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1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 46 (from laksa185)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa046.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
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  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://mathlog.info/articles/eD5JeKj6fR5nUna80ejj\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://mathlog.info/articles/eD5JeKj6fR5nUna80ejj\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"https:\/\/mathlog.info\/articles\/eD5JeKj6fR5nUna80ejj","crawl_time":1775335491,"first_indexed_time":1696987327,"http_code":200,"src_unparsed":"info,mathlog!\/articles\/eD5JeKj6fR5nUna80ejj s443","src_root_hash":"792424158193528446","history_drop_reason":null,"meta_title":"logがある積分の解法まとめ | Mathlog","meta_descriptions":["# $\\log$がある積分の解法について どうも、らららです。 今回は$\\log$がある積分の解法についてまとめてみました。 わたしが知ってる$\\log$がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。 それぞれ書いていきます。 ## 部分積分 $\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\log x=\\frac{1}{x}$と部分積分を使って積分が解けることがあります。 $$\\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)dx$$ $\\log x$を$f$の方にすれば$\\log x$が$\\displaystyle\\frac{1}{x}$になって解けることがあります。 &&& \\begin{align} I&=\\int_{0}^{1}x\\log x dx \\\\&=\\left[\\frac{x^2}{2}\\log x\\right]^{1}_{0}-\\frac{1}{2}\\int_{0}^{1}xdx \\\\&=\\frac{1}{2}\\lim_{x\\to0}x^2\\log x-\\frac{1}4 \\\\&=-\\frac{1}{4} \\end{align} \\begin{align} \\lim_{x\\to0}x^2\\log x &=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\log x}{\\frac{1}{x^2}} \\\\&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{2}{x^3 }} \\\\&=-\\frac{1}{2}\\lim_{x\\to0}x^2 \\\\&=0 \\end{align} &&& こんな感じで部分積分で解けることがあったりします。 極限でも$\\log x$の微分が$\\displaystyle\\frac{1}{x}$であることを使ってますね。 ## 置換積分 $\\log x=t$で置換することで解けることがあります。 逆関数は$e^t=x$です。 $dx$と$dt$の関係は$\\displaystyle dt=\\frac{dx}{x}$です。 もしくは$\\displaystyle dx=e^t\\ dt$です。 &&& \\begin{align} I&=\\int_{1}^{e}\\frac{\\log x}{x}dx \\\\&=\\int_{0}^{1}t\\ dt\\qquad(\\log x\\mapsto t) \\\\&=1 \\end{align} &&& とりあえず分母に$x$があれば$\\log x=t$で置換していいと思います。 あとは$\\mathrm{King Property}$を使う方法もあったりします。 [この記事](https:\/\/mathlog.info\/articles\/6ogbETh0rF02owJLJzbT)で$\\mathrm{King Property}$を使う積分を解いています。 ## 級数展開 書きたいのはここからです。 級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。 わたしが知っている$\\log$関連の級数展開をまとめてみます。 &&& $$\\log(1-x)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}\\quad(|x|<1)$$ $$\\log(1+x)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n}\\quad(|x|<1)$$ $$\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos nx}{n}\\quad\\left(0<x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$ $$\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ \\cos nx}{n}\\quad\\left(0<x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$ $$\\log\\tan\\frac{x}{2}=-2\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\quad\\left(0<x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$ &&& 級数展開を使って解いて見ましょう。 &&& \\begin{align} I&=\\int_{0}^{1}\\frac{\\log(1+x)}{\\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\int_{0}^{1}\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n\\ \\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}\\int_{0}^{1}x^{n-\\frac{1}{2}}\\ dx \\\\&=-2\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\\\&=-2\\left(\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}-2\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{2n+1}\\right) \\\\&=-2\\left(\\log2+\\frac{\\pi}{2}-2\\right) \\\\&=-2\\log2-\\pi+4 \\end{align} &&& 普通に部分積分でも解けます。 &&& \\begin{align} I&=\\int_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)dx 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複素積分で解けることがあったりする。 わたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも$\\log$があるのでそちらもみてほしい。([これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6)と[これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/uqiFFCC5kXHH58DYZkks)) 被積分関数に$\\log x$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。 バームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。 &&& $$I=\\int_{0}^{\\infty}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx$$ $$f(z)=\\frac{z\\log z}{z^4+1}$$ ![積分経路](\/uploads\/mathdown\/LM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg) $\\log0$を回避するために$0$は避けています。 $\\displaystyle C_2,C_4$は評価して極限とばすと$0$になります。 確認してみてください。 全体の積分を$C$としておきます。 それぞれ計算していきます。 \\begin{align} \\int_{C_1}&=\\int_{\\varepsilon}^{R}f(z)dz \\\\&=I\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\int_{C_3}&=\\int_{iR}^{i\\ip}f(z)dz \\\\&=-i\\int_{\\ip}^{R}f(ix)dx \\\\&=\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log ix}{x^4+1}dx \\\\&=\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx+\\frac{i\\pi}{2}\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x}{x^4+1}dx \\\\&=I+\\frac{\\pi^2}{8}i\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\oint_{C}&=2\\pi i\\underset{z=e^{\\frac{i\\pi}{4}}}{\\mathrm{Res}}\\frac{z\\log z}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{z\\log z(z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{(2z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})\\log z-e^{\\frac{i\\pi}{4}}+z}{4z^3} \\\\&=\\frac{\\pi^2}{8}i \\end{align} $$\\oint_{C}=\\int_{C_{1}}+\\int_{C_{2}}+\\int_{C_{3}}+\\int_{C_{4}}$$ $$\\frac{\\pi^2}{8}i=I+I+\\frac{\\pi^2}{8}i$$ $$I=0$$ &&& 微分を使っても解けます。 被積分関数の$\\log x$の指数に$1$を足して$f(z)$を設定することもあります。 おしまーい"],"attrs_boilerpipe_text":"$$\\newcommand{ip}[0]{\\varepsilon}\n$$\n$\\log$\nがある積分の解法について\nどうも、らららです。\n今回は\n$\\log$\nがある積分の解法についてまとめてみました。\nわたしが知ってる\n$\\log$\nがある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。\nそれぞれ書いていきます。\n部分積分\n$\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\log x=\\frac{1}{x}$\nと部分積分を使って積分が解けることがあります。\n$$\\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)dx$$\n$\\log x$\nを\n$f$\nの方にすれば\n$\\log x$\nが\n$\\displaystyle\\frac{1}{x}$\nになって解けることがあります。\n\\begin{align}\nI&=\\int_{0}^{1}x\\log x dx\n\\\\&=\\left[\\frac{x^2}{2}\\log x\\right]^{1}_{0}-\\frac{1}{2}\\int_{0}^{1}xdx\n\\\\&=\\frac{1}{2}\\lim_{x\\to0}x^2\\log x-\\frac{1}4\n\\\\&=-\\frac{1}{4}\n\\end{align}\n\\begin{align}\n\\lim_{x\\to0}x^2\\log x\n&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\log x}{\\frac{1}{x^2}}\n\\\\&=\\lim_{x\\to0}\\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{2}{x^3 }}\n\\\\&=-\\frac{1}{2}\\lim_{x\\to0}x^2\n\\\\&=0\n\\end{align}\nこんな感じで部分積分で解けることがあったりします。\n極限でも\n$\\log x$\nの微分が\n$\\displaystyle\\frac{1}{x}$\nであることを使ってますね。\n置換積分\n$\\log x=t$\nで置換することで解けることがあります。\n逆関数は\n$e^t=x$\nです。\n$dx$\nと\n$dt$\nの関係は\n$\\displaystyle dt=\\frac{dx}{x}$\nです。\nもしくは\n$\\displaystyle dx=e^t\\ dt$\nです。\n\\begin{align}\nI&=\\int_{1}^{e}\\frac{\\log x}{x}dx\n\\\\&=\\int_{0}^{1}t\\ dt\\qquad(\\log x\\mapsto t)\n\\\\&=1\n\\end{align}\nとりあえず分母に\n$x$\nがあれば\n$\\log x=t$\nで置換していいと思います。\nあとは\n$\\mathrm{King Property}$\nを使う方法もあったりします。\nこの記事\nで\n$\\mathrm{King Property}$\nを使う積分を解いています。\n級数展開\n書きたいのはここからです。\n級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。\nわたしが知っている\n$\\log$\n関連の級数展開をまとめてみます。\n$$\\log(1-x)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}\\quad(|x|<1)$$\n$$\\log(1+x)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n}\\quad(|x|<1)$$\n$$\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos nx}{n}\\quad\\left(0< x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n$$\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ \\cos nx}{n}\\quad\\left(0< x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n$$\\log\\tan\\frac{x}{2}=-2\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\quad\\left(0< x<\\frac{\\pi}{2}\\right)$$\n級数展開を使って解いて見ましょう。\n\\begin{align}\nI&=\\int_{0}^{1}\\frac{\\log(1+x)}{\\sqrt{x}}dx\n\\\\&=-\\int_{0}^{1}\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n\\ \\sqrt{x}}dx\n\\\\&=-\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}\\int_{0}^{1}x^{n-\\frac{1}{2}}\\ 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e^{-x}dx\\right|_{s=1}\n\\\\&=\\Gamma'(1)\n\\\\&=\\Gamma(1)\\psi(1)\n\\\\&=-\\gamma\n\\end{align}\n微分と積分の交換を使いました。\n$$I=\\int_{0}^{1}\\frac{x^2-x}{\\log x}dx$$\n$$f(t)=\\int_{0}^{1}\\frac{x^t}{\\log x}$$\n\\begin{align}\nf'(t)&=\\int_{0}^{1}x^t\n\\\\&=\\frac{1}{t+1}\n\\end{align}\n\\begin{align}\nf(2)-f(1)&=\\int_{1}^{2}f'(t)dt\n\\\\&=\\int_{1}^{2}\\frac{1}{t+1}dt\n\\\\&=\\log\\frac{3}{2}\n\\end{align}\nこの解法、かなり好きです。\n複素積分\n複素積分で解けることがあったりする。\nわたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも\n$\\log$\nがあるのでそちらもみてほしい。(\nこれ\nと\nこれ\n)\n被積分関数に\n$\\log x$\nだったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。\nバームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。\n$$I=\\int_{0}^{\\infty}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx$$\n$$f(z)=\\frac{z\\log z}{z^4+1}$$\n積分経路\n$\\log0$\nを回避するために\n$0$\nは避けています。\n$\\displaystyle C_2,C_4$\nは評価して極限とばすと\n$0$\nになります。\n確認してみてください。\n全体の積分を\n$C$\nとしておきます。\nそれぞれ計算していきます。\n\\begin{align}\n\\int_{C_1}&=\\int_{\\varepsilon}^{R}f(z)dz\n\\\\&=I\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty)\n\\end{align}\n\\begin{align}\n\\int_{C_3}&=\\int_{iR}^{i\\ip}f(z)dz\n\\\\&=-i\\int_{\\ip}^{R}f(ix)dx\n\\\\&=\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log ix}{x^4+1}dx\n\\\\&=\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx+\\frac{i\\pi}{2}\\int_{\\ip}^{R}\\frac{x}{x^4+1}dx\n\\\\&=I+\\frac{\\pi^2}{8}i\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty)\n\\end{align}\n\\begin{align}\n\\oint_{C}&=2\\pi i\\underset{z=e^{\\frac{i\\pi}{4}}}{\\mathrm{Res}}\\frac{z\\log z}{z^4+1}\n\\\\&=2\\pi i\\lim_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{z\\log z(z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})}{z^4+1}\n\\\\&=2\\pi i\\lim_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{(2z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})\\log 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![Mathlog](https:\/\/mathlog.info\/logo_white.svg)](https:\/\/mathlog.info\/)\n\n新規作成\n\nlogがある積分の解法まとめ\n\nlogがある積分の解法まとめ\n\n4\n\n[![ららら](https:\/\/firebasestorage.googleapis.com\/v0\/b\/mathlog-361213.appspot.com\/o\/uploads%2Fprofile%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1.png?alt=media&token=9bcb2c2d-eaf2-45fe-9d12-540cba583cd1)](https:\/\/mathlog.info\/users\/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1)\n\n[ららら](https:\/\/mathlog.info\/users\/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1)\n\n[大学数学基礎](https:\/\/mathlog.info\/categories\/2\/articles)解説\n\n# logがある積分の解法まとめ\n[積分](https:\/\/mathlog.info\/tags\/31),[log](https:\/\/mathlog.info\/tags\/7NjLr6aM1wPWEGX3jtWr)\n\n4\n\n0\n\n1152\n\n0\n\nLaTeXエクスポート\n\n\\$\\$\\\\newcommand{ip}\\[0\\]{\\\\varepsilon} \\$\\$\n\n## \\$\\\\log\\$がある積分の解法について\nどうも、らららです。  \n今回は\\$\\\\log\\$がある積分の解法についてまとめてみました。  \nわたしが知ってる\\$\\\\log\\$がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。  \nそれぞれ書いていきます。\n\n### 部分積分\n\\$\\\\displaystyle\\\\frac{d}{dx}\\\\log 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\nもしくは\\$\\\\displaystyle dx=e^t\\\\ dt\\$です。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{1}^{e}\\\\frac{\\\\log x}{x}dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{0}^{1}t\\\\ dt\\\\qquad(\\\\log x\\\\mapsto t) \\\\\\\\&=1 \\\\end{align}\n\nとりあえず分母に\\$x\\$があれば\\$\\\\log x=t\\$で置換していいと思います。  \nあとは\\$\\\\mathrm{King Property}\\$を使う方法もあったりします。  \n  [この記事](https:\/\/mathlog.info\/articles\/6ogbETh0rF02owJLJzbT) で\\$\\\\mathrm{King Property}\\$を使う積分を解いています。\n\n### 級数展開\n書きたいのはここからです。  \n級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。  \nわたしが知っている\\$\\\\log\\$関連の級数展開をまとめてみます。\n\n\\$\\$\\\\log(1-x)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{x^n}{n}\\\\quad(\\|x\\|\\<1)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log(1+x)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ x^n}{n}\\\\quad(\\|x\\|\\<1)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{\\\\cos nx}{n}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ \\\\cos nx}{n}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\tan\\\\frac{x}{2}=-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{\\\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$\n\n級数展開を使って解いて見ましょう。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{\\\\log(1+x)}{\\\\sqrt{x}}dx \\\\\\\\&=-\\\\int\\_{0}^{1}\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ x^n}{n\\\\ \\\\sqrt{x}}dx \\\\\\\\&=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n}\\\\int\\_{0}^{1}x^{n-\\\\frac{1}{2}}\\\\ dx \\\\\\\\&=-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\\\\\\\&=-2\\\\left(\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n}-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{2n+1}\\\\right) \\\\\\\\&=-2\\\\left(\\\\log2+\\\\frac{\\\\pi}{2}-2\\\\right) \\\\\\\\&=-2\\\\log2-\\\\pi+4 \\\\end{align}\n\n普通に部分積分でも解けます。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}}\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)dx \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{2}\\\\int\\_{0}^{\\\\pi}\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)dx \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{2}\\\\sum\\_{n,m\\>0}\\\\frac{(-1)^n}{nm}\\\\int\\_{0}^{\\\\pi}\\\\cos mx\\\\cos nx dx \\\\\\\\&=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n^2} \\\\\\\\&=-\\\\frac{\\\\pi^3}{48} \\\\end{align}\n\n雑ですが許してください。  \n  [前の記事](https:\/\/mathlog.info\/articles\/nFkkmCBNuFHtPOyrFUSk) で別の方法で解いてます。\n\n### 微分\n\\$\\\\displaystyle\\\\frac{d}{ds}x^s=x^s\\\\log x\\$を使って積分が解けることがあります。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}e^{-x}\\\\log xdx \\\\\\\\&=\\\\left.\\\\frac{d}{ds}\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}x^s e^{-x}dx\\\\right\\|\\_{s=1} \\\\\\\\&=\\\\Gamma'(1) \\\\\\\\&=\\\\Gamma(1)\\\\psi(1) \\\\\\\\&=-\\\\gamma \\\\end{align}\n\n微分と積分の交換を使いました。\n\n\\$\\$I=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{x^2-x}{\\\\log x}dx\\$\\$  \n\\$\\$f(t)=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{x^t}{\\\\log x}\\$\\$  \n\\\\begin{align} f'(t)&=\\\\int\\_{0}^{1}x^t \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{t+1} \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} f(2)-f(1)&=\\\\int\\_{1}^{2}f'(t)dt \\\\\\\\&=\\\\int\\_{1}^{2}\\\\frac{1}{t+1}dt \\\\\\\\&=\\\\log\\\\frac{3}{2} \\\\end{align}\n\nこの解法、かなり好きです。\n\n### 複素積分\n複素積分で解けることがあったりする。  \nわたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも\\$\\\\log\\$があるのでそちらもみてほしい。(  [これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6) と  [これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/uqiFFCC5kXHH58DYZkks) )  \n被積分関数に\\$\\\\log x\\$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。  \nバームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。\n\n\\$\\$I=\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}\\\\frac{x\\\\log x}{x^4+1}dx\\$\\$  \n\\$\\$f(z)=\\\\frac{z\\\\log z}{z^4+1}\\$\\$  \n  ![積分経路](https:\/\/firebasestorage.googleapis.com\/v0\/b\/mathlog-361213.appspot.com\/o\/uploads%2Fmathdown%2FLM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg?alt=media) 積分経路   \n\\$\\\\log0\\$を回避するために\\$0\\$は避けています。  \n\\$\\\\displaystyle C\\_2,C\\_4\\$は評価して極限とばすと\\$0\\$になります。  \n確認してみてください。  \n全体の積分を\\$C\\$としておきます。  \nそれぞれ計算していきます。\n\n\\\\begin{align} \\\\int\\_{C\\_1}&=\\\\int\\_{\\\\varepsilon}^{R}f(z)dz \\\\\\\\&=I\\\\qquad(\\\\ip\\\\to0,R\\\\to\\\\infty) \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} \\\\int\\_{C\\_3}&=\\\\int\\_{iR}^{i\\\\ip}f(z)dz \\\\\\\\&=-i\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}f(ix)dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x\\\\log ix}{x^4+1}dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x\\\\log x}{x^4+1}dx+\\\\frac{i\\\\pi}{2}\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x}{x^4+1}dx \\\\\\\\&=I+\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i\\\\qquad(\\\\ip\\\\to0,R\\\\to\\\\infty) \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} \\\\oint\\_{C}&=2\\\\pi i\\\\underset{z=e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}{\\\\mathrm{Res}}\\\\frac{z\\\\log z}{z^4+1} \\\\\\\\&=2\\\\pi i\\\\lim\\_{z\\\\to e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}\\\\frac{z\\\\log z(z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}})}{z^4+1} \\\\\\\\&=2\\\\pi i\\\\lim\\_{z\\\\to e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}\\\\frac{(2z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}})\\\\log z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}+z}{4z^3} \\\\\\\\&=\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i \\\\end{align}  \n\\$\\$\\\\oint\\_{C}=\\\\int\\_{C\\_{1}}+\\\\int\\_{C\\_{2}}+\\\\int\\_{C\\_{3}}+\\\\int\\_{C\\_{4}}\\$\\$  \n\\$\\$\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i=I+I+\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i\\$\\$  \n\\$\\$I=0\\$\\$\n\n微分を使っても解けます。  \n被積分関数の\\$\\\\log x\\$の指数に\\$1\\$を足して\\$f(z)\\$を設定することもあります。\n\nおしまーい\n\n投稿日：2023年10月10日\n\n[![](data:image\/svg+xml,%3csvg%20xmlns=%27http:\/\/www.w3.org\/2000\/svg%27%20version=%271.1%27%20width=%271700%27%20height=%27180%27\/%3e)![数学の力で現場を変える アルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](data:image\/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP\/\/\/yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) ![数学の力で現場を変える アルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](https:\/\/mathlog.info\/_next\/image?url=%2Fads%2Fopthub_recruit%2Flandscape.png&w=3840&q=75)](https:\/\/mathlog.info\/recruit)\n\n## この記事を高評価した人\n高評価したユーザはいません\n\n## この記事に送られたバッジ\nバッジはありません。\n\n## 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\n\\$\\\\log x\\$を\\$f\\$の方にすれば\\$\\\\log x\\$が\\$\\\\displaystyle\\\\frac{1}{x}\\$になって解けることがあります。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{1}x\\\\log x dx \\\\\\\\&=\\\\left\\[\\\\frac{x^2}{2}\\\\log x\\\\right\\]^{1}\\_{0}-\\\\frac{1}{2}\\\\int\\_{0}^{1}xdx \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{2}\\\\lim\\_{x\\\\to0}x^2\\\\log x-\\\\frac{1}4 \\\\\\\\&=-\\\\frac{1}{4} \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} \\\\lim\\_{x\\\\to0}x^2\\\\log x &=\\\\lim\\_{x\\\\to0}\\\\frac{\\\\log x}{\\\\frac{1}{x^2}} \\\\\\\\&=\\\\lim\\_{x\\\\to0}\\\\frac{\\\\frac{1}{x}}{-\\\\frac{2}{x^3 }} \\\\\\\\&=-\\\\frac{1}{2}\\\\lim\\_{x\\\\to0}x^2 \\\\\\\\&=0 \\\\end{align}\n\nこんな感じで部分積分で解けることがあったりします。  \n極限でも\\$\\\\log x\\$の微分が\\$\\\\displaystyle\\\\frac{1}{x}\\$であることを使ってますね。\n\n### 置換積分\n\\$\\\\log x=t\\$で置換することで解けることがあります。  \n逆関数は\\$e^t=x\\$です。  \n\\$dx\\$と\\$dt\\$の関係は\\$\\\\displaystyle dt=\\\\frac{dx}{x}\\$です。  \nもしくは\\$\\\\displaystyle dx=e^t\\\\ dt\\$です。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{1}^{e}\\\\frac{\\\\log x}{x}dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{0}^{1}t\\\\ dt\\\\qquad(\\\\log x\\\\mapsto t) \\\\\\\\&=1 \\\\end{align}\n\nとりあえず分母に\\$x\\$があれば\\$\\\\log x=t\\$で置換していいと思います。  \nあとは\\$\\\\mathrm{King Property}\\$を使う方法もあったりします。  \n  [この記事](https:\/\/mathlog.info\/articles\/6ogbETh0rF02owJLJzbT) で\\$\\\\mathrm{King Property}\\$を使う積分を解いています。\n\n### 級数展開\n書きたいのはここからです。  \n級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。  \nわたしが知っている\\$\\\\log\\$関連の級数展開をまとめてみます。\n\n\\$\\$\\\\log(1-x)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{x^n}{n}\\\\quad(\\|x\\|\\<1)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log(1+x)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ x^n}{n}\\\\quad(\\|x\\|\\<1)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{\\\\cos nx}{n}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ \\\\cos nx}{n}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$  \n\\$\\$\\\\log\\\\tan\\\\frac{x}{2}=-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{\\\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\\\quad\\\\left(0\\< x\\<\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\right)\\$\\$\n\n級数展開を使って解いて見ましょう。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{\\\\log(1+x)}{\\\\sqrt{x}}dx \\\\\\\\&=-\\\\int\\_{0}^{1}\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n\\\\ x^n}{n\\\\ \\\\sqrt{x}}dx \\\\\\\\&=-\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n}\\\\int\\_{0}^{1}x^{n-\\\\frac{1}{2}}\\\\ dx \\\\\\\\&=-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\\\\\\\&=-2\\\\left(\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n}-2\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{2n+1}\\\\right) \\\\\\\\&=-2\\\\left(\\\\log2+\\\\frac{\\\\pi}{2}-2\\\\right) \\\\\\\\&=-2\\\\log2-\\\\pi+4 \\\\end{align}\n\n普通に部分積分でも解けます。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{\\\\frac{\\\\pi}{2}}\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)dx \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{2}\\\\int\\_{0}^{\\\\pi}\\\\log\\\\left(2\\\\sin\\\\frac{x}{2}\\\\right)\\\\log\\\\left(2\\\\cos\\\\frac{x}{2}\\\\right)dx \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{2}\\\\sum\\_{n,m\\>0}\\\\frac{(-1)^n}{nm}\\\\int\\_{0}^{\\\\pi}\\\\cos mx\\\\cos nx dx \\\\\\\\&=\\\\frac{\\\\pi}{4}\\\\sum\\_{n=1}^{\\\\infty}\\\\frac{(-1)^n}{n^2} \\\\\\\\&=-\\\\frac{\\\\pi^3}{48} \\\\end{align}\n\n雑ですが許してください。  \n  [前の記事](https:\/\/mathlog.info\/articles\/nFkkmCBNuFHtPOyrFUSk) で別の方法で解いてます。\n\n### 微分\n\\$\\\\displaystyle\\\\frac{d}{ds}x^s=x^s\\\\log x\\$を使って積分が解けることがあります。\n\n\\\\begin{align} I&=\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}e^{-x}\\\\log xdx \\\\\\\\&=\\\\left.\\\\frac{d}{ds}\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}x^s e^{-x}dx\\\\right\\|\\_{s=1} \\\\\\\\&=\\\\Gamma'(1) \\\\\\\\&=\\\\Gamma(1)\\\\psi(1) \\\\\\\\&=-\\\\gamma \\\\end{align}\n\n微分と積分の交換を使いました。\n\n\\$\\$I=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{x^2-x}{\\\\log x}dx\\$\\$  \n\\$\\$f(t)=\\\\int\\_{0}^{1}\\\\frac{x^t}{\\\\log x}\\$\\$  \n\\\\begin{align} f'(t)&=\\\\int\\_{0}^{1}x^t \\\\\\\\&=\\\\frac{1}{t+1} \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} f(2)-f(1)&=\\\\int\\_{1}^{2}f'(t)dt \\\\\\\\&=\\\\int\\_{1}^{2}\\\\frac{1}{t+1}dt \\\\\\\\&=\\\\log\\\\frac{3}{2} \\\\end{align}\n\nこの解法、かなり好きです。\n\n### 複素積分\n複素積分で解けることがあったりする。  \nわたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも\\$\\\\log\\$があるのでそちらもみてほしい。(  [これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6) と  [これ](https:\/\/mathlog.info\/articles\/uqiFFCC5kXHH58DYZkks) )  \n被積分関数に\\$\\\\log x\\$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。  \nバームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。\n\n\\$\\$I=\\\\int\\_{0}^{\\\\infty}\\\\frac{x\\\\log x}{x^4+1}dx\\$\\$  \n\\$\\$f(z)=\\\\frac{z\\\\log z}{z^4+1}\\$\\$  \n  ![積分経路](https:\/\/firebasestorage.googleapis.com\/v0\/b\/mathlog-361213.appspot.com\/o\/uploads%2Fmathdown%2FLM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg?alt=media) 積分経路   \n\\$\\\\log0\\$を回避するために\\$0\\$は避けています。  \n\\$\\\\displaystyle C\\_2,C\\_4\\$は評価して極限とばすと\\$0\\$になります。  \n確認してみてください。  \n全体の積分を\\$C\\$としておきます。  \nそれぞれ計算していきます。\n\n\\\\begin{align} \\\\int\\_{C\\_1}&=\\\\int\\_{\\\\varepsilon}^{R}f(z)dz \\\\\\\\&=I\\\\qquad(\\\\ip\\\\to0,R\\\\to\\\\infty) \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} \\\\int\\_{C\\_3}&=\\\\int\\_{iR}^{i\\\\ip}f(z)dz \\\\\\\\&=-i\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}f(ix)dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x\\\\log ix}{x^4+1}dx \\\\\\\\&=\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x\\\\log x}{x^4+1}dx+\\\\frac{i\\\\pi}{2}\\\\int\\_{\\\\ip}^{R}\\\\frac{x}{x^4+1}dx \\\\\\\\&=I+\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i\\\\qquad(\\\\ip\\\\to0,R\\\\to\\\\infty) \\\\end{align}  \n\\\\begin{align} \\\\oint\\_{C}&=2\\\\pi i\\\\underset{z=e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}{\\\\mathrm{Res}}\\\\frac{z\\\\log z}{z^4+1} \\\\\\\\&=2\\\\pi i\\\\lim\\_{z\\\\to e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}\\\\frac{z\\\\log z(z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}})}{z^4+1} \\\\\\\\&=2\\\\pi i\\\\lim\\_{z\\\\to e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}}\\\\frac{(2z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}})\\\\log z-e^{\\\\frac{i\\\\pi}{4}}+z}{4z^3} \\\\\\\\&=\\\\frac{\\\\pi^2}{8}i \\\\end{align}  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Meta Title	logがある積分の解法まとめ \| Mathlog
Meta Description	# $\log$がある積分の解法についてどうも、らららです。今回は$\log$がある積分の解法についてまとめてみました。わたしが知ってる$\log$がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。それぞれ書いていきます。 ## 部分積分 $\displaystyle\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}$と部分積分を使って積分が解けることがあります。 $$\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx$$ $\log x$を$f$の方にすれば$\log x$が$\displaystyle\frac{1}{x}$になって解けることがあります。 &&& \begin{align} I&=\int_{0}^{1}x\log x dx \\&=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]^{1}_{0}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}xdx \\&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}x^2\log x-\frac{1}4 \\&=-\frac{1}{4} \end{align} \begin{align} \lim_{x\to0}x^2\log x &=\lim_{x\to0}\frac{\log x}{\frac{1}{x^2}} \\&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3 }} \\&=-\frac{1}{2}\lim_{x\to0}x^2 \\&=0 \end{align} &&& こんな感じで部分積分で解けることがあったりします。極限でも$\log x$の微分が$\displaystyle\frac{1}{x}$であることを使ってますね。 ## 置換積分 $\log x=t$で置換することで解けることがあります。逆関数は$e^t=x$です。 $dx$と$dt$の関係は$\displaystyle dt=\frac{dx}{x}$です。もしくは$\displaystyle dx=e^t\ dt$です。 &&& \begin{align} I&=\int_{1}^{e}\frac{\log x}{x}dx \\&=\int_{0}^{1}t\ dt\qquad(\log x\mapsto t) \\&=1 \end{align} &&& とりあえず分母に$x$があれば$\log x=t$で置換していいと思います。あとは$\mathrm{King Property}$を使う方法もあったりします。 [この記事](https://mathlog.info/articles/6ogbETh0rF02owJLJzbT)で$\mathrm{King Property}$を使う積分を解いています。 ## 級数展開書きたいのはここからです。級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。わたしが知っている$\log$関連の級数展開をまとめてみます。 &&& $$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\quad(\|x\|<1)$$ $$\log(1+x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ x^n}{n}\quad(\|x\|<1)$$ $$\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n}\quad\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$$ $$\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ \cos nx}{n}\quad\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$$ $$\log\tan\frac{x}{2}=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n+1)x}{2n+1}\quad\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$$ &&& 級数展開を使って解いて見ましょう。 &&& \begin{align} I&=\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{\sqrt{x}}dx \\&=-\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ x^n}{n\ \sqrt{x}}dx \\&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\int_{0}^{1}x^{n-\frac{1}{2}}\ dx \\&=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\&=-2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\right) \\&=-2\left(\log2+\frac{\pi}{2}-2\right) \\&=-2\log2-\pi+4 \end{align} &&& 普通に部分積分でも解けます。 &&& \begin{align} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)dx \\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)dx \\&=\frac{1}{2}\sum_{n,m>0}\frac{(-1)^n}{nm}\int_{0}^{\pi}\cos mx\cos nx dx \\&=\frac{\pi}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \\&=-\frac{\pi^3}{48} \end{align} &&& 雑ですが許してください。 [前の記事](https://mathlog.info/articles/nFkkmCBNuFHtPOyrFUSk)で別の方法で解いてます。 ## 微分 $\displaystyle\frac{d}{ds}x^s=x^s\log x$を使って積分が解けることがあります。 &&& \begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log xdx \\&=\left.\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-x}dx\right\|_{s=1} \\&=\Gamma'(1) \\&=\Gamma(1)\psi(1) \\&=-\gamma \end{align} &&& 微分と積分の交換を使いました。 &&& $$I=\int_{0}^{1}\frac{x^2-x}{\log x}dx$$ $$f(t)=\int_{0}^{1}\frac{x^t}{\log x}$$ \begin{align} f'(t)&=\int_{0}^{1}x^t \\&=\frac{1}{t+1} \end{align} \begin{align} f(2)-f(1)&=\int_{1}^{2}f'(t)dt \\&=\int_{1}^{2}\frac{1}{t+1}dt \\&=\log\frac{3}{2} \end{align} &&& この解法、かなり好きです。 ## 複素積分複素積分で解けることがあったりする。わたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも$\log$があるのでそちらもみてほしい。([これ](https://mathlog.info/articles/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6)と[これ](https://mathlog.info/articles/uqiFFCC5kXHH58DYZkks)) 被積分関数に$\log x$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。バームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。 &&& $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{x\log x}{x^4+1}dx$$ $$f(z)=\frac{z\log z}{z^4+1}$$ ![積分経路](/uploads/mathdown/LM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg) $\log0$を回避するために$0$は避けています。 $\displaystyle C_2,C_4$は評価して極限とばすと$0$になります。確認してみてください。全体の積分を$C$としておきます。それぞれ計算していきます。 \begin{align} \int_{C_1}&=\int_{\varepsilon}^{R}f(z)dz \\&=I\qquad(\ip\to0,R\to\infty) \end{align} \begin{align} \int_{C_3}&=\int_{iR}^{i\ip}f(z)dz \\&=-i\int_{\ip}^{R}f(ix)dx \\&=\int_{\ip}^{R}\frac{x\log ix}{x^4+1}dx \\&=\int_{\ip}^{R}\frac{x\log x}{x^4+1}dx+\frac{i\pi}{2}\int_{\ip}^{R}\frac{x}{x^4+1}dx \\&=I+\frac{\pi^2}{8}i\qquad(\ip\to0,R\to\infty) \end{align} \begin{align} \oint_{C}&=2\pi i\underset{z=e^{\frac{i\pi}{4}}}{\mathrm{Res}}\frac{z\log z}{z^4+1} \\&=2\pi i\lim_{z\to e^{\frac{i\pi}{4}}}\frac{z\log z(z-e^{\frac{i\pi}{4}})}{z^4+1} \\&=2\pi i\lim_{z\to e^{\frac{i\pi}{4}}}\frac{(2z-e^{\frac{i\pi}{4}})\log z-e^{\frac{i\pi}{4}}+z}{4z^3} \\&=\frac{\pi^2}{8}i \end{align} $$\oint_{C}=\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}+\int_{C_{3}}+\int_{C_{4}}$$ $$\frac{\pi^2}{8}i=I+I+\frac{\pi^2}{8}i$$ $$I=0$$ &&& 微分を使っても解けます。被積分関数の$\log x$の指数に$1$を足して$f(z)$を設定することもあります。おしまーい
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Boilerpipe Text	$$\newcommand{ip}[0]{\varepsilon} $$ $\log$ がある積分の解法についてどうも、らららです。今回は $\log$ がある積分の解法についてまとめてみました。わたしが知ってる $\log$ がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。それぞれ書いていきます。部分積分 $\displaystyle\frac{d}{dx}\log x=\frac{1}{x}$ と部分積分を使って積分が解けることがあります。 $$\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)dx$$ $\log x$ を $f$ の方にすれば $\log x$ が $\displaystyle\frac{1}{x}$ になって解けることがあります。 \begin{align} I&=\int_{0}^{1}x\log x dx \\&=\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]^{1}_{0}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}xdx \\&=\frac{1}{2}\lim_{x\to0}x^2\log x-\frac{1}4 \\&=-\frac{1}{4} \end{align} \begin{align} \lim_{x\to0}x^2\log x &=\lim_{x\to0}\frac{\log x}{\frac{1}{x^2}} \\&=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{2}{x^3 }} \\&=-\frac{1}{2}\lim_{x\to0}x^2 \\&=0 \end{align} こんな感じで部分積分で解けることがあったりします。極限でも $\log x$ の微分が $\displaystyle\frac{1}{x}$ であることを使ってますね。置換積分 $\log x=t$ で置換することで解けることがあります。逆関数は $e^t=x$ です。 $dx$ と $dt$ の関係は $\displaystyle dt=\frac{dx}{x}$ です。もしくは $\displaystyle dx=e^t\ dt$ です。 \begin{align} I&=\int_{1}^{e}\frac{\log x}{x}dx \\&=\int_{0}^{1}t\ dt\qquad(\log x\mapsto t) \\&=1 \end{align} とりあえず分母に $x$ があれば $\log x=t$ で置換していいと思います。あとは $\mathrm{King Property}$ を使う方法もあったりします。この記事で $\mathrm{King Property}$ を使う積分を解いています。級数展開書きたいのはここからです。級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。わたしが知っている $\log$ 関連の級数展開をまとめてみます。 $$\log(1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\quad(\|x\|<1)$$ $$\log(1+x)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ x^n}{n}\quad(\|x\|<1)$$ $$\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n}\quad\left(0< x<\frac{\pi}{2}\right)$$ $$\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ \cos nx}{n}\quad\left(0< x<\frac{\pi}{2}\right)$$ $$\log\tan\frac{x}{2}=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(2n+1)x}{2n+1}\quad\left(0< x<\frac{\pi}{2}\right)$$ 級数展開を使って解いて見ましょう。 \begin{align} I&=\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{\sqrt{x}}dx \\&=-\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\ x^n}{n\ \sqrt{x}}dx \\&=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\int_{0}^{1}x^{n-\frac{1}{2}}\ dx \\&=-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\&=-2\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\right) \\&=-2\left(\log2+\frac{\pi}{2}-2\right) \\&=-2\log2-\pi+4 \end{align} 普通に部分積分でも解けます。 \begin{align} I&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)dx \\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\log\left(2\sin\frac{x}{2}\right)\log\left(2\cos\frac{x}{2}\right)dx \\&=\frac{1}{2}\sum_{n,m>0}\frac{(-1)^n}{nm}\int_{0}^{\pi}\cos mx\cos nx dx \\&=\frac{\pi}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \\&=-\frac{\pi^3}{48} \end{align} 雑ですが許してください。前の記事で別の方法で解いてます。微分 $\displaystyle\frac{d}{ds}x^s=x^s\log x$ を使って積分が解けることがあります。 \begin{align} I&=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log xdx \\&=\left.\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}x^s e^{-x}dx\right\|_{s=1} \\&=\Gamma'(1) \\&=\Gamma(1)\psi(1) \\&=-\gamma \end{align} 微分と積分の交換を使いました。 $$I=\int_{0}^{1}\frac{x^2-x}{\log x}dx$$ $$f(t)=\int_{0}^{1}\frac{x^t}{\log x}$$ \begin{align} f'(t)&=\int_{0}^{1}x^t \\&=\frac{1}{t+1} \end{align} \begin{align} f(2)-f(1)&=\int_{1}^{2}f'(t)dt \\&=\int_{1}^{2}\frac{1}{t+1}dt \\&=\log\frac{3}{2} \end{align} この解法、かなり好きです。複素積分複素積分で解けることがあったりする。わたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも $\log$ があるのでそちらもみてほしい。( これとこれ ) 被積分関数に $\log x$ だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。バームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。 $$I=\int_{0}^{\infty}\frac{x\log x}{x^4+1}dx$$ $$f(z)=\frac{z\log z}{z^4+1}$$ 積分経路 $\log0$ を回避するために $0$ は避けています。 $\displaystyle C_2,C_4$ は評価して極限とばすと $0$ になります。確認してみてください。全体の積分を $C$ としておきます。それぞれ計算していきます。 \begin{align} \int_{C_1}&=\int_{\varepsilon}^{R}f(z)dz \\&=I\qquad(\ip\to0,R\to\infty) \end{align} \begin{align} \int_{C_3}&=\int_{iR}^{i\ip}f(z)dz \\&=-i\int_{\ip}^{R}f(ix)dx \\&=\int_{\ip}^{R}\frac{x\log ix}{x^4+1}dx \\&=\int_{\ip}^{R}\frac{x\log x}{x^4+1}dx+\frac{i\pi}{2}\int_{\ip}^{R}\frac{x}{x^4+1}dx \\&=I+\frac{\pi^2}{8}i\qquad(\ip\to0,R\to\infty) \end{align} \begin{align} \oint_{C}&=2\pi i\underset{z=e^{\frac{i\pi}{4}}}{\mathrm{Res}}\frac{z\log z}{z^4+1} \\&=2\pi i\lim_{z\to e^{\frac{i\pi}{4}}}\frac{z\log z(z-e^{\frac{i\pi}{4}})}{z^4+1} \\&=2\pi i\lim_{z\to e^{\frac{i\pi}{4}}}\frac{(2z-e^{\frac{i\pi}{4}})\log z-e^{\frac{i\pi}{4}}+z}{4z^3} \\&=\frac{\pi^2}{8}i \end{align} $$\oint_{C}=\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}+\int_{C_{3}}+\int_{C_{4}}$$ $$\frac{\pi^2}{8}i=I+I+\frac{\pi^2}{8}i$$ $$I=0$$ 微分を使っても解けます。被積分関数の $\log x$ の指数に $1$ を足して $f(z)$ を設定することもあります。おしまーい
Markdown	[![](data:image/svg+xml,%3csvg%20xmlns=%27http://www.w3.org/2000/svg%27%20version=%271.1%27%20width=%27120%27%20height=%2729.292%27/%3e)![Mathlog](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) ![Mathlog](https://mathlog.info/logo_white.svg)](https://mathlog.info/) 新規作成 logがある積分の解法まとめ logがある積分の解法まとめ 4 [![ららら](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fprofile%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1.png?alt=media&token=9bcb2c2d-eaf2-45fe-9d12-540cba583cd1)](https://mathlog.info/users/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1) [ららら](https://mathlog.info/users/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1) [大学数学基礎](https://mathlog.info/categories/2/articles)解説 # logがある積分の解法まとめ [積分](https://mathlog.info/tags/31),[log](https://mathlog.info/tags/7NjLr6aM1wPWEGX3jtWr) 4 0 1152 0 LaTeXエクスポート \$\$\\newcommand{ip}\[0\]{\\varepsilon} \$\$ ## \$\\log\$がある積分の解法についてどうも、らららです。今回は\$\\log\$がある積分の解法についてまとめてみました。わたしが知ってる\$\\log\$がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。それぞれ書いていきます。 ### 部分積分 \$\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\log x=\\frac{1}{x}\$と部分積分を使って積分が解けることがあります。 \$\$\\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)dx\$\$ \$\\log x\$を\$f\$の方にすれば\$\\log x\$が\$\\displaystyle\\frac{1}{x}\$になって解けることがあります。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{1}x\\log x dx \\\\&=\\left\[\\frac{x^2}{2}\\log x\\right\]^{1}\_{0}-\\frac{1}{2}\\int\_{0}^{1}xdx \\\\&=\\frac{1}{2}\\lim\_{x\\to0}x^2\\log x-\\frac{1}4 \\\\&=-\\frac{1}{4} \\end{align} \\begin{align} \\lim\_{x\\to0}x^2\\log x &=\\lim\_{x\\to0}\\frac{\\log x}{\\frac{1}{x^2}} \\\\&=\\lim\_{x\\to0}\\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{2}{x^3 }} \\\\&=-\\frac{1}{2}\\lim\_{x\\to0}x^2 \\\\&=0 \\end{align} こんな感じで部分積分で解けることがあったりします。極限でも\$\\log x\$の微分が\$\\displaystyle\\frac{1}{x}\$であることを使ってますね。 ### 置換積分 \$\\log x=t\$で置換することで解けることがあります。逆関数は\$e^t=x\$です。 \$dx\$と\$dt\$の関係は\$\\displaystyle dt=\\frac{dx}{x}\$です。もしくは\$\\displaystyle dx=e^t\\ dt\$です。 \\begin{align} I&=\\int\_{1}^{e}\\frac{\\log x}{x}dx \\\\&=\\int\_{0}^{1}t\\ dt\\qquad(\\log x\\mapsto t) \\\\&=1 \\end{align} とりあえず分母に\$x\$があれば\$\\log x=t\$で置換していいと思います。あとは\$\\mathrm{King Property}\$を使う方法もあったりします。 [この記事](https://mathlog.info/articles/6ogbETh0rF02owJLJzbT) で\$\\mathrm{King Property}\$を使う積分を解いています。 ### 級数展開書きたいのはここからです。級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。わたしが知っている\$\\log\$関連の級数展開をまとめてみます。 \$\$\\log(1-x)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}\\quad(\\|x\\|\<1)\$\$ \$\$\\log(1+x)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n}\\quad(\\|x\\|\<1)\$\$ \$\$\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos nx}{n}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ \$\$\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ \\cos nx}{n}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ \$\$\\log\\tan\\frac{x}{2}=-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ 級数展開を使って解いて見ましょう。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{1}\\frac{\\log(1+x)}{\\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\int\_{0}^{1}\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n\\ \\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}\\int\_{0}^{1}x^{n-\\frac{1}{2}}\\ dx \\\\&=-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\\\&=-2\\left(\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{2n+1}\\right) \\\\&=-2\\left(\\log2+\\frac{\\pi}{2}-2\\right) \\\\&=-2\\log2-\\pi+4 \\end{align} 普通に部分積分でも解けます。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)dx \\\\&=\\frac{1}{2}\\int\_{0}^{\\pi}\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)dx \\\\&=\\frac{1}{2}\\sum\_{n,m\>0}\\frac{(-1)^n}{nm}\\int\_{0}^{\\pi}\\cos mx\\cos nx dx \\\\&=\\frac{\\pi}{4}\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^2} \\\\&=-\\frac{\\pi^3}{48} \\end{align} 雑ですが許してください。 [前の記事](https://mathlog.info/articles/nFkkmCBNuFHtPOyrFUSk) で別の方法で解いてます。 ### 微分 \$\\displaystyle\\frac{d}{ds}x^s=x^s\\log x\$を使って積分が解けることがあります。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{\\infty}e^{-x}\\log xdx \\\\&=\\left.\\frac{d}{ds}\\int\_{0}^{\\infty}x^s e^{-x}dx\\right\\|\_{s=1} \\\\&=\\Gamma'(1) \\\\&=\\Gamma(1)\\psi(1) \\\\&=-\\gamma \\end{align} 微分と積分の交換を使いました。 \$\$I=\\int\_{0}^{1}\\frac{x^2-x}{\\log x}dx\$\$ \$\$f(t)=\\int\_{0}^{1}\\frac{x^t}{\\log x}\$\$ \\begin{align} f'(t)&=\\int\_{0}^{1}x^t \\\\&=\\frac{1}{t+1} \\end{align} \\begin{align} f(2)-f(1)&=\\int\_{1}^{2}f'(t)dt \\\\&=\\int\_{1}^{2}\\frac{1}{t+1}dt \\\\&=\\log\\frac{3}{2} \\end{align} この解法、かなり好きです。 ### 複素積分複素積分で解けることがあったりする。わたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも\$\\log\$があるのでそちらもみてほしい。( [これ](https://mathlog.info/articles/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6) と [これ](https://mathlog.info/articles/uqiFFCC5kXHH58DYZkks) ) 被積分関数に\$\\log x\$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。バームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。 \$\$I=\\int\_{0}^{\\infty}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx\$\$ \$\$f(z)=\\frac{z\\log z}{z^4+1}\$\$ ![積分経路](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FLM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg?alt=media) 積分経路 \$\\log0\$を回避するために\$0\$は避けています。 \$\\displaystyle C\_2,C\_4\$は評価して極限とばすと\$0\$になります。確認してみてください。全体の積分を\$C\$としておきます。それぞれ計算していきます。 \\begin{align} \\int\_{C\_1}&=\\int\_{\\varepsilon}^{R}f(z)dz \\\\&=I\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\int\_{C\_3}&=\\int\_{iR}^{i\\ip}f(z)dz \\\\&=-i\\int\_{\\ip}^{R}f(ix)dx \\\\&=\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log ix}{x^4+1}dx \\\\&=\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx+\\frac{i\\pi}{2}\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x}{x^4+1}dx \\\\&=I+\\frac{\\pi^2}{8}i\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\oint\_{C}&=2\\pi i\\underset{z=e^{\\frac{i\\pi}{4}}}{\\mathrm{Res}}\\frac{z\\log z}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim\_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{z\\log z(z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim\_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{(2z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})\\log z-e^{\\frac{i\\pi}{4}}+z}{4z^3} \\\\&=\\frac{\\pi^2}{8}i \\end{align} \$\$\\oint\_{C}=\\int\_{C\_{1}}+\\int\_{C\_{2}}+\\int\_{C\_{3}}+\\int\_{C\_{4}}\$\$ \$\$\\frac{\\pi^2}{8}i=I+I+\\frac{\\pi^2}{8}i\$\$ \$\$I=0\$\$ 微分を使っても解けます。被積分関数の\$\\log x\$の指数に\$1\$を足して\$f(z)\$を設定することもあります。おしまーい投稿日：2023年10月10日 [![](data:image/svg+xml,%3csvg%20xmlns=%27http://www.w3.org/2000/svg%27%20version=%271.1%27%20width=%271700%27%20height=%27180%27/%3e)![数学の力で現場を変えるアルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) ![数学の力で現場を変えるアルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](https://mathlog.info/_next/image?url=%2Fads%2Fopthub_recruit%2Flandscape.png&w=3840&q=75)](https://mathlog.info/recruit) ## この記事を高評価した人高評価したユーザはいません ## この記事に送られたバッジバッジはありません。 ## 投稿者 [![ららら](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fprofile%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1%2FfFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1.png?alt=media&token=9bcb2c2d-eaf2-45fe-9d12-540cba583cd1)](https://mathlog.info/users/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1) [ららら](https://mathlog.info/users/fFUCqkukdYVw0jb9qo2zHPumDAt1) 234 18462 適当に書きたいことを書きます。 40Followers 19Follow ## コメント ### 他の人のコメントコメントはありません。読み込み中... 読み込み中 [![](data:image/svg+xml,%3csvg%20xmlns=%27http://www.w3.org/2000/svg%27%20version=%271.1%27%20width=%271200%27%20height=%27800%27/%3e)![数学の力で現場を変えるアルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7) ![数学の力で現場を変えるアルゴリズムエンジニア募集 - Mathlog served by OptHub](https://mathlog.info/_next/image?url=%2Fads%2Fopthub_recruit%2Fnormal.png&w=3840&q=75)](https://mathlog.info/recruit) 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Readable Markdown	\$\$\\newcommand{ip}\[0\]{\\varepsilon} \$\$ ## \$\\log\$がある積分の解法についてどうも、らららです。今回は\$\\log\$がある積分の解法についてまとめてみました。わたしが知ってる\$\\log\$がある積分はわたしが知る限りは5つあって、部分積分,置換積分,級数展開,微分,留数定理の5つです。それぞれ書いていきます。 ### 部分積分 \$\\displaystyle\\frac{d}{dx}\\log x=\\frac{1}{x}\$と部分積分を使って積分が解けることがあります。 \$\$\\int f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)dx\$\$ \$\\log x\$を\$f\$の方にすれば\$\\log x\$が\$\\displaystyle\\frac{1}{x}\$になって解けることがあります。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{1}x\\log x dx \\\\&=\\left\[\\frac{x^2}{2}\\log x\\right\]^{1}\_{0}-\\frac{1}{2}\\int\_{0}^{1}xdx \\\\&=\\frac{1}{2}\\lim\_{x\\to0}x^2\\log x-\\frac{1}4 \\\\&=-\\frac{1}{4} \\end{align} \\begin{align} \\lim\_{x\\to0}x^2\\log x &=\\lim\_{x\\to0}\\frac{\\log x}{\\frac{1}{x^2}} \\\\&=\\lim\_{x\\to0}\\frac{\\frac{1}{x}}{-\\frac{2}{x^3 }} \\\\&=-\\frac{1}{2}\\lim\_{x\\to0}x^2 \\\\&=0 \\end{align} こんな感じで部分積分で解けることがあったりします。極限でも\$\\log x\$の微分が\$\\displaystyle\\frac{1}{x}\$であることを使ってますね。 ### 置換積分 \$\\log x=t\$で置換することで解けることがあります。逆関数は\$e^t=x\$です。 \$dx\$と\$dt\$の関係は\$\\displaystyle dt=\\frac{dx}{x}\$です。もしくは\$\\displaystyle dx=e^t\\ dt\$です。 \\begin{align} I&=\\int\_{1}^{e}\\frac{\\log x}{x}dx \\\\&=\\int\_{0}^{1}t\\ dt\\qquad(\\log x\\mapsto t) \\\\&=1 \\end{align} とりあえず分母に\$x\$があれば\$\\log x=t\$で置換していいと思います。あとは\$\\mathrm{King Property}\$を使う方法もあったりします。 [この記事](https://mathlog.info/articles/6ogbETh0rF02owJLJzbT) で\$\\mathrm{King Property}\$を使う積分を解いています。 ### 級数展開書きたいのはここからです。級数展開をして積分と級数を交換して積分を解けることがあります。わたしが知っている\$\\log\$関連の級数展開をまとめてみます。 \$\$\\log(1-x)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{x^n}{n}\\quad(\\|x\\|\<1)\$\$ \$\$\\log(1+x)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n}\\quad(\\|x\\|\<1)\$\$ \$\$\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos nx}{n}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ \$\$\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ \\cos nx}{n}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ \$\$\\log\\tan\\frac{x}{2}=-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{\\cos(2n+1)x}{2n+1}\\quad\\left(0\< x\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\$\$ 級数展開を使って解いて見ましょう。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{1}\\frac{\\log(1+x)}{\\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\int\_{0}^{1}\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n\\ x^n}{n\\ \\sqrt{x}}dx \\\\&=-\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}\\int\_{0}^{1}x^{n-\\frac{1}{2}}\\ dx \\\\&=-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n(2n+1)} \\\\&=-2\\left(\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}-2\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{2n+1}\\right) \\\\&=-2\\left(\\log2+\\frac{\\pi}{2}-2\\right) \\\\&=-2\\log2-\\pi+4 \\end{align} 普通に部分積分でも解けます。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}}\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)dx \\\\&=\\frac{1}{2}\\int\_{0}^{\\pi}\\log\\left(2\\sin\\frac{x}{2}\\right)\\log\\left(2\\cos\\frac{x}{2}\\right)dx \\\\&=\\frac{1}{2}\\sum\_{n,m\>0}\\frac{(-1)^n}{nm}\\int\_{0}^{\\pi}\\cos mx\\cos nx dx \\\\&=\\frac{\\pi}{4}\\sum\_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n^2} \\\\&=-\\frac{\\pi^3}{48} \\end{align} 雑ですが許してください。 [前の記事](https://mathlog.info/articles/nFkkmCBNuFHtPOyrFUSk) で別の方法で解いてます。 ### 微分 \$\\displaystyle\\frac{d}{ds}x^s=x^s\\log x\$を使って積分が解けることがあります。 \\begin{align} I&=\\int\_{0}^{\\infty}e^{-x}\\log xdx \\\\&=\\left.\\frac{d}{ds}\\int\_{0}^{\\infty}x^s e^{-x}dx\\right\\|\_{s=1} \\\\&=\\Gamma'(1) \\\\&=\\Gamma(1)\\psi(1) \\\\&=-\\gamma \\end{align} 微分と積分の交換を使いました。 \$\$I=\\int\_{0}^{1}\\frac{x^2-x}{\\log x}dx\$\$ \$\$f(t)=\\int\_{0}^{1}\\frac{x^t}{\\log x}\$\$ \\begin{align} f'(t)&=\\int\_{0}^{1}x^t \\\\&=\\frac{1}{t+1} \\end{align} \\begin{align} f(2)-f(1)&=\\int\_{1}^{2}f'(t)dt \\\\&=\\int\_{1}^{2}\\frac{1}{t+1}dt \\\\&=\\log\\frac{3}{2} \\end{align} この解法、かなり好きです。 ### 複素積分複素積分で解けることがあったりする。わたしが書いてる複素積分の2つの記事はどっちも\$\\log\$があるのでそちらもみてほしい。( [これ](https://mathlog.info/articles/dGB4ngusgBuBJM1K6rG6) と [これ](https://mathlog.info/articles/uqiFFCC5kXHH58DYZkks) ) 被積分関数に\$\\log x\$だったらバームクーヘンのような経路で解いていくことが多い気がします。バームクーヘンのような経路は前の記事でやっている。 \$\$I=\\int\_{0}^{\\infty}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx\$\$ \$\$f(z)=\\frac{z\\log z}{z^4+1}\$\$ ![積分経路](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FLM67frKZ79ZeCWpGs58o.jpeg?alt=media) 積分経路 \$\\log0\$を回避するために\$0\$は避けています。 \$\\displaystyle C\_2,C\_4\$は評価して極限とばすと\$0\$になります。確認してみてください。全体の積分を\$C\$としておきます。それぞれ計算していきます。 \\begin{align} \\int\_{C\_1}&=\\int\_{\\varepsilon}^{R}f(z)dz \\\\&=I\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\int\_{C\_3}&=\\int\_{iR}^{i\\ip}f(z)dz \\\\&=-i\\int\_{\\ip}^{R}f(ix)dx \\\\&=\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log ix}{x^4+1}dx \\\\&=\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x\\log x}{x^4+1}dx+\\frac{i\\pi}{2}\\int\_{\\ip}^{R}\\frac{x}{x^4+1}dx \\\\&=I+\\frac{\\pi^2}{8}i\\qquad(\\ip\\to0,R\\to\\infty) \\end{align} \\begin{align} \\oint\_{C}&=2\\pi i\\underset{z=e^{\\frac{i\\pi}{4}}}{\\mathrm{Res}}\\frac{z\\log z}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim\_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{z\\log z(z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})}{z^4+1} \\\\&=2\\pi i\\lim\_{z\\to e^{\\frac{i\\pi}{4}}}\\frac{(2z-e^{\\frac{i\\pi}{4}})\\log z-e^{\\frac{i\\pi}{4}}+z}{4z^3} \\\\&=\\frac{\\pi^2}{8}i \\end{align} \$\$\\oint\_{C}=\\int\_{C\_{1}}+\\int\_{C\_{2}}+\\int\_{C\_{3}}+\\int\_{C\_{4}}\$\$ \$\$\\frac{\\pi^2}{8}i=I+I+\\frac{\\pi^2}{8}i\$\$ \$\$I=0\$\$ 微分を使っても解けます。被積分関数の\$\\log x\$の指数に\$1\$を足して\$f(z)\$を設定することもあります。おしまーい
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