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1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 41 (from laksa148)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa041.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
  -H 'X-ClickHouse-Database: crawler3' \
  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4","crawl_time":1773824986,"first_indexed_time":1619512743,"http_code":200,"src_unparsed":"kr,thewiki!\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 s443","src_root_hash":"4237396724048981441","history_drop_reason":null,"meta_title":"등비수열","meta_descriptions":["등비수열에 대한 문서, 등비수열(等比數列)은 [math(3,\\\\,6,\\\\,12,\\\\,24,\\\\,48,\\\\,\\\\cdots)]처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 기하수열(幾何數列, geometric sequence \/ progression)이라고도 한다.등비수열의 연속한 두 항의 비를 공비(公比, common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 [math(a)], 공비를 [math(r)]로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 [math(a)]는 초항(初項in"],"attrs_boilerpipe_text":"이산수학\nDiscrete Mathematics\n[ 펼치기 · 접기 ]\n이론\n기본 대상\n수학기초론\n(\n수리논리학\n·\n집합론\n) ·\n수열\n·\n조합\n·\n알고리즘\n·\n확률\n다루는 대상과 주요 토픽\n수열\n등차수열\n(\n뛰어 세기\n) ·\n등비수열\n·\n계차수열\n·\n조화수열\n·\n귀납적 정의\n(\n점화식\n) ·\n급수\n·\n규칙과 대응\n·\n규칙 찾기\n·\n피보나치 수열\n·\n읽고 말하기 수열\n·\n생성함수\n조합\n경우의 수\n(\n\/공식\n) ·\n순열\n(\n완전 순열\n·\n염주 순열\n) ·\n치환\n·\n분할\n(\n분할수\n) ·\n최단거리\n·\n제1종 스털링 수\n·\n제2종 스털링 수\n·\n카탈랑 수\n·\n벨 수\n·\n라흐 수\n·\n포함·배제의 원리\n·\n더블 카운팅\n·\n조합론\n그래프\n수형도(트리)\n·\n인접행렬\n·\n마방진\n·\n마법진\n·\n한붓그리기\n(\n해밀턴 회로\n) ·\n쾨니히스베르크 다리 건너기 문제\n기타\nP-NP 문제\n미해결\n·\n4색정리\n·\n이항정리\n(\n파스칼의 삼각형\n) ·\n이산 푸리에 변환\n·\n비둘기 집의 원리\n·\n상트페테르부르크의 역설\n·\n투표의 역설\n·\n에르고딕 가설\n미해결\n·\n콜라츠 추측\n미해결\n·\n시행착오\n(\n예상과 확인\n) ·\n불 논리\n·\n브라에스 역설\n·\n포함-배제의 원리\n관련 문서\n논리학 관련 정보\n·\n수학 관련 정보\n·\n컴퓨터 관련 정보\n·\n틀:수학기초론\n·\n틀:통계학\n·\n틀:이론 컴퓨터 과학\n1\n. 개요\n2\n.\n일반항\n3\n. 등비중항\n4\n.\n함수\n로 해석하기\n5\n. 성질\n6\n.\n극한\n7\n. 등비수열의 합\n7.1\n. 등비수열의 절댓값의 합\n7.2\n. 제2항부터 등비수열인 경우\n7.3\n.\n기하급수\n(무한등비급수)\n8\n. 등비수열의 곱\n9\n. 활용\n10\n. 기타\n11\n. 관련 문서\n1.\n개요\n[편집]\n등비수열\n(\n等\n比\n數\n列\n)은\n3\n,\n \n6\n,\n \n12\n,\n \n24\n,\n \n48\n,\n \n⋯\n3,\\,6,\\,12,\\,24,\\,48,\\,\\cdots\n처럼 연속한 두 항의 비가 일정한\n수열\n이다. 기하적 증가 양상을 띄므로\n기하수열\n(\n幾\n何\n數\n列\n, geometric sequence \/ progression)이라고도 한다.\n등비수열의 연속한 두 항의 비를\n공비\n(\n公\n比\n, common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을\na\na\n, 공비를\nr\nr\n로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자\na\na\n는\n초항\n(\n初\n項\ninitial value,start term)이라고도 하며, 문자\nr\nr\n는 비(\n比\n)를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.\n2.\n일반항\n[편집]\n수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_{n} \\}\n이 공비가\nr\nr\n인 등비수열이면 임의의 자연수\nk\nk\n에 대하여 다음이 성립한다.\na\nk\n+\n1\na\nk\n=\nr\n\\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r\n이에 따라 등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은\n수열의 귀납적 정의\n문서를 참고하라.\na\nn\n=\na\nr\nn\n−\n1\na_n=ar^{n-1}\n이때,\na\n≠\n0\n,\n \nr\n≠\n0\na\\neq0,\\,r\\neq0\n이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의\n일반항\n을 정할 수 있다.\n3.\n등비중항\n[편집]\na\na\n,\nb\nb\n,\nc\nc\n가 등비수열의 연속한 세 항일 때,\nb\nb\n를\na\na\n와\nc\nc\n의\n등비중항\n이라고 한다.\nb\na\n=\nc\nb\n  \n→\n  \nb\n2\n=\na\nc\n→\n  \nb\n=\n±\na\nc\n\\begin{aligned} \\dfrac ba=\\dfrac cb \\; & \\to \\; b^2=ac \\\\ & \\to \\; b=\\pm \\sqrt{ac} \\end{aligned}\n예를 들어 등비수열\na\nn\na_n\n에 대하여\na\n6\na_6\n,\na\n7\na_7\n,\na\n8\na_8\n의 등비중항은\na\n7\n=\n±\na\n6\na\n8\na_7=\\pm \\sqrt{a_6a_8}\n이다.\n다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면\nb\n=\na\nc\nb=\\sqrt{ac}\n로 표현되어 그대로\n나머지 두 항의\n기하 평균\n이 된다.\n4.\n함수\n로 해석하기\n[편집]\n등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열\na\nn\n=\na\nr\nn\n−\n1\na_n=ar^{n-1}\n에 대하여 좌표평면에\n(\nn\n,\n \na\nn\n)\n(n,\\, a_n)\n을 나타내면 다음과 같다.\n각 점의\nn\nn\n좌표는 몇 번째 항인지를,\na\nn\na_n\n좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은\n지수함수의 그래프의 위에 있다.\n이렇게 보면, 등비수열의 일반항은\n자연수만을 정의역으로 하는\n지수함수\n이다.\n이에 따라\na\nn\na_n\n에서 원래\nn\nn\n은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이\nn\nn\n이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.\n등비수열\na\nn\n=\n2\nn\na_n=2^n\n에 대하여\na\n3\na_3\n과\na\n4\na_4\n의 기하평균은\na\n3.5\n=\n2\n3.5\n=\n128\na_{3.5}=2^{3.5}=\\sqrt{128}\na\n5\na_5\n과\na\n6\na_6\n의 기하평균은\na\n5.5\n=\n2\n5.5\n=\n2048\na_{5.5}=2^{5.5}=\\sqrt{2048}\n위 두 값의 비는\na\n5.5\na\n3.5\n=\na\n5.5\n−\n3.5\n=\n2\n2\n=\n4\n(\n=\n2048\n128\n)\n\\dfrac{a_{5.5}}{a_{3.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\\biggl(=\\sqrt {\\dfrac{2048}{128}} \\biggr)\n5.\n성질\n[편집]\n등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n과 임의의 음이 아닌 정수\nm\nm\n에 대하여 다음이 성립한다.\na\nk\n+\nm\na\nk\n=\nr\nm\n\\dfrac{a_{k+m}}{a_k}=r^m\na\nk\na\nl\n=\na\nk\n±\nm\na\nl\n∓\nm\na_ka_l=a_{k\\pm m}a_{l\\mp m}\n(\n복부호 동순\n)\n특히,\na\nk\na\nk\n+\n2\n=\na\nk\n+\n1\n2\na_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2\n(\n등비중항\n)\n특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.\n[예제]\n[문제]\n등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_{n}\\}\n이\na\n5\na\n7\n=\n3\na_{5}a_{7}=3\n을 만족시킬 때,\na\n1\na\n2\n⋯\na\n11\na_1a_2\\cdots a_{11}\n의 값을 구하시오.\na\n1\na\n2\n⋯\na\n11\n=\n(\na\n1\na\n11\n)\n(\na\n2\na\n10\n)\n(\na\n3\na\n9\n)\n(\na\n4\na\n8\n)\n(\na\n5\na\n7\n)\na\n6\n=\n{\n3\n11\n=\n243\n3\n(\na\n6\n=\nr\na\n5\n>\n0\n)\n−\n3\n11\n=\n−\n243\n3\n(\na\n6\n=\nr\na\n5\n<\n0\n)\n\\begin{aligned}a_1a_2\\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\\\&=\\begin{cases}\\begin{aligned}\\sqrt{3^{11}}&=243\\sqrt 3\\quad &(a_6=ra_5>0)\\\\-\\sqrt{3^{11}}&=-243\\sqrt 3 \\quad&(a_6=ra_5<0)\\end{aligned}\\end{cases}\\end{aligned}\n6.\n극한\n[편집]\n첫째 항\na\na\n와 공비\nr\nr\n에 따라 등비수열\na\nn\n=\na\nr\nn\n−\n1\na_{n}=ar^{n-1}\n의 극한은 달라진다. oscillation은\n진동\n을 뜻한다.\nlim\n⁡\nn\n→\n∞\na\nr\nn\n−\n1\n=\n{\n∞\n  \n(\nr\n>\n1\n,\n  \na\n>\n0\n)\n−\n∞\n  \n(\nr\n>\n1\n,\n  \na\n<\n0\n)\na\n  \n(\nr\n=\n1\n)\n0\n  \n(\n−\n1\n<\nr\n<\n1\n)\noscillation\n  \n(\nr\n≤\n−\n1\n)\n\\displaystyle\\lim_{n\\to\\infty}ar^{n-1}=\\begin{cases}\\begin{aligned}&\\infty\\;&(r>1,\\;a>0)\\\\&-\\infty\\;&(r>1,\\;a<0)\\\\&a\\;&(r=1)\\\\&0\\;&(-1<r<1) \\\\&\\small{\\textsf{oscillation}} \\;&(r \\leq -1) \\end{aligned}\\end{cases}\n따라서 등비수열이 수렴하기 위한\nr\nr\n의 범위는 아래와 같다.\n[1]\n−\n1\n<\nr\n≤\n1\n{-1<r\\leq 1}\n7.\n등비수열의 합\n[편집]\n첫째 항이\na\na\n이고 공비\nr\nr\n가 1이 아닌 등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n에 대하여, 항을 소거하기 위하여\nS\nn\nS_n\n에서\nr\nS\nn\nrS_n\n을 빼어 등비수열의 합을 구한다.\nS\nn\n=\na\n+\na\nr\n+\na\nr\n2\n+\n⋯\n+\na\nr\nn\n−\n2\n+\na\nr\nn\n−\n1\n−\nr\nS\nn\n=\n+\na\nr\n+\na\nr\n2\n+\n⋯\n+\na\nr\nn\n−\n2\n+\na\nr\nn\n−\n1\n+\na\nr\nn\n(\n1\n−\nr\n)\nS\nn\n=\na\n(\n1\n−\nr\nn\n)\n\\begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&\\\\ - & rS_{n}&=&&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\\\ \\hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\\\ \\\\ \\end{matrix}\nS\nn\nS_{n}\n에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다.\nS\nn\n=\na\n(\n1\n−\nr\nn\n)\n1\n−\nr\n=\na\n(\nr\nn\n−\n1\n)\nr\n−\n1\n(\nr\n≠\n1\n)\n\\displaystyle S_{n} =\\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r}  =\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}  \\quad  (r \\neq 1)\n한편, 위 공식에\nr\n=\n1\nr=1\n을 대입하면\n분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다\n.(\n부정형\n) 공식을 유도하는 과정을 보더라도\nr\n=\n1\nr=1\n이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다\n.\n이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.\nS\nn\n=\na\nn\n(\nr\n=\n1\n)\nS_n=an \\quad (r=1)\n로피탈의 정리\n를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.\nlim\n⁡\nr\n→\n1\na\n(\nr\nn\n−\n1\n)\nr\n−\n1\n=\nl’H\no\nˆ\npital\nlim\n⁡\nr\n→\n1\na\nn\nr\nn\n−\n1\n1\n=\na\nn\n\\displaystyle\\lim_{r\\to 1}\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\xlongequal{\\textsf{l'H\\^opital}}\\lim_{r\\to 1}\\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an\n7.1.\n등비수열의 절댓값의 합\n[편집]\n등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n에 대하여\n∑\n∣\na\nk\n∣\n\\sum |a_k|\n를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는\na\n1\na_1\n부터\na\nn\na_n\n까지의 합을 기준으로 설명한다.\n등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n에 대하여\na\n1\na_1\n부터\na\nn\na_n\n까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을\nP\nn\nP_n\n, 음수(Negative) 항들의 합을\nN\nn\nN_n\n이라 하면\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n=\nP\nn\n+\nN\nn\n=\nS\nn\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n a_k=P_n+N_n=S_n\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\nP\nn\n−\nN\nn\n=\nS\nn\n−\n2\nN\nn\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n |a_k|=P_n-N_n=S_n-2N_n\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n+\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\nP\nn\n=\n2\n(\nS\nn\n−\nN\nn\n)\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k+|a_k|\\}=2P_n=2(S_n-N_n)\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n−\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\nN\nn\n=\n2\n(\nS\nn\n−\nP\nn\n)\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k-|a_k|\\}=2N_n=2(S_n-P_n)\n이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면\nN\nn\n=\n0\nN_n=0\n, 음수이면\nP\nn\n=\n0\nP_n=0\n인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로\n각주를 참고하라.\n모든 항이 양수\n첫째 항과 공비가 모두 양수\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n |a_k|=\\sum_{k=1}^n a_k\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n+\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k+|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^n |a_k|=2\\sum_{k=1}^n a_k\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n−\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n0\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k-|a_k|\\}=0\n모든 항이 음수\n첫째 항은 음수, 공비는 양수\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n−\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n |a_k|=-\\sum_{k=1}^n a_k\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n+\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n0\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k+|a_k|\\}=0\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n−\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n−\n2\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k-|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^n |a_k|=-2\\sum_{k=1}^n a_k\n홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수\n[2]\n첫째 항은 양수, 공비는 음수\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n−\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌊\nn\n\/\n2\n⌋\na\n2\nk\n  \n(\nn\n≠\n1\n)\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n |a_k|=\\sum_{k=1}^n a_k-2\\sum_{k=1}^{\\left\\lfloor n\/2\\right\\rfloor} a_{2k}\\;(n\\neq 1)\n[3]\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n+\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌈\nn\n\/\n2\n⌉\na\n2\nk\n−\n1\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k+|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^{\\left\\lceil n\/2\\right\\rceil} a_{2k-1}\n[4]\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n−\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌊\nn\n\/\n2\n⌋\na\n2\nk\n  \n(\nn\n≠\n1\n)\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k-|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^{\\left\\lfloor n\/2\\right\\rfloor} a_{2k}\\;(n\\neq 1)\n[5]\n홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수\n첫째 항과 공비가 모두 음수\n∑\nk\n=\n1\nn\n∣\na\nk\n∣\n=\n∑\nk\n=\n1\nn\na\nk\n−\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌈\nn\n\/\n2\n⌉\na\n2\nk\n−\n1\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n |a_k|=\\sum_{k=1}^n a_k-2\\sum_{k=1}^{\\left\\lceil n\/2\\right\\rceil} a_{2k-1}\n[6]\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n+\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌊\nn\n\/\n2\n⌋\na\n2\nk\n  \n(\nn\n≠\n1\n)\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k+|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^{\\left\\lfloor n\/2\\right\\rfloor} a_{2k}\\;(n\\neq 1)\n[7]\n∑\nk\n=\n1\nn\n{\na\nk\n−\n∣\na\nk\n∣\n}\n=\n2\n∑\nk\n=\n1\n⌈\nn\n\/\n2\n⌉\na\n2\nk\n−\n1\n\\displaystyle\\sum_{k=1}^n \\{a_k-|a_k|\\}=2\\sum_{k=1}^{\\left\\lceil n\/2\\right\\rceil} a_{2k-1}\n[8]\n[예제]\n2019학년도 3월 고3 나형 16번\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다.\na\nn\na_n\n의 공비를\nr\nr\n라고 하면 다음이 성립한다.\n∑\nk\n=\n1\n9\n(\n∣\na\nk\n∣\n+\na\nk\n)\n=\n2\n(\na\n1\n+\na\n3\n+\na\n5\n+\na\n7\n+\na\n9\n)\n=\n2\n(\na\n1\n+\n4\na\n1\n+\n16\na\n1\n+\n64\na\n1\n+\n256\na\n1\n)\n  \n(\n∵\nr\n2\n=\n4\n)\n=\n682\na\n1\n=\n66\n∴\na\n1\n=\n66\n682\n=\n3\n31\n\\begin{aligned}\\displaystyle\\sum_{k=1}^9(|a_k|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\\;(\\because r^2=4)\\\\&=682a_1=66 \\\\ \\\\ \\therefore a_1&=\\dfrac{66}{682}=\\dfrac{3}{31}\\end{aligned}\n7.2.\n제2항부터 등비수열인 경우\n[편집]\n결론부터 말하면, 등비수열의 합은\na\nr\nn\n+\nb\nar^n+b\n의 꼴이며,\na\n+\nb\n=\n0\na+b=0\n이면 첫째 항부터,\na\n+\nb\n≠\n0\na+b\\neq 0\n이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.\n우선 앞서 밝힌 등비수열\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.\nS\nn\n=\na\n(\nr\nn\n−\n1\n)\nr\n−\n1\n=\na\nr\n−\n1\n(\nr\nn\n−\n1\n)\n=\na\nr\n−\n1\nr\nn\n−\na\nr\n−\n1\n\\begin{aligned}S_n&=\\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}r^n-\\dfrac{a}{r-1}\\end{aligned}\n여기에서 편의를 위하여\na\n(\nr\n−\n1\n)\n−\n1\na(r-1)^{-1}\n를\np\np\n로 치환하자.\nS\nn\n=\np\nr\nn\n−\np\nS_n=pr^n-p\na\n=\np\na=p\n,\nb\n=\n−\np\nb=-p\n이고\na\n+\nb\n=\n0\na+b=0\n이 성립하므로,\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어\nS\nn\n=\n5\nn\n−\n1\nS_n=5^n-1\n이면\na\n=\n1\n,\n  \nb\n=\n−\n1\na=1,\\;b=-1\n이므로\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면,\nS\nn\n=\n5\nn\n−\n2\nS_n=5^n-2\n이면\na\n=\n1\na=1\n,\nb\n=\n−\n2\nb=-2\n이므로\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.\nS\nn\n=\n5\nn\n−\n1\nS_n=5^n-{\\color{red} 1}\na\n1\n(\n=\nS\n1\n)\na_1(=S_1)\na\n2\na_2\na\n3\na_3\na\n4\na_4\n⋯\n\\cdots\n4\n{\\color{red} 4}\n20\n20\n100\n100\n500\n500\n⋯\n\\cdots\nS\nn\n=\n5\nn\n−\n2\nS_n=5^n-{\\color{red} 2}\na\n1\n(\n=\nS\n1\n)\na_1(=S_1)\na\n2\na_2\na\n3\na_3\na\n4\na_4\n⋯\n\\cdots\n3\n{\\color{red} 3}\n20\n20\n100\n100\n500\n500\n⋯\n\\cdots\na\nn\na_n\n의 다른 모든 항은 같고\na\n1\na_1\n만이 1의 차이가 나므로\nS\nn\nS_n\n역시 계속 1의 차이만 나게 된다.\n주의할 것은\nS\nn\nS_{\\boldsymbol n}\n이\na\n+\nb\n=\n0\na+b=0\n인지의 여부를 따질 때는\n지수가\nn\n\\boldsymbol n\n이어야 한다\n는 점이다. 예로 다음\nS\nn\nS_n\n에 대하여, 각각\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는\nk\nk\n의 값을 구해 보자.\nS\nn\n=\n4\nn\n+\n1\n−\nk\n\\boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k}\nS\nn\n=\n4\n⋅\n4\nn\n−\nk\nS_n=4\\cdot 4^n-k\n이므로\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n이 첫째 항부터 등비수열이 되려면\n4\n−\nk\n=\n0\n4-k=0\n,\nk\n=\n4\nk=4\nS\nn\n=\n4\nn\n−\n1\n+\nk\n\\boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k}\nS\nn\n=\n4\n−\n1\n⋅\n4\nn\n+\nk\nS_n=4^{-1}\\cdot 4^n+k\n이므로\n{\na\nn\n}\n\\{a_n\\}\n이 첫째 항부터 등비수열이 되려면\n1\n4\n+\nk\n=\n0\n\\dfrac{1}{4}+k=0\n,\nk\n=\n−\n1\n4\nk=-\\dfrac{1}{4}\n7.3.\n기하급수\n(무한등비급수)\n[편집]\n   자세한 내용은\n기하급수\n문서를 참고하십시오.\n8.\n등비수열의 곱\n[편집]\n자연수\nn\nn\n에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된\n4\nn\n4n\n개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다.\n+\n,\n \n+\n,\n \n+\n,\n \n+\n,\n \n⋯\n+,\\,+,\\,+,\\,+,\\,\\cdots\n초항과 공비가 모두 양수\n양수 네 개를 곱하면 양수\n+\n,\n \n−\n,\n \n+\n,\n \n−\n,\n \n⋯\n+,\\,-,\\,+,\\,-,\\,\\cdots\n초항이 양수이고 공비가 음수\n양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n−\n,\n \n+\n,\n \n−\n,\n \n+\n,\n \n⋯\n-,\\,+,\\,-,\\,+,\\,\\cdots\n초항과 공비가 모두 음수\n양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n−\n,\n \n−\n,\n \n−\n,\n \n−\n,\n \n⋯\n-,\\,-,\\,-,\\,-,\\,\\cdots\n초항이 음수이고 공비가 양수\n음수 네 개를 곱하면 양수\n이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된\n4\n,\n \n8\n,\n \n12\n,\n \n16\n,\n \n⋯\n4,\\,8,\\,12,\\,16,\\,\\cdots\n개의 항의 곱을 구해도 양수이다.\n나아가 같은 논리로 자연수\nn\nn\n에 대하여 임의의 등비수열의 연속된\n6\nn\n,\n \n8\nn\n,\n \n10\nn\n,\n \n⋯\n6n,\\,8n,\\,10n,\\,\\cdots\n개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다.\n구체적인 값은 초항\na\na\n, 공비\nr\nr\n를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.\n∣\na\n∣\nn\n∣\nr\n∣\nn\n(\nn\n−\n1\n)\n\/\n2\n(\ns\ng\nn\n \na\n)\nn\n(\ns\ng\nn\n \nr\n)\nn\n(\nn\n−\n1\n)\n\/\n2\n|a|^n |r|^{n(n-1)\/2} ({\\rm sgn}\\,a)^n ({\\rm sgn}\\,r)^{n(n-1)\/2}\ns\ng\nn\n\\rm sgn\n은\n부호 함수\n이다.\n9.\n활용\n[편집]\n   자세한 내용은\n원리합계\n문서를 참고하십시오.\n10.\n기타\n[편집]\n모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에\n로그\n를 취하면\n등차수열\n이 된다.\n11.\n관련 문서\n[편집]\n이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키\n등비수열\n문서에서 가져왔습니다.\n[1]\n참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에\nr\n=\n1\nr=1\n인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.\n[2]\n이때\n⌊\n \n⋅\n \n⌋\n\\lfloor \\, \\cdot \\, \\rfloor\n는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '\n최대 정수 함수\n', 혹은 '바닥 함수'이고,\n⌈\n \n⋅\n \n⌉\n\\lceil \\, \\cdot \\, \\rceil\n은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.\n[3]\n(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)\n[4]\n홀수 번째 항들의 합의 2배\n[5]\n짝수 번째 항들의 합의 2배\n[6]\n(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)\n[7]\n짝수 번째 항들의 합의 2배\n[8]\n홀수 번째 항들의 합의 2배","attrs_markdown":"- [최근 변경](https:\/\/thewiki.kr\/Recent \"최근 변경\")\n- [최근 토론](https:\/\/thewiki.kr\/RecentDiscuss \"최근 토론\")\n- [광고 끄기](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4?fADs=TRUE \"광고 끄기\")\n- [특수 기능](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 \"특수 기능\")\n  [기술 지원](https:\/\/thewiki.kr\/help_desk\/0 \"기술 지원\")[랜덤 문서](https:\/\/thewiki.kr\/Random \"랜덤 문서\")[차단 내역](https:\/\/thewiki.kr\/DenyUsers)[이미지 업로드](https:\/\/thewiki.kr\/Upload.php)[기여포인트](https:\/\/thewiki.kr\/Point)\n\n- 15\\.235.27.79\n  \n  Viewer\n  \n  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[한자어](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%84%EB%A5%98:%ED%95%9C%EC%9E%90%EC%96%B4)\n\n|   |   |\n|---|---|\n| **[이산수학 Discrete Mathematics](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%B4%EC%82%B0%EC%88%98%ED%95%99 \"이산수학\")** |   |\n|   |   |\n| **이론** |   |\n| **기본 대상** | [수학기초론](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%EC%88%98%ED%95%99%EA%B8%B0%EC%B4%88%EB%A1%A0 \"수학기초론\")([수리논리학](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EB%A6%AC%EB%85%BC%EB%A6%AC%ED%95%99 \"수리논리학\") · [집합론](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A7%91%ED%95%A9%EB%A1%A0 \"집합론\")) · [수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4 \"수열\") · [조합](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A1%B0%ED%95%A9 \"조합\") · [알고리즘](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98 \"알고리즘\") · [확률](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%99%95%EB%A5%A0 \"확률\") |\n| **다루는 대상과 주요 토픽** |   |\n| **[수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4 \"수열\")** | [등차수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 \"등차수열\")([뛰어 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수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BD%EA%B3%A0%20%EB%A7%90%ED%95%98%EA%B8%B0%20%EC%88%98%EC%97%B4 \"읽고 말하기 수열\") · [생성함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%83%9D%EC%84%B1%ED%95%A8%EC%88%98 \"생성함수\") |\n| **[조합](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A1%B0%ED%95%A9 \"조합\")** | [경우의 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98%20%EC%88%98 \"경우의 수\")([\/공식](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B2%BD%EC%9A%B0%EC%9D%98%20%EC%88%98\/%EA%B3%B5%EC%8B%9D \"경우의 수\/공식\")) · [순열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%9C%EC%97%B4 \"순열\")([완전 순열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%99%84%EC%A0%84%20%EC%88%9C%EC%97%B4 \"완전 순열\") · [염주 순열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%97%BC%EC%A3%BC%20%EC%88%9C%EC%97%B4 \"염주 순열\")) · [치환](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%B9%98%ED%99%98#s-2.2 \"치환\") · [분할](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%84%ED%95%A0 \"분할\")([분할수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%84%ED%95%A0%EC%88%98 \"분할수\")) · [최단거리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%B5%9C%EB%8B%A8%EA%B1%B0%EB%A6%AC#s-2 \"최단거리\") · [제1종 스털링 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A0%9C1%EC%A2%85%20%EC%8A%A4%ED%84%B8%EB%A7%81%20%EC%88%98 \"제1종 스털링 수\") · [제2종 스털링 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A0%9C2%EC%A2%85%20%EC%8A%A4%ED%84%B8%EB%A7%81%20%EC%88%98 \"제2종 스털링 수\") · [카탈랑 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%B9%B4%ED%83%88%EB%9E%91%20%EC%88%98 \"카탈랑 수\") · [벨 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B2%A8%20%EC%88%98 \"벨 수\") · [라흐 수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%9D%BC%ED%9D%90%20%EC%88%98 \"라흐 수\") · [포함·배제의 원리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8F%AC%ED%95%A8%C2%B7%EB%B0%B0%EC%A0%9C%EC%9D%98%20%EC%9B%90%EB%A6%AC \"포함·배제의 원리\") · [더블 카운팅](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%8D%94%EB%B8%94%20%EC%B9%B4%EC%9A%B4%ED%8C%85 \"더블 카운팅\") · [조합론](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A1%B0%ED%95%A9%EB%A1%A0 \"조합론\") |\n| **[그래프](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84\\(%EC%9D%B4%EC%82%B0%EC%88%98%ED%95%99\\) \"그래프(이산수학)\")** | [수형도(트리)](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8A%B8%EB%A6%AC\\(%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%94%84\\) \"트리(그래프)\") · 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삼각형\")) · [이산 푸리에 변환](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%B4%EC%82%B0%20%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90%20%EB%B3%80%ED%99%98 \"이산 푸리에 변환\") · [비둘기 집의 원리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B9%84%EB%91%98%EA%B8%B0%20%EC%A7%91%EC%9D%98%20%EC%9B%90%EB%A6%AC \"비둘기 집의 원리\") · [상트페테르부르크의 역설](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%83%81%ED%8A%B8%ED%8E%98%ED%85%8C%EB%A5%B4%EB%B6%80%EB%A5%B4%ED%81%AC%EC%9D%98%20%EC%97%AD%EC%84%A4 \"상트페테르부르크의 역설\") · [투표의 역설](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%88%AC%ED%91%9C%EC%9D%98%20%EC%97%AD%EC%84%A4 \"투표의 역설\") · [에르고딕 가설](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%97%90%EB%A5%B4%EA%B3%A0%EB%94%95%20%EA%B0%80%EC%84%A4 \"에르고딕 가설\")미해결 · [콜라츠 추측](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%BD%9C%EB%9D%BC%EC%B8%A0%20%EC%B6%94%EC%B8%A1 \"콜라츠 추측\")미해결 · [시행착오](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%8B%9C%ED%96%89%EC%B0%A9%EC%98%A4#s-3 \"시행착오\")([예상과 확인](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%98%88%EC%83%81%EA%B3%BC%20%ED%99%95%EC%9D%B8 \"예상과 확인\")) · [불 논리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%85%BC%EB%A6%AC%20%EC%97%B0%EC%82%B0 \"논리 연산\") · [브라에스 역설](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B8%8C%EB%9D%BC%EC%97%90%EC%8A%A4%20%EC%97%AD%EC%84%A4 \"브라에스 역설\") · [포함-배제의 원리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8F%AC%ED%95%A8-%EB%B0%B0%EC%A0%9C%EC%9D%98%20%EC%9B%90%EB%A6%AC \"포함-배제의 원리\") |\n| **관련 문서** | [논리학 관련 정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%85%BC%EB%A6%AC%ED%95%99%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"논리학 관련 정보\") · [수학 관련 정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%ED%95%99%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"수학 관련 정보\") · [컴퓨터 관련 정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"컴퓨터 관련 정보\") · [틀:수학기초론](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%EC%88%98%ED%95%99%EA%B8%B0%EC%B4%88%EB%A1%A0 \"수학기초론\") · [틀:통계학](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99 \"통계학\") · [틀:이론 컴퓨터 과학](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%EC%9D%B4%EB%A1%A0%20%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B3%BC%ED%95%99 \"이론 컴퓨터 과학\") |\n\n[1](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-1). 개요[2](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-2). [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\")[3](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-3). 등비중항[4](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-4). [함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%95%A8%EC%88%98 \"함수\")로 해석하기[5](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-5). 성질[6](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-6). [극한](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B7%B9%ED%95%9C \"극한\")[7](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7). 등비수열의 합\n\n[7\\.1](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.1). 등비수열의 절댓값의 합[7\\.2](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.2). 제2항부터 등비수열인 경우[7\\.3](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.3). [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\")(무한등비급수)\n\n[8](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-8). 등비수열의 곱[9](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-9). 활용[10](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-10). 기타[11](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-11). 관련 문서\n## [1\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 개요 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!1)\n**등비수열**([等](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E7%AD%89 \"等\")[比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\")[數](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%95%B8 \"數\")[列](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%97 \"列\"))은\n\n3\n\n,\n\n6\n\n,\n\n12\n\n,\n\n24\n\n,\n\n48\n\n,\n\n⋯\n\n3,\\\\,6,\\\\,12,\\\\,24,\\\\,48,\\\\,\\\\cdots\n\n3,6,12,24,48,⋯\n\n처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 [수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4 \"수열\")이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 **기하수열**([幾](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%B9%BE \"幾\")[何](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E4%BD%95 \"何\")[數](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%95%B8 \"數\")[列](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%97 \"列\"), geometric sequence \/ progression)이라고도 한다.  \n  \n등비수열의 연속한 두 항의 비를 **공비**([公](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%85%AC \"公\")[比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\"), common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을\n\na\n\na\n\na\n\n, 공비를\n\nr\n\nr\n\nr\n\n로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자\n\na\n\na\n\na\n\n는 **초항**([初](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%9D \"初\")[項](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E9%A0%85 \"項\")initial value,start term)이라고도 하며, 문자\n\nr\n\nr\n\nr\n\n는 비([比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\"))를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.\n## [2\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\") [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!2)\n수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_{n} \\\\}\n\n{an}\n\n이 공비가\n\nr\n\nr\n\nr\n\n인 등비수열이면 임의의 자연수\n\nk\n\nk\n\nk\n\n에 대하여 다음이 성립한다.\n\na\n\nk\n\n\\+\n\n1\n\na\n\nk\n\n\\=\n\nr\n\n\\\\dfrac{a\\_{k+1}}{a\\_k}=r\n\nakak\\+1\\=r\n\n이에 따라 등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [수열의 귀납적 정의](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%EA%B7%80%EB%82%A9%EC%A0%81%20%EC%A0%95%EC%9D%98#s-2.1.2 \"수열의 귀납적 정의\") 문서를 참고하라.\n\na\n\nn\n\n\\=\n\na\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\na\\_n=ar^{n-1}\n\nan\\=arn−1\n\n이때,\n\na\n\n≠\n\n0\n\n,\n\nr\n\n≠\n\n0\n\na\\\\neq0,\\\\,r\\\\neq0\n\na\\=0,r\\=0\n\n이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\")을 정할 수 있다.\n## [3\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비중항 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!3)\na\n\na\n\na\n\n,\n\nb\n\nb\n\nb\n\n,\n\nc\n\nc\n\nc\n\n가 등비수열의 연속한 세 항일 때,\n\nb\n\nb\n\nb\n\n를\n\na\n\na\n\na\n\n와\n\nc\n\nc\n\nc\n\n의 **등비중항**이라고 한다.\n\nb\n\na\n\n\\=\n\nc\n\nb\n\n→\n\nb\n\n2\n\n\\=\n\na\n\nc\n\n→\n\nb\n\n\\=\n\n±\n\na\n\nc\n\n\\\\begin{aligned} \\\\dfrac ba=\\\\dfrac cb \\\\; & \\\\to \\\\; b^2=ac \\\\\\\\ & \\\\to \\\\; b=\\\\pm \\\\sqrt{ac} \\\\end{aligned}\n\nab\\=bc\n\n→b2\\=ac\n\n→b\\=±\n\nac\n\n\n\n\n\n예를 들어 등비수열\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n에 대하여\n\na\n\n6\n\na\\_6\n\na6\n\n,\n\na\n\n7\n\na\\_7\n\na7\n\n,\n\na\n\n8\n\na\\_8\n\na8\n\n의 등비중항은\n\na\n\n7\n\n\\=\n\n±\n\na\n\n6\n\na\n\n8\n\na\\_7=\\\\pm \\\\sqrt{a\\_6a\\_8}\n\na7\\=\n\n±\n\na6a8\n\n\n\n이다.  \n  \n다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면\n\nb\n\n\\=\n\na\n\nc\n\nb=\\\\sqrt{ac}\n\nb\\=\n\nac\n\n\n\n로 표현되어 그대로 **나머지 두 항의 [기하 평균](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 \"기하 평균\")**이 된다.\n## [4\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%95%A8%EC%88%98 \"함수\")로 해석하기 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!4)\n등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열\n\na\n\nn\n\n\\=\n\na\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\na\\_n=ar^{n-1}\n\nan\\=arn−1\n\n에 대하여 좌표평면에\n\n(\n\nn\n\n,\n\na\n\nn\n\n)\n\n(n,\\\\, a\\_n)\n\n(n,an)\n\n을 나타내면 다음과 같다.   \n  \n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTA3MSIgaGVpZ2h0PSIxMDg1IiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![namu\\_등비수열\\_1\\_수정.png](https:\/\/obj-temp.the1.wiki\/d\/a2\/6e\/3c833091513203e80bff0920147462fee3cd8e05ee12c311fb6bf1dec95cf632.png)  \n  \n각 점의\n\nn\n\nn\n\nn\n\n좌표는 몇 번째 항인지를,\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 **지수함수의 그래프의 위에 있다.** 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 **자연수만을 정의역으로 하는 [지수함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 \"지수함수\")**이다.  \n  \n이에 따라\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n에서 원래\n\nn\n\nn\n\nn\n\n은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이\n\nn\n\nn\n\nn\n\n이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.\n\n- 등비수열\n  \n  a\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  2\n  \n  n\n  \n  a\\_n=2^n\n  \n  an\\=2n\n  \n  에 대하여\n  - a\n    \n    3\n    \n    a\\_3\n    \n    a3\n    \n    과\n    \n    a\n    \n    4\n    \n    a\\_4\n    \n    a4\n    \n    의 기하평균은\n    \n    a\n    \n    3\\.5\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    3\\.5\n    \n    \\=\n    \n    128\n    \n    a\\_{3.5}=2^{3.5}=\\\\sqrt{128}\n    \n    a3\\.5\\=23\\.5\\=\n    \n    128\n    \n    \n  - a\n    \n    5\n    \n    a\\_5\n    \n    a5\n    \n    과\n    \n    a\n    \n    6\n    \n    a\\_6\n    \n    a6\n    \n    의 기하평균은\n    \n    a\n    \n    5\\.5\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    5\\.5\n    \n    \\=\n    \n    2048\n    \n    a\\_{5.5}=2^{5.5}=\\\\sqrt{2048}\n    \n    a5\\.5\\=25\\.5\\=\n    \n    2048\n    \n    \n  - 위 두 값의 비는\n    \n    a\n    \n    5\\.5\n    \n    a\n    \n    3\\.5\n    \n    \\=\n    \n    a\n    \n    5\\.5\n    \n    −\n    \n    3\\.5\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    2\n    \n    \\=\n    \n    4\n    \n    (\n    \n    \\=\n    \n    2048\n    \n    128\n    \n    )\n    \n    \\\\dfrac{a\\_{5.5}}{a\\_{3.5}}=a\\_{5.5-3.5}=2^2=4\\\\biggl(=\\\\sqrt {\\\\dfrac{2048}{128}} \\\\biggr)\n    \n    a3\\.5a5\\.5\\=a5\\.5−3\\.5\\=22\\=4(\\=\n    \n    1282048\n    \n    \n    \n    )\n## [5\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 성질 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!5)\n등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n과 임의의 음이 아닌 정수\n\nm\n\nm\n\nm\n\n에 대하여 다음이 성립한다.\n\n- a\n  \n  k\n  \n  \\+\n  \n  m\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  r\n  \n  m\n  \n  \\\\dfrac{a\\_{k+m}}{a\\_k}=r^m\n  \n  akak\\+m\\=rm\n- a\n  \n  k\n  \n  a\n  \n  l\n  \n  \\=\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  ±\n  \n  m\n  \n  a\n  \n  l\n  \n  ∓\n  \n  m\n  \n  a\\_ka\\_l=a\\_{k\\\\pm m}a\\_{l\\\\mp m}\n  \n  akal\\=ak±mal∓m\n  \n  ([복부호 동순](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B3%B5%EB%B6%80%ED%98%B8%20%EB%8F%99%EC%88%9C \"복부호 동순\"))\n  - 특히,\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    2\n    \n    \\=\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    1\n    \n    2\n    \n    a\\_ka\\_{k+2}={a\\_{k+1}}^2\n    \n    akak\\+2\\=ak\\+12\n    \n    ([등비중항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%A4%91%ED%95%AD \"등비중항\"))\n\n특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.\n\n\\[예제\\]\n\n***\n|   |\n|---|\n| **\\[문제\\]**등비수열 { a n } \\\\{a\\_{n}\\\\} {an} 이 a 5 a 7 \\= 3 a\\_{5}a\\_{7}=3 a5a7\\=3 을 만족시킬 때, a 1 a 2 ⋯ a 11 a\\_1a\\_2\\\\cdots a\\_{11} a1a2⋯a11 의 값을 구하시오. |\n\n|   |\n|---|\n| a 1 a 2 ⋯ a 11 \\= ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 \\= { 3 11 \\= 243 3 ( a 6 \\= r a 5 \\> 0 ) − 3 11 \\= − 243 3 ( a 6 \\= r a 5 \\< 0 ) \\\\begin{aligned}a\\_1a\\_2\\\\cdots a\\_{11}&=(a\\_1a\\_{11})(a\\_2a\\_{10})(a\\_3a\\_9)(a\\_4a\\_8)(a\\_5a\\_7)a\\_6\\\\\\\\&=\\\\begin{cases}\\\\begin{aligned}\\\\sqrt{3^{11}}&=243\\\\sqrt 3\\\\quad &(a\\_6=ra\\_5\\>0)\\\\\\\\-\\\\sqrt{3^{11}}&=-243\\\\sqrt 3 \\\\quad&(a\\_6=ra\\_5\\<0)\\\\end{aligned}\\\\end{cases}\\\\end{aligned} a1a2⋯a11 \\=(a1a11)(a2a10)(a3a9)(a4a8)(a5a7)a6 \\= { 311  − 311   \\=243 3  \\=−243 3   (a6\\=ra5\\>0)(a6\\=ra5\\<0)   |\n## [6\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [극한](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B7%B9%ED%95%9C \"극한\") [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!6)\n첫째 항\n\na\n\na\n\na\n\n와 공비\n\nr\n\nr\n\nr\n\n에 따라 등비수열\n\na\n\nn\n\n\\=\n\na\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\na\\_{n}=ar^{n-1}\n\nan\\=arn−1\n\n의 극한은 달라진다. oscillation은 **진동**을 뜻한다.\n\nlim\n\n⁡\n\nn\n\n→\n\n∞\n\na\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n\\=\n\n{\n\n∞\n\n(\n\nr\n\n\\>\n\n1\n\n,\n\na\n\n\\>\n\n0\n\n)\n\n−\n\n∞\n\n(\n\nr\n\n\\>\n\n1\n\n,\n\na\n\n\\<\n\n0\n\n)\n\na\n\n(\n\nr\n\n\\=\n\n1\n\n)\n\n0\n\n(\n\n−\n\n1\n\n\\<\n\nr\n\n\\<\n\n1\n\n)\n\noscillation\n\n(\n\nr\n\n≤\n\n−\n\n1\n\n)\n\n\\\\displaystyle\\\\lim\\_{n\\\\to\\\\infty}ar^{n-1}=\\\\begin{cases}\\\\begin{aligned}&\\\\infty\\\\;&(r\\>1,\\\\;a\\>0)\\\\\\\\&-\\\\infty\\\\;&(r\\>1,\\\\;a\\<0)\\\\\\\\\\&a\\\\;&(r=1)\\\\\\\\&0\\\\;&(-1\\<r\\<1) \\\\\\\\&\\\\small{\\\\textsf{oscillation}} \\\\;&(r \\\\leq -1) \\\\end{aligned}\\\\end{cases}\n\nn→∞limarn−1\\=\n\n⎩\n\n⎨\n\n⎧\n\n\n\n∞−∞a0oscillation(r\\>1,a\\>0)(r\\>1,a\\<0)(r\\=1)(−1\\<r\\<1)(r≤−1)\n\n따라서 등비수열이 수렴하기 위한\n\nr\n\nr\n\nr\n\n의 범위는 아래와 같다.[\\[1\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-1 \"참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r=1r=1r=1인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.\")\n\n−\n\n1\n\n\\<\n\nr\n\n≤\n\n1\n\n{-1\\<r\\\\leq 1}\n\n−1\\<r≤1\n## [7\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 합 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!7)\n첫째 항이\n\na\n\na\n\na\n\n이고 공비\n\nr\n\nr\n\nr\n\n가 1이 아닌 등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n에 대하여, 항을 소거하기 위하여\n\nS\n\nn\n\nS\\_n\n\nSn\n\n에서\n\nr\n\nS\n\nn\n\nrS\\_n\n\nrSn\n\n을 빼어 등비수열의 합을 구한다.\n\n|   |\n|---|\n| S n \\= a \\+ a r \\+ a r 2 \\+ ⋯ \\+ a r n − 2 \\+ a r n − 1 − r S n \\= \\+ a r \\+ a r 2 \\+ ⋯ \\+ a r n − 2 \\+ a r n − 1 \\+ a r n ( 1 − r ) S n \\= a ( 1 − r n ) \\\\begin{matrix}\\&S\\_{n}&=\\&a&+&\\\\cancel{ar}&+&\\\\cancel{ar^2}&+&\\\\cdots&+&\\\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\\\cancel{ar^{n-1}}&\\\\\\\\ - & rS\\_{n}&=&&+&\\\\cancel{ar}&+&\\\\cancel{ar^2}&+&\\\\cdots&+&\\\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\\\cancel{ar^{n-1}}&+\\&ar^n\\\\\\\\ \\\\hline &(1-r)S\\_{n}&=\\&a(1-r^n) \\\\\\\\ \\\\\\\\ \\\\end{matrix} −SnrSn(1−r)Sn\\=\\=\\=aa(1−rn)\\+\\+ ar ar \\+\\+ ar2 ar2 \\+\\+⋯⋯\\+\\+ arn−2 arn−2 \\+\\+ arn−1 arn−1 \\+arn  |\n\nS\n\nn\n\nS\\_{n}\n\nSn\n\n에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다.\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\na\n\n(\n\n1\n\n−\n\nr\n\nn\n\n)\n\n1\n\n−\n\nr\n\n\\=\n\na\n\n(\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\nr\n\n−\n\n1\n\n(\n\nr\n\n≠\n\n1\n\n)\n\n\\\\displaystyle S\\_{n} =\\\\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\\\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\\\quad (r \\\\neq 1)\n\nSn\\=1−ra(1−rn)\\=r−1a(rn−1)(r\\=1)\n\n한편, 위 공식에\n\nr\n\n\\=\n\n1\n\nr=1\n\nr\\=1\n\n을 대입하면 **분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다**.([부정형](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%80%EC%A0%95%ED%98%95 \"부정형\")) 공식을 유도하는 과정을 보더라도\n\n[r = 1 r=1 r=1이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9E%98%20%EC%A0%95%EC%9D%98%EB%90%A8 \"잘 정의됨\")\n\n.\n\n이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\na\n\nn\n\n(\n\nr\n\n\\=\n\n1\n\n)\n\nS\\_n=an \\\\quad (r=1)\n\nSn\\=an(r\\=1)\n\n[로피탈의 정리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC \"로피탈의 정리\")를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.\n\nlim\n\n⁡\n\nr\n\n→\n\n1\n\na\n\n(\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\nr\n\n−\n\n1\n\n\\=\n\nl’H\n\no\n\nˆ\n\npital\n\nlim\n\n⁡\n\nr\n\n→\n\n1\n\na\n\nn\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n1\n\n\\=\n\na\n\nn\n\n\\\\displaystyle\\\\lim\\_{r\\\\to 1}\\\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\\\xlongequal{\\\\textsf{l'H\\\\^opital}}\\\\lim\\_{r\\\\to 1}\\\\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an\n\nr→1limr−1a(rn−1)\n\nl’Hoˆpital\n\nr→1lim1anrn−1\\=an\n### [7\\.1.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 절댓값의 합 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!8)\n등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n에 대하여\n\n∑\n\n∣\n\na\n\nk\n\n∣\n\n\\\\sum \\|a\\_k\\|\n\n∑∣ak∣\n\n를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는\n\na\n\n1\n\na\\_1\n\na1\n\n부터\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n까지의 합을 기준으로 설명한다.  \n  \n등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n에 대하여\n\na\n\n1\n\na\\_1\n\na1\n\n부터\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을\n\nP\n\nn\n\nP\\_n\n\nPn\n\n, 음수(Negative) 항들의 합을\n\nN\n\nn\n\nN\\_n\n\nNn\n\n이라 하면\n\n- ∑\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  1\n  \n  n\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  P\n  \n  n\n  \n  \\+\n  \n  N\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  S\n  \n  n\n  \n  \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k=P\\_n+N\\_n=S\\_n\n  \n  k\\=1∑nak\\=Pn\\+Nn\\=Sn\n- ∑\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  1\n  \n  n\n  \n  ∣\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  ∣\n  \n  \\=\n  \n  P\n  \n  n\n  \n  −\n  \n  N\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  S\n  \n  n\n  \n  −\n  \n  2\n  \n  N\n  \n  n\n  \n  \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=P\\_n-N\\_n=S\\_n-2N\\_n\n  \n  k\\=1∑n∣ak∣\\=Pn−Nn\\=Sn−2Nn\n- ∑\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  1\n  \n  n\n  \n  {\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  \\+\n  \n  ∣\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  ∣\n  \n  }\n  \n  \\=\n  \n  2\n  \n  P\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  2\n  \n  (\n  \n  S\n  \n  n\n  \n  −\n  \n  N\n  \n  n\n  \n  )\n  \n  \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2P\\_n=2(S\\_n-N\\_n)\n  \n  k\\=1∑n{ak\\+∣ak∣}\\=2Pn\\=2(Sn−Nn)\n- ∑\n  \n  k\n  \n  \\=\n  \n  1\n  \n  n\n  \n  {\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  −\n  \n  ∣\n  \n  a\n  \n  k\n  \n  ∣\n  \n  }\n  \n  \\=\n  \n  2\n  \n  N\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  2\n  \n  (\n  \n  S\n  \n  n\n  \n  −\n  \n  P\n  \n  n\n  \n  )\n  \n  \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2N\\_n=2(S\\_n-P\\_n)\n  \n  k\\=1∑n{ak−∣ak∣}\\=2Nn\\=2(Sn−Pn)\n\n이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면\n\nN\n\nn\n\n\\=\n\n0\n\nN\\_n=0\n\nNn\\=0\n\n, 음수이면\n\nP\n\nn\n\n\\=\n\n0\n\nP\\_n=0\n\nPn\\=0\n\n인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 **각주를 참고하라.**\n\n- **모든 항이 양수**\n  - 첫째 항과 공비가 모두 양수\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n    \n    k\\=1∑n∣ak∣\\=k\\=1∑nak\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=2\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n    \n    k\\=1∑n{ak\\+∣ak∣}\\=2k\\=1∑n∣ak∣\\=2k\\=1∑nak\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    0\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=0\n    \n    k\\=1∑n{ak−∣ak∣}\\=0\n- **모든 항이 음수**\n  - 첫째 항은 음수, 공비는 양수\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    −\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=-\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n    \n    k\\=1∑n∣ak∣\\=−k\\=1∑nak\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    0\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=0\n    \n    k\\=1∑n{ak\\+∣ak∣}\\=0\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    −\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=-2\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n    \n    k\\=1∑n{ak−∣ak∣}\\=2k\\=1∑n∣ak∣\\=−2k\\=1∑nak\n- **홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수**[\\[2\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-2 \"이때 ⌊ ⋅ ⌋\\lfloor \\, \\cdot \\, \\rfloor⌊⋅⌋는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '최대 정수 함수', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉\\lceil \\, \\cdot \\, \\rceil⌈⋅⌉은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.\")\n  - 첫째 항은 양수, 공비는 음수\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌊\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌋\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    (\n    \n    n\n    \n    ≠\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k-2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1)\n    \n    k\\=1∑n∣ak∣\\=k\\=1∑nak−2k\\=1∑⌊n\/2⌋a2k(n\\=1)\n    \n    [\\[3\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-3 \"(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)\")\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌈\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌉\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1}\n    \n    k\\=1∑n{ak\\+∣ak∣}\\=2k\\=1∑⌈n\/2⌉a2k−1\n    \n    [\\[4\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-4 \"홀수 번째 항들의 합의 2배\")\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌊\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌋\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    (\n    \n    n\n    \n    ≠\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1)\n    \n    k\\=1∑n{ak−∣ak∣}\\=2k\\=1∑⌊n\/2⌋a2k(n\\=1)\n    \n    [\\[5\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-5 \"짝수 번째 항들의 합의 2배\")\n- **홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수**\n  - 첫째 항과 공비가 모두 음수\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    \\=\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌈\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌉\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k-2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1}\n    \n    k\\=1∑n∣ak∣\\=k\\=1∑nak−2k\\=1∑⌈n\/2⌉a2k−1\n    \n    [\\[6\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-6 \"(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)\")\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    \\+\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌊\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌋\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    (\n    \n    n\n    \n    ≠\n    \n    1\n    \n    )\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1)\n    \n    k\\=1∑n{ak\\+∣ak∣}\\=2k\\=1∑⌊n\/2⌋a2k(n\\=1)\n    \n    [\\[7\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-7 \"짝수 번째 항들의 합의 2배\")\n  - ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    n\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    ∣\n    \n    a\n    \n    k\n    \n    ∣\n    \n    }\n    \n    \\=\n    \n    2\n    \n    ∑\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    1\n    \n    ⌈\n    \n    n\n    \n    \/\n    \n    2\n    \n    ⌉\n    \n    a\n    \n    2\n    \n    k\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1}\n    \n    k\\=1∑n{ak−∣ak∣}\\=2k\\=1∑⌈n\/2⌉a2k−1\n    \n    [\\[8\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-8 \"홀수 번째 항들의 합의 2배\")\n\n\\[예제\\]\n\n***\n|   |\n|---|\n| ![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNTcyIiBoZWlnaHQ9IjIzOSIgeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzIwMDAvc3ZnIj48L3N2Zz4=)![2019년3월나형16번.png](https:\/\/obj-temp.the1.wiki\/d\/9e\/05\/2af67ee0774134240e8357b73a62e14ac8c2821a0d3d0891e2614b69b65076db.png) |\n| **2019학년도 3월 고3 나형 16번** |\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다.\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n의 공비를\n\nr\n\nr\n\nr\n\n라고 하면 다음이 성립한다.\n\n|   |\n|---|\n| ∑ k \\= 1 9 ( ∣ a k ∣ \\+ a k ) \\= 2 ( a 1 \\+ a 3 \\+ a 5 \\+ a 7 \\+ a 9 ) \\= 2 ( a 1 \\+ 4 a 1 \\+ 16 a 1 \\+ 64 a 1 \\+ 256 a 1 ) ( ∵ r 2 \\= 4 ) \\= 682 a 1 \\= 66 ∴ a 1 \\= 66 682 \\= 3 31 \\\\begin{aligned}\\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^9(\\|a\\_k\\|+a\\_k)&=2(a\\_1+a\\_3+a\\_5+a\\_7+a\\_9)\\\\\\\\&=2(a\\_1+4a\\_1+16a\\_1+64a\\_1+256a\\_1)\\\\;(\\\\because r^2=4)\\\\\\\\&=682a\\_1=66 \\\\\\\\ \\\\\\\\ \\\\therefore a\\_1&=\\\\dfrac{66}{682}=\\\\dfrac{3}{31}\\\\end{aligned} k\\=1∑9(∣ak∣\\+ak)∴a1\\=2(a1\\+a3\\+a5\\+a7\\+a9)\\=2(a1\\+4a1\\+16a1\\+64a1\\+256a1)(∵r2\\=4)\\=682a1\\=66\\=68266\\=313 |\n### [7\\.2.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 제2항부터 등비수열인 경우 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!9)\n결론부터 말하면, 등비수열의 합은\n\na\n\nr\n\nn\n\n\\+\n\nb\n\nar^n+b\n\narn\\+b\n\n의 꼴이며,\n\na\n\n\\+\n\nb\n\n\\=\n\n0\n\na+b=0\n\na\\+b\\=0\n\n이면 첫째 항부터,\n\na\n\n\\+\n\nb\n\n≠\n\n0\n\na+b\\\\neq 0\n\na\\+b\\=0\n\n이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.  \n  \n우선 앞서 밝힌 등비수열\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\na\n\n(\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\nr\n\n−\n\n1\n\n\\=\n\na\n\nr\n\n−\n\n1\n\n(\n\nr\n\nn\n\n−\n\n1\n\n)\n\n\\=\n\na\n\nr\n\n−\n\n1\n\nr\n\nn\n\n−\n\na\n\nr\n\n−\n\n1\n\n\\\\begin{aligned}S\\_n&=\\\\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\\\\\\\&=\\\\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\\\\\\\&=\\\\dfrac{a}{r-1}r^n-\\\\dfrac{a}{r-1}\\\\end{aligned}\n\nSn\\=r−1a(rn−1)\\=r−1a(rn−1)\\=r−1arn−r−1a\n\n여기에서 편의를 위하여\n\na\n\n(\n\nr\n\n−\n\n1\n\n)\n\n−\n\n1\n\na(r-1)^{-1}\n\na(r−1)−1\n\n를\n\np\n\np\n\np\n\n로 치환하자.\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\np\n\nr\n\nn\n\n−\n\np\n\nS\\_n=pr^n-p\n\nSn\\=prn−p\n\na\n\n\\=\n\np\n\na=p\n\na\\=p\n\n,\n\nb\n\n\\=\n\n−\n\np\n\nb=-p\n\nb\\=−p\n\n이고\n\na\n\n\\+\n\nb\n\n\\=\n\n0\n\na+b=0\n\na\\+b\\=0\n\n이 성립하므로,\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\n5\n\nn\n\n−\n\n1\n\nS\\_n=5^n-1\n\nSn\\=5n−1\n\n이면\n\na\n\n\\=\n\n1\n\n,\n\nb\n\n\\=\n\n−\n\n1\n\na=1,\\\\;b=-1\n\na\\=1,b\\=−1\n\n이므로\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면,\n\nS\n\nn\n\n\\=\n\n5\n\nn\n\n−\n\n2\n\nS\\_n=5^n-2\n\nSn\\=5n−2\n\n이면\n\na\n\n\\=\n\n1\n\na=1\n\na\\=1\n\n,\n\nb\n\n\\=\n\n−\n\n2\n\nb=-2\n\nb\\=−2\n\n이므로\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.\n\n|   |   |   |   |   |   |\n|---|---|---|---|---|---|\n| S n \\= 5 n − 1 S\\_n=5^n-{\\\\color{red} 1} Sn\\=5n−1 | a 1 ( \\= S 1 ) a\\_1(=S\\_1) a1(\\=S1) | a 2 a\\_2 a2 | a 3 a\\_3 a3 | a 4 a\\_4 a4 | ⋯ \\\\cdots ⋯ |\n| 4 {\\\\color{red} 4} 4 | 20 20 20 | 100 100 100 | 500 500 500 | ⋯ \\\\cdots ⋯ |   |\n| S n \\= 5 n − 2 S\\_n=5^n-{\\\\color{red} 2} Sn\\=5n−2 | a 1 ( \\= S 1 ) a\\_1(=S\\_1) a1(\\=S1) | a 2 a\\_2 a2 | a 3 a\\_3 a3 | a 4 a\\_4 a4 | ⋯ \\\\cdots ⋯ |\n| 3 {\\\\color{red} 3} 3 | 20 20 20 | 100 100 100 | 500 500 500 | ⋯ \\\\cdots ⋯ |   |\n\na\n\nn\n\na\\_n\n\nan\n\n의 다른 모든 항은 같고\n\na\n\n1\n\na\\_1\n\na1\n\n만이 1의 차이가 나므로\n\nS\n\nn\n\nS\\_n\n\nSn\n\n역시 계속 1의 차이만 나게 된다.  \n  \n주의할 것은\n\nS\n\nn\n\nS\\_{\\\\boldsymbol n}\n\nSn\n\n이\n\na\n\n\\+\n\nb\n\n\\=\n\n0\n\na+b=0\n\na\\+b\\=0\n\n인지의 여부를 따질 때는 **지수가 n \\\\boldsymbol n n이어야 한다**는 점이다. 예로 다음\n\nS\n\nn\n\nS\\_n\n\nSn\n\n에 대하여, 각각\n\n{\n\na\n\nn\n\n}\n\n\\\\{a\\_n\\\\}\n\n{an}\n\n이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는\n\nk\n\nk\n\nk\n\n의 값을 구해 보자.\n\n- S\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  4\n  \n  n\n  \n  \\+\n  \n  1\n  \n  −\n  \n  k\n  \n  \\\\boldsymbol{S\\_{n}=4^{n+1}-k}\n  \n  Sn\\=4n\\+1−k\n  - S\n    \n    n\n    \n    \\=\n    \n    4\n    \n    ⋅\n    \n    4\n    \n    n\n    \n    −\n    \n    k\n    \n    S\\_n=4\\\\cdot 4^n-k\n    \n    Sn\\=4⋅4n−k\n    \n    이므로\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    n\n    \n    }\n    \n    \\\\{a\\_n\\\\}\n    \n    {an}\n    \n    이 첫째 항부터 등비수열이 되려면\n    \n    4\n    \n    −\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    0\n    \n    4-k=0\n    \n    4−k\\=0\n    \n    ,\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    4\n    \n    k=4\n    \n    k\\=4\n- S\n  \n  n\n  \n  \\=\n  \n  4\n  \n  n\n  \n  −\n  \n  1\n  \n  \\+\n  \n  k\n  \n  \\\\boldsymbol{S\\_n=4^{n-1}+k}\n  \n  Sn\\=4n−1\\+k\n  - S\n    \n    n\n    \n    \\=\n    \n    4\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    ⋅\n    \n    4\n    \n    n\n    \n    \\+\n    \n    k\n    \n    S\\_n=4^{-1}\\\\cdot 4^n+k\n    \n    Sn\\=4−1⋅4n\\+k\n    \n    이므로\n    \n    {\n    \n    a\n    \n    n\n    \n    }\n    \n    \\\\{a\\_n\\\\}\n    \n    {an}\n    \n    이 첫째 항부터 등비수열이 되려면\n    \n    1\n    \n    4\n    \n    \\+\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    0\n    \n    \\\\dfrac{1}{4}+k=0\n    \n    41\\+k\\=0\n    \n    ,\n    \n    k\n    \n    \\=\n    \n    −\n    \n    1\n    \n    4\n    \n    k=-\\\\dfrac{1}{4}\n    \n    k\\=−41\n### [7\\.3.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\")(무한등비급수) [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!10)\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/e4\/d7\/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\") 문서를 참고하십시오.\n\n## [8\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 곱 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!11)\n자연수\n\nn\n\nn\n\nn\n\n에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된\n\n4\n\nn\n\n4n\n\n4n\n\n개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다.\n\n- \\+\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  ⋯\n  \n  \\+,\\\\,+,\\\\,+,\\\\,+,\\\\,\\\\cdots\n  \n  \\+,\\+,\\+,\\+,⋯\n  - 초항과 공비가 모두 양수\n  - 양수 네 개를 곱하면 양수\n- \\+\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  ⋯\n  \n  \\+,\\\\,-,\\\\,+,\\\\,-,\\\\,\\\\cdots\n  \n  \\+,−,\\+,−,⋯\n  - 초항이 양수이고 공비가 음수\n  - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n- −\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  \\+\n  \n  ,\n  \n  ⋯\n  \n  \\-,\\\\,+,\\\\,-,\\\\,+,\\\\,\\\\cdots\n  \n  −,\\+,−,\\+,⋯\n  - 초항과 공비가 모두 음수\n  - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n- −\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  −\n  \n  ,\n  \n  ⋯\n  \n  \\-,\\\\,-,\\\\,-,\\\\,-,\\\\,\\\\cdots\n  \n  −,−,−,−,⋯\n  - 초항이 음수이고 공비가 양수\n  - 음수 네 개를 곱하면 양수\n\n이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된\n\n4\n\n,\n\n8\n\n,\n\n12\n\n,\n\n16\n\n,\n\n⋯\n\n4,\\\\,8,\\\\,12,\\\\,16,\\\\,\\\\cdots\n\n4,8,12,16,⋯\n\n개의 항의 곱을 구해도 양수이다.  \n  \n나아가 같은 논리로 자연수\n\nn\n\nn\n\nn\n\n에 대하여 임의의 등비수열의 연속된\n\n6\n\nn\n\n,\n\n8\n\nn\n\n,\n\n10\n\nn\n\n,\n\n⋯\n\n6n,\\\\,8n,\\\\,10n,\\\\,\\\\cdots\n\n6n,8n,10n,⋯\n\n개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다.  \n  \n구체적인 값은 초항\n\na\n\na\n\na\n\n, 공비\n\nr\n\nr\n\nr\n\n를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.\n\n|   |\n|---|\n| ∣ a ∣ n ∣ r ∣ n ( n − 1 ) \/ 2 ( s g n a ) n ( s g n r ) n ( n − 1 ) \/ 2 \\|a\\|^n \\|r\\|^{n(n-1)\/2} ({\\\\rm sgn}\\\\,a)^n ({\\\\rm sgn}\\\\,r)^{n(n-1)\/2} ∣a∣n∣r∣n(n−1)\/2(sgna)n(sgnr)n(n−1)\/2 |\n\ns\n\ng\n\nn\n\n\\\\rm sgn\n\nsgn\n\n은 [부호 함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%80%ED%98%B8%20%ED%95%A8%EC%88%98 \"부호 함수\")이다.\n## [9\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 활용 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!12)\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/e4\/d7\/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [원리합계](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9B%90%EB%A6%AC%ED%95%A9%EA%B3%84 \"원리합계\") 문서를 참고하십시오.\n\n## [10\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 기타 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!13)\n- [2015 개정 교육과정](https:\/\/thewiki.kr\/w\/2015%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95 \"2015 개정 교육과정\")에 따라 고2 이상에서 [수학Ⅰ](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%ED%95%99%E2%85%A0\\(2015\\) \"수학Ⅰ(2015)\")에서 등비수열을 배운다.\n- 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 [로그](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%A1%9C%EA%B7%B8\\(%EC%88%98%ED%95%99\\) \"로그(수학)\")를 취하면 [등차수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 \"등차수열\")이 된다.\n## [11\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 관련 문서 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!14)\n- [기하 평균](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 \"기하 평균\")\n- [지수함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 \"지수함수\")\n- [등차수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 \"등차수열\")\n\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNjYiIGhlaWdodD0iNjYiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+)![CC-white.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/c0\/0a\/1564a7f2c6092961f7613ec2e1ccf9ea3baaac30d0ed4ab23c5c490fdbe2d204.svg) 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키 [등비수열](https:\/\/namu.wiki\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 \"https:\/\/namu.wiki\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\") 문서에서 가져왔습니다.\n\n[\\[1\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-1) 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에\n\nr\n\n\\=\n\n1\n\nr=1\n\nr\\=1\n\n인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.\n\n[\\[2\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-2) 이때\n\n⌊\n\n⋅\n\n⌋\n\n\\\\lfloor \\\\, \\\\cdot \\\\, \\\\rfloor\n\n⌊⋅⌋\n\n는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '[최대 정수 함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%B5%9C%EB%8C%80%20%EC%A0%95%EC%88%98%20%ED%95%A8%EC%88%98 \"최대 정수 함수\")', 혹은 '바닥 함수'이고,\n\n⌈\n\n⋅\n\n⌉\n\n\\\\lceil \\\\, \\\\cdot \\\\, \\\\rceil\n\n⌈⋅⌉\n\n은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.\n\n[\\[3\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-3) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[\\[4\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-4) 홀수 번째 항들의 합의 2배[\\[5\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-5) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\\[6\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-6) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[\\[7\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-7) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\\[8\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-8) 홀수 번째 항들의 합의 2배\n\n## 관련 문서\n- [GP(동음이의어)](https:\/\/thewiki.kr\/w\/GP%28%EB%8F%99%EC%9D%8C%EC%9D%B4%EC%9D%98%EC%96%B4%29)\n- [보통고중수학과정표준\/필수5](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B3%B4%ED%86%B5%EA%B3%A0%EC%A4%91%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC%EC%A0%95%ED%91%9C%EC%A4%80%2F%ED%95%84%EC%88%985)\n- [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98)\n- [교육과정\/의논\/수학과](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95%2F%EC%9D%98%EB%85%BC%2F%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC)\n\n##### 최근 변경\n[00:00갱신중...]()\n\n[\\[더 보기\\]](https:\/\/thewiki.kr\/Recent)\n\n##### 최근 토론\n[00:00갱신중...]()\n\n[\\[더 보기\\]](https:\/\/thewiki.kr\/RecentDiscuss)\n\n![더위키 로고](https:\/\/thewiki.kr\/namuwiki\/img\/TheWiki_footer.png) \\| ![크리에이티브 커먼즈 라이선스](https:\/\/thewiki.kr\/namuwiki\/cc-by-nc-sa-2.0-88x31.png) \\| 접속자 수 : 430명\n\n이 저작물은 [CC BY-NC-SA 2.0 KR](https:\/\/creativecommons.org\/licenses\/by-nc-sa\/2.0\/kr\/) 에 따라 이용할 수 있습니다. 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정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%85%BC%EB%A6%AC%ED%95%99%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"논리학 관련 정보\") · [수학 관련 정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%ED%95%99%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"수학 관련 정보\") · [컴퓨터 관련 정보](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 \"컴퓨터 관련 정보\") · [틀:수학기초론](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%EC%88%98%ED%95%99%EA%B8%B0%EC%B4%88%EB%A1%A0 \"수학기초론\") · [틀:통계학](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99 \"통계학\") · [틀:이론 컴퓨터 과학](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%8B%80:%EC%9D%B4%EB%A1%A0%20%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B3%BC%ED%95%99 \"이론 컴퓨터 과학\") |\n\n[1](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-1). 개요[2](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-2). [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\")[3](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-3). 등비중항[4](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-4). [함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%95%A8%EC%88%98 \"함수\")로 해석하기[5](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-5). 성질[6](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-6). [극한](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B7%B9%ED%95%9C \"극한\")[7](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7). 등비수열의 합\n\n[7\\.1](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.1). 등비수열의 절댓값의 합[7\\.2](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.2). 제2항부터 등비수열인 경우[7\\.3](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.3). [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\")(무한등비급수)\n\n[8](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-8). 등비수열의 곱[9](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-9). 활용[10](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-10). 기타[11](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-11). 관련 문서\n## [1\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 개요 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!1)\n**등비수열**([等](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E7%AD%89 \"等\")[比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\")[數](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%95%B8 \"數\")[列](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%97 \"列\"))은 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ⋯ 3,\\\\,6,\\\\,12,\\\\,24,\\\\,48,\\\\,\\\\cdots처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 [수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4 \"수열\")이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 **기하수열**([幾](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%B9%BE \"幾\")[何](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E4%BD%95 \"何\")[數](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%95%B8 \"數\")[列](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%97 \"列\"), geometric sequence \/ progression)이라고도 한다.\n\n등비수열의 연속한 두 항의 비를 **공비**([公](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%85%AC \"公\")[比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\"), common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 a a, 공비를 r r로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 a a는 **초항**([初](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E5%88%9D \"初\")[項](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E9%A0%85 \"項\")initial value,start term)이라고도 하며, 문자 r r는 비([比](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%E6%AF%94 \"比\"))를 뜻하는 ratio의 머리글자이다.\n## [2\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\") [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!2)\n수열 { a n } \\\\{a\\_{n} \\\\}이 공비가 r r인 등비수열이면 임의의 자연수 k k에 대하여 다음이 성립한다.\n\na k \\+ 1 a k \\= r \\\\dfrac{a\\_{k+1}}{a\\_k}=r\n\n이에 따라 등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [수열의 귀납적 정의](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%EA%B7%80%EB%82%A9%EC%A0%81%20%EC%A0%95%EC%9D%98#s-2.1.2 \"수열의 귀납적 정의\") 문서를 참고하라.\n\na n \\= a r n − 1 a\\_n=ar^{n-1}\n\n이때, a ≠ 0 , r ≠ 0 a\\\\neq0,\\\\,r\\\\neq0이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 [일반항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD \"일반항\")을 정할 수 있다.\n## [3\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비중항 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!3)\na a, b b, c c가 등비수열의 연속한 세 항일 때, b b를 a a와 c c의 **등비중항**이라고 한다.\n\nb a \\= c b → b 2 \\= a c → b \\= ± a c \\\\begin{aligned} \\\\dfrac ba=\\\\dfrac cb \\\\; & \\\\to \\\\; b^2=ac \\\\\\\\ & \\\\to \\\\; b=\\\\pm \\\\sqrt{ac} \\\\end{aligned}\n\n예를 들어 등비수열 a n a\\_n에 대하여 a 6 a\\_6, a 7 a\\_7, a 8 a\\_8의 등비중항은 a 7 \\= ± a 6 a 8 a\\_7=\\\\pm \\\\sqrt{a\\_6a\\_8}이다.\n\n다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 b \\= a c b=\\\\sqrt{ac}로 표현되어 그대로 **나머지 두 항의 [기하 평균](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 \"기하 평균\")**이 된다.\n## [4\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%ED%95%A8%EC%88%98 \"함수\")로 해석하기 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!4)\n등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 a n \\= a r n − 1 a\\_n=ar^{n-1}에 대하여 좌표평면에 ( n , a n ) (n,\\\\, a\\_n)을 나타내면 다음과 같다.\n\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTA3MSIgaGVpZ2h0PSIxMDg1IiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![namu\\_등비수열\\_1\\_수정.png](https:\/\/obj-temp.the1.wiki\/d\/a2\/6e\/3c833091513203e80bff0920147462fee3cd8e05ee12c311fb6bf1dec95cf632.png)\n\n각 점의 n n좌표는 몇 번째 항인지를, a n a\\_n좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 **지수함수의 그래프의 위에 있다.** 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 **자연수만을 정의역으로 하는 [지수함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 \"지수함수\")**이다.\n\n이에 따라 a n a\\_n에서 원래 n n은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 n n이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다.\n\n- 등비수열 a n \\= 2 n a\\_n=2^n에 대하여\n  - a 3 a\\_3과 a 4 a\\_4의 기하평균은 a 3\\.5 \\= 2 3\\.5 \\= 128 a\\_{3.5}=2^{3.5}=\\\\sqrt{128}\n  - a 5 a\\_5과 a 6 a\\_6의 기하평균은 a 5\\.5 \\= 2 5\\.5 \\= 2048 a\\_{5.5}=2^{5.5}=\\\\sqrt{2048}\n  - 위 두 값의 비는 a 5\\.5 a 3\\.5 \\= a 5\\.5 − 3\\.5 \\= 2 2 \\= 4 ( \\= 2048 128 ) \\\\dfrac{a\\_{5.5}}{a\\_{3.5}}=a\\_{5.5-3.5}=2^2=4\\\\biggl(=\\\\sqrt {\\\\dfrac{2048}{128}} \\\\biggr)\n## [5\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 성질 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!5)\n등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}과 임의의 음이 아닌 정수 m m에 대하여 다음이 성립한다.\n\n- a k \\+ m a k \\= r m \\\\dfrac{a\\_{k+m}}{a\\_k}=r^m\n- a k a l \\= a k ± m a l ∓ m a\\_ka\\_l=a\\_{k\\\\pm m}a\\_{l\\\\mp m} ([복부호 동순](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B3%B5%EB%B6%80%ED%98%B8%20%EB%8F%99%EC%88%9C \"복부호 동순\"))\n  - 특히, a k a k \\+ 2 \\= a k \\+ 1 2 a\\_ka\\_{k+2}={a\\_{k+1}}^2([등비중항](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%A4%91%ED%95%AD \"등비중항\"))\n\n특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다.\n\n\\[예제\\]\n\n***\n**\\[문제\\]**\n***\n등비수열 { a n } \\\\{a\\_{n}\\\\}이 a 5 a 7 \\= 3 a\\_{5}a\\_{7}=3을 만족시킬 때, a 1 a 2 ⋯ a 11 a\\_1a\\_2\\\\cdots a\\_{11}의 값을 구하시오.\n\na 1 a 2 ⋯ a 11 \\= ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 \\= { 3 11 \\= 243 3 ( a 6 \\= r a 5 \\> 0 ) − 3 11 \\= − 243 3 ( a 6 \\= r a 5 \\< 0 ) \\\\begin{aligned}a\\_1a\\_2\\\\cdots a\\_{11}&=(a\\_1a\\_{11})(a\\_2a\\_{10})(a\\_3a\\_9)(a\\_4a\\_8)(a\\_5a\\_7)a\\_6\\\\\\\\&=\\\\begin{cases}\\\\begin{aligned}\\\\sqrt{3^{11}}&=243\\\\sqrt 3\\\\quad &(a\\_6=ra\\_5\\>0)\\\\\\\\-\\\\sqrt{3^{11}}&=-243\\\\sqrt 3 \\\\quad&(a\\_6=ra\\_5\\<0)\\\\end{aligned}\\\\end{cases}\\\\end{aligned}\n## [6\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [극한](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B7%B9%ED%95%9C \"극한\") [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!6)\n첫째 항 a a와 공비 r r에 따라 등비수열 a n \\= a r n − 1 a\\_{n}=ar^{n-1}의 극한은 달라진다. oscillation은 **진동**을 뜻한다.\n\nlim ⁡ n → ∞ a r n − 1 \\= { ∞ ( r \\> 1 , a \\> 0 ) − ∞ ( r \\> 1 , a \\< 0 ) a ( r \\= 1 ) 0 ( − 1 \\< r \\< 1 ) oscillation ( r ≤ − 1 ) \\\\displaystyle\\\\lim\\_{n\\\\to\\\\infty}ar^{n-1}=\\\\begin{cases}\\\\begin{aligned}&\\\\infty\\\\;&(r\\>1,\\\\;a\\>0)\\\\\\\\&-\\\\infty\\\\;&(r\\>1,\\\\;a\\<0)\\\\\\\\\\&a\\\\;&(r=1)\\\\\\\\&0\\\\;&(-1\\<r\\<1) \\\\\\\\&\\\\small{\\\\textsf{oscillation}} \\\\;&(r \\\\leq -1) \\\\end{aligned}\\\\end{cases}\n\n따라서 등비수열이 수렴하기 위한 r r의 범위는 아래와 같다.[\\[1\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-1 \"참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r=1r=1r=1인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.\")\n\n− 1 \\< r ≤ 1 {-1\\<r\\\\leq 1}\n## [7\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 합 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!7)\n첫째 항이 a a이고 공비 r r가 1이 아닌 등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}에 대하여, 항을 소거하기 위하여 S n S\\_n에서 r S n rS\\_n을 빼어 등비수열의 합을 구한다.\n\nS n \\= a \\+ a r \\+ a r 2 \\+ ⋯ \\+ a r n − 2 \\+ a r n − 1 − r S n \\= \\+ a r \\+ a r 2 \\+ ⋯ \\+ a r n − 2 \\+ a r n − 1 \\+ a r n ( 1 − r ) S n \\= a ( 1 − r n ) \\\\begin{matrix}\\&S\\_{n}&=\\&a&+&\\\\cancel{ar}&+&\\\\cancel{ar^2}&+&\\\\cdots&+&\\\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\\\cancel{ar^{n-1}}&\\\\\\\\ - & rS\\_{n}&=&&+&\\\\cancel{ar}&+&\\\\cancel{ar^2}&+&\\\\cdots&+&\\\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\\\cancel{ar^{n-1}}&+\\&ar^n\\\\\\\\ \\\\hline &(1-r)S\\_{n}&=\\&a(1-r^n) \\\\\\\\ \\\\\\\\ \\\\end{matrix}\n\nS n S\\_{n}에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다.\n\nS n \\= a ( 1 − r n ) 1 − r \\= a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) \\\\displaystyle S\\_{n} =\\\\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\\\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\\\quad (r \\\\neq 1)\n\n한편, 위 공식에 r \\= 1 r=1을 대입하면 **분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다**.([부정형](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%80%EC%A0%95%ED%98%95 \"부정형\")) 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [r = 1 r=1이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9E%98%20%EC%A0%95%EC%9D%98%EB%90%A8 \"잘 정의됨\").\n\n이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다.\n\nS n \\= a n ( r \\= 1 ) S\\_n=an \\\\quad (r=1)\n\n[로피탈의 정리](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC \"로피탈의 정리\")를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다.\n\nlim ⁡ r → 1 a ( r n − 1 ) r − 1 \\= l’H o ˆ pital lim ⁡ r → 1 a n r n − 1 1 \\= a n \\\\displaystyle\\\\lim\\_{r\\\\to 1}\\\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\\\xlongequal{\\\\textsf{l'H\\\\^opital}}\\\\lim\\_{r\\\\to 1}\\\\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an\n### [7\\.1.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 절댓값의 합 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!8)\n등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}에 대하여 ∑ ∣ a k ∣ \\\\sum \\|a\\_k\\|를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 a 1 a\\_1부터 a n a\\_n까지의 합을 기준으로 설명한다.\n\n등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}에 대하여 a 1 a\\_1부터 a n a\\_n까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을 P n P\\_n, 음수(Negative) 항들의 합을 N n N\\_n이라 하면\n\n- ∑ k \\= 1 n a k \\= P n \\+ N n \\= S n \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k=P\\_n+N\\_n=S\\_n\n- ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= P n − N n \\= S n − 2 N n \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=P\\_n-N\\_n=S\\_n-2N\\_n\n- ∑ k \\= 1 n { a k \\+ ∣ a k ∣ } \\= 2 P n \\= 2 ( S n − N n ) \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2P\\_n=2(S\\_n-N\\_n)\n- ∑ k \\= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \\= 2 N n \\= 2 ( S n − P n ) \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2N\\_n=2(S\\_n-P\\_n)\n\n이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 N n \\= 0 N\\_n=0, 음수이면 P n \\= 0 P\\_n=0인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 **각주를 참고하라.**\n\n- **모든 항이 양수**\n  - 첫째 항과 공비가 모두 양수\n  - ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= ∑ k \\= 1 n a k \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n  - ∑ k \\= 1 n { a k \\+ ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= 2 ∑ k \\= 1 n a k \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=2\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n  - ∑ k \\= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \\= 0 \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=0\n- **모든 항이 음수**\n  - 첫째 항은 음수, 공비는 양수\n  - ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= − ∑ k \\= 1 n a k \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=-\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n  - ∑ k \\= 1 n { a k \\+ ∣ a k ∣ } \\= 0 \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=0\n  - ∑ k \\= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= − 2 ∑ k \\= 1 n a k \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=-2\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k\n- **홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수**[\\[2\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-2 \"이때 ⌊ ⋅ ⌋\\lfloor \\, \\cdot \\, \\rfloor⌊⋅⌋는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '최대 정수 함수', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉\\lceil \\, \\cdot \\, \\rceil⌈⋅⌉은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.\")\n  - 첫째 항은 양수, 공비는 음수\n  - ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= ∑ k \\= 1 n a k − 2 ∑ k \\= 1 ⌊ n \/ 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k-2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1) [\\[3\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-3 \"(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)\")\n  - ∑ k \\= 1 n { a k \\+ ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 ⌈ n \/ 2 ⌉ a 2 k − 1 \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1} [\\[4\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-4 \"홀수 번째 항들의 합의 2배\")\n  - ∑ k \\= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 ⌊ n \/ 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1) [\\[5\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-5 \"짝수 번째 항들의 합의 2배\")\n- **홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수**\n  - 첫째 항과 공비가 모두 음수\n  - ∑ k \\= 1 n ∣ a k ∣ \\= ∑ k \\= 1 n a k − 2 ∑ k \\= 1 ⌈ n \/ 2 ⌉ a 2 k − 1 \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\|a\\_k\\|=\\\\sum\\_{k=1}^n a\\_k-2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1} [\\[6\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-6 \"(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)\")\n  - ∑ k \\= 1 n { a k \\+ ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 ⌊ n \/ 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k+\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lfloor n\/2\\\\right\\\\rfloor} a\\_{2k}\\\\;(n\\\\neq 1) [\\[7\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-7 \"짝수 번째 항들의 합의 2배\")\n  - ∑ k \\= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \\= 2 ∑ k \\= 1 ⌈ n \/ 2 ⌉ a 2 k − 1 \\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^n \\\\{a\\_k-\\|a\\_k\\|\\\\}=2\\\\sum\\_{k=1}^{\\\\left\\\\lceil n\/2\\\\right\\\\rceil} a\\_{2k-1} [\\[8\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-8 \"홀수 번째 항들의 합의 2배\")\n\n\\[예제\\]\n\n***\n|   |\n|---|\n| ![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNTcyIiBoZWlnaHQ9IjIzOSIgeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzIwMDAvc3ZnIj48L3N2Zz4=)![2019년3월나형16번.png](https:\/\/obj-temp.the1.wiki\/d\/9e\/05\/2af67ee0774134240e8357b73a62e14ac8c2821a0d3d0891e2614b69b65076db.png) |\n| **2019학년도 3월 고3 나형 16번** |\n\n{ a n } \\\\{a\\_n\\\\}의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. a n a\\_n의 공비를 r r라고 하면 다음이 성립한다.\n\n∑ k \\= 1 9 ( ∣ a k ∣ \\+ a k ) \\= 2 ( a 1 \\+ a 3 \\+ a 5 \\+ a 7 \\+ a 9 ) \\= 2 ( a 1 \\+ 4 a 1 \\+ 16 a 1 \\+ 64 a 1 \\+ 256 a 1 ) ( ∵ r 2 \\= 4 ) \\= 682 a 1 \\= 66 ∴ a 1 \\= 66 682 \\= 3 31 \\\\begin{aligned}\\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=1}^9(\\|a\\_k\\|+a\\_k)&=2(a\\_1+a\\_3+a\\_5+a\\_7+a\\_9)\\\\\\\\&=2(a\\_1+4a\\_1+16a\\_1+64a\\_1+256a\\_1)\\\\;(\\\\because r^2=4)\\\\\\\\&=682a\\_1=66 \\\\\\\\ \\\\\\\\ \\\\therefore a\\_1&=\\\\dfrac{66}{682}=\\\\dfrac{3}{31}\\\\end{aligned}\n### [7\\.2.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 제2항부터 등비수열인 경우 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!9)\n결론부터 말하면, 등비수열의 합은 a r n \\+ b ar^n+b의 꼴이며, a \\+ b \\= 0 a+b=0이면 첫째 항부터, a \\+ b ≠ 0 a+b\\\\neq 0이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다.\n\n우선 앞서 밝힌 등비수열 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.\n\nS n \\= a ( r n − 1 ) r − 1 \\= a r − 1 ( r n − 1 ) \\= a r − 1 r n − a r − 1 \\\\begin{aligned}S\\_n&=\\\\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\\\\\\\&=\\\\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\\\\\\\&=\\\\dfrac{a}{r-1}r^n-\\\\dfrac{a}{r-1}\\\\end{aligned}\n\n여기에서 편의를 위하여 a ( r − 1 ) − 1 a(r-1)^{-1}를 p p로 치환하자.\n\nS n \\= p r n − p S\\_n=pr^n-p\n\na \\= p a=p, b \\= − p b=-p이고 a \\+ b \\= 0 a+b=0이 성립하므로, { a n } \\\\{a\\_n\\\\}은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 S n \\= 5 n − 1 S\\_n=5^n-1이면 a \\= 1 , b \\= − 1 a=1,\\\\;b=-1이므로 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, S n \\= 5 n − 2 S\\_n=5^n-2이면 a \\= 1 a=1, b \\= − 2 b=-2이므로 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자.\n\n|   |   |   |   |   |   |\n|---|---|---|---|---|---|\n| S n \\= 5 n − 1 S\\_n=5^n-{\\\\color{red} 1} | a 1 ( \\= S 1 ) a\\_1(=S\\_1) | a 2 a\\_2 | a 3 a\\_3 | a 4 a\\_4 | ⋯ \\\\cdots |\n| 4 {\\\\color{red} 4} | 20 20 | 100 100 | 500 500 | ⋯ \\\\cdots |   |\n| S n \\= 5 n − 2 S\\_n=5^n-{\\\\color{red} 2} | a 1 ( \\= S 1 ) a\\_1(=S\\_1) | a 2 a\\_2 | a 3 a\\_3 | a 4 a\\_4 | ⋯ \\\\cdots |\n| 3 {\\\\color{red} 3} | 20 20 | 100 100 | 500 500 | ⋯ \\\\cdots |   |\n\na n a\\_n의 다른 모든 항은 같고 a 1 a\\_1만이 1의 차이가 나므로 S n S\\_n 역시 계속 1의 차이만 나게 된다.\n\n주의할 것은 S n S\\_{\\\\boldsymbol n}이 a \\+ b \\= 0 a+b=0인지의 여부를 따질 때는 **지수가 n \\\\boldsymbol n이어야 한다**는 점이다. 예로 다음 S n S\\_n에 대하여, 각각 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 k k의 값을 구해 보자.\n\n- S n \\= 4 n \\+ 1 − k \\\\boldsymbol{S\\_{n}=4^{n+1}-k}\n  - S n \\= 4 ⋅ 4 n − k S\\_n=4\\\\cdot 4^n-k이므로 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 4 − k \\= 0 4-k=0, k \\= 4 k=4\n- S n \\= 4 n − 1 \\+ k \\\\boldsymbol{S\\_n=4^{n-1}+k}\n  - S n \\= 4 − 1 ⋅ 4 n \\+ k S\\_n=4^{-1}\\\\cdot 4^n+k이므로 { a n } \\\\{a\\_n\\\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 1 4 \\+ k \\= 0 \\\\dfrac{1}{4}+k=0, k \\= − 1 4 k=-\\\\dfrac{1}{4}\n### [7\\.3.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\")(무한등비급수) [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!10)\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/e4\/d7\/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [기하급수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 \"기하급수\") 문서를 참고하십시오.\n\n## [8\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 곱 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!11)\n자연수 n n에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된 4 n 4n개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다.\n\n- \\+ , \\+ , \\+ , \\+ , ⋯ \\+,\\\\,+,\\\\,+,\\\\,+,\\\\,\\\\cdots\n  - 초항과 공비가 모두 양수\n  - 양수 네 개를 곱하면 양수\n- \\+ , − , \\+ , − , ⋯ \\+,\\\\,-,\\\\,+,\\\\,-,\\\\,\\\\cdots\n  - 초항이 양수이고 공비가 음수\n  - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n- − , \\+ , − , \\+ , ⋯ \\-,\\\\,+,\\\\,-,\\\\,+,\\\\,\\\\cdots\n  - 초항과 공비가 모두 음수\n  - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수\n- − , − , − , − , ⋯ \\-,\\\\,-,\\\\,-,\\\\,-,\\\\,\\\\cdots\n  - 초항이 음수이고 공비가 양수\n  - 음수 네 개를 곱하면 양수\n\n이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된 4 , 8 , 12 , 16 , ⋯ 4,\\\\,8,\\\\,12,\\\\,16,\\\\,\\\\cdots개의 항의 곱을 구해도 양수이다.\n\n나아가 같은 논리로 자연수 n n에 대하여 임의의 등비수열의 연속된 6 n , 8 n , 10 n , ⋯ 6n,\\\\,8n,\\\\,10n,\\\\,\\\\cdots개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다.\n\n구체적인 값은 초항 a a, 공비 r r를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다.\n\n∣ a ∣ n ∣ r ∣ n ( n − 1 ) \/ 2 ( s g n a ) n ( s g n r ) n ( n − 1 ) \/ 2 \\|a\\|^n \\|r\\|^{n(n-1)\/2} ({\\\\rm sgn}\\\\,a)^n ({\\\\rm sgn}\\\\,r)^{n(n-1)\/2}\n\ns g n \\\\rm sgn은 [부호 함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%B6%80%ED%98%B8%20%ED%95%A8%EC%88%98 \"부호 함수\")이다.\n## [9\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 활용 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!12)\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/e4\/d7\/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [원리합계](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%9B%90%EB%A6%AC%ED%95%A9%EA%B3%84 \"원리합계\") 문서를 참고하십시오.\n\n## [10\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 기타 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!13)\n- 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 [로그](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%A1%9C%EA%B7%B8\\(%EC%88%98%ED%95%99\\) \"로그(수학)\")를 취하면 [등차수열](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 \"등차수열\")이 된다.\n## [11\\.](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 관련 문서 [\\[편집\\]](https:\/\/thewiki.kr\/edit\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\/!14)\n![](data:image\/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNjYiIGhlaWdodD0iNjYiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+)![CC-white.svg](https:\/\/obj-sg.the1.wiki\/svgs\/d\/c0\/0a\/1564a7f2c6092961f7613ec2e1ccf9ea3baaac30d0ed4ab23c5c490fdbe2d204.svg) 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키 [등비수열](https:\/\/namu.wiki\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 \"https:\/\/namu.wiki\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4\") 문서에서 가져왔습니다.\n\n[\\[1\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-1) 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r \\= 1 r=1 인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.[\\[2\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-2) 이때 ⌊ ⋅ ⌋ \\\\lfloor \\\\, \\\\cdot \\\\, \\\\rfloor 는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '[최대 정수 함수](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EC%B5%9C%EB%8C%80%20%EC%A0%95%EC%88%98%20%ED%95%A8%EC%88%98 \"최대 정수 함수\")', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉ \\\\lceil \\\\, \\\\cdot \\\\, \\\\rceil 은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.[\\[3\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-3) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[\\[4\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-4) 홀수 번째 항들의 합의 2배[\\[5\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-5) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\\[6\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-6) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[\\[7\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-7) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\\[8\\]](https:\/\/thewiki.kr\/w\/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-8) 홀수 번째 항들의 합의 2배","meta_canonical":null}

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Meta Title	등비수열
Meta Description	등비수열에 대한 문서, 등비수열(等比數列)은 [math(3,\\,6,\\,12,\\,24,\\,48,\\,\\cdots)]처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 기하수열(幾何數列, geometric sequence / progression)이라고도 한다.등비수열의 연속한 두 항의 비를 공비(公比, common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 [math(a)], 공비를 [math(r)]로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 [math(a)]는 초항(初項in
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Boilerpipe Text	이산수학 Discrete Mathematics [ 펼치기 · 접기 ] 이론 기본 대상 수학기초론 ( 수리논리학 · 집합론 ) · 수열 · 조합 · 알고리즘 · 확률 다루는 대상과 주요 토픽 수열 등차수열 ( 뛰어 세기 ) · 등비수열 · 계차수열 · 조화수열 · 귀납적 정의 ( 점화식 ) · 급수 · 규칙과 대응 · 규칙 찾기 · 피보나치 수열 · 읽고 말하기 수열 · 생성함수 조합 경우의 수 ( /공식 ) · 순열 ( 완전 순열 · 염주 순열 ) · 치환 · 분할 ( 분할수 ) · 최단거리 · 제1종 스털링 수 · 제2종 스털링 수 · 카탈랑 수 · 벨 수 · 라흐 수 · 포함·배제의 원리 · 더블 카운팅 · 조합론 그래프 수형도(트리) · 인접행렬 · 마방진 · 마법진 · 한붓그리기 ( 해밀턴 회로 ) · 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제 기타 P-NP 문제 미해결 · 4색정리 · 이항정리 ( 파스칼의 삼각형 ) · 이산 푸리에 변환 · 비둘기 집의 원리 · 상트페테르부르크의 역설 · 투표의 역설 · 에르고딕 가설 미해결 · 콜라츠 추측 미해결 · 시행착오 ( 예상과 확인 ) · 불 논리 · 브라에스 역설 · 포함-배제의 원리 관련 문서 논리학 관련 정보 · 수학 관련 정보 · 컴퓨터 관련 정보 · 틀:수학기초론 · 틀:통계학 · 틀:이론 컴퓨터 과학 1 . 개요 2 . 일반항 3 . 등비중항 4 . 함수 로 해석하기 5 . 성질 6 . 극한 7 . 등비수열의 합 7.1 . 등비수열의 절댓값의 합 7.2 . 제2항부터 등비수열인 경우 7.3 . 기하급수 (무한등비급수) 8 . 등비수열의 곱 9 . 활용 10 . 기타 11 . 관련 문서 1. 개요 [편집] 등비수열 ( 等比數列 )은 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ⋯ 3,\,6,\,12,\,24,\,48,\,\cdots 처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 수열 이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 기하수열 ( 幾何數列 , geometric sequence / progression)이라고도 한다. 등비수열의 연속한 두 항의 비를 공비 ( 公比 , common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 a a , 공비를 r r 로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 a a 는 초항 ( 初項 initial value,start term)이라고도 하며, 문자 r r 는 비( 比 )를 뜻하는 ratio의 머리글자이다. 2. 일반항 [편집] 수열 { a n } \{a_{n} \} 이 공비가 r r 인 등비수열이면 임의의 자연수 k k 에 대하여 다음이 성립한다. a k + 1 a k = r \dfrac{a_{k+1}}{a_k}=r 이에 따라 등비수열 { a n } \{a_n\} 의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 수열의 귀납적 정의 문서를 참고하라. a n = a r n − 1 a_n=ar^{n-1} 이때, a ≠ 0 , r ≠ 0 a\neq0,\,r\neq0 이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 일반항 을 정할 수 있다. 3. 등비중항 [편집] a a , b b , c c 가 등비수열의 연속한 세 항일 때, b b 를 a a 와 c c 의 등비중항 이라고 한다. b a = c b → b 2 = a c → b = ± a c \begin{aligned} \dfrac ba=\dfrac cb \; & \to \; b^2=ac \\ & \to \; b=\pm \sqrt{ac} \end{aligned} 예를 들어 등비수열 a n a_n 에 대하여 a 6 a_6 , a 7 a_7 , a 8 a_8 의 등비중항은 a 7 = ± a 6 a 8 a_7=\pm \sqrt{a_6a_8} 이다. 다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 b = a c b=\sqrt{ac} 로 표현되어 그대로 나머지 두 항의 기하 평균 이 된다. 4. 함수 로 해석하기 [편집] 등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 a n = a r n − 1 a_n=ar^{n-1} 에 대하여 좌표평면에 ( n , a n ) (n,\, a_n) 을 나타내면 다음과 같다. 각 점의 n n 좌표는 몇 번째 항인지를, a n a_n 좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 지수함수 이다. 이에 따라 a n a_n 에서 원래 n n 은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 n n 이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다. 등비수열 a n = 2 n a_n=2^n 에 대하여 a 3 a_3 과 a 4 a_4 의 기하평균은 a 3.5 = 2 3.5 = 128 a_{3.5}=2^{3.5}=\sqrt{128} a 5 a_5 과 a 6 a_6 의 기하평균은 a 5.5 = 2 5.5 = 2048 a_{5.5}=2^{5.5}=\sqrt{2048} 위 두 값의 비는 a 5.5 a 3.5 = a 5.5 − 3.5 = 2 2 = 4 ( = 2048 128 ) \dfrac{a_{5.5}}{a_{3.5}}=a_{5.5-3.5}=2^2=4\biggl(=\sqrt {\dfrac{2048}{128}} \biggr) 5. 성질 [편집] 등비수열 { a n } \{a_n\} 과 임의의 음이 아닌 정수 m m 에 대하여 다음이 성립한다. a k + m a k = r m \dfrac{a_{k+m}}{a_k}=r^m a k a l = a k ± m a l ∓ m a_ka_l=a_{k\pm m}a_{l\mp m} ( 복부호 동순 ) 특히, a k a k + 2 = a k + 1 2 a_ka_{k+2}={a_{k+1}}^2 ( 등비중항 ) 특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다. [예제] [문제] 등비수열 { a n } \{a_{n}\} 이 a 5 a 7 = 3 a_{5}a_{7}=3 을 만족시킬 때, a 1 a 2 ⋯ a 11 a_1a_2\cdots a_{11} 의 값을 구하시오. a 1 a 2 ⋯ a 11 = ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 = { 3 11 = 243 3 ( a 6 = r a 5 > 0 ) − 3 11 = − 243 3 ( a 6 = r a 5 < 0 ) \begin{aligned}a_1a_2\cdots a_{11}&=(a_1a_{11})(a_2a_{10})(a_3a_9)(a_4a_8)(a_5a_7)a_6\\&=\begin{cases}\begin{aligned}\sqrt{3^{11}}&=243\sqrt 3\quad &(a_6=ra_5>0)\\-\sqrt{3^{11}}&=-243\sqrt 3 \quad&(a_6=ra_5<0)\end{aligned}\end{cases}\end{aligned} 6. 극한 [편집] 첫째 항 a a 와 공비 r r 에 따라 등비수열 a n = a r n − 1 a_{n}=ar^{n-1} 의 극한은 달라진다. oscillation은 진동 을 뜻한다. lim ⁡ n → ∞ a r n − 1 = { ∞ ( r > 1 , a > 0 ) − ∞ ( r > 1 , a < 0 ) a ( r = 1 ) 0 ( − 1 < r < 1 ) oscillation ( r ≤ − 1 ) \displaystyle\lim_{n\to\infty}ar^{n-1}=\begin{cases}\begin{aligned}&\infty\;&(r>1,\;a>0)\\&-\infty\;&(r>1,\;a<0)\\&a\;&(r=1)\\&0\;&(-1<r<1) \\&\small{\textsf{oscillation}} \;&(r \leq -1) \end{aligned}\end{cases} 따라서 등비수열이 수렴하기 위한 r r 의 범위는 아래와 같다. [1] − 1 < r ≤ 1 {-1<r\leq 1} 7. 등비수열의 합 [편집] 첫째 항이 a a 이고 공비 r r 가 1이 아닌 등비수열 { a n } \{a_n\} 에 대하여, 항을 소거하기 위하여 S n S_n 에서 r S n rS_n 을 빼어 등비수열의 합을 구한다. S n = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 2 + a r n − 1 − r S n = + a r + a r 2 + ⋯ + a r n − 2 + a r n − 1 + a r n ( 1 − r ) S n = a ( 1 − r n ) \begin{matrix}&S_{n}&=&a&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&\\ - & rS_{n}&=&&+&\cancel{ar}&+&\cancel{ar^2}&+&\cdots&+&\cancel{ar^{n-2}}&+&\cancel{ar^{n-1}}&+&ar^n\\ \hline &(1-r)S_{n}&=&a(1-r^n) \\ \\ \end{matrix} S n S_{n} 에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다. S n = a ( 1 − r n ) 1 − r = a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) \displaystyle S_{n} =\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \quad (r \neq 1) 한편, 위 공식에 r = 1 r=1 을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다 .( 부정형 ) 공식을 유도하는 과정을 보더라도 r = 1 r=1 이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다 . 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다. S n = a n ( r = 1 ) S_n=an \quad (r=1) 로피탈의 정리 를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다. lim ⁡ r → 1 a ( r n − 1 ) r − 1 = l’H o ˆ pital lim ⁡ r → 1 a n r n − 1 1 = a n \displaystyle\lim_{r\to 1}\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\xlongequal{\textsf{l'H\^opital}}\lim_{r\to 1}\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an 7.1. 등비수열의 절댓값의 합 [편집] 등비수열 { a n } \{a_n\} 에 대하여 ∑ ∣ a k ∣ \sum \|a_k\| 를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 a 1 a_1 부터 a n a_n 까지의 합을 기준으로 설명한다. 등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 { a n } \{a_n\} 에 대하여 a 1 a_1 부터 a n a_n 까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을 P n P_n , 음수(Negative) 항들의 합을 N n N_n 이라 하면 ∑ k = 1 n a k = P n + N n = S n \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=P_n+N_n=S_n ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = P n − N n = S n − 2 N n \displaystyle\sum_{k=1}^n \|a_k\|=P_n-N_n=S_n-2N_n ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 P n = 2 ( S n − N n ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+\|a_k\|\}=2P_n=2(S_n-N_n) ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 N n = 2 ( S n − P n ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-\|a_k\|\}=2N_n=2(S_n-P_n) 이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 N n = 0 N_n=0 , 음수이면 P n = 0 P_n=0 인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 각주를 참고하라. 모든 항이 양수 첫째 항과 공비가 모두 양수 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \|a_k\|=\sum_{k=1}^n a_k ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = 2 ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^n \|a_k\|=2\sum_{k=1}^n a_k ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 0 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-\|a_k\|\}=0 모든 항이 음수 첫째 항은 음수, 공비는 양수 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = − ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \|a_k\|=-\sum_{k=1}^n a_k ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 0 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+\|a_k\|\}=0 ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = − 2 ∑ k = 1 n a k \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^n \|a_k\|=-2\sum_{k=1}^n a_k 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수 [2] 첫째 항은 양수, 공비는 음수 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 n a k − 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \|a_k\|=\sum_{k=1}^n a_k-2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) [3] ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} [4] ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) [5] 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수 첫째 항과 공비가 모두 음수 ∑ k = 1 n ∣ a k ∣ = ∑ k = 1 n a k − 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n \|a_k\|=\sum_{k=1}^n a_k-2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} [6] ∑ k = 1 n { a k + ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k+\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor} a_{2k}\;(n\neq 1) [7] ∑ k = 1 n { a k − ∣ a k ∣ } = 2 ∑ k = 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \displaystyle\sum_{k=1}^n \{a_k-\|a_k\|\}=2\sum_{k=1}^{\left\lceil n/2\right\rceil} a_{2k-1} [8] [예제] 2019학년도 3월 고3 나형 16번 { a n } \{a_n\} 의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. a n a_n 의 공비를 r r 라고 하면 다음이 성립한다. ∑ k = 1 9 ( ∣ a k ∣ + a k ) = 2 ( a 1 + a 3 + a 5 + a 7 + a 9 ) = 2 ( a 1 + 4 a 1 + 16 a 1 + 64 a 1 + 256 a 1 ) ( ∵ r 2 = 4 ) = 682 a 1 = 66 ∴ a 1 = 66 682 = 3 31 \begin{aligned}\displaystyle\sum_{k=1}^9(\|a_k\|+a_k)&=2(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)\\&=2(a_1+4a_1+16a_1+64a_1+256a_1)\;(\because r^2=4)\\&=682a_1=66 \\ \\ \therefore a_1&=\dfrac{66}{682}=\dfrac{3}{31}\end{aligned} 7.2. 제2항부터 등비수열인 경우 [편집] 결론부터 말하면, 등비수열의 합은 a r n + b ar^n+b 의 꼴이며, a + b = 0 a+b=0 이면 첫째 항부터, a + b ≠ 0 a+b\neq 0 이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다. 우선 앞서 밝힌 등비수열 { a n } \{a_n\} 의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다. S n = a ( r n − 1 ) r − 1 = a r − 1 ( r n − 1 ) = a r − 1 r n − a r − 1 \begin{aligned}S_n&=\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\&=\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\&=\dfrac{a}{r-1}r^n-\dfrac{a}{r-1}\end{aligned} 여기에서 편의를 위하여 a ( r − 1 ) − 1 a(r-1)^{-1} 를 p p 로 치환하자. S n = p r n − p S_n=pr^n-p a = p a=p , b = − p b=-p 이고 a + b = 0 a+b=0 이 성립하므로, { a n } \{a_n\} 은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 S n = 5 n − 1 S_n=5^n-1 이면 a = 1 , b = − 1 a=1,\;b=-1 이므로 { a n } \{a_n\} 은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, S n = 5 n − 2 S_n=5^n-2 이면 a = 1 a=1 , b = − 2 b=-2 이므로 { a n } \{a_n\} 은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자. S n = 5 n − 1 S_n=5^n-{\color{red} 1} a 1 ( = S 1 ) a_1(=S_1) a 2 a_2 a 3 a_3 a 4 a_4 ⋯ \cdots 4 {\color{red} 4} 20 20 100 100 500 500 ⋯ \cdots S n = 5 n − 2 S_n=5^n-{\color{red} 2} a 1 ( = S 1 ) a_1(=S_1) a 2 a_2 a 3 a_3 a 4 a_4 ⋯ \cdots 3 {\color{red} 3} 20 20 100 100 500 500 ⋯ \cdots a n a_n 의 다른 모든 항은 같고 a 1 a_1 만이 1의 차이가 나므로 S n S_n 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. 주의할 것은 S n S_{\boldsymbol n} 이 a + b = 0 a+b=0 인지의 여부를 따질 때는 지수가 n \boldsymbol n 이어야 한다 는 점이다. 예로 다음 S n S_n 에 대하여, 각각 { a n } \{a_n\} 이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 k k 의 값을 구해 보자. S n = 4 n + 1 − k \boldsymbol{S_{n}=4^{n+1}-k} S n = 4 ⋅ 4 n − k S_n=4\cdot 4^n-k 이므로 { a n } \{a_n\} 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 4 − k = 0 4-k=0 , k = 4 k=4 S n = 4 n − 1 + k \boldsymbol{S_n=4^{n-1}+k} S n = 4 − 1 ⋅ 4 n + k S_n=4^{-1}\cdot 4^n+k 이므로 { a n } \{a_n\} 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 1 4 + k = 0 \dfrac{1}{4}+k=0 , k = − 1 4 k=-\dfrac{1}{4} 7.3. 기하급수 (무한등비급수) [편집] 자세한 내용은 기하급수 문서를 참고하십시오. 8. 등비수열의 곱 [편집] 자연수 n n 에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된 4 n 4n 개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다. + , + , + , + , ⋯ +,\,+,\,+,\,+,\,\cdots 초항과 공비가 모두 양수 양수 네 개를 곱하면 양수 + , − , + , − , ⋯ +,\,-,\,+,\,-,\,\cdots 초항이 양수이고 공비가 음수 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 − , + , − , + , ⋯ -,\,+,\,-,\,+,\,\cdots 초항과 공비가 모두 음수 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 − , − , − , − , ⋯ -,\,-,\,-,\,-,\,\cdots 초항이 음수이고 공비가 양수 음수 네 개를 곱하면 양수 이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된 4 , 8 , 12 , 16 , ⋯ 4,\,8,\,12,\,16,\,\cdots 개의 항의 곱을 구해도 양수이다. 나아가 같은 논리로 자연수 n n 에 대하여 임의의 등비수열의 연속된 6 n , 8 n , 10 n , ⋯ 6n,\,8n,\,10n,\,\cdots 개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다. 구체적인 값은 초항 a a , 공비 r r 를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다. ∣ a ∣ n ∣ r ∣ n ( n − 1 ) / 2 ( s g n a ) n ( s g n r ) n ( n − 1 ) / 2 \|a\|^n \|r\|^{n(n-1)/2} ({\rm sgn}\,a)^n ({\rm sgn}\,r)^{n(n-1)/2} s g n \rm sgn 은 부호 함수 이다. 9. 활용 [편집] 자세한 내용은 원리합계 문서를 참고하십시오. 10. 기타 [편집] 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 로그 를 취하면 등차수열 이 된다. 11. 관련 문서 [편집] 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키 등비수열 문서에서 가져왔습니다. [1] 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r = 1 r=1 인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다. [2] 이때 ⌊ ⋅ ⌋ \lfloor \, \cdot \, \rfloor 는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 ' 최대 정수 함수 ', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉ \lceil \, \cdot \, \rceil 은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다. [3] (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배) [4] 홀수 번째 항들의 합의 2배 [5] 짝수 번째 항들의 합의 2배 [6] (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배) [7] 짝수 번째 항들의 합의 2배 [8] 홀수 번째 항들의 합의 2배
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개요[2](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-2). [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항")[3](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-3). 등비중항[4](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-4). [함수](https://thewiki.kr/w/%ED%95%A8%EC%88%98 "함수")로 해석하기[5](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-5). 성질[6](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-6). [극한](https://thewiki.kr/w/%EA%B7%B9%ED%95%9C "극한")[7](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7). 등비수열의 합 [7\.1](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.1). 등비수열의 절댓값의 합[7\.2](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.2). 제2항부터 등비수열인 경우[7\.3](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.3). [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수")(무한등비급수) [8](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-8). 등비수열의 곱[9](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-9). 활용[10](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-10). 기타[11](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-11). 관련 문서 ## [1\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 개요 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!1) 등비수열([等](https://thewiki.kr/w/%E7%AD%89 "等")[比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比")[數](https://thewiki.kr/w/%E6%95%B8 "數")[列](https://thewiki.kr/w/%E5%88%97 "列"))은 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ⋯ 3,\\,6,\\,12,\\,24,\\,48,\\,\\cdots 3,6,12,24,48,⋯ 처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 [수열](https://thewiki.kr/w/%EC%88%98%EC%97%B4 "수열")이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 기하수열([幾](https://thewiki.kr/w/%E5%B9%BE "幾")[何](https://thewiki.kr/w/%E4%BD%95 "何")[數](https://thewiki.kr/w/%E6%95%B8 "數")[列](https://thewiki.kr/w/%E5%88%97 "列"), geometric sequence / progression)이라고도 한다. 등비수열의 연속한 두 항의 비를 공비([公](https://thewiki.kr/w/%E5%85%AC "公")[比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比"), common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 a a a , 공비를 r r r 로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 a a a 는 초항([初](https://thewiki.kr/w/%E5%88%9D "初")[項](https://thewiki.kr/w/%E9%A0%85 "項")initial value,start term)이라고도 하며, 문자 r r r 는 비([比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比"))를 뜻하는 ratio의 머리글자이다. ## [2\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항") [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!2) 수열 { a n } \\{a\_{n} \\} {an} 이 공비가 r r r 인 등비수열이면 임의의 자연수 k k k 에 대하여 다음이 성립한다. a k \+ 1 a k \= r \\dfrac{a\_{k+1}}{a\_k}=r akak\+1\=r 이에 따라 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [수열의 귀납적 정의](https://thewiki.kr/w/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%EA%B7%80%EB%82%A9%EC%A0%81%20%EC%A0%95%EC%9D%98#s-2.1.2 "수열의 귀납적 정의") 문서를 참고하라. a n \= a r n − 1 a\_n=ar^{n-1} an\=arn−1 이때, a ≠ 0 , r ≠ 0 a\\neq0,\\,r\\neq0 a\=0,r\=0 이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항")을 정할 수 있다. ## [3\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비중항 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!3) a a a , b b b , c c c 가 등비수열의 연속한 세 항일 때, b b b 를 a a a 와 c c c 의 등비중항이라고 한다. b a \= c b → b 2 \= a c → b \= ± a c \\begin{aligned} \\dfrac ba=\\dfrac cb \\; & \\to \\; b^2=ac \\\\ & \\to \\; b=\\pm \\sqrt{ac} \\end{aligned} ab\=bc →b2\=ac →b\=± ac 예를 들어 등비수열 a n a\_n an 에 대하여 a 6 a\_6 a6 , a 7 a\_7 a7 , a 8 a\_8 a8 의 등비중항은 a 7 \= ± a 6 a 8 a\_7=\\pm \\sqrt{a\_6a\_8} a7\= ± a6a8 이다. 다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 b \= a c b=\\sqrt{ac} b\= ac 로 표현되어 그대로 나머지 두 항의 [기하 평균](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 "기하 평균")이 된다. ## [4\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [함수](https://thewiki.kr/w/%ED%95%A8%EC%88%98 "함수")로 해석하기 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!4) 등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 a n \= a r n − 1 a\_n=ar^{n-1} an\=arn−1 에 대하여 좌표평면에 ( n , a n ) (n,\\, a\_n) (n,an) 을 나타내면 다음과 같다. ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTA3MSIgaGVpZ2h0PSIxMDg1IiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![namu\_등비수열\_1\_수정.png](https://obj-temp.the1.wiki/d/a2/6e/3c833091513203e80bff0920147462fee3cd8e05ee12c311fb6bf1dec95cf632.png) 각 점의 n n n 좌표는 몇 번째 항인지를, a n a\_n an 좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 [지수함수](https://thewiki.kr/w/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 "지수함수")이다. 이에 따라 a n a\_n an 에서 원래 n n n 은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 n n n 이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다. - 등비수열 a n \= 2 n a\_n=2^n an\=2n 에 대하여 - a 3 a\_3 a3 과 a 4 a\_4 a4 의 기하평균은 a 3\.5 \= 2 3\.5 \= 128 a\_{3.5}=2^{3.5}=\\sqrt{128} a3\.5\=23\.5\= 128 - a 5 a\_5 a5 과 a 6 a\_6 a6 의 기하평균은 a 5\.5 \= 2 5\.5 \= 2048 a\_{5.5}=2^{5.5}=\\sqrt{2048} a5\.5\=25\.5\= 2048 - 위 두 값의 비는 a 5\.5 a 3\.5 \= a 5\.5 − 3\.5 \= 2 2 \= 4 ( \= 2048 128 ) \\dfrac{a\_{5.5}}{a\_{3.5}}=a\_{5.5-3.5}=2^2=4\\biggl(=\\sqrt {\\dfrac{2048}{128}} \\biggr) a3\.5a5\.5\=a5\.5−3\.5\=22\=4(\= 1282048 ) ## [5\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 성질 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!5) 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 과 임의의 음이 아닌 정수 m m m 에 대하여 다음이 성립한다. - a k \+ m a k \= r m \\dfrac{a\_{k+m}}{a\_k}=r^m akak\+m\=rm - a k a l \= a k ± m a l ∓ m a\_ka\_l=a\_{k\\pm m}a\_{l\\mp m} akal\=ak±mal∓m ([복부호 동순](https://thewiki.kr/w/%EB%B3%B5%EB%B6%80%ED%98%B8%20%EB%8F%99%EC%88%9C "복부호 동순")) - 특히, a k a k \+ 2 \= a k \+ 1 2 a\_ka\_{k+2}={a\_{k+1}}^2 akak\+2\=ak\+12 ([등비중항](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%A4%91%ED%95%AD "등비중항")) 특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다. \[예제\] * \| \| \|---\| \| \[문제\]등비수열 { a n } \\{a\_{n}\\} {an} 이 a 5 a 7 \= 3 a\_{5}a\_{7}=3 a5a7\=3 을 만족시킬 때, a 1 a 2 ⋯ a 11 a\_1a\_2\\cdots a\_{11} a1a2⋯a11 의 값을 구하시오. \| \| \| \|---\| \| a 1 a 2 ⋯ a 11 \= ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 \= { 3 11 \= 243 3 ( a 6 \= r a 5 \> 0 ) − 3 11 \= − 243 3 ( a 6 \= r a 5 \< 0 ) \\begin{aligned}a\_1a\_2\\cdots a\_{11}&=(a\_1a\_{11})(a\_2a\_{10})(a\_3a\_9)(a\_4a\_8)(a\_5a\_7)a\_6\\\\&=\\begin{cases}\\begin{aligned}\\sqrt{3^{11}}&=243\\sqrt 3\\quad &(a\_6=ra\_5\>0)\\\\-\\sqrt{3^{11}}&=-243\\sqrt 3 \\quad&(a\_6=ra\_5\<0)\\end{aligned}\\end{cases}\\end{aligned} a1a2⋯a11 \=(a1a11)(a2a10)(a3a9)(a4a8)(a5a7)a6 \= { 311 − 311 \=243 3 \=−243 3 (a6\=ra5\>0)(a6\=ra5\<0) \| ## [6\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [극한](https://thewiki.kr/w/%EA%B7%B9%ED%95%9C "극한") [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!6) 첫째 항 a a a 와 공비 r r r 에 따라 등비수열 a n \= a r n − 1 a\_{n}=ar^{n-1} an\=arn−1 의 극한은 달라진다. oscillation은 진동을 뜻한다. lim ⁡ n → ∞ a r n − 1 \= { ∞ ( r \> 1 , a \> 0 ) − ∞ ( r \> 1 , a \< 0 ) a ( r \= 1 ) 0 ( − 1 \< r \< 1 ) oscillation ( r ≤ − 1 ) \\displaystyle\\lim\_{n\\to\\infty}ar^{n-1}=\\begin{cases}\\begin{aligned}&\\infty\\;&(r\>1,\\;a\>0)\\\\&-\\infty\\;&(r\>1,\\;a\<0)\\\\\&a\\;&(r=1)\\\\&0\\;&(-1\<r\<1) \\\\&\\small{\\textsf{oscillation}} \\;&(r \\leq -1) \\end{aligned}\\end{cases} n→∞limarn−1\= ⎩ ⎨ ⎧ ∞−∞a0oscillation(r\>1,a\>0)(r\>1,a\<0)(r\=1)(−1\<r\<1)(r≤−1) 따라서 등비수열이 수렴하기 위한 r r r 의 범위는 아래와 같다.[\[1\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-1 "참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r=1r=1r=1인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.") − 1 \< r ≤ 1 {-1\<r\\leq 1} −1\<r≤1 ## [7\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 합 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!7) 첫째 항이 a a a 이고 공비 r r r 가 1이 아닌 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 에 대하여, 항을 소거하기 위하여 S n S\_n Sn 에서 r S n rS\_n rSn 을 빼어 등비수열의 합을 구한다. \| \| \|---\| \| S n \= a \+ a r \+ a r 2 \+ ⋯ \+ a r n − 2 \+ a r n − 1 − r S n \= \+ a r \+ a r 2 \+ ⋯ \+ a r n − 2 \+ a r n − 1 \+ a r n ( 1 − r ) S n \= a ( 1 − r n ) \\begin{matrix}\&S\_{n}&=\&a&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&\\\\ - & rS\_{n}&=&&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&+\&ar^n\\\\ \\hline &(1-r)S\_{n}&=\&a(1-r^n) \\\\ \\\\ \\end{matrix} −SnrSn(1−r)Sn\=\=\=aa(1−rn)\+\+ ar ar \+\+ ar2 ar2 \+\+⋯⋯\+\+ arn−2 arn−2 \+\+ arn−1 arn−1 \+arn \| S n S\_{n} Sn 에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다. S n \= a ( 1 − r n ) 1 − r \= a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) \\displaystyle S\_{n} =\\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\quad (r \\neq 1) Sn\=1−ra(1−rn)\=r−1a(rn−1)(r\=1) 한편, 위 공식에 r \= 1 r=1 r\=1 을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다.([부정형](https://thewiki.kr/w/%EB%B6%80%EC%A0%95%ED%98%95 "부정형")) 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [r = 1 r=1 r=1이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다](https://thewiki.kr/w/%EC%9E%98%20%EC%A0%95%EC%9D%98%EB%90%A8 "잘 정의됨") . 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다. S n \= a n ( r \= 1 ) S\_n=an \\quad (r=1) Sn\=an(r\=1) [로피탈의 정리](https://thewiki.kr/w/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC "로피탈의 정리")를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다. lim ⁡ r → 1 a ( r n − 1 ) r − 1 \= l’H o ˆ pital lim ⁡ r → 1 a n r n − 1 1 \= a n \\displaystyle\\lim\_{r\\to 1}\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\xlongequal{\\textsf{l'H\\^opital}}\\lim\_{r\\to 1}\\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an r→1limr−1a(rn−1) l’Hoˆpital r→1lim1anrn−1\=an ### [7\.1.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 절댓값의 합 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!8) 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 에 대하여 ∑ ∣ a k ∣ \\sum \\|a\_k\\| ∑∣ak∣ 를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 a 1 a\_1 a1 부터 a n a\_n an 까지의 합을 기준으로 설명한다. 등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 에 대하여 a 1 a\_1 a1 부터 a n a\_n an 까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을 P n P\_n Pn , 음수(Negative) 항들의 합을 N n N\_n Nn 이라 하면 - ∑ k \= 1 n a k \= P n \+ N n \= S n \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n a\_k=P\_n+N\_n=S\_n k\=1∑nak\=Pn\+Nn\=Sn - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= P n − N n \= S n − 2 N n \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=P\_n-N\_n=S\_n-2N\_n k\=1∑n∣ak∣\=Pn−Nn\=Sn−2Nn - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 P n \= 2 ( S n − N n ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2P\_n=2(S\_n-N\_n) k\=1∑n{ak\+∣ak∣}\=2Pn\=2(Sn−Nn) - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 N n \= 2 ( S n − P n ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2N\_n=2(S\_n-P\_n) k\=1∑n{ak−∣ak∣}\=2Nn\=2(Sn−Pn) 이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 N n \= 0 N\_n=0 Nn\=0 , 음수이면 P n \= 0 P\_n=0 Pn\=0 인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 각주를 참고하라. - 모든 항이 양수 - 첫째 항과 공비가 모두 양수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k k\=1∑n∣ak∣\=k\=1∑nak - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= 2 ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=2\\sum\_{k=1}^n a\_k k\=1∑n{ak\+∣ak∣}\=2k\=1∑n∣ak∣\=2k\=1∑nak - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 0 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=0 k\=1∑n{ak−∣ak∣}\=0 - 모든 항이 음수 - 첫째 항은 음수, 공비는 양수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= − ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=-\\sum\_{k=1}^n a\_k k\=1∑n∣ak∣\=−k\=1∑nak - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 0 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=0 k\=1∑n{ak\+∣ak∣}\=0 - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= − 2 ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=-2\\sum\_{k=1}^n a\_k k\=1∑n{ak−∣ak∣}\=2k\=1∑n∣ak∣\=−2k\=1∑nak - 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수[\[2\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-2 "이때 ⌊ ⋅ ⌋\lfloor \, \cdot \, \rfloor⌊⋅⌋는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '최대 정수 함수', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉\lceil \, \cdot \, \rceil⌈⋅⌉은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.") - 첫째 항은 양수, 공비는 음수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k − 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k-2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) k\=1∑n∣ak∣\=k\=1∑nak−2k\=1∑⌊n/2⌋a2k(n\=1) [\[3\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-3 "(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)") - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} k\=1∑n{ak\+∣ak∣}\=2k\=1∑⌈n/2⌉a2k−1 [\[4\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-4 "홀수 번째 항들의 합의 2배") - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) k\=1∑n{ak−∣ak∣}\=2k\=1∑⌊n/2⌋a2k(n\=1) [\[5\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-5 "짝수 번째 항들의 합의 2배") - 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수 - 첫째 항과 공비가 모두 음수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k − 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k-2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} k\=1∑n∣ak∣\=k\=1∑nak−2k\=1∑⌈n/2⌉a2k−1 [\[6\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-6 "(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)") - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) k\=1∑n{ak\+∣ak∣}\=2k\=1∑⌊n/2⌋a2k(n\=1) [\[7\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-7 "짝수 번째 항들의 합의 2배") - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} k\=1∑n{ak−∣ak∣}\=2k\=1∑⌈n/2⌉a2k−1 [\[8\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-8 "홀수 번째 항들의 합의 2배") \[예제\] * \| \| \|---\| \| ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNTcyIiBoZWlnaHQ9IjIzOSIgeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzIwMDAvc3ZnIj48L3N2Zz4=)![2019년3월나형16번.png](https://obj-temp.the1.wiki/d/9e/05/2af67ee0774134240e8357b73a62e14ac8c2821a0d3d0891e2614b69b65076db.png) \| \| 2019학년도 3월 고3 나형 16번 \| { a n } \\{a\_n\\} {an} 의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. a n a\_n an 의 공비를 r r r 라고 하면 다음이 성립한다. \| \| \|---\| \| ∑ k \= 1 9 ( ∣ a k ∣ \+ a k ) \= 2 ( a 1 \+ a 3 \+ a 5 \+ a 7 \+ a 9 ) \= 2 ( a 1 \+ 4 a 1 \+ 16 a 1 \+ 64 a 1 \+ 256 a 1 ) ( ∵ r 2 \= 4 ) \= 682 a 1 \= 66 ∴ a 1 \= 66 682 \= 3 31 \\begin{aligned}\\displaystyle\\sum\_{k=1}^9(\\|a\_k\\|+a\_k)&=2(a\_1+a\_3+a\_5+a\_7+a\_9)\\\\&=2(a\_1+4a\_1+16a\_1+64a\_1+256a\_1)\\;(\\because r^2=4)\\\\&=682a\_1=66 \\\\ \\\\ \\therefore a\_1&=\\dfrac{66}{682}=\\dfrac{3}{31}\\end{aligned} k\=1∑9(∣ak∣\+ak)∴a1\=2(a1\+a3\+a5\+a7\+a9)\=2(a1\+4a1\+16a1\+64a1\+256a1)(∵r2\=4)\=682a1\=66\=68266\=313 \| ### [7\.2.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 제2항부터 등비수열인 경우 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!9) 결론부터 말하면, 등비수열의 합은 a r n \+ b ar^n+b arn\+b 의 꼴이며, a \+ b \= 0 a+b=0 a\+b\=0 이면 첫째 항부터, a \+ b ≠ 0 a+b\\neq 0 a\+b\=0 이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다. 우선 앞서 밝힌 등비수열 { a n } \\{a\_n\\} {an} 의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다. S n \= a ( r n − 1 ) r − 1 \= a r − 1 ( r n − 1 ) \= a r − 1 r n − a r − 1 \\begin{aligned}S\_n&=\\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}r^n-\\dfrac{a}{r-1}\\end{aligned} Sn\=r−1a(rn−1)\=r−1a(rn−1)\=r−1arn−r−1a 여기에서 편의를 위하여 a ( r − 1 ) − 1 a(r-1)^{-1} a(r−1)−1 를 p p p 로 치환하자. S n \= p r n − p S\_n=pr^n-p Sn\=prn−p a \= p a=p a\=p , b \= − p b=-p b\=−p 이고 a \+ b \= 0 a+b=0 a\+b\=0 이 성립하므로, { a n } \\{a\_n\\} {an} 은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 S n \= 5 n − 1 S\_n=5^n-1 Sn\=5n−1 이면 a \= 1 , b \= − 1 a=1,\\;b=-1 a\=1,b\=−1 이므로 { a n } \\{a\_n\\} {an} 은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, S n \= 5 n − 2 S\_n=5^n-2 Sn\=5n−2 이면 a \= 1 a=1 a\=1 , b \= − 2 b=-2 b\=−2 이므로 { a n } \\{a\_n\\} {an} 은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자. \| \| \| \| \| \| \| \|---\|---\|---\|---\|---\|---\| \| S n \= 5 n − 1 S\_n=5^n-{\\color{red} 1} Sn\=5n−1 \| a 1 ( \= S 1 ) a\_1(=S\_1) a1(\=S1) \| a 2 a\_2 a2 \| a 3 a\_3 a3 \| a 4 a\_4 a4 \| ⋯ \\cdots ⋯ \| \| 4 {\\color{red} 4} 4 \| 20 20 20 \| 100 100 100 \| 500 500 500 \| ⋯ \\cdots ⋯ \| \| \| S n \= 5 n − 2 S\_n=5^n-{\\color{red} 2} Sn\=5n−2 \| a 1 ( \= S 1 ) a\_1(=S\_1) a1(\=S1) \| a 2 a\_2 a2 \| a 3 a\_3 a3 \| a 4 a\_4 a4 \| ⋯ \\cdots ⋯ \| \| 3 {\\color{red} 3} 3 \| 20 20 20 \| 100 100 100 \| 500 500 500 \| ⋯ \\cdots ⋯ \| \| a n a\_n an 의 다른 모든 항은 같고 a 1 a\_1 a1 만이 1의 차이가 나므로 S n S\_n Sn 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. 주의할 것은 S n S\_{\\boldsymbol n} Sn 이 a \+ b \= 0 a+b=0 a\+b\=0 인지의 여부를 따질 때는 지수가 n \\boldsymbol n n이어야 한다는 점이다. 예로 다음 S n S\_n Sn 에 대하여, 각각 { a n } \\{a\_n\\} {an} 이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 k k k 의 값을 구해 보자. - S n \= 4 n \+ 1 − k \\boldsymbol{S\_{n}=4^{n+1}-k} Sn\=4n\+1−k - S n \= 4 ⋅ 4 n − k S\_n=4\\cdot 4^n-k Sn\=4⋅4n−k 이므로 { a n } \\{a\_n\\} {an} 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 4 − k \= 0 4-k=0 4−k\=0 , k \= 4 k=4 k\=4 - S n \= 4 n − 1 \+ k \\boldsymbol{S\_n=4^{n-1}+k} Sn\=4n−1\+k - S n \= 4 − 1 ⋅ 4 n \+ k S\_n=4^{-1}\\cdot 4^n+k Sn\=4−1⋅4n\+k 이므로 { a n } \\{a\_n\\} {an} 이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 1 4 \+ k \= 0 \\dfrac{1}{4}+k=0 41\+k\=0 , k \= − 1 4 k=-\\dfrac{1}{4} k\=−41 ### [7\.3.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수")(무한등비급수) [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!10) ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/e4/d7/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수") 문서를 참고하십시오. ## [8\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 곱 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!11) 자연수 n n n 에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된 4 n 4n 4n 개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다. - \+ , \+ , \+ , \+ , ⋯ \+,\\,+,\\,+,\\,+,\\,\\cdots \+,\+,\+,\+,⋯ - 초항과 공비가 모두 양수 - 양수 네 개를 곱하면 양수 - \+ , − , \+ , − , ⋯ \+,\\,-,\\,+,\\,-,\\,\\cdots \+,−,\+,−,⋯ - 초항이 양수이고 공비가 음수 - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 - − , \+ , − , \+ , ⋯ \-,\\,+,\\,-,\\,+,\\,\\cdots −,\+,−,\+,⋯ - 초항과 공비가 모두 음수 - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 - − , − , − , − , ⋯ \-,\\,-,\\,-,\\,-,\\,\\cdots −,−,−,−,⋯ - 초항이 음수이고 공비가 양수 - 음수 네 개를 곱하면 양수 이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된 4 , 8 , 12 , 16 , ⋯ 4,\\,8,\\,12,\\,16,\\,\\cdots 4,8,12,16,⋯ 개의 항의 곱을 구해도 양수이다. 나아가 같은 논리로 자연수 n n n 에 대하여 임의의 등비수열의 연속된 6 n , 8 n , 10 n , ⋯ 6n,\\,8n,\\,10n,\\,\\cdots 6n,8n,10n,⋯ 개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다. 구체적인 값은 초항 a a a , 공비 r r r 를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다. \| \| \|---\| \| ∣ a ∣ n ∣ r ∣ n ( n − 1 ) / 2 ( s g n a ) n ( s g n r ) n ( n − 1 ) / 2 \\|a\\|^n \\|r\\|^{n(n-1)/2} ({\\rm sgn}\\,a)^n ({\\rm sgn}\\,r)^{n(n-1)/2} ∣a∣n∣r∣n(n−1)/2(sgna)n(sgnr)n(n−1)/2 \| s g n \\rm sgn sgn 은 [부호 함수](https://thewiki.kr/w/%EB%B6%80%ED%98%B8%20%ED%95%A8%EC%88%98 "부호 함수")이다. ## [9\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 활용 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!12) ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/e4/d7/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [원리합계](https://thewiki.kr/w/%EC%9B%90%EB%A6%AC%ED%95%A9%EA%B3%84 "원리합계") 문서를 참고하십시오. ## [10\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 기타 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!13) - [2015 개정 교육과정](https://thewiki.kr/w/2015%20%EA%B0%9C%EC%A0%95%20%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95 "2015 개정 교육과정")에 따라 고2 이상에서 [수학Ⅰ](https://thewiki.kr/w/%EC%88%98%ED%95%99%E2%85%A0\(2015\) "수학Ⅰ(2015)")에서 등비수열을 배운다. - 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 [로그](https://thewiki.kr/w/%EB%A1%9C%EA%B7%B8\(%EC%88%98%ED%95%99\) "로그(수학)")를 취하면 [등차수열](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 "등차수열")이 된다. ## [11\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 관련 문서 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!14) - [기하 평균](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 "기하 평균") - [지수함수](https://thewiki.kr/w/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 "지수함수") - [등차수열](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 "등차수열") ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNjYiIGhlaWdodD0iNjYiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+)![CC-white.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/c0/0a/1564a7f2c6092961f7613ec2e1ccf9ea3baaac30d0ed4ab23c5c490fdbe2d204.svg) 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키 [등비수열](https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 "https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4") 문서에서 가져왔습니다. [\[1\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-1) 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r \= 1 r=1 r\=1 인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다. [\[2\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-2) 이때 ⌊ ⋅ ⌋ \\lfloor \\, \\cdot \\, \\rfloor ⌊⋅⌋ 는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '[최대 정수 함수](https://thewiki.kr/w/%EC%B5%9C%EB%8C%80%20%EC%A0%95%EC%88%98%20%ED%95%A8%EC%88%98 "최대 정수 함수")', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉ \\lceil \\, \\cdot \\, \\rceil ⌈⋅⌉ 은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다. [\[3\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-3) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[\[4\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-4) 홀수 번째 항들의 합의 2배[\[5\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-5) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\[6\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-6) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[\[7\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-7) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\[8\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-8) 홀수 번째 항들의 합의 2배 ## 관련 문서 - [GP(동음이의어)](https://thewiki.kr/w/GP%28%EB%8F%99%EC%9D%8C%EC%9D%B4%EC%9D%98%EC%96%B4%29) - [보통고중수학과정표준/필수5](https://thewiki.kr/w/%EB%B3%B4%ED%86%B5%EA%B3%A0%EC%A4%91%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC%EC%A0%95%ED%91%9C%EC%A4%80%2F%ED%95%84%EC%88%985) - [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98) - [교육과정/의논/수학과](https://thewiki.kr/w/%EA%B5%90%EC%9C%A1%EA%B3%BC%EC%A0%95%2F%EC%9D%98%EB%85%BC%2F%EC%88%98%ED%95%99%EA%B3%BC) ##### 최근 변경 [00:00갱신중...]() [\[더 보기\]](https://thewiki.kr/Recent) ##### 최근 토론 [00:00갱신중...]() [\[더 보기\]](https://thewiki.kr/RecentDiscuss) ![더위키 로고](https://thewiki.kr/namuwiki/img/TheWiki_footer.png) \\| ![크리에이티브 커먼즈 라이선스](https://thewiki.kr/namuwiki/cc-by-nc-sa-2.0-88x31.png) \\| 접속자 수 : 430명 이 저작물은 [CC BY-NC-SA 2.0 KR](https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/kr/) 에 따라 이용할 수 있습니다. 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정보](https://thewiki.kr/w/%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B4%80%EB%A0%A8%20%EC%A0%95%EB%B3%B4 "컴퓨터 관련 정보") · [틀:수학기초론](https://thewiki.kr/w/%ED%8B%80:%EC%88%98%ED%95%99%EA%B8%B0%EC%B4%88%EB%A1%A0 "수학기초론") · [틀:통계학](https://thewiki.kr/w/%ED%8B%80:%ED%86%B5%EA%B3%84%ED%95%99 "통계학") · [틀:이론 컴퓨터 과학](https://thewiki.kr/w/%ED%8B%80:%EC%9D%B4%EB%A1%A0%20%EC%BB%B4%ED%93%A8%ED%84%B0%20%EA%B3%BC%ED%95%99 "이론 컴퓨터 과학") \| [1](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-1). 개요[2](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-2). [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항")[3](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-3). 등비중항[4](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-4). [함수](https://thewiki.kr/w/%ED%95%A8%EC%88%98 "함수")로 해석하기[5](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-5). 성질[6](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-6). [극한](https://thewiki.kr/w/%EA%B7%B9%ED%95%9C "극한")[7](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7). 등비수열의 합 [7\.1](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.1). 등비수열의 절댓값의 합[7\.2](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.2). 제2항부터 등비수열인 경우[7\.3](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-7.3). [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수")(무한등비급수) [8](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-8). 등비수열의 곱[9](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-9). 활용[10](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-10). 기타[11](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#s-11). 관련 문서 ## [1\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 개요 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!1) 등비수열([等](https://thewiki.kr/w/%E7%AD%89 "等")[比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比")[數](https://thewiki.kr/w/%E6%95%B8 "數")[列](https://thewiki.kr/w/%E5%88%97 "列"))은 3 , 6 , 12 , 24 , 48 , ⋯ 3,\\,6,\\,12,\\,24,\\,48,\\,\\cdots처럼 연속한 두 항의 비가 일정한 [수열](https://thewiki.kr/w/%EC%88%98%EC%97%B4 "수열")이다. 기하적 증가 양상을 띄므로 기하수열([幾](https://thewiki.kr/w/%E5%B9%BE "幾")[何](https://thewiki.kr/w/%E4%BD%95 "何")[數](https://thewiki.kr/w/%E6%95%B8 "數")[列](https://thewiki.kr/w/%E5%88%97 "列"), geometric sequence / progression)이라고도 한다. 등비수열의 연속한 두 항의 비를 공비([公](https://thewiki.kr/w/%E5%85%AC "公")[比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比"), common ratio)라고 한다. 일반적으로 등비수열의 첫째 항(first term또는 1st term)을 a a, 공비를 r r로 표기한다. 첫째항(1st term) 문자 a a는 초항([初](https://thewiki.kr/w/%E5%88%9D "初")[項](https://thewiki.kr/w/%E9%A0%85 "項")initial value,start term)이라고도 하며, 문자 r r는 비([比](https://thewiki.kr/w/%E6%AF%94 "比"))를 뜻하는 ratio의 머리글자이다. ## [2\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항") [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!2) 수열 { a n } \\{a\_{n} \\}이 공비가 r r인 등비수열이면 임의의 자연수 k k에 대하여 다음이 성립한다. a k \+ 1 a k \= r \\dfrac{a\_{k+1}}{a\_k}=r 이에 따라 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}의 일반항은 다음과 같은데, 도출 과정은 [수열의 귀납적 정의](https://thewiki.kr/w/%EC%88%98%EC%97%B4%EC%9D%98%20%EA%B7%80%EB%82%A9%EC%A0%81%20%EC%A0%95%EC%9D%98#s-2.1.2 "수열의 귀납적 정의") 문서를 참고하라. a n \= a r n − 1 a\_n=ar^{n-1} 이때, a ≠ 0 , r ≠ 0 a\\neq0,\\,r\\neq0이다. 꼭 첫째 항이 아니더라도, 하나 이상의 항의 값, 몇 번째 항인지, 그리고 공비가 주어지거나 둘 이상의 항의 값, 각각 몇 번째 항인지가 주어지면 등비수열의 [일반항](https://thewiki.kr/w/%EC%9D%BC%EB%B0%98%ED%95%AD "일반항")을 정할 수 있다. ## [3\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비중항 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!3) a a, b b, c c가 등비수열의 연속한 세 항일 때, b b를 a a와 c c의 등비중항이라고 한다. b a \= c b → b 2 \= a c → b \= ± a c \\begin{aligned} \\dfrac ba=\\dfrac cb \\; & \\to \\; b^2=ac \\\\ & \\to \\; b=\\pm \\sqrt{ac} \\end{aligned} 예를 들어 등비수열 a n a\_n에 대하여 a 6 a\_6, a 7 a\_7, a 8 a\_8의 등비중항은 a 7 \= ± a 6 a 8 a\_7=\\pm \\sqrt{a\_6a\_8}이다. 다만, 연속한 세 항이 모두 양수이면 b \= a c b=\\sqrt{ac}로 표현되어 그대로 나머지 두 항의 [기하 평균](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%20%ED%8F%89%EA%B7%A0 "기하 평균")이 된다. ## [4\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [함수](https://thewiki.kr/w/%ED%95%A8%EC%88%98 "함수")로 해석하기 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!4) 등비수열은 함수로도 생각할 수 있는데, 등비수열 a n \= a r n − 1 a\_n=ar^{n-1}에 대하여 좌표평면에 ( n , a n ) (n,\\, a\_n)을 나타내면 다음과 같다. ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTA3MSIgaGVpZ2h0PSIxMDg1IiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![namu\_등비수열\_1\_수정.png](https://obj-temp.the1.wiki/d/a2/6e/3c833091513203e80bff0920147462fee3cd8e05ee12c311fb6bf1dec95cf632.png) 각 점의 n n좌표는 몇 번째 항인지를, a n a\_n좌표는 항의 값을 나타낸다. 등비수열의 일반항은 지수함수식으로 나타나므로, 좌표평면의 각 점은 지수함수의 그래프의 위에 있다. 이렇게 보면, 등비수열의 일반항은 자연수만을 정의역으로 하는 [지수함수](https://thewiki.kr/w/%EC%A7%80%EC%88%98%ED%95%A8%EC%88%98 "지수함수")이다. 이에 따라 a n a\_n에서 원래 n n은 자연수이지만, 수열을 함수로도 해석할 수 있는 만큼 다음 예와 같이 n n이 자연수가 아닌 경우로 계산해도 문제가 없다. - 등비수열 a n \= 2 n a\_n=2^n에 대하여 - a 3 a\_3과 a 4 a\_4의 기하평균은 a 3\.5 \= 2 3\.5 \= 128 a\_{3.5}=2^{3.5}=\\sqrt{128} - a 5 a\_5과 a 6 a\_6의 기하평균은 a 5\.5 \= 2 5\.5 \= 2048 a\_{5.5}=2^{5.5}=\\sqrt{2048} - 위 두 값의 비는 a 5\.5 a 3\.5 \= a 5\.5 − 3\.5 \= 2 2 \= 4 ( \= 2048 128 ) \\dfrac{a\_{5.5}}{a\_{3.5}}=a\_{5.5-3.5}=2^2=4\\biggl(=\\sqrt {\\dfrac{2048}{128}} \\biggr) ## [5\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 성질 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!5) 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}과 임의의 음이 아닌 정수 m m에 대하여 다음이 성립한다. - a k \+ m a k \= r m \\dfrac{a\_{k+m}}{a\_k}=r^m - a k a l \= a k ± m a l ∓ m a\_ka\_l=a\_{k\\pm m}a\_{l\\mp m} ([복부호 동순](https://thewiki.kr/w/%EB%B3%B5%EB%B6%80%ED%98%B8%20%EB%8F%99%EC%88%9C "복부호 동순")) - 특히, a k a k \+ 2 \= a k \+ 1 2 a\_ka\_{k+2}={a\_{k+1}}^2([등비중항](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%A4%91%ED%95%AD "등비중항")) 특히 두 번째 성질은 다음 예와 같이 등비수열의 각 항의 값을 알려주지 않고도 등비수열의 곱을 구하라는 문제로 자주 나오는데, 공비의 부호에 따라 등비중항의 값이 달라지므로 주의해야 한다. \[예제\] * \[문제\] * 등비수열 { a n } \\{a\_{n}\\}이 a 5 a 7 \= 3 a\_{5}a\_{7}=3을 만족시킬 때, a 1 a 2 ⋯ a 11 a\_1a\_2\\cdots a\_{11}의 값을 구하시오. a 1 a 2 ⋯ a 11 \= ( a 1 a 11 ) ( a 2 a 10 ) ( a 3 a 9 ) ( a 4 a 8 ) ( a 5 a 7 ) a 6 \= { 3 11 \= 243 3 ( a 6 \= r a 5 \> 0 ) − 3 11 \= − 243 3 ( a 6 \= r a 5 \< 0 ) \\begin{aligned}a\_1a\_2\\cdots a\_{11}&=(a\_1a\_{11})(a\_2a\_{10})(a\_3a\_9)(a\_4a\_8)(a\_5a\_7)a\_6\\\\&=\\begin{cases}\\begin{aligned}\\sqrt{3^{11}}&=243\\sqrt 3\\quad &(a\_6=ra\_5\>0)\\\\-\\sqrt{3^{11}}&=-243\\sqrt 3 \\quad&(a\_6=ra\_5\<0)\\end{aligned}\\end{cases}\\end{aligned} ## [6\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [극한](https://thewiki.kr/w/%EA%B7%B9%ED%95%9C "극한") [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!6) 첫째 항 a a와 공비 r r에 따라 등비수열 a n \= a r n − 1 a\_{n}=ar^{n-1}의 극한은 달라진다. oscillation은 진동을 뜻한다. lim ⁡ n → ∞ a r n − 1 \= { ∞ ( r \> 1 , a \> 0 ) − ∞ ( r \> 1 , a \< 0 ) a ( r \= 1 ) 0 ( − 1 \< r \< 1 ) oscillation ( r ≤ − 1 ) \\displaystyle\\lim\_{n\\to\\infty}ar^{n-1}=\\begin{cases}\\begin{aligned}&\\infty\\;&(r\>1,\\;a\>0)\\\\&-\\infty\\;&(r\>1,\\;a\<0)\\\\\&a\\;&(r=1)\\\\&0\\;&(-1\<r\<1) \\\\&\\small{\\textsf{oscillation}} \\;&(r \\leq -1) \\end{aligned}\\end{cases} 따라서 등비수열이 수렴하기 위한 r r의 범위는 아래와 같다.[\[1\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-1 "참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r=1r=1r=1인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.") − 1 \< r ≤ 1 {-1\<r\\leq 1} ## [7\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 합 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!7) 첫째 항이 a a이고 공비 r r가 1이 아닌 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}에 대하여, 항을 소거하기 위하여 S n S\_n에서 r S n rS\_n을 빼어 등비수열의 합을 구한다. S n \= a \+ a r \+ a r 2 \+ ⋯ \+ a r n − 2 \+ a r n − 1 − r S n \= \+ a r \+ a r 2 \+ ⋯ \+ a r n − 2 \+ a r n − 1 \+ a r n ( 1 − r ) S n \= a ( 1 − r n ) \\begin{matrix}\&S\_{n}&=\&a&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&\\\\ - & rS\_{n}&=&&+&\\cancel{ar}&+&\\cancel{ar^2}&+&\\cdots&+&\\cancel{ar^{n-2}}&+&\\cancel{ar^{n-1}}&+\&ar^n\\\\ \\hline &(1-r)S\_{n}&=\&a(1-r^n) \\\\ \\\\ \\end{matrix} S n S\_{n}에 대하여 정리하면 공식은 다음과 같다. S n \= a ( 1 − r n ) 1 − r \= a ( r n − 1 ) r − 1 ( r ≠ 1 ) \\displaystyle S\_{n} =\\dfrac{a(1-r^{n})}{1-r} =\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1} \\quad (r \\neq 1) 한편, 위 공식에 r \= 1 r=1을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 버린다.([부정형](https://thewiki.kr/w/%EB%B6%80%EC%A0%95%ED%98%95 "부정형")) 공식을 유도하는 과정을 보더라도 [r = 1 r=1이면 양변이 그냥 0이 되어 공식을 제대로 유도할 수 없다](https://thewiki.kr/w/%EC%9E%98%20%EC%A0%95%EC%9D%98%EB%90%A8 "잘 정의됨"). 이 경우에는 등비수열의 모든 항이 첫째 항과 같다는 점을 이용하여 등비수열의 합을 구한다. S n \= a n ( r \= 1 ) S\_n=an \\quad (r=1) [로피탈의 정리](https://thewiki.kr/w/%EB%A1%9C%ED%94%BC%ED%83%88%EC%9D%98%20%EC%A0%95%EB%A6%AC "로피탈의 정리")를 이용해도 같은 공식을 유도할 수 있다. lim ⁡ r → 1 a ( r n − 1 ) r − 1 \= l’H o ˆ pital lim ⁡ r → 1 a n r n − 1 1 \= a n \\displaystyle\\lim\_{r\\to 1}\\dfrac{a(r^{n}-1)}{r-1}\\xlongequal{\\textsf{l'H\\^opital}}\\lim\_{r\\to 1}\\dfrac{anr^{n-1}}{1}=an ### [7\.1.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 절댓값의 합 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!8) 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}에 대하여 ∑ ∣ a k ∣ \\sum \\|a\_k\\|를 다루는 문제가 종종 나온다. 가장 기본이 되는 a 1 a\_1부터 a n a\_n까지의 합을 기준으로 설명한다. 등비수열의 절댓값의 합이란, 결국 양수인 항은 그대로 두고, 음수인 항에는 -1을 곱하여 양수로 바꾼 뒤 더한 값이다. 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}에 대하여 a 1 a\_1부터 a n a\_n까지의 항 중에서 양수(Positive) 항들의 합을 P n P\_n, 음수(Negative) 항들의 합을 N n N\_n이라 하면 - ∑ k \= 1 n a k \= P n \+ N n \= S n \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n a\_k=P\_n+N\_n=S\_n - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= P n − N n \= S n − 2 N n \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=P\_n-N\_n=S\_n-2N\_n - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 P n \= 2 ( S n − N n ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2P\_n=2(S\_n-N\_n) - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 N n \= 2 ( S n − P n ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2N\_n=2(S\_n-P\_n) 이를 다음 네 가지 경우에 적용할 수 있다. 모든 항이 양수이면 N n \= 0 N\_n=0, 음수이면 P n \= 0 P\_n=0인 특수한 경우이다. 수식을 사용한 엄밀한 표현보다는 일상 언어로 이해하는 것이 편하므로 각주를 참고하라. - 모든 항이 양수 - 첫째 항과 공비가 모두 양수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= 2 ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=2\\sum\_{k=1}^n a\_k - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 0 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=0 - 모든 항이 음수 - 첫째 항은 음수, 공비는 양수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= − ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=-\\sum\_{k=1}^n a\_k - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 0 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=0 - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= − 2 ∑ k \= 1 n a k \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=-2\\sum\_{k=1}^n a\_k - 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수[\[2\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-2 "이때 ⌊ ⋅ ⌋\lfloor \, \cdot \, \rfloor⌊⋅⌋는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '최대 정수 함수', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉\lceil \, \cdot \, \rceil⌈⋅⌉은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.") - 첫째 항은 양수, 공비는 음수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k − 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k-2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) [\[3\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-3 "(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)") - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} [\[4\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-4 "홀수 번째 항들의 합의 2배") - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) [\[5\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-5 "짝수 번째 항들의 합의 2배") - 홀수 번째 항은 음수, 짝수 번째 항은 양수 - 첫째 항과 공비가 모두 음수 - ∑ k \= 1 n ∣ a k ∣ \= ∑ k \= 1 n a k − 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\|a\_k\\|=\\sum\_{k=1}^n a\_k-2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} [\[6\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-6 "(등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)") - ∑ k \= 1 n { a k \+ ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌊ n / 2 ⌋ a 2 k ( n ≠ 1 ) \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k+\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lfloor n/2\\right\\rfloor} a\_{2k}\\;(n\\neq 1) [\[7\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-7 "짝수 번째 항들의 합의 2배") - ∑ k \= 1 n { a k − ∣ a k ∣ } \= 2 ∑ k \= 1 ⌈ n / 2 ⌉ a 2 k − 1 \\displaystyle\\sum\_{k=1}^n \\{a\_k-\\|a\_k\\|\\}=2\\sum\_{k=1}^{\\left\\lceil n/2\\right\\rceil} a\_{2k-1} [\[8\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#fn-8 "홀수 번째 항들의 합의 2배") \[예제\] * \| \| \|---\| \| ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNTcyIiBoZWlnaHQ9IjIzOSIgeG1sbnM9Imh0dHA6Ly93d3cudzMub3JnLzIwMDAvc3ZnIj48L3N2Zz4=)![2019년3월나형16번.png](https://obj-temp.the1.wiki/d/9e/05/2af67ee0774134240e8357b73a62e14ac8c2821a0d3d0891e2614b69b65076db.png) \| \| 2019학년도 3월 고3 나형 16번 \| { a n } \\{a\_n\\}의 첫째 항이 양수이고 공비가 음수이므로 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수이다. a n a\_n의 공비를 r r라고 하면 다음이 성립한다. ∑ k \= 1 9 ( ∣ a k ∣ \+ a k ) \= 2 ( a 1 \+ a 3 \+ a 5 \+ a 7 \+ a 9 ) \= 2 ( a 1 \+ 4 a 1 \+ 16 a 1 \+ 64 a 1 \+ 256 a 1 ) ( ∵ r 2 \= 4 ) \= 682 a 1 \= 66 ∴ a 1 \= 66 682 \= 3 31 \\begin{aligned}\\displaystyle\\sum\_{k=1}^9(\\|a\_k\\|+a\_k)&=2(a\_1+a\_3+a\_5+a\_7+a\_9)\\\\&=2(a\_1+4a\_1+16a\_1+64a\_1+256a\_1)\\;(\\because r^2=4)\\\\&=682a\_1=66 \\\\ \\\\ \\therefore a\_1&=\\dfrac{66}{682}=\\dfrac{3}{31}\\end{aligned} ### [7\.2.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 제2항부터 등비수열인 경우 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!9) 결론부터 말하면, 등비수열의 합은 a r n \+ b ar^n+b의 꼴이며, a \+ b \= 0 a+b=0이면 첫째 항부터, a \+ b ≠ 0 a+b\\neq 0이면 제2항부터 등비수열인데, 이유는 다음과 같다. 우선 앞서 밝힌 등비수열 { a n } \\{a\_n\\}의 합 공식을 고쳐 쓰면 다음과 같다. S n \= a ( r n − 1 ) r − 1 \= a r − 1 ( r n − 1 ) \= a r − 1 r n − a r − 1 \\begin{aligned}S\_n&=\\dfrac{a(r^n-1)}{r-1}\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}(r^n-1)\\\\&=\\dfrac{a}{r-1}r^n-\\dfrac{a}{r-1}\\end{aligned} 여기에서 편의를 위하여 a ( r − 1 ) − 1 a(r-1)^{-1}를 p p로 치환하자. S n \= p r n − p S\_n=pr^n-p a \= p a=p, b \= − p b=-p이고 a \+ b \= 0 a+b=0이 성립하므로, { a n } \\{a\_n\\}은 제1항부터 등비수열이다. 예를 들어 S n \= 5 n − 1 S\_n=5^n-1이면 a \= 1 , b \= − 1 a=1,\\;b=-1이므로 { a n } \\{a\_n\\}은 첫째 항부터 등비수열이다. 반면, S n \= 5 n − 2 S\_n=5^n-2이면 a \= 1 a=1, b \= − 2 b=-2이므로 { a n } \\{a\_n\\}은 제2항부터 등비수열이다. 이 두 수열을 다음 표를 통해 직관적으로 이해해 보자. \| \| \| \| \| \| \| \|---\|---\|---\|---\|---\|---\| \| S n \= 5 n − 1 S\_n=5^n-{\\color{red} 1} \| a 1 ( \= S 1 ) a\_1(=S\_1) \| a 2 a\_2 \| a 3 a\_3 \| a 4 a\_4 \| ⋯ \\cdots \| \| 4 {\\color{red} 4} \| 20 20 \| 100 100 \| 500 500 \| ⋯ \\cdots \| \| \| S n \= 5 n − 2 S\_n=5^n-{\\color{red} 2} \| a 1 ( \= S 1 ) a\_1(=S\_1) \| a 2 a\_2 \| a 3 a\_3 \| a 4 a\_4 \| ⋯ \\cdots \| \| 3 {\\color{red} 3} \| 20 20 \| 100 100 \| 500 500 \| ⋯ \\cdots \| \| a n a\_n의 다른 모든 항은 같고 a 1 a\_1만이 1의 차이가 나므로 S n S\_n 역시 계속 1의 차이만 나게 된다. 주의할 것은 S n S\_{\\boldsymbol n}이 a \+ b \= 0 a+b=0인지의 여부를 따질 때는 지수가 n \\boldsymbol n이어야 한다**는 점이다. 예로 다음 S n S\_n에 대하여, 각각 { a n } \\{a\_n\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되도록 하는 k k의 값을 구해 보자. - S n \= 4 n \+ 1 − k \\boldsymbol{S\_{n}=4^{n+1}-k} - S n \= 4 ⋅ 4 n − k S\_n=4\\cdot 4^n-k이므로 { a n } \\{a\_n\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 4 − k \= 0 4-k=0, k \= 4 k=4 - S n \= 4 n − 1 \+ k \\boldsymbol{S\_n=4^{n-1}+k} - S n \= 4 − 1 ⋅ 4 n \+ k S\_n=4^{-1}\\cdot 4^n+k이므로 { a n } \\{a\_n\\}이 첫째 항부터 등비수열이 되려면 1 4 \+ k \= 0 \\dfrac{1}{4}+k=0, k \= − 1 4 k=-\\dfrac{1}{4} ### [7\.3.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수")(무한등비급수) [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!10) ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/e4/d7/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [기하급수](https://thewiki.kr/w/%EA%B8%B0%ED%95%98%EA%B8%89%EC%88%98 "기하급수") 문서를 참고하십시오. ## [8\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 등비수열의 곱 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!11) 자연수 n n에 대하여, 임의의 등비수열의 연속된 4 n 4n개의 항의 곱은 항상 양수이다. 등비수열의 항의 부호 변화는 다음의 네 가지 유형으로 나뉘기 때문이다. - \+ , \+ , \+ , \+ , ⋯ \+,\\,+,\\,+,\\,+,\\,\\cdots - 초항과 공비가 모두 양수 - 양수 네 개를 곱하면 양수 - \+ , − , \+ , − , ⋯ \+,\\,-,\\,+,\\,-,\\,\\cdots - 초항이 양수이고 공비가 음수 - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 - − , \+ , − , \+ , ⋯ \-,\\,+,\\,-,\\,+,\\,\\cdots - 초항과 공비가 모두 음수 - 양수 두 개와 음수 두 개를 곱하면 양수 - − , − , − , − , ⋯ \-,\\,-,\\,-,\\,-,\\,\\cdots - 초항이 음수이고 공비가 양수 - 음수 네 개를 곱하면 양수 이후의 항에서도 똑같은 부호가 출현하므로, 연속된 네 항의 곱을 구하면 무조건 양수임에 따라 연속된 4 , 8 , 12 , 16 , ⋯ 4,\\,8,\\,12,\\,16,\\,\\cdots개의 항의 곱을 구해도 양수이다. 나아가 같은 논리로 자연수 n n에 대하여 임의의 등비수열의 연속된 6 n , 8 n , 10 n , ⋯ 6n,\\,8n,\\,10n,\\,\\cdots개의 항의 곱은 항상 양수임을 증명할 수 있다. 구체적인 값은 초항 a a, 공비 r r를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있다. ∣ a ∣ n ∣ r ∣ n ( n − 1 ) / 2 ( s g n a ) n ( s g n r ) n ( n − 1 ) / 2 \\|a\\|^n \\|r\\|^{n(n-1)/2} ({\\rm sgn}\\,a)^n ({\\rm sgn}\\,r)^{n(n-1)/2} s g n \\rm sgn은 [부호 함수](https://thewiki.kr/w/%EB%B6%80%ED%98%B8%20%ED%95%A8%EC%88%98 "부호 함수")이다. ## [9\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 활용 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!12) ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iMTAwMCIgaGVpZ2h0PSIxMDAwIiB4bWxucz0iaHR0cDovL3d3dy53My5vcmcvMjAwMC9zdmciPjwvc3ZnPg==)![상세 내용 아이콘.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/e4/d7/6a9a944a4381c40c01c1252c82878a1ac6c8991efe40d30bb3da4ad67b34b6b3.svg) 자세한 내용은 [원리합계](https://thewiki.kr/w/%EC%9B%90%EB%A6%AC%ED%95%A9%EA%B3%84 "원리합계") 문서를 참고하십시오. ## [10\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 기타 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!13) - 모든 항이 양수인 등비수열의 각 항에 [로그](https://thewiki.kr/w/%EB%A1%9C%EA%B7%B8\(%EC%88%98%ED%95%99\) "로그(수학)")를 취하면 [등차수열](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EC%B0%A8%EC%88%98%EC%97%B4 "등차수열")이 된다. ## [11\.](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#toc) 관련 문서 [\[편집\]](https://thewiki.kr/edit/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4/!14) ![](data:image/svg+xml;base64,PHN2ZyB3aWR0aD0iNjYiIGhlaWdodD0iNjYiIHhtbG5zPSJodHRwOi8vd3d3LnczLm9yZy8yMDAwL3N2ZyI+PC9zdmc+)![CC-white.svg](https://obj-sg.the1.wiki/svgs/d/c0/0a/1564a7f2c6092961f7613ec2e1ccf9ea3baaac30d0ed4ab23c5c490fdbe2d204.svg) 이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 2026-02-24 03:14:43에 나무위키 [등비수열](https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4 "https://namu.wiki/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4") 문서에서 가져왔습니다. [\[1\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-1) 참고로 무한등비수열의 수렴조건은 무한등비급수의 수렴 조건에 r \= 1 r=1 인 조건이 추가된 경우라고 보면 된다.[\[2\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-2) 이때 ⌊ ⋅ ⌋ \\lfloor \\, \\cdot \\, \\rfloor 는 고등학교 때까지 속칭 '가우스 기호'라고 부르던 '[최대 정수 함수](https://thewiki.kr/w/%EC%B5%9C%EB%8C%80%20%EC%A0%95%EC%88%98%20%ED%95%A8%EC%88%98 "최대 정수 함수")', 혹은 '바닥 함수'이고, ⌈ ⋅ ⌉ \\lceil \\, \\cdot \\, \\rceil 은 그 반대인 '최소 정수 함수', 혹은 '천장 함수'이다.[\[3\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-3) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(짝수 번째 항들의 합의 2배)[\[4\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-4) 홀수 번째 항들의 합의 2배[\[5\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-5) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\[6\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-6) (등비수열의 절댓값의 합)=(전체 항들의 합)-(홀수 번째 항들의 합의 2배)[\[7\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-7) 짝수 번째 항들의 합의 2배[\[8\]](https://thewiki.kr/w/%EB%93%B1%EB%B9%84%EC%88%98%EC%97%B4#rfn-8) 홀수 번째 항들의 합의 2배
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