ℹ️ Skipped - page is already crawled
| Filter | Status | Condition | Details |
|---|---|---|---|
| HTTP status | PASS | download_http_code = 200 | HTTP 200 |
| Age cutoff | PASS | download_stamp > now() - 6 MONTH | 0.1 months ago |
| History drop | PASS | isNull(history_drop_reason) | No drop reason |
| Spam/ban | PASS | fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0 | ml_spam_score=0 |
| Canonical | PASS | meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed | Not set |
| Property | Value |
|---|---|
| URL | https://n-t.ru/tp/nf/vtf.htm |
| Last Crawled | 2026-04-09 12:28:16 (2 days ago) |
| First Indexed | 2025-10-31 14:36:20 (5 months ago) |
| HTTP Status Code | 200 |
| Meta Title | Великая теорема Ферма. Cтатьи. Наука и техника |
| Meta Description | null |
| Meta Canonical | null |
| Boilerpipe Text | Великая теорема Ферма
Валерий Петров
Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос».
В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать.
«Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:
z
n
=
x
n
+
y
n
(1)
Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:
одно из чисел, например,
z
, должно быть четным, два других – нечетными;
числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;
никакие два числа не могут быть равны друг другу.
Предположим для определенности, что
z
>
x
>
y
.
Очевидно, что число
z
меньше суммы двух других чисел, т.е.
z
x +
y
(2)
Пусть имеется три отрезка длиной
z
,
x
,
y
, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при
n
> 2 остроугольный.
Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:
z
2
=
x
2
+
y
2
– 2
xy
cosα:
где α – угол между сторонами
x
и
y
.
Построим остроугольный треугольник
ABC
со сторонами
AB
=
x
,
BC
=
y
,
AC
=
z
. Опустим из точки
A
остроугольного треугольника
ABC
перпендикуляр на противолежащую сторону
BC
, как это изображено на рисунке.
Рис. 1.
Остроугольный треугольник
Из треугольника
BC
1
C
находим cosα =
m
1
/
BC
=
m
1
/
y
. Подставляя значение cosα в (2), получим:
z
2
=
x
2
+
y
2
– 2
xym
1
/
y
z
2
=
x
2
+
y
2
– 2
xm
1
(3)
Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1).
Умножим уравнение (3) на
z
n
–2
. Получим:
z
n
–2
z
2
=
z
n
–2
x
2
+
z
n
–2
y
2
– 2
xz
n
–2
m
1
(4)
Пусть
z
n
–2
=
x
n
–2
+
a
=
y
n
–2
+
b
, где
a
и
b
– некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение
z
n
–2
в (4), получим:
z
n
= (
x
n
–2
+
a
)
x
2
+ (
y
n
–2
+
b
)
y
2
– 2
x
(
x
n
–2
+
a
)
m
1
z
n
=
x
n
+
ax
2
+
y
n
+
by
2
– 2
x
(
x
n
–2
+
a
)
m
1
(5)
Вычитая (1) из (5), получим:
0 =
ax
2
+
by
2
– 2
x
(
x
n
–2
+
a
)
m
1
(6)
Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел
x
и
y
уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел
x
и
y
) будет одновременно решением уравнения (1).
Решая данное уравнение, получим:
by
2
= 2
x
(
x
n
–2
+
a
)
m
1
–
ax
2
by
2
=
x
[2(
x
n
–2
+
a
)
m
1
–
ax
]
Запишем для простоты вычислений 2(
x
n
–2
+
a
)
m
1
–
ax
=
k
. Получим:
by
2
=
kx
,
откуда следует:
y
= √
kx
/
b
,
т.е. √
x
является одним из множителей числа
y
.
Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √
x
является одним из множителей числа
y
, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел
x
и
y
, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел
x
и
y
, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел
x
и
y
, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом.
Что и требовалось доказать
».
Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг.
«В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».
Дата публикации:
1 апреля 2002 года |
| Markdown | [ ](https://n-t.ru/)
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
[Начало сайта](https://n-t.ru/) / [Cтатьи](https://n-t.ru/tp/) / [Литературное творчество ученых](https://n-t.ru/tp/nf/)
[Начало сайта](https://n-t.ru/) / [Cтатьи](https://n-t.ru/tp/) / [Литературное творчество ученых](https://n-t.ru/tp/nf/)
[Научные статьи](https://n-t.ru/ns/)
[Физика звёзд](https://n-t.ru/ns/fz/)
[Физика микромира](https://n-t.ru/ns/fm/)
[Журналы](https://n-t.ru/nj/)
[Природа](https://n-t.ru/nj/pr/)
[Наука и жизнь](https://n-t.ru/nj/nz/)
[Природа и люди](https://n-t.ru/nj/pl/)
[Техника – молодёжи](https://n-t.ru/nj/tm/)
[Нобелевские лауреаты](https://n-t.ru/nl/)
[Премия по физике](https://n-t.ru/nl/fz/)
[Премия по химии](https://n-t.ru/nl/hm/)
[Премия по литературе](https://n-t.ru/nl/lt/)
[Премия по медицине](https://n-t.ru/nl/mf/)
[Премия по экономике](https://n-t.ru/nl/ek/)
[Премия мира](https://n-t.ru/nl/mr/)
[Книги](https://n-t.ru/ri/)
[Во главе двух академий](https://n-t.ru/ri/lz/da.htm)
[Как люди научились летать](https://n-t.ru/ri/gn/kl.htm)
[Крушение парадоксов](https://n-t.ru/ri/rd/kp.htm)
[Популярная библиотека химических элементов](https://n-t.ru/ri/ps/)
[Луи де Бройль](https://n-t.ru/ri/br/). [Революция в физике](https://n-t.ru/ri/br/rf.htm)
[Физики продолжают шутить](https://n-t.ru/ri/fz/)
[Издания НиТ](https://n-t.ru/ii/)
[Батарейки и аккумуляторы](https://n-t.ru/ii/ba/)
[Охранные системы](https://n-t.ru/ii/os/)
[Источники энергии](https://n-t.ru/ii/ie/)
[Свет и тепло](https://n-t.ru/ii/st/)
[Научно-популярные статьи](https://n-t.ru/tp/)
[Наука сегодня](https://n-t.ru/tp/ns/)
[Научные гипотезы](https://n-t.ru/tp/ng/)
[Теория относительности](https://n-t.ru/tp/to/)
[История науки](https://n-t.ru/tp/in/)
[Научные развлечения](https://n-t.ru/tp/nr/)
[Техника сегодня](https://n-t.ru/tp/ts/)
[История техники](https://n-t.ru/tp/it/)
[Измерения в технике](https://n-t.ru/tp/iz/)
[Источники энергии](https://n-t.ru/tp/ie/)
[Наука и религия](https://n-t.ru/tp/rn/)
[Мир, в котором мы живём](https://n-t.ru/tp/mr/)
[Лит. творчество ученых](https://n-t.ru/tp/nf/)
[Человек и общество](https://n-t.ru/tp/br/)
[Образование](https://n-t.ru/tp/ob/)
[Разное](https://n-t.ru/tp/rz/)
# Великая теорема Ферма
[Валерий Петров](https://n-t.ru/ac/ap.htm#P07)
Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос».
В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать.
«Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:
| | |
|---|---|
| *zn* = *xn* + *yn* | (1) |
Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:
- одно из чисел, например, *z*, должно быть четным, два других – нечетными;
- числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;
- никакие два числа не могут быть равны друг другу.
Предположим для определенности, что *z* \> *x* \> *y*.
Очевидно, что число *z* меньше суммы двух других чисел, т.е.
| | |
|---|---|
| *z* x + *y* | (2) |
Пусть имеется три отрезка длиной *z*, *x*, *y*, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при *n* \> 2 остроугольный.
Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:
*z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xy*cosα:
где α – угол между сторонами *x* и *y*.
Построим остроугольный треугольник *ABC* со сторонами *AB* = *x*, *BC* = *y*, *AC* = *z*. Опустим из точки *A* остроугольного треугольника *ABC* перпендикуляр на противолежащую сторону *BC*, как это изображено на рисунке.
**Рис. 1.** Остроугольный треугольник
Из треугольника *BC*1*C* находим cosα = *m*1 / *BC* = *m*1 / *y*. Подставляя значение cosα в (2), получим:
*z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xym*1 / *y*
| | |
|---|---|
| *z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xm*1 | (3) |
Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1).
Умножим уравнение (3) на *z**n*–2. Получим:
| | |
|---|---|
| *z**n*–2*z*2 = *z**n*–2*x*2 + *z**n*–2*y*2 – 2*xz**n*–2*m*1 | (4) |
Пусть *z**n*–2 = *x**n*–2 + *a* = *y**n*–2 + *b*, где *a* и *b* – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение *z**n*–2 в (4), получим:
*z**n* = (*x**n*–2 + *a*) *x*2 + (*y**n*–2 + *b*) *y*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1
| | |
|---|---|
| *z**n* = *x**n* + *ax*2 + *y**n* + *by*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 | (5) |
Вычитая (1) из (5), получим:
| | |
|---|---|
| 0 = *ax*2 + *by*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 | (6) |
Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел *x* и *y* уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел *x* и *y*) будет одновременно решением уравнения (1).
Решая данное уравнение, получим:
*by*2 = 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax*2
*by*2 = *x*\[2(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax*\]
Запишем для простоты вычислений 2(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax* = *k*. Получим:
*by*2 = *kx*,
откуда следует:
*y* = √*kx*/*b*,
т.е. √*x* является одним из множителей числа *y*.
Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √*x* является одним из множителей числа *y*, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом. *Что и требовалось доказать*».
Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг.
«В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».
Дата публикации:
1 апреля 2002 года
Электронная версия:
© [НиТ](https://n-t.ru/). [Cтатьи](https://n-t.ru/tp/), 1997
[Начало сайта](https://n-t.ru/) \| [Книги](https://n-t.ru/ri/) \| [Статьи](https://n-t.ru/tp/) \| [Журналы](https://n-t.ru/nj/) \| [Нобелевские лауреаты](https://n-t.ru/nl/) \| [Карта сайта](https://n-t.ru/ks.htm#n-t)
© [МОО «Наука и техника»](https://n-t.ru/), 1997...2026
[Об организации](https://n-t.ru/md.htm) • [Аудитория](https://n-t.ru/ad.htm) • [Связаться с нами](https://n-t.ru/ki.htm) • [Разместить рекламу](https://n-t.ru/rr.htm) • [Правовая информация](https://n-t.ru/pi.htm) |
| Readable Markdown | ## Великая теорема Ферма
[Валерий Петров](https://n-t.ru/ac/ap.htm#P07)
Как рассказывает В. Латышев, «Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на вопрос: «Верна ли великая теорема Ферма?». Не находит его и дьявол, изучив за 10 часов все без исключения разделы математики и потратив остаток времени на собственные изыскания, он, за 10 минут до истечения срока, появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И, признав свое поражение, исчезает... Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос».
В действительности, однако, все было несколько иначе. Когда дьявол узнал об условии заключения договора с ученым-математиком о продажи его души, он рассмеялся и сказал: «Нет ничего проще. У меня есть доказательство этой теоремы, написанное самим Ферма». С этими словами дьявол достал из кармана аккуратно сложенный лист бумаги и протянул его ученому. Флэгг уселся поудобнее в кресло у камина и стал читать.
«Пусть имеется три целых числа, удовлетворяющих уравнению:
| | |
|---|---|
| *zn* = *xn* + *yn* | (1) |
Известно, что три числа, удовлетворяющих уравнению (1), должны удовлетворять следующим условиям:
- одно из чисел, например, *z*, должно быть четным, два других – нечетными;
- числа должны быть взаимно простыми, т.е. попарно не должны иметь общих множителей;
- никакие два числа не могут быть равны друг другу.
Предположим для определенности, что *z* \> *x* \> *y*.
Очевидно, что число *z* меньше суммы двух других чисел, т.е.
| | |
|---|---|
| *z* x + *y* | (2) |
Пусть имеется три отрезка длиной *z*, *x*, *y*, удовлетворяющих условию (2). Тогда в силу известной теоремы на этих отрезках можно построить треугольник как на сторонах. Известно, что треугольник, между сторонами которого имеет место соотношение (1), при *n* \> 2 остроугольный.
Тогда для сторон этого треугольника имеет место соотношение, вытекающее из теоремы косинусов:
*z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xy*cosα:
где α – угол между сторонами *x* и *y*.
Построим остроугольный треугольник *ABC* со сторонами *AB* = *x*, *BC* = *y*, *AC* = *z*. Опустим из точки *A* остроугольного треугольника *ABC* перпендикуляр на противолежащую сторону *BC*, как это изображено на рисунке.
**Рис. 1.** Остроугольный треугольник
Из треугольника *BC*1*C* находим cosα = *m*1 / *BC* = *m*1 / *y*. Подставляя значение cosα в (2), получим:
*z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xym*1 / *y*
| | |
|---|---|
| *z*2 = *x*2 + *y*2 – 2*xm*1 | (3) |
Таким образом, для одного и того же треугольника одновременно имеем два различных соотношения между его сторонами: (1) и (3). Тогда суть теоремы может быть выражена иначе: Требуется доказать, что никакие целочисленные решения уравнения (3) не являются таковыми для уравнения (1).
Умножим уравнение (3) на *z**n*–2. Получим:
| | |
|---|---|
| *z**n*–2*z*2 = *z**n*–2*x*2 + *z**n*–2*y*2 – 2*xz**n*–2*m*1 | (4) |
Пусть *z**n*–2 = *x**n*–2 + *a* = *y**n*–2 + *b*, где *a* и *b* – некоторые целые числа, обеспечивающие указанные равенства. Тогда, подставляя значение *z**n*–2 в (4), получим:
*z**n* = (*x**n*–2 + *a*) *x*2 + (*y**n*–2 + *b*) *y*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1
| | |
|---|---|
| *z**n* = *x**n* + *ax*2 + *y**n* + *by*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 | (5) |
Вычитая (1) из (5), получим:
| | |
|---|---|
| 0 = *ax*2 + *by*2 – 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 | (6) |
Таким образом, если при каких-либо целочисленных значениях чисел *x* и *y* уравнение (6) окажется равным нулю, то решение этого уравнения (т.е. значения чисел *x* и *y*) будет одновременно решением уравнения (1).
Решая данное уравнение, получим:
*by*2 = 2*x*(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax*2
*by*2 = *x*\[2(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax*\]
Запишем для простоты вычислений 2(*x**n*–2 + *a*)*m*1 – *ax* = *k*. Получим:
*by*2 = *kx*,
откуда следует:
*y* = √*kx*/*b*,
т.е. √*x* является одним из множителей числа *y*.
Таким образом, целочисленные решения уравнения (6) оказываются возможными только при условии, что √*x* является одним из множителей числа *y*, что противоречит начальным условиям задачи. Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (6) не может быть равно нулю. Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (5) не может быть преобразовано в уравнение (1). Следовательно, ни при каких значениях чисел *x* и *y*, удовлетворяющих начальным условиям задачи, уравнение (1) не может иметь каких-либо целочисленных решений. Это значит, что в остроугольном треугольнике, между сторонами которого имеет место соотношение (1), по крайней мере, одна из сторон не может быть выражена никаким целым числом. *Что и требовалось доказать*».
Флэгг задумался на мгновенье и неожиданно швырнул бумагу прямо в огонь. «Зачем Вы это сделали?» – воскликнул дьявол. «Я нахожу, что слишком дешево продал свою душу. Так пусть же никто больше не воспользуется этим доказательством!» – ответил Флэгг.
«В самом деле», подумал дьявол, «пусть математики еще поломают головы над доказательством этой теоремы».
Дата публикации:
1 апреля 2002 года |
| Shard | 179 (laksa) |
| Root Hash | 5680144428437712579 |
| Unparsed URL | ru,n-t!/tp/nf/vtf.htm s443 |