🕷️ Crawler Inspector

URL Lookup

Direct Parameter Lookup

Raw Queries and Responses

1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 156 (from laksa117)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa156.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
  -H 'X-ClickHouse-Database: crawler3' \
  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/about","crawl_time":1747190338,"first_indexed_time":0,"http_code":200,"src_unparsed":"ru,teach-in!\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/about s443","src_root_hash":"4040607885523753556","history_drop_reason":"tooold","meta_title":"Дифференциальная геометрия и топология | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ","meta_descriptions":[""],"attrs_boilerpipe_text":"Это вторая часть курса дифференциальной геометрии (первая - \"Классическая дифференциальная геометрия\"), в которой рассматривается тензорный анализ на многообразиях, теория  интегрирования дифференциальных форм, теория гомологий и когомологий. Список всех тем лекций Лекция 1.  Тензоры. Тензорные поля. Операции над тензорами. \n            Список литературы и ссылка на материалы \n            Операции над тензорами \n            Примеры тензоров \n            Общее определение тензорного поля на гладком многообразии \n            Простейшие свойства закона преобразования тензоров \n            Тензорное поле как полилинейное отображение \n            Базис в пространстве тензоров типа (p,q) \n            В чём роль тензоров? \n            Примеры тензорных полей в физике и механике \n            Связь между тензором малой деформации и напряжения \n            Основные операции над тензорными полями Лекция 2.  Алгебраические операции над тензорами. Понятие объема на римановых многообразиях. \n            Алгебраические операции над тензорами \n            Умножение тензорных полей \n            Свёртка \n            Поднятие и опускание индексов \n            Симметрирование и альтернирование \n            Понятие объема области на римановом многообразии Лекция 3.  Объем. Кососимметричные тензорные поля. Внешние дифференциальные формы. \n            Частные случаи объема \n            Кососимметричные тензорные поля и объем \n            Кососимметричный тензор максимального ранга \n            Связь с объемом \n            Внешняя алгебра \n            Внешние дифференциальные формы на многообразии \n            Канонический вид формы \n            Зачем нужны формы? \n            Внешний дифференциал форм Лекция 4.  Внешнее дифференцирование. Алгебра когомологий. \n            Внешнее дифференцирование \n            Внешняя форма как функционал \n            Свойства внешнего дифференцирования \n            Алгебра когомологий гладкого многообразия \n            Понятие гомотопии \n            теоремы \n            Примеры подсчета когомологий Лекция 5.  Когомологии и дифференциальные уравнения. \n            Когомологии и дифференциальные уравнения \n            Операция (*) на дифференциальных формах \n            Теорема Стокса Лекция 6.  Теорема Стокса и её следствие. \n            Теорема Стокса и её следствие \n            Ограничение формы на край \n            Теорема Стокса \n            Частный случай формулы Стокса \n            Геометрический смысл дивергенции Лекция 7.  Приложения формулы Стокса. Ковариантное дифференцирование. \n            Геометрический смысл дивергенции \n            Формула Коши (еще одно приложение формулы Стокса) \n            Ковариантное дифференцирование Лекция 8.  Ковариантное дифференцирование. Параллельный перенос. \n            Ковариантное дифференцирование \n            Общее понятие аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на любом многообразии \n            Аксиоматика связности \n            Римановы связности \n            Параллельный перенос \n            Неформальные сведения о параллельном переносе \n            Параллельный перенос в аффинной связности \n            Уравнение параллельного переноса \n            Как параллельно перенести вектор вдоль пути? \n            Свойства параллельного переноса Лекция 9.  Параллельный перенос. Геодезические поверхности. \n            Параллельный перенос в римановой связности \n            Геометрический смысл символа Кристоффеля \n            Геодезические \n            Параллельный перенос в римановой связности на двумерном многообразии \n            Примеры геодезических Лекция 10.  Геодезические. Кривизна многообразий. \n            Где встречаются геодезические? \n            Примеры параллельного переноса \n            Теорема о группе изометрий \n            Тензор кривизны Римана \n            Определение тензора кривизны Римана Лекция 11.  Свойства тензора кривизны Римана. \n            Геометрический смысл \n            Инвариантное определение тензора кривизны \n            Алгебраические свойства тензора кривизны \n            Симметрия тензора кривизны в координатной записи \n            Применение тензора кривизны Лекция 12.  Скалярная кривизна. Степень отображения. \n            Скалярная кривизна \n            Уравнение Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности \n            Степень гладкого отображения \n            Определение степени Лекция 13.  Степень отображения. Приложения. \n            Продолжение доказательства теоремы о степени \n            Степень комплексного отображения \n            Приложения степени Лекция 14.  Индекс векторного поля. Приложения. \n            Формула Гаусса - Бонне (продолжение) \n            Индекс векторного поля на многообразии \n            Теорема о еже Лекция 15.  Примеры особых точек векторных полей. Уравнения Эйлера - Лагранжа. \n            Примеры особых точек векторных полей \n            Уравнения Эйлера - Лагранжа \n            Функции Морса \n            Понятие функционала \n            Экстремальность минимальных поверхностей Лекция 16.  Экстремальность геодезических и минимальных поверхностей. \n            Экстремальность геодезических \n            Минимальные поверхности как экстремали функционала объема (площади)","attrs_markdown":"![](https:\/\/mc.yandex.ru\/watch\/65789485)\n\n[Курсы](https:\/\/teach-in.ru\/course) [Лекторы](https:\/\/teach-in.ru\/lecturer) [Материалы](https:\/\/teach-in.ru\/material) [О проекте](https:\/\/teach-in.ru\/about)\n\n[Курсы](https:\/\/teach-in.ru\/course) [Лекторы](https:\/\/teach-in.ru\/lecturer) [Материалы](https:\/\/teach-in.ru\/material) [О проекте](https:\/\/teach-in.ru\/about)\n\n[Войти](https:\/\/teach-in.ru\/user\/auth?authclient=pulsar)\n\n[Математика](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=math)  16 лекций\n\nДифференциальная геометрия и топология\n\n1\n\nЛектор\n\n[![](https:\/\/teach-in.ru\/img\/sd\/lecturer\/fomenko-a-t.jpg?201) Фоменко Анатолий Тимофеевич](https:\/\/teach-in.ru\/lecturer\/fomenko-a-t)\n\n\\#лекции\n\nМеханико-математический факультет\n\nV семестр\n\nОсень 2018\n\nПоделиться:\n\n[Видеолекции](https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/lecture)  [Материалы](https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/material) [О Курсе](https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/about)\n\nЭто вторая часть курса дифференциальной геометрии (первая - \"Классическая дифференциальная геометрия\"), в которой рассматривается тензорный анализ на многообразиях, теория интегрирования дифференциальных форм, теория гомологий и когомологий.\n\n**Список всех тем лекций**\n\n**Лекция 1.** Тензоры. Тензорные поля. Операции над тензорами.  \n  [Список литературы и ссылка на материалы](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:00:10)  [Операции над тензорами](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:03:47)  [Примеры тензоров](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:03:47)  [Общее определение тензорного поля на гладком многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:25:07)  [Простейшие свойства закона преобразования тензоров](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:29:00)  [Тензорное поле как полилинейное отображение](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:35:23)  [Базис в пространстве тензоров типа (p,q)](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:38:54)  [В чём роль тензоров?](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:42:39)  [Примеры тензорных полей в физике и механике](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#00:46:58)  [Связь между тензором малой деформации и напряжения](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#01:02:57)  [Основные операции над тензорными полями](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-17-Fomenko#01:08:25)\n\n**Лекция 2.** Алгебраические операции над тензорами. Понятие объема на римановых многообразиях.  \n  [Алгебраические операции над тензорами](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:00:10)  [Умножение тензорных полей](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:07:07)  [Свёртка](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:09:29)  [Поднятие и опускание индексов](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:22:14)  [Симметрирование и альтернирование](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:39:39)  [Понятие объема области на римановом многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-10-Fomenko#00:58:00)\n\n**Лекция 3.** Объем. Кососимметричные тензорные поля. Внешние дифференциальные формы.  \n  [Частные случаи объема](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:00:10)  [Кососимметричные тензорные поля и объем](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:27:09)  [Кососимметричный тензор максимального ранга](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:27:44)  [Связь с объемом](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:36:23)  [Внешняя алгебра](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:45:47)  [Внешние дифференциальные формы на многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:52:54)  [Канонический вид формы](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#00:56:20)  [Зачем нужны формы?](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#01:08:03)  [Внешний дифференциал форм](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-17-Fomenko#01:09:13)\n\n**Лекция 4.** Внешнее дифференцирование. Алгебра когомологий.  \n  [Внешнее дифференцирование](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#00:00:10)  [Внешняя форма как функционал](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#00:00:10)  [Свойства внешнего дифференцирования](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#00:10:11)  [Алгебра когомологий гладкого многообразия](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#00:24:35)  [Понятие гомотопии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#00:50:42)  [теоремы](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#01:06:20)  [Примеры подсчета когомологий](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-09-24-Fomenko#01:11:50)\n\n**Лекция 5.** Когомологии и дифференциальные уравнения.  \n  [Когомологии и дифференциальные уравнения](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-01-Fomenko#00:00:10)  [Операция (\\*) на дифференциальных формах](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-01-Fomenko#00:43:48)  [Теорема Стокса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-01-Fomenko#01:09:47)\n\n**Лекция 6.** Теорема Стокса и её следствие.  \n  [Теорема Стокса и её следствие](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-08-Fomenko#00:00:10)  [Ограничение формы на край](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-08-Fomenko#00:08:14)  [Теорема Стокса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-08-Fomenko#00:13:55)  [Частный случай формулы Стокса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-08-Fomenko#00:56:44)  [Геометрический смысл дивергенции](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-08-Fomenko#01:25:04)\n\n**Лекция 7.** Приложения формулы Стокса. Ковариантное дифференцирование.  \n  [Геометрический смысл дивергенции](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-15-Fomenko#00:00:10)  [Формула Коши (еще одно приложение формулы Стокса)](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-15-Fomenko#00:19:03)  [Ковариантное дифференцирование](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-15-Fomenko#00:37:29)\n\n**Лекция 8.** Ковариантное дифференцирование. Параллельный перенос.  \n  [Ковариантное дифференцирование](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:00:10)  [Общее понятие аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на любом многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:05:47)  [Аксиоматика связности](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:18:44)  [Римановы связности](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:37:15)  [Параллельный перенос](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:50:15)  [Неформальные сведения о параллельном переносе](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#00:50:36)  [Параллельный перенос в аффинной связности](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#01:08:24)  [Уравнение параллельного переноса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#01:15:14)  [Как параллельно перенести вектор вдоль пути?](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#01:18:45)  [Свойства параллельного переноса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-22-Fomenko#01:24:50)\n\n**Лекция 9.** Параллельный перенос. Геодезические поверхности.  \n  [Параллельный перенос в римановой связности](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-29-Fomenko#00:00:10)  [Геометрический смысл символа Кристоффеля](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-29-Fomenko#00:06:35)  [Геодезические](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-29-Fomenko#00:13:58)  [Параллельный перенос в римановой связности на двумерном многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-29-Fomenko#00:38:50)  [Примеры геодезических](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-29-Fomenko#00:49:16)\n\n**Лекция 10.** Геодезические. Кривизна многообразий.  \n  [Где встречаются геодезические?](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-30-Fomenko#00:00:10)  [Примеры параллельного переноса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-30-Fomenko#00:06:30)  [Теорема о группе изометрий](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-30-Fomenko#00:22:14)  [Тензор кривизны Римана](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-30-Fomenko#01:07:50)  [Определение тензора кривизны Римана](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-10-30-Fomenko#01:13:51)\n\n**Лекция 11.** Свойства тензора кривизны Римана.  \n  [Геометрический смысл](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-12-Fomenko#00:00:10)  [Инвариантное определение тензора кривизны](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-12-Fomenko#00:04:04)  [Алгебраические свойства тензора кривизны](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-12-Fomenko#00:32:24)  [Симметрия тензора кривизны в координатной записи](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-12-Fomenko#01:03:57)  [Применение тензора кривизны](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-12-Fomenko#01:07:11)\n\n**Лекция 12.** Скалярная кривизна. Степень отображения.  \n  [Скалярная кривизна](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-19-Fomenko#00:00:10)  [Уравнение Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-19-Fomenko#00:32:27)  [Степень гладкого отображения](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-19-Fomenko#00:37:02)  [Определение степени](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-19-Fomenko#01:01:52)\n\n**Лекция 13.** Степень отображения. Приложения.  \n  [Продолжение доказательства теоремы о степени](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-26-Fomenko#00:00:10)  [Степень комплексного отображения](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-26-Fomenko#00:11:24)  [Приложения степени](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-11-26-Fomenko#00:19:04)\n\n**Лекция 14.** Индекс векторного поля. Приложения.  \n  [Формула Гаусса - Бонне (продолжение)](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-03-Fomenko#00:00:10)  [Индекс векторного поля на многообразии](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-03-Fomenko#00:15:30)  [Теорема о еже](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-03-Fomenko#01:12:10)\n\n**Лекция 15.** Примеры особых точек векторных полей. Уравнения Эйлера - Лагранжа.  \n  [Примеры особых точек векторных полей](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-10-Fomenko#00:00:10)  [Уравнения Эйлера - Лагранжа](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-10-Fomenko#00:23:36)  [Функции Морса](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-10-Fomenko#00:26:01)  [Понятие функционала](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-10-Fomenko#00:41:07)  [Экстремальность минимальных поверхностей](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-10-Fomenko#01:11:26)\n\n**Лекция 16.** Экстремальность геодезических и минимальных поверхностей.  \n  [Экстремальность геодезических](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-17-Fomenko#00:00:10)  [Минимальные поверхности как экстремали функционала объема (площади)](https:\/\/teach-in.ru\/lecture\/2018-12-17-Fomenko#00:17:04)\n\n![](https:\/\/teach-in.ru\/img\/hd\/course\/difgeom-and-topology-fomenko.jpg?262)\n\n- [Курсы](https:\/\/teach-in.ru\/course \"Курсы\")\n- [Лекторы](https:\/\/teach-in.ru\/lecturer \"Лекторы\")\n\n- [Математика](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=math)\n- [Физика](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=physics)\n- [Геология](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=geology)\n- [Биология](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=biology)\n- [Химия](https:\/\/teach-in.ru\/course?category=chem)\n\n- [О нас](https:\/\/teach-in.ru\/about \"О нас\")\n- [Контакты](https:\/\/teach-in.ru\/contact \"Контакты\")\n\nМы в соцсетях:\n\nTeach-In! **AI**\n\nЭкспериментальная версия\n\nTeach-In!! **AI**\n\n[![](https:\/\/teach-in.ru\/chat\/close-chat-icon2.svg)]()\n\nЭкспериментальная версия. Ответ может быть ошибочным. Используйте с осторожностью.\n\nИспользуя данное приложение, я принимаю условия [пользовательского соглашения](https:\/\/teach-in.ru\/agreement).\n\nЯ согласен\n\nTeach-In **AI**\n\nОчистить историю ![](https:\/\/teach-in.ru\/chat\/reset-button.svg)\n\n[![](https:\/\/teach-in.ru\/chat\/close-chat-icon2.svg)]()\n\nЭкспериментальная версия. Ответ может быть ошибочным. Используйте с осторожностью.\n\nTeach-In **AI**\n\n![](https:\/\/teach-in.ru\/chat\/copy-response2.svg)\n\n![](https:\/\/teach-in.ru\/chat\/send-button.svg)\n\nЭтот AI-ассистент в экспериментальной стадии и использует машинное обучение. Teach-in не гарантирует точность, актуальность и полноту информации. Используйте ее с осторожностью.\n\nОтзывы просьба направлять по адресу [ai-assistant@teach-in.ru](mailto:ai-assistant@teach-in.ru)\n\n© 2025 МГУ имени М. В. Ломоносова\n\n[Условия использования сайта](https:\/\/teach-in.ru\/agreement)   [Сведения об образовательной организации](https:\/\/www.msu.ru\/info\/)  [**Нашли ошибку?**](https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/about)\n\n[x](https:\/\/teach-in.ru\/course\/difgeom-and-topology-fomenko\/about)\n\n## Нашли ошибку или баг? Сообщите нам\\!\nВаши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге","attrs_readable_markdown":null,"meta_canonical":"ru,teach-in!\/ s443"}

3. Robots.txt Check

Query:

Response:

4. Spam/Ban Check

Query:

Response:

5. Seen Status Check

ℹ️ Skipped - page is already crawled

🚫

NOT INDEXABLE

✅

CRAWLED

11 months ago

🤖

ROBOTS ALLOWED

Page Info Filters

Filter	Status	Condition	Details
HTTP status	PASS	`download_http_code = 200`	HTTP 200
Age cutoff	FAIL	`download_stamp > now() - 6 MONTH`	11.4 months ago
History drop	FAIL	`isNull(history_drop_reason)`	tooold
Spam/ban	PASS	`fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0`	ml_spam_score=0
Canonical	FAIL	`meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed`	ru,teach-in!/ s443

Page Details

Property	Value
URL	https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about
Last Crawled	2025-05-14 02:38:58 (11 months ago)
First Indexed	not set
HTTP Status Code	200
Meta Title	Дифференциальная геометрия и топология \| Открытые видеолекции учебных курсов МГУ
Meta Description	null
Meta Canonical	ru,teach-in!/ s443
Boilerpipe Text	Это вторая часть курса дифференциальной геометрии (первая - "Классическая дифференциальная геометрия"), в которой рассматривается тензорный анализ на многообразиях, теория интегрирования дифференциальных форм, теория гомологий и когомологий. Список всех тем лекций Лекция 1. Тензоры. Тензорные поля. Операции над тензорами. Список литературы и ссылка на материалы Операции над тензорами Примеры тензоров Общее определение тензорного поля на гладком многообразии Простейшие свойства закона преобразования тензоров Тензорное поле как полилинейное отображение Базис в пространстве тензоров типа (p,q) В чём роль тензоров? Примеры тензорных полей в физике и механике Связь между тензором малой деформации и напряжения Основные операции над тензорными полями Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами. Понятие объема на римановых многообразиях. Алгебраические операции над тензорами Умножение тензорных полей Свёртка Поднятие и опускание индексов Симметрирование и альтернирование Понятие объема области на римановом многообразии Лекция 3. Объем. Кососимметричные тензорные поля. Внешние дифференциальные формы. Частные случаи объема Кососимметричные тензорные поля и объем Кососимметричный тензор максимального ранга Связь с объемом Внешняя алгебра Внешние дифференциальные формы на многообразии Канонический вид формы Зачем нужны формы? Внешний дифференциал форм Лекция 4. Внешнее дифференцирование. Алгебра когомологий. Внешнее дифференцирование Внешняя форма как функционал Свойства внешнего дифференцирования Алгебра когомологий гладкого многообразия Понятие гомотопии теоремы Примеры подсчета когомологий Лекция 5. Когомологии и дифференциальные уравнения. Когомологии и дифференциальные уравнения Операция (*) на дифференциальных формах Теорема Стокса Лекция 6. Теорема Стокса и её следствие. Теорема Стокса и её следствие Ограничение формы на край Теорема Стокса Частный случай формулы Стокса Геометрический смысл дивергенции Лекция 7. Приложения формулы Стокса. Ковариантное дифференцирование. Геометрический смысл дивергенции Формула Коши (еще одно приложение формулы Стокса) Ковариантное дифференцирование Лекция 8. Ковариантное дифференцирование. Параллельный перенос. Ковариантное дифференцирование Общее понятие аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на любом многообразии Аксиоматика связности Римановы связности Параллельный перенос Неформальные сведения о параллельном переносе Параллельный перенос в аффинной связности Уравнение параллельного переноса Как параллельно перенести вектор вдоль пути? Свойства параллельного переноса Лекция 9. Параллельный перенос. Геодезические поверхности. Параллельный перенос в римановой связности Геометрический смысл символа Кристоффеля Геодезические Параллельный перенос в римановой связности на двумерном многообразии Примеры геодезических Лекция 10. Геодезические. Кривизна многообразий. Где встречаются геодезические? Примеры параллельного переноса Теорема о группе изометрий Тензор кривизны Римана Определение тензора кривизны Римана Лекция 11. Свойства тензора кривизны Римана. Геометрический смысл Инвариантное определение тензора кривизны Алгебраические свойства тензора кривизны Симметрия тензора кривизны в координатной записи Применение тензора кривизны Лекция 12. Скалярная кривизна. Степень отображения. Скалярная кривизна Уравнение Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности Степень гладкого отображения Определение степени Лекция 13. Степень отображения. Приложения. Продолжение доказательства теоремы о степени Степень комплексного отображения Приложения степени Лекция 14. Индекс векторного поля. Приложения. Формула Гаусса - Бонне (продолжение) Индекс векторного поля на многообразии Теорема о еже Лекция 15. Примеры особых точек векторных полей. Уравнения Эйлера - Лагранжа. Примеры особых точек векторных полей Уравнения Эйлера - Лагранжа Функции Морса Понятие функционала Экстремальность минимальных поверхностей Лекция 16. Экстремальность геодезических и минимальных поверхностей. Экстремальность геодезических Минимальные поверхности как экстремали функционала объема (площади)
Markdown	![](https://mc.yandex.ru/watch/65789485) [Курсы](https://teach-in.ru/course) [Лекторы](https://teach-in.ru/lecturer) [Материалы](https://teach-in.ru/material) [О проекте](https://teach-in.ru/about) [Курсы](https://teach-in.ru/course) [Лекторы](https://teach-in.ru/lecturer) [Материалы](https://teach-in.ru/material) [О проекте](https://teach-in.ru/about) [Войти](https://teach-in.ru/user/auth?authclient=pulsar) [Математика](https://teach-in.ru/course?category=math) 16 лекций Дифференциальная геометрия и топология 1 Лектор [![](https://teach-in.ru/img/sd/lecturer/fomenko-a-t.jpg?201) Фоменко Анатолий Тимофеевич](https://teach-in.ru/lecturer/fomenko-a-t) \#лекции Механико-математический факультет V семестр Осень 2018 Поделиться: [Видеолекции](https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/lecture) [Материалы](https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/material) [О Курсе](https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about) Это вторая часть курса дифференциальной геометрии (первая - "Классическая дифференциальная геометрия"), в которой рассматривается тензорный анализ на многообразиях, теория интегрирования дифференциальных форм, теория гомологий и когомологий. Список всех тем лекций Лекция 1. Тензоры. Тензорные поля. Операции над тензорами. [Список литературы и ссылка на материалы](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:00:10) [Операции над тензорами](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:03:47) [Примеры тензоров](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:03:47) [Общее определение тензорного поля на гладком многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:25:07) [Простейшие свойства закона преобразования тензоров](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:29:00) [Тензорное поле как полилинейное отображение](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:35:23) [Базис в пространстве тензоров типа (p,q)](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:38:54) [В чём роль тензоров?](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:42:39) [Примеры тензорных полей в физике и механике](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#00:46:58) [Связь между тензором малой деформации и напряжения](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#01:02:57) [Основные операции над тензорными полями](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-17-Fomenko#01:08:25) Лекция 2. Алгебраические операции над тензорами. Понятие объема на римановых многообразиях. [Алгебраические операции над тензорами](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:00:10) [Умножение тензорных полей](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:07:07) [Свёртка](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:09:29) [Поднятие и опускание индексов](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:22:14) [Симметрирование и альтернирование](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:39:39) [Понятие объема области на римановом многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-10-Fomenko#00:58:00) Лекция 3. Объем. Кососимметричные тензорные поля. Внешние дифференциальные формы. [Частные случаи объема](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:00:10) [Кососимметричные тензорные поля и объем](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:27:09) [Кососимметричный тензор максимального ранга](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:27:44) [Связь с объемом](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:36:23) [Внешняя алгебра](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:45:47) [Внешние дифференциальные формы на многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:52:54) [Канонический вид формы](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#00:56:20) [Зачем нужны формы?](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#01:08:03) [Внешний дифференциал форм](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-17-Fomenko#01:09:13) Лекция 4. Внешнее дифференцирование. Алгебра когомологий. [Внешнее дифференцирование](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#00:00:10) [Внешняя форма как функционал](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#00:00:10) [Свойства внешнего дифференцирования](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#00:10:11) [Алгебра когомологий гладкого многообразия](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#00:24:35) [Понятие гомотопии](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#00:50:42) [теоремы](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#01:06:20) [Примеры подсчета когомологий](https://teach-in.ru/lecture/2018-09-24-Fomenko#01:11:50) Лекция 5. Когомологии и дифференциальные уравнения. [Когомологии и дифференциальные уравнения](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-01-Fomenko#00:00:10) [Операция (\) на дифференциальных формах](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-01-Fomenko#00:43:48) [Теорема Стокса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-01-Fomenko#01:09:47) Лекция 6.* Теорема Стокса и её следствие. [Теорема Стокса и её следствие](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-08-Fomenko#00:00:10) [Ограничение формы на край](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-08-Fomenko#00:08:14) [Теорема Стокса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-08-Fomenko#00:13:55) [Частный случай формулы Стокса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-08-Fomenko#00:56:44) [Геометрический смысл дивергенции](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-08-Fomenko#01:25:04) Лекция 7. Приложения формулы Стокса. Ковариантное дифференцирование. [Геометрический смысл дивергенции](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-15-Fomenko#00:00:10) [Формула Коши (еще одно приложение формулы Стокса)](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-15-Fomenko#00:19:03) [Ковариантное дифференцирование](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-15-Fomenko#00:37:29) Лекция 8. Ковариантное дифференцирование. Параллельный перенос. [Ковариантное дифференцирование](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:00:10) [Общее понятие аффинной связности (ковариантного дифференцирования) на любом многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:05:47) [Аксиоматика связности](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:18:44) [Римановы связности](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:37:15) [Параллельный перенос](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:50:15) [Неформальные сведения о параллельном переносе](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#00:50:36) [Параллельный перенос в аффинной связности](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#01:08:24) [Уравнение параллельного переноса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#01:15:14) [Как параллельно перенести вектор вдоль пути?](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#01:18:45) [Свойства параллельного переноса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-22-Fomenko#01:24:50) Лекция 9. Параллельный перенос. Геодезические поверхности. [Параллельный перенос в римановой связности](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-29-Fomenko#00:00:10) [Геометрический смысл символа Кристоффеля](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-29-Fomenko#00:06:35) [Геодезические](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-29-Fomenko#00:13:58) [Параллельный перенос в римановой связности на двумерном многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-29-Fomenko#00:38:50) [Примеры геодезических](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-29-Fomenko#00:49:16) Лекция 10. Геодезические. Кривизна многообразий. [Где встречаются геодезические?](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-30-Fomenko#00:00:10) [Примеры параллельного переноса](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-30-Fomenko#00:06:30) [Теорема о группе изометрий](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-30-Fomenko#00:22:14) [Тензор кривизны Римана](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-30-Fomenko#01:07:50) [Определение тензора кривизны Римана](https://teach-in.ru/lecture/2018-10-30-Fomenko#01:13:51) Лекция 11. Свойства тензора кривизны Римана. [Геометрический смысл](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-12-Fomenko#00:00:10) [Инвариантное определение тензора кривизны](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-12-Fomenko#00:04:04) [Алгебраические свойства тензора кривизны](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-12-Fomenko#00:32:24) [Симметрия тензора кривизны в координатной записи](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-12-Fomenko#01:03:57) [Применение тензора кривизны](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-12-Fomenko#01:07:11) Лекция 12. Скалярная кривизна. Степень отображения. [Скалярная кривизна](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-19-Fomenko#00:00:10) [Уравнение Эйнштейна – Гильберта в общей теории относительности](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-19-Fomenko#00:32:27) [Степень гладкого отображения](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-19-Fomenko#00:37:02) [Определение степени](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-19-Fomenko#01:01:52) Лекция 13. Степень отображения. Приложения. [Продолжение доказательства теоремы о степени](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-26-Fomenko#00:00:10) [Степень комплексного отображения](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-26-Fomenko#00:11:24) [Приложения степени](https://teach-in.ru/lecture/2018-11-26-Fomenko#00:19:04) Лекция 14. Индекс векторного поля. Приложения. [Формула Гаусса - Бонне (продолжение)](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-03-Fomenko#00:00:10) [Индекс векторного поля на многообразии](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-03-Fomenko#00:15:30) [Теорема о еже](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-03-Fomenko#01:12:10) Лекция 15. Примеры особых точек векторных полей. Уравнения Эйлера - Лагранжа. [Примеры особых точек векторных полей](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-10-Fomenko#00:00:10) [Уравнения Эйлера - Лагранжа](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-10-Fomenko#00:23:36) [Функции Морса](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-10-Fomenko#00:26:01) [Понятие функционала](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-10-Fomenko#00:41:07) [Экстремальность минимальных поверхностей](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-10-Fomenko#01:11:26) Лекция 16. Экстремальность геодезических и минимальных поверхностей. [Экстремальность геодезических](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-17-Fomenko#00:00:10) [Минимальные поверхности как экстремали функционала объема (площади)](https://teach-in.ru/lecture/2018-12-17-Fomenko#00:17:04) ![](https://teach-in.ru/img/hd/course/difgeom-and-topology-fomenko.jpg?262) - [Курсы](https://teach-in.ru/course "Курсы") - [Лекторы](https://teach-in.ru/lecturer "Лекторы") - [Математика](https://teach-in.ru/course?category=math) - [Физика](https://teach-in.ru/course?category=physics) - [Геология](https://teach-in.ru/course?category=geology) - [Биология](https://teach-in.ru/course?category=biology) - [Химия](https://teach-in.ru/course?category=chem) - [О нас](https://teach-in.ru/about "О нас") - [Контакты](https://teach-in.ru/contact "Контакты") Мы в соцсетях: Teach-In! AI Экспериментальная версия Teach-In!! AI [![](https://teach-in.ru/chat/close-chat-icon2.svg)]() Экспериментальная версия. Ответ может быть ошибочным. Используйте с осторожностью. Используя данное приложение, я принимаю условия [пользовательского соглашения](https://teach-in.ru/agreement). Я согласен Teach-In AI Очистить историю ![](https://teach-in.ru/chat/reset-button.svg) [![](https://teach-in.ru/chat/close-chat-icon2.svg)]() Экспериментальная версия. Ответ может быть ошибочным. Используйте с осторожностью. Teach-In AI ![](https://teach-in.ru/chat/copy-response2.svg) ![](https://teach-in.ru/chat/send-button.svg) Этот AI-ассистент в экспериментальной стадии и использует машинное обучение. Teach-in не гарантирует точность, актуальность и полноту информации. Используйте ее с осторожностью. Отзывы просьба направлять по адресу [ai-assistant@teach-in.ru](mailto:ai-assistant@teach-in.ru) © 2025 МГУ имени М. В. Ломоносова [Условия использования сайта](https://teach-in.ru/agreement) [Сведения об образовательной организации](https://www.msu.ru/info/) [Нашли ошибку?](https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about) [x](https://teach-in.ru/course/difgeom-and-topology-fomenko/about) ## Нашли ошибку или баг? Сообщите нам\! Ваши комментарии о найденых ошибках в лекциях, конспектах или о баге
Readable Markdown	null
Shard	156 (laksa)
Root Hash	4040607885523753556
Unparsed URL	ru,teach-in!/course/difgeom-and-topology-fomenko/about s443