問題(3)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\\begin{eqnarray} &&\\\\large\\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\end{eqnarray}\n\n(解答と解説 : [問題(1)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_1) [問題(2)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_2) [問題(3)](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter11_3))\n\n### 問題(1) log(bx+c)の積分\n【問題(1)】\n\n次の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\log (3x+2)\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n【解答と解説】  \n 本問は、真数が (\\\$\\\\large{bx+c}\\\$) の対数関数の不定積分を求める問題です。\n\n[真数が \\\$\\\\large{bx+c}\\\$ の対数の積分公式](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter4) \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{b}(b\\\\hspace{1pt}x+c) \\\\hspace{1pt} \\\\log (b\\\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} を使用すると、 \\\\begin{eqnarray} &\\\\large \\\\int&\\\\large \\\\log(3x+2)\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{3}(3\\\\hspace{1pt}x+2) \\\\hspace{1pt} \\\\log (3\\\\hspace{1pt}x+2) -x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} と求められます。\n\n### 問題(2) log(logx)\/xの定積分\n問題(2)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n【解答と解説】\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}}\\\$ の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求めます。\n\n\\\$\\\\large{t=\\\\log x}\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{1}{x}}\\\$ となります。  \n すなわち、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{1}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\n\\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\int \\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して積分すると、以下のようになります。 \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\hspace{1pt} \\\\frac{\\\\log (\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx = \\\\int \\\\log t \\\\hspace{1pt}dt}\\$\\$ ここで、[logxの不定積分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_7.html#chapter2)から \\$\\$\\\\large{\\\\int \\\\log x \\\\hspace{1pt}dx = x \\\\hspace{1pt} \\\\log x -x + C}\\$\\$ が成り立ちます。したがって、 \\\\begin{eqnarray} \\\\large &\\\\large \\\\int &\\\\large \\\\frac{\\\\log(\\\\log x)}{x}\\\\hspace{1pt} dx\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\int \\\\log t \\\\hspace{1pt} dt\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large t \\\\hspace{1pt} \\\\log t -t + C\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large (\\\\log x)\\\\log (\\\\log x) -\\\\log x + C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray} となります。\n\n### 問題(3) 対数関数の不定積分\n問題(3)\n\n以下の不定積分を求めよ。  \n \\\$\\\\displaystyle \\\\large{\\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx}\\\$\n\n問題の不定積分は、[置換積分法](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/integral_3.html)により求められます。\n\n\\\$\\\\large{t=\\\\log (x^2+1) }\\\$ とおくと、[対数関数の微分](https:\/\/www.optics-words.com\/math\/dif\/differential_8.html)から \\\$\\\\displaystyle\\\\large{\\\\frac{dt}{dx}=\\\\frac{2x}{x^2+1}}\\\$ となります。  \n すなわち、\\\$\\\\displaystyle\\\\large{dt = \\\\frac{2x}{x^2+1}\\\\hspace{1pt}dx}\\\$ と表すことができます。\n\nすなわち、問題の不定積分を変数 \\\$\\\\large{t}\\\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\\\begin{eqnarray} \\\\large \\\\int \\\\frac{2x}{x^2+1} \\\\log(x^2+1)\\\\hspace{1pt} dx &\\\\large =&\\\\large \\\\int t \\\\hspace{1pt}dt\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}t^2+ C\\\\\\\\\\[0.7em\\] \\\\large &\\\\large =&\\\\large \\\\frac{1}{2}\\\\{\\\\log (x^2+1)\\\\}^2+ C\\\\\\\\\\[0.5em\\] \\\\end{eqnarray}\n***","meta_canonical":null}

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Meta Title	対数関数logの積分公式の一覧 \| 導出と問題
Meta Description	対数関数logの積分公式の一覧、関連する問題と解き方について解説しています。
Meta Canonical	null
Boilerpipe Text	本項では、『対数関数のlogの積分公式』と『問題の解き方』について解説します。目次 1. logの積分公式の一覧・logの積分計算のポイント 2. logx 3. 底がaの対数 4. 真数がbx+cの対数 5. xlogx 6. x^2logx 7. (logx)^2 8. (logx)^3 9. logx/x 10. logx/x^2 問題と解き方 : 問題(1)～(3) 【1】logの積分公式の一覧以下に対数関数 $\large{\log}$ に関連する不定積分の一覧を示します。『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。下表において $\large{\log x}$ は自然対数 $\large{\log_{\hspace{1pt}e} x}$ を表します。また、定数$\large{a}$ は正であり、$\large{a \neq 1}$ とします。また、$\large{b \neq 0}$ とします。積分の公式　　　$\displaystyle \large{\int \log x \hspace{1pt}dx =x\log x -x + C}$ 導出　　　 $\displaystyle \large{\int \log_{\hspace{1pt}a} x \hspace{1pt}dx =\frac{1}{\log a}(x\log x -x)+ C}$ 導出 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -x + C　\\[0.5em] \end{eqnarray} 導出積分の公式　　$\displaystyle \large{\int x \log x \hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{4} x^2 +C}$ 導出　　$\displaystyle \large{\int x^2 \log x \hspace{1pt}dx = \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{9}x^3 +C}$ 導出積分の公式 \begin{eqnarray} &\large \int&\large (\log x)^2\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C　　　\\[0.5em] \end{eqnarray} 導出 \begin{eqnarray} &\large \int&\large (\log x)^3\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large x\{ \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \hspace{1pt} (\log x)^2 +6 \log x -6\} +C\\[0.5em] \end{eqnarray} 導出積分の公式　　　$\displaystyle \large{\int \frac{\log x}{ x}\hspace{1pt} dx =\frac{1}{2}(\log x)^2 + C }$ 導出　　　$\displaystyle \large{\int \frac{\log x}{ x^2}\hspace{1pt} dx = -\frac{\log x}{x} -\frac{1}{x} +C }$ 導出・logの積分計算のポイント $\displaystyle\large{\int \log x \hspace{1pt} dx}$ はそのままでは積分の計算ができないため、部分積分や置換積分法を使用して、別の積分に変換することが必要です。例えば、 logxの積分を計算する場合は、部分積分 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用し、$\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}$ とおいて $$\large{\int \log x\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} \log x -\int 1\hspace{1pt} dx}$$ と変形して計算します。また、$\displaystyle\large{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx}$ の不定積分は、置換積分法を利用し、 $\large{t=\log x }$ とおき、$\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}$ となることから $$\large{\int \frac{\log x}{x}\hspace{1pt}dx = \int t \hspace{1pt} dt}$$ と変換して計算します。【2】logxの不定積分対数関数 $\large{\log x}$ の積分は、以下の公式で表されます。【logxの積分】 $\displaystyle\large{\int \log x \hspace{1pt}dx =x\log x -x + C}$ ・logxの積分公式の導出 $\large{\log x}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。ここで、$\large{\log x}$ を『$\large{1 \times \log x}$』という 2つの関数の積とみなし、 $\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}$ とおいて計算します。 $\displaystyle\large{\int \log x\hspace{1pt}dx}$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \log x - \int x\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int x\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -\int 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log x -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} 【3】底がaの対数関数の積分 $\large{\log_a x}$ ($\large{a \neq 1}$) の不定積分は、以下の式により表されます。【底がaの対数関数の不定積分】 $\displaystyle\large{\int \log_a x \hspace{1pt}dx =\frac{1}{\log a}(x\log x -x)+ C}$ ・底がaの対数の積分公式の導出 $\large{\log_a x}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。ここで、$\large{\log_a x}$ を『$\large{1 \times \log_a x}$』という 2つの関数の積とみなし、 $\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log_a x}$ とおいて計算します。底が $\large{a}$ の対数関数の微分は、 $$\large{(\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}}$$ である点に注意して計算します。 $\displaystyle\large{\int \log_a x\hspace{1pt}dx}$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \log_a x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x - \int x\hspace{1pt} (\log_a x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\int x\hspace{1pt} \frac{1}{x \log a}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\frac{1}{\log a}\int 1\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} \log_a x -\frac{1}{\log a}x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} ここで、$\large{a\hspace{1pt},\hspace{1pt}b\hspace{1pt},\hspace{1pt}c}$ が正の数、$\large{a \neq 1\hspace{1pt},\hspace{1pt}c \neq 1}$ であるときの底の変換公式 $$\large{\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}}$$ から、底$\large{a}$ の対数関数を底$\large{e}$ の自然対数に変換すると $$\large{ \log_a x = \frac{\log x}{\log a}}$$ となります。したがって、 \begin{eqnarray} \large \int \log_a x\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} \frac{\log x}{\log a} -\frac{1}{\log a}x + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{\log a}(x\log x -x)+ C\\[0.5em] \end{eqnarray} 【4】真数が(bx+c)の対数の積分 $\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}$ (ただし、$\large{b \neq 0}$) の不定積分は、以下の式により表されます。【真数が(bx+c)の対数の不定積分】 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -x + C　\\[0.5em] \end{eqnarray} ・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出 $\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。ここで、$\large{\log (b\hspace{1pt}x+c)}$ を『$\displaystyle\large{ 1 \times \log (b\hspace{1pt}x+c)}$』という 2つの関数の積とみなし、 $\displaystyle\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log (b\hspace{1pt}x+c)}$ とおいて計算します。部分積分を使用するとき、$\displaystyle\large{f(x)=\frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c)}$ とすると計算が簡単になります。 $\displaystyle\large{\int \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt}dx}$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) - \int \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} (\log (b\hspace{1pt}x+c))'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -\int \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} \frac{b}{b\hspace{1pt}x+c}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -\int 1 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} 【5】xlogxの不定積分 $\large{x\log x}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【xlogxの不定積分】 $\displaystyle\large{\int x \log x \hspace{1pt}dx = \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{4} x^2 +C}$ ・xlogxの積分公式の導出 $\large{x\log x}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。 $\large{f'(x)= x\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}$ として計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int x \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \int \frac{1}{2}x^2\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x^2\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{2}\int x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}x^2 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{4} x^2 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。【6】x^2logxの不定積分 $\large{x^2\log x}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【x^2logxの不定積分】 $\displaystyle\large{\int x^2 \log x \hspace{1pt}dx = \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{9} x^3 +C}$ ・x^2logxの積分公式の導出 $\large{x^2\log x}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。 $\large{f'(x)= x^2\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}$ として計算すると以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int x^2 \hspace{1pt} \log x\hspace{1pt} dx&\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \int \frac{1}{3}x^3\hspace{1pt} (\log x)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\int x^3\hspace{1pt} \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\int x^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} x^3 +C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{3}x^3 \hspace{1pt} \log x - \frac{1}{9}x^3 +C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。【7】(logx)^2の不定積分 $\large{(\log x)^2}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^2の不定積分】 $\displaystyle\large{\int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C}$ ・(logx)^2の積分公式の導出 $\large{(\log x)^2}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。ここで、$\large{(\log x)^2}$ を『$\large{1 \times (\log x)^2}$』という 2つの関数の積とみなし、 $\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=(\log x)^2}$ として部分積分を使用します。 \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 - \int x \hspace{1pt} ((\log x)^2)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 - \int x\hspace{1pt} \cdot 2\log x \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2 \int \log x \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。ここで、 logxの不定積分から $$\large{\int \log x \hspace{1pt}dx = x \hspace{1pt} \log x -x + C}$$ であるため、 $$\large{\int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C}$$ となります。【8】(logx)^3の不定積分 $\large{(\log x)^3}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^3の不定積分】 \begin{eqnarray} &\large \int&\large (\log x)^3\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large x\{ \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \hspace{1pt} (\log x)^2 +6 \log x -6\} +C\\[0.5em] \end{eqnarray} ・(logx)^3の積分公式の導出 $\large{(\log x)^3}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。ここで、$\large{(\log x)^3}$ を『$\large{1 \times (\log x)^3}$』という 2つの関数の積とみなし、 $\large{f'(x)= 1\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=(\log x)^3}$ として部分積分を使用します。 \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} (\log x)^3\hspace{1pt} dx&\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 - \int x \hspace{1pt} ((\log x)^3)'\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 - \int x\hspace{1pt} \cdot 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \int (\log x)^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。ここで、 (logx)^2の不定積分から $$\large{\int \hspace{1pt} (\log x)^2\hspace{1pt} dx = x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x+C}$$ が成り立ちます。したがって、 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \hspace{1pt} (\log x)^3\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \int (\log x)^2 \hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large x \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \{x \hspace{1pt} (\log x)^2 -2x \log x +2x \}+C\\[0.5em] \large &\large =&\large x\{ \hspace{1pt} (\log x)^3 -3 \hspace{1pt} (\log x)^2 +6 \log x -6\} +C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。【9】logx/xの不定積分 $\displaystyle\large{\frac{\log x}{x}}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/xの不定積分】 $\displaystyle\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x}\hspace{1pt} dx = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C}$ ・logx/xの積分公式の導出 $\displaystyle\large{\frac{\log x}{x}}$ の不定積分は、置換積分法により求めます。 $\large{t= \log x }$ とおくと、対数関数の微分から $\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}$ となり、$\displaystyle\large{dt = \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx}$ と表すことができます。 $\displaystyle\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x}\hspace{1pt} dx}$ を変数 $\large{t}$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x}\hspace{1pt} dx&\large =&\large \int t \hspace{1pt} dt\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}t^2 + C\\[0.5em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}(\log x)^2 + C\\[0.5em] \end{eqnarray} 【10】logx/x^2の不定積分 $\displaystyle\large{\frac{\log x}{x^2}}$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/x^2の不定積分】 $\displaystyle\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log x}{x^2}\hspace{1pt} dx = -\frac{\log x}{x} -\frac{1}{x} +C}$ ・logx/x^2の積分公式の導出 $\displaystyle\large{\frac{\log x}{x^2}}$ の不定積分は、部分積分の公式 $$\large{\int f'(x)\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\hspace{1pt}g(x)- \int f(x)\hspace{1pt}g'(x)\hspace{1pt}dx}$$ を利用して求めます。 $\displaystyle\large{f'(x)= \frac{1}{x^2}\hspace{1pt},\hspace{3pt}g(x)=\log x}$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large &\int&\large \frac{\log x}{x^2}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{1}{x}\cdot \log x - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot (\log x)' \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} +\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} +\int \frac{1}{x^2} \hspace{1pt}dx\\[0.5em] \large &\large =&\large -\frac{\log x}{x} -\frac{1}{x} +C\\[0.5em] \end{eqnarray} 基本的な問題と解き方本章では、$\large{\log}$ の積分に関連した基本的な問題について解説します。問題(1) 以下の不定積分を求めよ。 \begin{eqnarray} &&\large\int \log (3x+2) \hspace{1pt} dx\\[0.7em] \end{eqnarray} 問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 \begin{eqnarray} &&\large\int \frac{\log(\log x)}{x}\hspace{1pt}dx\\[0.7em] \end{eqnarray} 問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 \begin{eqnarray} &&\large\int \frac{2x}{x^2+1} \log(x^2+1)\hspace{1pt} dx\\[0.7em] \end{eqnarray} (解答と解説 : 問題(1) 問題(2) 問題(3) ) 問題(1) log(bx+c)の積分【問題(1)】次の不定積分を求めよ。 $\displaystyle \large{\int \log (3x+2)\hspace{1pt} dx}$ 【解答と解説】本問は、真数が ($\large{bx+c}$) の対数関数の不定積分を求める問題です。真数が $\large{bx+c}$ の対数の積分公式 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log (b\hspace{1pt}x+c)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{b}(b\hspace{1pt}x+c) \hspace{1pt} \log (b\hspace{1pt}x+c) -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} を使用すると、 \begin{eqnarray} &\large \int&\large \log(3x+2)\hspace{1pt} dx\\[0.5em] &\large =&\large \frac{1}{3}(3\hspace{1pt}x+2) \hspace{1pt} \log (3\hspace{1pt}x+2) -x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} と求められます。問題(2) log(logx)/xの定積分問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 $\displaystyle \large{\int \frac{\log(\log x)}{x}\hspace{1pt} dx}$ 【解答と解説】 $\displaystyle\large{\frac{\log (\log x)}{x}}$ の不定積分は、置換積分法により求めます。 $\large{t=\log x}$ とおくと、対数関数の微分から $\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}}$ となります。すなわち、$\displaystyle\large{dt = \frac{1}{x}\hspace{1pt}dx}$ と表すことができます。 $\displaystyle\large{\int \frac{\log (\log x)}{x}\hspace{1pt}dx}$ を変数 $\large{t}$ に置換して積分すると、以下のようになります。 $$\large{\int \hspace{1pt} \frac{\log (\log x)}{x}\hspace{1pt} dx = \int \log t \hspace{1pt}dt}$$ ここで、 logxの不定積分から $$\large{\int \log x \hspace{1pt}dx = x \hspace{1pt} \log x -x + C}$$ が成り立ちます。したがって、 \begin{eqnarray} \large &\large \int &\large \frac{\log(\log x)}{x}\hspace{1pt} dx\\[0.5em] \large &\large =&\large \int \log t \hspace{1pt} dt\\[0.7em] \large &\large =&\large t \hspace{1pt} \log t -t + C\\[0.7em] \large &\large =&\large (\log x)\log (\log x) -\log x + C\\[0.5em] \end{eqnarray} となります。問題(3) 対数関数の不定積分問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 $\displaystyle \large{\int \frac{2x}{x^2+1} \log(x^2+1)\hspace{1pt} dx}$ 問題の不定積分は、置換積分法により求められます。 $\large{t=\log (x^2+1) }$ とおくと、対数関数の微分から $\displaystyle\large{\frac{dt}{dx}=\frac{2x}{x^2+1}}$ となります。すなわち、$\displaystyle\large{dt = \frac{2x}{x^2+1}\hspace{1pt}dx}$ と表すことができます。すなわち、問題の不定積分を変数 $\large{t}$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \begin{eqnarray} \large \int \frac{2x}{x^2+1} \log(x^2+1)\hspace{1pt} dx &\large =&\large \int t \hspace{1pt}dt\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}t^2+ C\\[0.7em] \large &\large =&\large \frac{1}{2}\{\log (x^2+1)\}^2+ C\\[0.5em] \end{eqnarray}
Markdown	[光学技術の基礎用語](https://www.optics-words.com/index.html) \-光と光学に関連する用語の解説サイト- - [トップページ](https://www.optics-words.com/index.html) - [光学用語](https://www.optics-words.com/sub-page/optics_index.html) - [数学基礎](https://www.optics-words.com/math/index.html) - [計算ツール](https://www.optics-words.com/sub-page/calculation.html) - [技術英語](https://www.optics-words.com/sub-page/english_index.html) 1. [トップページ](https://www.optics-words.com/index.html) 2. [数学基礎](https://www.optics-words.com/math/index.html) 3. [極限・微積分](https://www.optics-words.com/math/index_dif.html) 4. logの積分公式【お知らせ】 [微分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/dif_ex/a_dif_index.html), [積分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/int_ex/a_integral_index.html)を公開しました(2025/4/25) 【関連項目の一覧】 ◆関数の極限 [関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_1.html)[指数関数と対数関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_2.html)[三角関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_3.html)[ガウス記号と極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_4.html) ◆微分 [微分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/dif_ex/a_dif_index.html) [平均変化率と微分係数](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_1.html)[関数の連続と微分可能性](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_2.html) [導関数の定義](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_3.html)[積の微分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_4.html) [商の微分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_5.html)[合成関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_6.html) [三角関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_7.html)[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)[指数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_14.html) [対数微分法](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_9.html)[無理関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_13.html)[接線の方程式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_10.html) [法線の方程式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_11.html)[増減表](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_12.html) ◆積分 [積分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/int_ex/a_integral_index.html)[不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_1.html)[定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_2.html) [置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)[部分積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) [sin,cosの積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_4.html)[tanの積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_5.html) logの積分公式 [指数関数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_14.html)[無理関数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_8.html) [円の面積の積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_9.html)[1/6公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_10.html) [1/3公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_12.html)[1/12公式(二次関数)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_11.html) [1/12公式(三次関数)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_13.html) ◆技術英語 [微分の英語](https://www.optics-words.com/english_for_science/differential.html)[積分の英語](https://www.optics-words.com/english_for_science/integral.html) # 対数関数logの積分公式本項では、『対数関数のlogの積分公式』と『問題の解き方』について解説します。目次 - [1\. logの積分公式の一覧](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter1) - - [・logの積分計算のポイント](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter1_1) - [2\. logx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2) - [3\. 底がaの対数](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter3) - [4\. 真数がbx+cの対数](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) - [5\. xlogx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter5) - [6\. x^2logx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter6) - [7\. (logx)^2](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7) - [8\. (logx)^3](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter8) - [9\. logx/x](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter9) - [10\. logx/x^2](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter10) - [問題と解き方 : 問題(1)～(3)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11) ## 【1】logの積分公式の一覧以下に対数関数 \$\\large{\\log}\$ に関連する不定積分の一覧を示します。『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。下表において \$\\large{\\log x}\$ は自然対数 \$\\large{\\log\_{\\hspace{1pt}e} x}\$ を表します。また、定数\$\\large{a}\$ は正であり、\$\\large{a \\neq 1}\$ とします。また、\$\\large{b \\neq 0}\$ とします。 \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\log\_{\\hspace{1pt}a} x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter3) \| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter5) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter6) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7) \| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter8) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x}\\hspace{1pt} dx =\\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C }\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter9) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x^2}\\hspace{1pt} dx = -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C }\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter10) \| ### ・logの積分計算のポイント \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt} dx}\$ はそのままでは積分の計算ができないため、[部分積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) や [置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html) を使用して、別の積分に変換することが必要です。例えば、[logxの積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)を計算する場合は、部分積分 \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用し、\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて \$\$\\large{\\int \\log x\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx}\$\$ と変形して計算します。また、\$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ の不定積分は、置換積分法を利用し、 \$\\large{t=\\log x }\$ とおき、\$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となることから \$\$\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx = \\int t \\hspace{1pt} dt}\$\$ と変換して計算します。 ## 【2】logxの不定積分対数関数 \$\\large{\\log x}\$ の積分は、以下の公式で表されます。【logxの積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$ ### ・logxの積分公式の導出 \$\\large{\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log x}\$ を『\$\\large{1 \\times \\log x}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて計算します。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【3】底がaの対数関数の積分 \$\\large{\\log\_a x}\$ (\$\\large{a \\neq 1}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。【底がaの対数関数の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log\_a x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$ ### ・底がaの対数の積分公式の導出 \$\\large{\\log\_a x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log\_a x}\$ を『\$\\large{1 \\times \\log\_a x}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log\_a x}\$ とおいて計算します。底が \$\\large{a}\$ の[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)は、 \$\$\\large{(\\log\_a x)' = \\frac{1}{x \\log a}}\$\$ である点に注意して計算します。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log\_a x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log\_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log\_a x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x \\log a}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\frac{1}{\\log a}\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ここで、\$\\large{a\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}b\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c}\$ が正の数、\$\\large{a \\neq 1\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c \\neq 1}\$ であるときの[底の変換公式](https://www.optics-words.com/math/exp/exponentiation_6.html) \$\$\\large{\\log\_a b = \\frac{\\log\_c b}{\\log\_c a}}\$\$ から、底\$\\large{a}\$ の対数関数を底\$\\large{e}\$ の自然対数に変換すると \$\$\\large{ \\log\_a x = \\frac{\\log x}{\\log a}}\$\$ となります。したがって、 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log\_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{\\log a} -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【4】真数が(bx+c)の対数の積分 \$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ (ただし、\$\\large{b \\neq 0}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。【真数が(bx+c)の対数の不定積分】 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ### ・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出 \$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ を『\$\\displaystyle\\large{ 1 \\times \\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\displaystyle\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とおいて計算します。部分積分を使用するとき、\$\\displaystyle\\large{f(x)=\\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とすると計算が簡単になります。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) - \\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} (\\log (b\\hspace{1pt}x+c))'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} \\frac{b}{b\\hspace{1pt}x+c}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int 1 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【5】xlogxの不定積分 \$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【xlogxの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$ ### ・xlogxの積分公式の導出 \$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\large{f'(x)= x\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int x \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{2}x^2\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x^2\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ## 【6】x^2logxの不定積分 \$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【x^2logxの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9} x^3 +C}\$ ### ・x^2logxの積分公式の導出 \$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\large{f'(x)= x^2\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int x^2 \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{3}x^3\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^3\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\cdot \\frac{1}{3} x^3 +C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ## 【7】(logx)^2の不定積分 \$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^2の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$ ### ・(logx)^2の積分公式の導出 \$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{(\\log x)^2}\$ を『\$\\large{1 \\times (\\log x)^2}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^2}\$ として部分積分を使用します。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^2)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 2\\log x \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2 \\int \\log x \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。ここで、[logxの不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)から \$\$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}\$\$ であるため、 \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$\$ となります。 ## 【8】(logx)^3の不定積分 \$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^3の不定積分】 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ### ・(logx)^3の積分公式の導出 \$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{(\\log x)^3}\$ を『\$\\large{1 \\times (\\log x)^3}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^3}\$ として部分積分を使用します。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^3)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 3(\\log x)^2 \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。ここで、[(logx)^2の不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7)から \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$\$ が成り立ちます。したがって、 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\{x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x \\}+C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。 ## 【9】logx/xの不定積分 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/xの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx = \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C}\$ ### ・logx/xの積分公式の導出 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求めます。 \$\\large{t= \\log x }\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となり、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\int t \\hspace{1pt} dt\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}t^2 + C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【10】logx/x^2の不定積分 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/x^2の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx = -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C}\$ ### ・logx/x^2の積分公式の導出 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\displaystyle\\large{f'(x)= \\frac{1}{x^2}\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large &\\int&\\large \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{1}{x}\\cdot \\log x - \\int \\left(-\\frac{1}{x}\\right) \\cdot (\\log x)' \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} +\\int \\frac{1}{x} \\cdot \\frac{1}{x} \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} +\\int \\frac{1}{x^2} \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 基本的な問題と解き方本章では、\$\\large{\\log}\$ の積分に関連した基本的な問題について解説します。問題(1) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\log (3x+2) \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} 問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} 問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} (解答と解説 : [問題(1)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_1) [問題(2)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_2) [問題(3)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_3)) ### 問題(1) log(bx+c)の積分【問題(1)】次の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\log (3x+2)\\hspace{1pt} dx}\$ 【解答と解説】本問は、真数が (\$\\large{bx+c}\$) の対数関数の不定積分を求める問題です。 [真数が \$\\large{bx+c}\$ の対数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} を使用すると、 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log(3x+2)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{3}(3\\hspace{1pt}x+2) \\hspace{1pt} \\log (3\\hspace{1pt}x+2) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ### 問題(2) log(logx)/xの定積分問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx}\$ 【解答と解説】 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log (\\log x)}{x}}\$ の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求めます。 \$\\large{t=\\log x}\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となります。すなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して積分すると、以下のようになります。 \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx = \\int \\log t \\hspace{1pt}dt}\$\$ ここで、[logxの不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)から \$\$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}\$\$ が成り立ちます。したがって、 \\begin{eqnarray} \\large &\\large \\int &\\large \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\int \\log t \\hspace{1pt} dt\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large t \\hspace{1pt} \\log t -t + C\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large (\\log x)\\log (\\log x) -\\log x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。 ### 問題(3) 対数関数の不定積分問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx}\$ 問題の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求められます。 \$\\large{t=\\log (x^2+1) }\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{2x}{x^2+1}}\$ となります。すなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{2x}{x^2+1}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。すなわち、問題の不定積分を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx &\\large =&\\large \\int t \\hspace{1pt}dt\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}t^2+ C\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}\\{\\log (x^2+1)\\}^2+ C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} 【お知らせ】 [微分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/dif_ex/a_dif_index.html), [積分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/int_ex/a_integral_index.html)を公開しました(2025/4/25) 【関連項目の一覧】 ◆関数の極限 [関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_1.html)[指数関数と対数関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_2.html)[三角関数の極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_3.html)[ガウス記号と極限](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_k_4.html) ◆微分 [微分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/dif_ex/a_dif_index.html) [平均変化率と微分係数](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_1.html)[関数の連続と微分可能性](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_2.html) [導関数の定義](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_3.html)[積の微分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_4.html) [商の微分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_5.html)[合成関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_6.html) [三角関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_7.html)[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)[指数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_14.html) [対数微分法](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_9.html)[無理関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_13.html)[接線の方程式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_10.html) [法線の方程式](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_11.html)[増減表](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_12.html) ◆積分 [積分ランダム問題集](https://www.optics-words.com/math_ex/int_ex/a_integral_index.html)[不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_1.html)[定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_2.html) [置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)[部分積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) [sin,cosの積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_4.html)[tanの積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_5.html) logの積分公式 [指数関数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_14.html)[無理関数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_8.html) [円の面積の積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_9.html)[1/6公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_10.html) [1/3公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_12.html)[1/12公式(二次関数)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_11.html) [1/12公式(三次関数)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_13.html) ◆技術英語 [微分の英語](https://www.optics-words.com/english_for_science/differential.html)[積分の英語](https://www.optics-words.com/english_for_science/integral.html) [トップページ](https://www.optics-words.com/index.html) \> [数学基礎](https://www.optics-words.com/math/index.html) \> [極限・微積分](https://www.optics-words.com/math/index_dif.html) \> logの積分公式 *** infomation - [運営者情報](https://www.optics-words.com/sub-page/profile.html) - [本サイトについて](https://www.optics-words.com/sub-page/about.html) - [お問合せ](https://www.optics-words.com/sub-page/contact.html) 光学索引 [あ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter1)[か行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter2)[さ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter3)[た行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter4) [な行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter5)[は行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter6)[ま行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter7)[や行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter8) [ら行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter9)[わ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list.html#chapter10) 数学索引 [あ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter1)[か行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter2)[さ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter3)[た行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter4) [な行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter5)[は行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter6)[ま行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter7)[や行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter8) [ら行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter9)[わ行](https://www.optics-words.com/sub-page/word_list_math.html#chapter10) Copyright (c) 光学技術の基礎用語 All Rights Reserved. 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Readable Markdown	本項では、『対数関数のlogの積分公式』と『問題の解き方』について解説します。目次 - [1\. logの積分公式の一覧](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter1) - - [・logの積分計算のポイント](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter1_1) - [2\. logx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2) - [3\. 底がaの対数](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter3) - [4\. 真数がbx+cの対数](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) - [5\. xlogx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter5) - [6\. x^2logx](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter6) - [7\. (logx)^2](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7) - [8\. (logx)^3](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter8) - [9\. logx/x](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter9) - [10\. logx/x^2](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter10) - [問題と解き方 : 問題(1)～(3)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11) ## 【1】logの積分公式の一覧以下に対数関数 \$\\large{\\log}\$ に関連する不定積分の一覧を示します。『導出』をクリックすると、各公式の導出方法に移動します。下表において \$\\large{\\log x}\$ は自然対数 \$\\large{\\log\_{\\hspace{1pt}e} x}\$ を表します。また、定数\$\\large{a}\$ は正であり、\$\\large{a \\neq 1}\$ とします。また、\$\\large{b \\neq 0}\$ とします。 \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\log\_{\\hspace{1pt}a} x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter3) \| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter5) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C}\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter6) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7) \| \| \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter8) \| \| 積分の公式 \| \| \|---\|---\| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x}\\hspace{1pt} dx =\\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C }\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter9) \| \| \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log x}{ x^2}\\hspace{1pt} dx = -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C }\$ \| [導出](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter10) \| ### ・logの積分計算のポイント \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt} dx}\$ はそのままでは積分の計算ができないため、[部分積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) や [置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html) を使用して、別の積分に変換することが必要です。例えば、[logxの積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)を計算する場合は、部分積分 \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用し、\$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて \$\$\\large{\\int \\log x\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx}\$\$ と変形して計算します。また、\$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ の不定積分は、置換積分法を利用し、 \$\\large{t=\\log x }\$ とおき、\$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となることから \$\$\\large{\\int \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt}dx = \\int t \\hspace{1pt} dt}\$\$ と変換して計算します。 ## 【2】logxの不定積分対数関数 \$\\large{\\log x}\$ の積分は、以下の公式で表されます。【logxの積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx =x\\log x -x + C}\$ ### ・logxの積分公式の導出 \$\\large{\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log x}\$ を『\$\\large{1 \\times \\log x}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ とおいて計算します。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log x -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【3】底がaの対数関数の積分 \$\\large{\\log\_a x}\$ (\$\\large{a \\neq 1}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。【底がaの対数関数の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log\_a x \\hspace{1pt}dx =\\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C}\$ ### ・底がaの対数の積分公式の導出 \$\\large{\\log\_a x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log\_a x}\$ を『\$\\large{1 \\times \\log\_a x}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log\_a x}\$ とおいて計算します。底が \$\\large{a}\$ の[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)は、 \$\$\\large{(\\log\_a x)' = \\frac{1}{x \\log a}}\$\$ である点に注意して計算します。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log\_a x\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log\_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x - \\int x\\hspace{1pt} (\\log\_a x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\int x\\hspace{1pt} \\frac{1}{x \\log a}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\frac{1}{\\log a}\\int 1\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\log\_a x -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ここで、\$\\large{a\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}b\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c}\$ が正の数、\$\\large{a \\neq 1\\hspace{1pt},\\hspace{1pt}c \\neq 1}\$ であるときの[底の変換公式](https://www.optics-words.com/math/exp/exponentiation_6.html) \$\$\\large{\\log\_a b = \\frac{\\log\_c b}{\\log\_c a}}\$\$ から、底\$\\large{a}\$ の対数関数を底\$\\large{e}\$ の自然対数に変換すると \$\$\\large{ \\log\_a x = \\frac{\\log x}{\\log a}}\$\$ となります。したがって、 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\log\_a x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{\\log a} -\\frac{1}{\\log a}x + C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{\\log a}(x\\log x -x)+ C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【4】真数が(bx+c)の対数の積分 \$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ (ただし、\$\\large{b \\neq 0}\$) の不定積分は、以下の式により表されます。【真数が(bx+c)の対数の不定積分】 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C \\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ### ・真数が(bx+c)の対数関数の積分公式の導出 \$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ を『\$\\displaystyle\\large{ 1 \\times \\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\displaystyle\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log (b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とおいて計算します。部分積分を使用するとき、\$\\displaystyle\\large{f(x)=\\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)}\$ とすると計算が簡単になります。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt}dx}\$ を部分積分から計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) - \\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} (\\log (b\\hspace{1pt}x+c))'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} \\frac{b}{b\\hspace{1pt}x+c}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -\\int 1 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【5】xlogxの不定積分 \$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【xlogxの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int x \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C}\$ ### ・xlogxの積分公式の導出 \$\\large{x\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\large{f'(x)= x\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int x \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{2}x^2\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x^2\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{2}\\int x \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}x^2 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{4} x^2 +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ## 【6】x^2logxの不定積分 \$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【x^2logxの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int x^2 \\log x \\hspace{1pt}dx = \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9} x^3 +C}\$ ### ・x^2logxの積分公式の導出 \$\\large{x^2\\log x}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\large{f'(x)= x^2\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として計算すると以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int x^2 \\hspace{1pt} \\log x\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\int \\frac{1}{3}x^3\\hspace{1pt} (\\log x)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^3\\hspace{1pt} \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\int x^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{3}\\cdot \\frac{1}{3} x^3 +C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{3}x^3 \\hspace{1pt} \\log x - \\frac{1}{9}x^3 +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ## 【7】(logx)^2の不定積分 \$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^2の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$ ### ・(logx)^2の積分公式の導出 \$\\large{(\\log x)^2}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{(\\log x)^2}\$ を『\$\\large{1 \\times (\\log x)^2}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^2}\$ として部分積分を使用します。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^2)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 2\\log x \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2 \\int \\log x \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。ここで、[logxの不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)から \$\$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}\$\$ であるため、 \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$\$ となります。 ## 【8】(logx)^3の不定積分 \$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【(logx)^3の不定積分】 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ### ・(logx)^3の積分公式の導出 \$\\large{(\\log x)^3}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。ここで、\$\\large{(\\log x)^3}\$ を『\$\\large{1 \\times (\\log x)^3}\$』という 2つの関数の積とみなし、 \$\\large{f'(x)= 1\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=(\\log x)^3}\$ として部分積分を使用します。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x \\hspace{1pt} ((\\log x)^3)'\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 - \\int x\\hspace{1pt} \\cdot 3(\\log x)^2 \\cdot \\frac{1}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。ここで、[(logx)^2の不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter7)から \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} (\\log x)^2\\hspace{1pt} dx = x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x+C}\$\$ が成り立ちます。したがって、 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\hspace{1pt} (\\log x)^3\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\int (\\log x)^2 \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\{x \\hspace{1pt} (\\log x)^2 -2x \\log x +2x \\}+C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large x\\{ \\hspace{1pt} (\\log x)^3 -3 \\hspace{1pt} (\\log x)^2 +6 \\log x -6\\} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。 ## 【9】logx/xの不定積分 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/xの不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx = \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C}\$ ### ・logx/xの積分公式の導出 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x}}\$ の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求めます。 \$\\large{t= \\log x }\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となり、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x}\\hspace{1pt} dx&\\large =&\\large \\int t \\hspace{1pt} dt\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}t^2 + C\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}(\\log x)^2 + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 【10】logx/x^2の不定積分 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、以下の式により表されます。【logx/x^2の不定積分】 \$\\displaystyle\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx = -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C}\$ ### ・logx/x^2の積分公式の導出 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log x}{x^2}}\$ の不定積分は、[部分積分の公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_6.html) \$\$\\large{\\int f'(x)\\hspace{1pt} g(x)dx = f(x)\\hspace{1pt}g(x)- \\int f(x)\\hspace{1pt}g'(x)\\hspace{1pt}dx}\$\$ を利用して求めます。 \$\\displaystyle\\large{f'(x)= \\frac{1}{x^2}\\hspace{1pt},\\hspace{3pt}g(x)=\\log x}\$ として部分積分を使用すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large &\\int&\\large \\frac{\\log x}{x^2}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{1}{x}\\cdot \\log x - \\int \\left(-\\frac{1}{x}\\right) \\cdot (\\log x)' \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} +\\int \\frac{1}{x} \\cdot \\frac{1}{x} \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} +\\int \\frac{1}{x^2} \\hspace{1pt}dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large -\\frac{\\log x}{x} -\\frac{1}{x} +C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ## 基本的な問題と解き方本章では、\$\\large{\\log}\$ の積分に関連した基本的な問題について解説します。問題(1) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\log (3x+2) \\hspace{1pt} dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} 問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} 問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 \\begin{eqnarray} &&\\large\\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.7em\] \\end{eqnarray} (解答と解説 : [問題(1)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_1) [問題(2)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_2) [問題(3)](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter11_3)) ### 問題(1) log(bx+c)の積分【問題(1)】次の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\log (3x+2)\\hspace{1pt} dx}\$ 【解答と解説】本問は、真数が (\$\\large{bx+c}\$) の対数関数の不定積分を求める問題です。 [真数が \$\\large{bx+c}\$ の対数の積分公式](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter4) \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log (b\\hspace{1pt}x+c)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{b}(b\\hspace{1pt}x+c) \\hspace{1pt} \\log (b\\hspace{1pt}x+c) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} を使用すると、 \\begin{eqnarray} &\\large \\int&\\large \\log(3x+2)\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] &\\large =&\\large \\frac{1}{3}(3\\hspace{1pt}x+2) \\hspace{1pt} \\log (3\\hspace{1pt}x+2) -x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} と求められます。 ### 問題(2) log(logx)/xの定積分問題(2) 以下の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx}\$ 【解答と解説】 \$\\displaystyle\\large{\\frac{\\log (\\log x)}{x}}\$ の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求めます。 \$\\large{t=\\log x}\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{1}{x}}\$ となります。すなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{1}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。 \$\\displaystyle\\large{\\int \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt}dx}\$ を変数 \$\\large{t}\$ に置換して積分すると、以下のようになります。 \$\$\\large{\\int \\hspace{1pt} \\frac{\\log (\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx = \\int \\log t \\hspace{1pt}dt}\$\$ ここで、[logxの不定積分](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_7.html#chapter2)から \$\$\\large{\\int \\log x \\hspace{1pt}dx = x \\hspace{1pt} \\log x -x + C}\$\$ が成り立ちます。したがって、 \\begin{eqnarray} \\large &\\large \\int &\\large \\frac{\\log(\\log x)}{x}\\hspace{1pt} dx\\\\\[0.5em\] \\large &\\large =&\\large \\int \\log t \\hspace{1pt} dt\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large t \\hspace{1pt} \\log t -t + C\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large (\\log x)\\log (\\log x) -\\log x + C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} となります。 ### 問題(3) 対数関数の不定積分問題(3) 以下の不定積分を求めよ。 \$\\displaystyle \\large{\\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx}\$ 問題の不定積分は、[置換積分法](https://www.optics-words.com/math/dif/integral_3.html)により求められます。 \$\\large{t=\\log (x^2+1) }\$ とおくと、[対数関数の微分](https://www.optics-words.com/math/dif/differential_8.html)から \$\\displaystyle\\large{\\frac{dt}{dx}=\\frac{2x}{x^2+1}}\$ となります。すなわち、\$\\displaystyle\\large{dt = \\frac{2x}{x^2+1}\\hspace{1pt}dx}\$ と表すことができます。すなわち、問題の不定積分を変数 \$\\large{t}\$ に置換して計算すると、以下のようになります。 \\begin{eqnarray} \\large \\int \\frac{2x}{x^2+1} \\log(x^2+1)\\hspace{1pt} dx &\\large =&\\large \\int t \\hspace{1pt}dt\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}t^2+ C\\\\\[0.7em\] \\large &\\large =&\\large \\frac{1}{2}\\{\\log (x^2+1)\\}^2+ C\\\\\[0.5em\] \\end{eqnarray} ***
Shard	137 (laksa)
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