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1. Shard Calculation

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Calculated Shard: 88 (from laksa176)

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curl -X POST \
  'http://laksa088.int.ahrefs:8124/' \
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Response:

{"found_url":"https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1164","crawl_time":1769217987,"first_indexed_time":1615152557,"http_code":200,"src_unparsed":"jp,manabitimes!\/math\/1164 s443","src_root_hash":"14999727339707304288","history_drop_reason":null,"meta_title":"log xの積分計算の２通りの方法と発展形 | 高校数学の美しい物語","meta_descriptions":["対数関数（y=log x）の積分公式の２通りの導出および応用例題を解説します。"],"attrs_boilerpipe_text":"更新\n2021\/03\/07\n対数関数の不定積分\n∫\nlog\n⁡\nx\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\nx\n−\nx\n+\nC\n\\displaystyle\\int \\log xdx=x\\log x-x+C\n対数関数の積分公式について，2通りの証明と発展形を解説します。数学が得意な人には発展形2がオススメです。\nC\nC\nは積分定数とします。\n目次\n1．強引に部分積分を用いる\n2．置換積分を用いる\n発展形1\n発展形2\n1．強引に部分積分を用いる\nlog\n⁡\n\\log\nを含む積分は部分積分\nが鉄則です。強引に\nlog\n⁡\nx\n=\n1\n⋅\nlog\n⁡\nx\n\\log x=1\\cdot \\log x\nとみなして部分積分を使います。\n復習（部分積分）：\n∫\nf\ng\n=\nf\n∗\ng\n−\n∫\nf\n∗\ng\n′\n\\displaystyle\\int fg=f^*g-\\int f^*g'\nただし\nf\n∗\nf^*\nは\nf\nf\nの積分\n証明\nlog\n⁡\nx\n=\n1\n⋅\nlog\n⁡\nx\n\\log x=1\\cdot \\log x\nであるので\nf\n=\n1\n,\ng\n=\nlog\n⁡\nx\nf=1,g=\\log x\nとして部分積分を使うと，\n∫\nlog\n⁡\nx\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\nx\n−\n∫\nx\n⋅\n1\nx\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\nx\n−\nx\n+\nC\n\\displaystyle\\int\\log xdx\\\\\\displaystyle=x\\log x-\\int x\\cdot\\dfrac{1}{x}dx\\\\\n=x\\log x-x+C\nこのように対数関数の積分はわりと簡単に導出できますが，頻出なので結果を覚えておくとよいでしょう。\n2．置換積分を用いる\n「対数関数には部分積分」という鉄則を知らない場合，\nlog\n⁡\nx\n=\ny\n\\log x=y\nと置換したくなる気がします。結局部分積分を使うことにはなりますが，自然な方法だと思います。\n復習（置換積分）：\n置換積分の公式の証明と例題\n証明\nlog\n⁡\nx\n=\ny\n\\log x=y\nと置換すると\nd\ny\nd\nx\n=\n1\nx\n=\n1\ne\ny\n\\dfrac{dy}{dx}=\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{1}{e^y}\nであるので，\n∫\nlog\n⁡\nx\nd\nx\n=\n∫\ny\ne\ny\nd\ny\n\\displaystyle\\int \\log xdx=\\displaystyle\\int ye^ydy\nこれは関数の積の形になっているので部分積分を使う：\n∫\ny\ne\ny\nd\ny\n=\ny\ne\ny\n−\n∫\ne\ny\nd\ny\n=\ny\ne\ny\n−\ne\ny\n+\nC\n\\displaystyle\\int ye^ydy\\\\\\displaystyle=ye^y-\\int e^ydy\\\\\n=ye^y-e^y+C\n最後に\ny\n=\nlog\n⁡\nx\ny=\\log x\nを代入すると，\nx\nlog\n⁡\nx\n−\nx\n+\nC\nx\\log x-x+C\nとなる。\n発展形1\n原始関数の選び方には任意性があることを利用した小技を紹介します。\n例題\n不定積分\n∫\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\nd\nx\n\\displaystyle\\int\\log (x+2)dx\nを計算せよ。\n鉄則に従って\n1\n⋅\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n1\\cdot \\log (x+2)\nとみなして部分積分します。\nこのとき\n1\n1\nの原始関数として\nx\nx\nではなく\nx\n+\n2\nx+2\nを取ってくると計算が楽になります！\n解答\n∫\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\nd\nx\n=\n(\nx\n+\n2\n)\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\n∫\nx\n+\n2\nx\n+\n2\nd\nx\n=\n(\nx\n+\n2\n)\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\nx\n+\nC\n\\displaystyle\\int \\log (x+2)dx\\\\\\displaystyle\n=(x+2)\\log (x+2)-\\int\\dfrac{x+2}{x+2}dx\\\\\n=(x+2)\\log (x+2)-x+C\nちなみに，\n1\n1\nの原始関数として普通に\nx\nx\nを使うと，以下のように少しだけめんどうです。\n別解\n∫\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\n∫\nx\nd\nx\nx\n+\n2\n=\nx\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\n∫\nx\n+\n2\n−\n2\nx\n+\n2\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\n∫\n(\n1\n−\n2\nx\n+\n2\n)\nd\nx\n=\nx\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\nx\n+\n2\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n=\n(\nx\n+\n2\n)\nlog\n⁡\n(\nx\n+\n2\n)\n−\nx\n+\nC\n\\displaystyle\\int \\log (x+2)dx\\\\\n=x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int\\dfrac{xdx}{x+2}\\\\\n=x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int\\dfrac{x+2-2}{x+2}dx\\\\\n=x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int \\left(1-\\dfrac{2}{x+2}\\right)dx\\\\\n=x\\log (x+2)-x+2\\log (x+2)\\\\\n=(x+2)\\log (x+2)-x+C\n最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉\nの問題228では，置換積分を使う方法や計算ミスを減らすコツを紹介しています。\n発展形2\n対数関数の\nn\nn\n乗の積分です。\n∫\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\nd\nx\n=\nx\n∑\nk\n=\n0\nn\n(\n−\n1\n)\nk\nn\nP\nk\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\nk\n+\nC\n\\displaystyle\\int (\\log x)^ndx=x\\displaystyle\\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_n\\mathrm{P}_k(\\log x)^{n-k}+C\nn\n=\n2\n,\n3\nn=2,3\nくらいはときどき登場するので覚えておくと時短に役立つかもしれません：\n∫\n(\nlog\n⁡\nx\n)\n2\nd\nx\n=\nx\n{\n(\nlog\n⁡\nx\n)\n2\n−\n2\nlog\n⁡\nx\n+\n2\n}\n+\nC\n\\displaystyle\\int (\\log x)^2dx=x\\{(\\log x)^2-2\\log x+2\\}+C\n∫\n(\nlog\n⁡\nx\n)\n3\nd\nx\n=\nx\n{\n(\nlog\n⁡\nx\n)\n3\n−\n3\n(\nlog\n⁡\nx\n)\n2\n+\n6\nlog\n⁡\nx\n−\n6\n}\n+\nC\n\\displaystyle\\int (\\log x)^3dx=x\\{(\\log x)^3-3(\\log x)^2+6\\log x-6\\}+C\n証明の概略\n部分積分を使うと\n∫\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\nd\nx\n=\nx\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\n∫\nx\nn\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\n1\n⋅\n1\nx\nd\nx\n=\nx\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\nn\n∫\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\n1\nd\nx\n\\displaystyle\\int (\\log x)^ndx\\\\\\displaystyle=x(\\log x)^n-\\int xn(\\log x)^{n-1}\\cdot\\dfrac{1}{x}dx\\\\\n=x(\\log x)^n-n\\displaystyle\\int (\\log x)^{n-1}dx\nとなり\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n(\\log x)^n\nの積分が\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\n1\n(\\log x)^{n-1}\nの積分に帰着できた。\n次に\n(\nlog\n⁡\nx\n)\nn\n−\n1\n(\\log x)^{n-1}\nの積分に部分積分を使う。このような操作を\nn\nn\n回繰り返すと\nn\nn\n乗の公式が得られる。\n注：\ny\n=\nlog\n⁡\nx\ny=\\log x\nと置換してから\n瞬間部分積分\nを使っても導出できます。\n私は8時間半くらいは寝ないと日中の集中力・計算力が低下します。四当五落という言葉は好かんですね。\nTag:\n積分公式一覧","attrs_markdown":"[![高校数学の美しい物語](https:\/\/manabitimes.jp\/_astro\/math.Dr3jZ51W_1fYoxT.webp)](https:\/\/manabitimes.jp\/math)\n\n[トップ](https:\/\/manabitimes.jp\/math)  [新着記事](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/new)\n\nほかの記事を探す\n\n分野別\n\nレベル別\n\n他\n\n- [三角比・三角関数](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1704)\n- 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物理](https:\/\/manabitimes.jp\/physics)\n\n高校生から味わう理論物理入門\n\n[![アンサーズ](https:\/\/manabitimes.jp\/_astro\/answers.DdUbNaEG_2efpi2.webp) Q\\&A](https:\/\/manabitimes.jp\/qa)\n\nアンサーズ\n\n[※記事内容に関するお問い合わせはこちら](https:\/\/manabitimes.jp\/supervisors\/1)\n\n- [高校数学の美しい物語](https:\/\/manabitimes.jp\/math)\n- log xの積分計算の２通りの方法と発展形\n\n# log xの積分計算の２通りの方法と発展形\n- [レベル: ★ 入試対策](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1441)\n- [積分](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1708)\n\n更新 2021\/03\/07\n\n対数関数の不定積分\n\n∫ log ⁡ x d x \\= x log ⁡ x − x \\+ C \\\\displaystyle\\\\int \\\\log xdx=x\\\\log x-x+C ∫logxdx\\=xlogx−x\\+C\n\n対数関数の積分公式について，2通りの証明と発展形を解説します。数学が得意な人には発展形2がオススメです。\n\nC C C は積分定数とします。\n\n目次\n\n- [1．強引に部分積分を用いる](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1164#1)\n- [2．置換積分を用いる](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1164#2)\n- [発展形1](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1164#3)\n- [発展形2](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1164#4)\n\n## 1．強引に部分積分を用いる\nlog ⁡ \\\\log log を含む積分は部分積分が鉄則です。強引に log ⁡ x \\= 1 ⋅ log ⁡ x \\\\log x=1\\\\cdot \\\\log x logx\\=1⋅logx とみなして部分積分を使います。\n\n復習（部分積分）： ∫ f g \\= f ∗ g − ∫ f ∗ g ′ \\\\displaystyle\\\\int fg=f^\\*g-\\\\int f^\\*g' ∫fg\\=f∗g−∫f∗g′\n\nただし f ∗ f^\\* f∗ は f f f の積分\n\n証明\n\nlog ⁡ x \\= 1 ⋅ log ⁡ x \\\\log x=1\\\\cdot \\\\log x logx\\=1⋅logx\n\nであるので f \\= 1 , g \\= log ⁡ x f=1,g=\\\\log x f\\=1,g\\=logx として部分積分を使うと，\n\n∫ log ⁡ x d x \\= x log ⁡ x − ∫ x ⋅ 1 x d x \\= x log ⁡ x − x \\+ C \\\\displaystyle\\\\int\\\\log xdx\\\\\\\\\\\\displaystyle=x\\\\log x-\\\\int x\\\\cdot\\\\dfrac{1}{x}dx\\\\\\\\ =x\\\\log x-x+C ∫logxdx\\=xlogx−∫x⋅x1dx\\=xlogx−x\\+C\n\nこのように対数関数の積分はわりと簡単に導出できますが，頻出なので結果を覚えておくとよいでしょう。\n\n## 2．置換積分を用いる\n「対数関数には部分積分」という鉄則を知らない場合，log ⁡ x \\= y \\\\log x=y logx\\=y と置換したくなる気がします。結局部分積分を使うことにはなりますが，自然な方法だと思います。\n\n復習（置換積分）：[置換積分の公式の証明と例題](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1159)\n\n証明\n\nlog ⁡ x \\= y \\\\log x=y logx\\=y と置換すると d y d x \\= 1 x \\= 1 e y \\\\dfrac{dy}{dx}=\\\\dfrac{1}{x}=\\\\dfrac{1}{e^y} dxdy\\=x1\\=ey1 であるので，\n\n∫ log ⁡ x d x \\= ∫ y e y d y \\\\displaystyle\\\\int \\\\log xdx=\\\\displaystyle\\\\int ye^ydy ∫logxdx\\=∫yeydy\n\nこれは関数の積の形になっているので部分積分を使う：\n\n∫ y e y d y \\= y e y − ∫ e y d y \\= y e y − e y \\+ C \\\\displaystyle\\\\int ye^ydy\\\\\\\\\\\\displaystyle=ye^y-\\\\int e^ydy\\\\\\\\ =ye^y-e^y+C ∫yeydy\\=yey−∫eydy\\=yey−ey\\+C\n\n最後に y \\= log ⁡ x y=\\\\log x y\\=logx を代入すると，x log ⁡ x − x \\+ C x\\\\log x-x+C xlogx−x\\+C となる。\n\n## 発展形1\n原始関数の選び方には任意性があることを利用した小技を紹介します。\n\n例題\n\n不定積分 ∫ log ⁡ ( x \\+ 2 ) d x \\\\displaystyle\\\\int\\\\log (x+2)dx ∫log(x\\+2)dx を計算せよ。\n\n鉄則に従って 1 ⋅ log ⁡ ( x \\+ 2 ) 1\\\\cdot \\\\log (x+2) 1⋅log(x\\+2) とみなして部分積分します。\n\nこのとき 1 1 1 の原始関数として x x x ではなく x \\+ 2 x+2 x\\+2 を取ってくると計算が楽になります！\n\n解答\n\n∫ log ⁡ ( x \\+ 2 ) d x \\= ( x \\+ 2 ) log ⁡ ( x \\+ 2 ) − ∫ x \\+ 2 x \\+ 2 d x \\= ( x \\+ 2 ) log ⁡ ( x \\+ 2 ) − x \\+ C \\\\displaystyle\\\\int \\\\log (x+2)dx\\\\\\\\\\\\displaystyle =(x+2)\\\\log (x+2)-\\\\int\\\\dfrac{x+2}{x+2}dx\\\\\\\\ =(x+2)\\\\log (x+2)-x+C ∫log(x\\+2)dx\\=(x\\+2)log(x\\+2)−∫x\\+2x\\+2dx\\=(x\\+2)log(x\\+2)−x\\+C\n\nちなみに，1 1 1 の原始関数として普通に x x x を使うと，以下のように少しだけめんどうです。\n\n別解\n\n∫ log ⁡ ( x \\+ 2 ) d x \\= x log ⁡ ( x \\+ 2 ) − ∫ x d x x \\+ 2 \\= x log ⁡ ( x \\+ 2 ) − ∫ x \\+ 2 − 2 x \\+ 2 d x \\= x log ⁡ ( x \\+ 2 ) − ∫ ( 1 − 2 x \\+ 2 ) d x \\= x log ⁡ ( x \\+ 2 ) − x \\+ 2 log ⁡ ( x \\+ 2 ) \\= ( x \\+ 2 ) log ⁡ ( x \\+ 2 ) − x \\+ C \\\\displaystyle\\\\int \\\\log (x+2)dx\\\\\\\\ =x\\\\log (x+2)-\\\\displaystyle\\\\int\\\\dfrac{xdx}{x+2}\\\\\\\\ =x\\\\log (x+2)-\\\\displaystyle\\\\int\\\\dfrac{x+2-2}{x+2}dx\\\\\\\\ =x\\\\log (x+2)-\\\\displaystyle\\\\int \\\\left(1-\\\\dfrac{2}{x+2}\\\\right)dx\\\\\\\\ =x\\\\log (x+2)-x+2\\\\log (x+2)\\\\\\\\ =(x+2)\\\\log (x+2)-x+C ∫log(x\\+2)dx\\=xlog(x\\+2)−∫x\\+2xdx\\=xlog(x\\+2)−∫x\\+2x\\+2−2dx\\=xlog(x\\+2)−∫(1−x\\+22)dx\\=xlog(x\\+2)−x\\+2log(x\\+2)\\=(x\\+2)log(x\\+2)−x\\+C\n\n[最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/3986)の問題228では，置換積分を使う方法や計算ミスを減らすコツを紹介しています。\n\n## 発展形2\n対数関数の n n n 乗の積分です。\n\n∫ ( log ⁡ x ) n d x \\= x ∑ k \\= 0 n ( − 1 ) k n P k ( log ⁡ x ) n − k \\+ C \\\\displaystyle\\\\int (\\\\log x)^ndx=x\\\\displaystyle\\\\sum\\_{k=0}^n(-1)^k{}\\_n\\\\mathrm{P}\\_k(\\\\log x)^{n-k}+C ∫(logx)ndx\\=xk\\=0∑n(−1)knPk(logx)n−k\\+C\n\nn \\= 2 , 3 n=2,3 n\\=2,3 くらいはときどき登場するので覚えておくと時短に役立つかもしれません：\n\n∫ ( log ⁡ x ) 2 d x \\= x { ( log ⁡ x ) 2 − 2 log ⁡ x \\+ 2 } \\+ C \\\\displaystyle\\\\int (\\\\log x)^2dx=x\\\\{(\\\\log x)^2-2\\\\log x+2\\\\}+C ∫(logx)2dx\\=x{(logx)2−2logx\\+2}\\+C\n\n∫ ( log ⁡ x ) 3 d x \\= x { ( log ⁡ x ) 3 − 3 ( log ⁡ x ) 2 \\+ 6 log ⁡ x − 6 } \\+ C \\\\displaystyle\\\\int (\\\\log x)^3dx=x\\\\{(\\\\log x)^3-3(\\\\log x)^2+6\\\\log x-6\\\\}+C ∫(logx)3dx\\=x{(logx)3−3(logx)2\\+6logx−6}\\+C\n\n証明の概略\n\n部分積分を使うと\n\n∫ ( log ⁡ x ) n d x \\= x ( log ⁡ x ) n − ∫ x n ( log ⁡ x ) n − 1 ⋅ 1 x d x \\= x ( log ⁡ x ) n − n ∫ ( log ⁡ x ) n − 1 d x \\\\displaystyle\\\\int (\\\\log x)^ndx\\\\\\\\\\\\displaystyle=x(\\\\log x)^n-\\\\int xn(\\\\log x)^{n-1}\\\\cdot\\\\dfrac{1}{x}dx\\\\\\\\ =x(\\\\log x)^n-n\\\\displaystyle\\\\int (\\\\log x)^{n-1}dx ∫(logx)ndx\\=x(logx)n−∫xn(logx)n−1⋅x1dx\\=x(logx)n−n∫(logx)n−1dx\n\nとなり ( log ⁡ x ) n (\\\\log x)^n (logx)n の積分が ( log ⁡ x ) n − 1 (\\\\log x)^{n-1} (logx)n−1 の積分に帰着できた。\n\n次に ( log ⁡ x ) n − 1 (\\\\log x)^{n-1} (logx)n−1 の積分に部分積分を使う。このような操作を n n n 回繰り返すと n n n 乗の公式が得られる。\n\n注： y \\= log ⁡ x y=\\\\log x y\\=logx と置換してから[瞬間部分積分](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/823)を使っても導出できます。\n\n私は8時間半くらいは寝ないと日中の集中力・計算力が低下します。四当五落という言葉は好かんですね。\n\nTag:[積分公式一覧](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/850)\n\nこの記事の監修者\n\n[マスオ 東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る](https:\/\/manabitimes.jp\/supervisors\/1)\n\n- [レベル: ★ 入試対策](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1441)\n- [積分](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1708)\n\n関連記事\n\n[![サムネイル](https:\/\/res.cloudinary.com\/bend\/image\/upload\/q_auto,w_240,f_auto\/v1615202506\/manabitimes\/original\/thumbnail\/note\/1159_zolu5n.png) 置換積分の公式の証明と例題](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/1159)\n\n[![サムネイル](https:\/\/res.cloudinary.com\/bend\/image\/upload\/q_auto,w_240,f_auto\/v1615201766\/manabitimes\/original\/thumbnail\/note\/823_4oxwuy.png) 瞬間部分積分のやり方と例題２問](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/823)\n\n[![サムネイル](https:\/\/res.cloudinary.com\/bend\/image\/upload\/q_auto,w_240,f_auto\/v1615201828\/manabitimes\/original\/thumbnail\/note\/850_mt2r5p.png) 積分公式一覧](https:\/\/manabitimes.jp\/math\/850)\n\n[![サムネイル](https:\/\/res.cloudinary.com\/bend\/image\/upload\/q_auto,w_240,f_auto\/v1615201645\/manabitimes\/original\/thumbnail\/note\/769_od5gqv.png) 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Meta Title	log xの積分計算の２通りの方法と発展形 \| 高校数学の美しい物語
Meta Description	対数関数（y=log x）の積分公式の２通りの導出および応用例題を解説します。
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Boilerpipe Text	更新 2021/03/07 対数関数の不定積分 ∫ log ⁡ x d x = x log ⁡ x − x + C \displaystyle\int \log xdx=x\log x-x+C 対数関数の積分公式について，2通りの証明と発展形を解説します。数学が得意な人には発展形2がオススメです。 C C は積分定数とします。目次 1．強引に部分積分を用いる 2．置換積分を用いる発展形1 発展形2 1．強引に部分積分を用いる log ⁡ \log を含む積分は部分積分が鉄則です。強引に log ⁡ x = 1 ⋅ log ⁡ x \log x=1\cdot \log x とみなして部分積分を使います。復習（部分積分）： ∫ f g = f ∗ g − ∫ f ∗ g ′ \displaystyle\int fg=f^g-\int f^g' ただし f ∗ f^* は f f の積分証明 log ⁡ x = 1 ⋅ log ⁡ x \log x=1\cdot \log x であるので f = 1 , g = log ⁡ x f=1,g=\log x として部分積分を使うと， ∫ log ⁡ x d x = x log ⁡ x − ∫ x ⋅ 1 x d x = x log ⁡ x − x + C \displaystyle\int\log xdx\\\displaystyle=x\log x-\int x\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =x\log x-x+C このように対数関数の積分はわりと簡単に導出できますが，頻出なので結果を覚えておくとよいでしょう。 2．置換積分を用いる「対数関数には部分積分」という鉄則を知らない場合， log ⁡ x = y \log x=y と置換したくなる気がします。結局部分積分を使うことにはなりますが，自然な方法だと思います。復習（置換積分）：置換積分の公式の証明と例題証明 log ⁡ x = y \log x=y と置換すると d y d x = 1 x = 1 e y \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{e^y} であるので， ∫ log ⁡ x d x = ∫ y e y d y \displaystyle\int \log xdx=\displaystyle\int ye^ydy これは関数の積の形になっているので部分積分を使う： ∫ y e y d y = y e y − ∫ e y d y = y e y − e y + C \displaystyle\int ye^ydy\\\displaystyle=ye^y-\int e^ydy\\ =ye^y-e^y+C 最後に y = log ⁡ x y=\log x を代入すると， x log ⁡ x − x + C x\log x-x+C となる。発展形1 原始関数の選び方には任意性があることを利用した小技を紹介します。例題不定積分 ∫ log ⁡ ( x + 2 ) d x \displaystyle\int\log (x+2)dx を計算せよ。鉄則に従って 1 ⋅ log ⁡ ( x + 2 ) 1\cdot \log (x+2) とみなして部分積分します。このとき 1 1 の原始関数として x x ではなく x + 2 x+2 を取ってくると計算が楽になります！解答 ∫ log ⁡ ( x + 2 ) d x = ( x + 2 ) log ⁡ ( x + 2 ) − ∫ x + 2 x + 2 d x = ( x + 2 ) log ⁡ ( x + 2 ) − x + C \displaystyle\int \log (x+2)dx\\\displaystyle =(x+2)\log (x+2)-\int\dfrac{x+2}{x+2}dx\\ =(x+2)\log (x+2)-x+C ちなみに， 1 1 の原始関数として普通に x x を使うと，以下のように少しだけめんどうです。別解 ∫ log ⁡ ( x + 2 ) d x = x log ⁡ ( x + 2 ) − ∫ x d x x + 2 = x log ⁡ ( x + 2 ) − ∫ x + 2 − 2 x + 2 d x = x log ⁡ ( x + 2 ) − ∫ ( 1 − 2 x + 2 ) d x = x log ⁡ ( x + 2 ) − x + 2 log ⁡ ( x + 2 ) = ( x + 2 ) log ⁡ ( x + 2 ) − x + C \displaystyle\int \log (x+2)dx\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int\dfrac{xdx}{x+2}\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int\dfrac{x+2-2}{x+2}dx\\ =x\log (x+2)-\displaystyle\int \left(1-\dfrac{2}{x+2}\right)dx\\ =x\log (x+2)-x+2\log (x+2)\\ =(x+2)\log (x+2)-x+C 最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉の問題228では，置換積分を使う方法や計算ミスを減らすコツを紹介しています。発展形2 対数関数の n n 乗の積分です。 ∫ ( log ⁡ x ) n d x = x ∑ k = 0 n ( − 1 ) k n P k ( log ⁡ x ) n − k + C \displaystyle\int (\log x)^ndx=x\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k{}_n\mathrm{P}_k(\log x)^{n-k}+C n = 2 , 3 n=2,3 くらいはときどき登場するので覚えておくと時短に役立つかもしれません： ∫ ( log ⁡ x ) 2 d x = x { ( log ⁡ x ) 2 − 2 log ⁡ x + 2 } + C \displaystyle\int (\log x)^2dx=x\{(\log x)^2-2\log x+2\}+C ∫ ( log ⁡ x ) 3 d x = x { ( log ⁡ x ) 3 − 3 ( log ⁡ x ) 2 + 6 log ⁡ x − 6 } + C \displaystyle\int (\log x)^3dx=x\{(\log x)^3-3(\log x)^2+6\log x-6\}+C 証明の概略部分積分を使うと ∫ ( log ⁡ x ) n d x = x ( log ⁡ x ) n − ∫ x n ( log ⁡ x ) n − 1 ⋅ 1 x d x = x ( log ⁡ x ) n − n ∫ ( log ⁡ x ) n − 1 d x \displaystyle\int (\log x)^ndx\\\displaystyle=x(\log x)^n-\int xn(\log x)^{n-1}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =x(\log x)^n-n\displaystyle\int (\log x)^{n-1}dx となり ( log ⁡ x ) n (\log x)^n の積分が ( log ⁡ x ) n − 1 (\log x)^{n-1} の積分に帰着できた。次に ( log ⁡ x ) n − 1 (\log x)^{n-1} の積分に部分積分を使う。このような操作を n n 回繰り返すと n n 乗の公式が得られる。注： y = log ⁡ x y=\log x と置換してから瞬間部分積分を使っても導出できます。私は8時間半くらいは寝ないと日中の集中力・計算力が低下します。四当五落という言葉は好かんですね。 Tag: 積分公式一覧
Markdown	[![高校数学の美しい物語](https://manabitimes.jp/_astro/math.Dr3jZ51W_1fYoxT.webp)](https://manabitimes.jp/math) [トップ](https://manabitimes.jp/math) [新着記事](https://manabitimes.jp/math/new) ほかの記事を探す分野別レベル別他 - [三角比・三角関数](https://manabitimes.jp/math/1704) - [因数分解](https://manabitimes.jp/math/1725) - [式の計算](https://manabitimes.jp/math/1694) - [方程式，恒等式](https://manabitimes.jp/math/1695) - [平面図形](https://manabitimes.jp/math/1699) - [空間図形](https://manabitimes.jp/math/1700) - [不等式](https://manabitimes.jp/math/1696) - [不定方程式](https://manabitimes.jp/math/1726) - [場合の数](https://manabitimes.jp/math/1709) - [二項定理](https://manabitimes.jp/math/1727) - [整数](https://manabitimes.jp/math/1711) - [データの分析，確率](https://manabitimes.jp/math/1714) - [集合，命題，論証](https://manabitimes.jp/math/1712) - [複素数](https://manabitimes.jp/math/1698) - [指数・対数関数](https://manabitimes.jp/math/1705) - [極限](https://manabitimes.jp/math/1707) - [微分](https://manabitimes.jp/math/2706) - [積分](https://manabitimes.jp/math/1708) - [数列](https://manabitimes.jp/math/1713) - 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[高校数学の美しい物語](https://manabitimes.jp/math) - log xの積分計算の２通りの方法と発展形 # log xの積分計算の２通りの方法と発展形 - [レベル: ★ 入試対策](https://manabitimes.jp/math/1441) - [積分](https://manabitimes.jp/math/1708) 更新 2021/03/07 対数関数の不定積分 ∫ log ⁡ x d x \= x log ⁡ x − x \+ C \\displaystyle\\int \\log xdx=x\\log x-x+C ∫logxdx\=xlogx−x\+C 対数関数の積分公式について，2通りの証明と発展形を解説します。数学が得意な人には発展形2がオススメです。 C C C は積分定数とします。目次 - [1．強引に部分積分を用いる](https://manabitimes.jp/math/1164#1) - [2．置換積分を用いる](https://manabitimes.jp/math/1164#2) - [発展形1](https://manabitimes.jp/math/1164#3) - [発展形2](https://manabitimes.jp/math/1164#4) ## 1．強引に部分積分を用いる log ⁡ \\log log を含む積分は部分積分が鉄則です。強引に log ⁡ x \= 1 ⋅ log ⁡ x \\log x=1\\cdot \\log x logx\=1⋅logx とみなして部分積分を使います。復習（部分積分）： ∫ f g \= f ∗ g − ∫ f ∗ g ′ \\displaystyle\\int fg=f^\g-\\int f^\g' ∫fg\=f∗g−∫f∗g′ ただし f ∗ f^\* f∗ は f f f の積分証明 log ⁡ x \= 1 ⋅ log ⁡ x \\log x=1\\cdot \\log x logx\=1⋅logx であるので f \= 1 , g \= log ⁡ x f=1,g=\\log x f\=1,g\=logx として部分積分を使うと， ∫ log ⁡ x d x \= x log ⁡ x − ∫ x ⋅ 1 x d x \= x log ⁡ x − x \+ C \\displaystyle\\int\\log xdx\\\\\\displaystyle=x\\log x-\\int x\\cdot\\dfrac{1}{x}dx\\\\ =x\\log x-x+C ∫logxdx\=xlogx−∫x⋅x1dx\=xlogx−x\+C このように対数関数の積分はわりと簡単に導出できますが，頻出なので結果を覚えておくとよいでしょう。 ## 2．置換積分を用いる「対数関数には部分積分」という鉄則を知らない場合，log ⁡ x \= y \\log x=y logx\=y と置換したくなる気がします。結局部分積分を使うことにはなりますが，自然な方法だと思います。復習（置換積分）：[置換積分の公式の証明と例題](https://manabitimes.jp/math/1159) 証明 log ⁡ x \= y \\log x=y logx\=y と置換すると d y d x \= 1 x \= 1 e y \\dfrac{dy}{dx}=\\dfrac{1}{x}=\\dfrac{1}{e^y} dxdy\=x1\=ey1 であるので， ∫ log ⁡ x d x \= ∫ y e y d y \\displaystyle\\int \\log xdx=\\displaystyle\\int ye^ydy ∫logxdx\=∫yeydy これは関数の積の形になっているので部分積分を使う： ∫ y e y d y \= y e y − ∫ e y d y \= y e y − e y \+ C \\displaystyle\\int ye^ydy\\\\\\displaystyle=ye^y-\\int e^ydy\\\\ =ye^y-e^y+C ∫yeydy\=yey−∫eydy\=yey−ey\+C 最後に y \= log ⁡ x y=\\log x y\=logx を代入すると，x log ⁡ x − x \+ C x\\log x-x+C xlogx−x\+C となる。 ## 発展形1 原始関数の選び方には任意性があることを利用した小技を紹介します。例題不定積分 ∫ log ⁡ ( x \+ 2 ) d x \\displaystyle\\int\\log (x+2)dx ∫log(x\+2)dx を計算せよ。鉄則に従って 1 ⋅ log ⁡ ( x \+ 2 ) 1\\cdot \\log (x+2) 1⋅log(x\+2) とみなして部分積分します。このとき 1 1 1 の原始関数として x x x ではなく x \+ 2 x+2 x\+2 を取ってくると計算が楽になります！解答 ∫ log ⁡ ( x \+ 2 ) d x \= ( x \+ 2 ) log ⁡ ( x \+ 2 ) − ∫ x \+ 2 x \+ 2 d x \= ( x \+ 2 ) log ⁡ ( x \+ 2 ) − x \+ C \\displaystyle\\int \\log (x+2)dx\\\\\\displaystyle =(x+2)\\log (x+2)-\\int\\dfrac{x+2}{x+2}dx\\\\ =(x+2)\\log (x+2)-x+C ∫log(x\+2)dx\=(x\+2)log(x\+2)−∫x\+2x\+2dx\=(x\+2)log(x\+2)−x\+C ちなみに，1 1 1 の原始関数として普通に x x x を使うと，以下のように少しだけめんどうです。別解 ∫ log ⁡ ( x \+ 2 ) d x \= x log ⁡ ( x \+ 2 ) − ∫ x d x x \+ 2 \= x log ⁡ ( x \+ 2 ) − ∫ x \+ 2 − 2 x \+ 2 d x \= x log ⁡ ( x \+ 2 ) − ∫ ( 1 − 2 x \+ 2 ) d x \= x log ⁡ ( x \+ 2 ) − x \+ 2 log ⁡ ( x \+ 2 ) \= ( x \+ 2 ) log ⁡ ( x \+ 2 ) − x \+ C \\displaystyle\\int \\log (x+2)dx\\\\ =x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int\\dfrac{xdx}{x+2}\\\\ =x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int\\dfrac{x+2-2}{x+2}dx\\\\ =x\\log (x+2)-\\displaystyle\\int \\left(1-\\dfrac{2}{x+2}\\right)dx\\\\ =x\\log (x+2)-x+2\\log (x+2)\\\\ =(x+2)\\log (x+2)-x+C ∫log(x\+2)dx\=xlog(x\+2)−∫x\+2xdx\=xlog(x\+2)−∫x\+2x\+2−2dx\=xlog(x\+2)−∫(1−x\+22)dx\=xlog(x\+2)−x\+2log(x\+2)\=(x\+2)log(x\+2)−x\+C [最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉](https://manabitimes.jp/math/3986)の問題228では，置換積分を使う方法や計算ミスを減らすコツを紹介しています。 ## 発展形2 対数関数の n n n 乗の積分です。 ∫ ( log ⁡ x ) n d x \= x ∑ k \= 0 n ( − 1 ) k n P k ( log ⁡ x ) n − k \+ C \\displaystyle\\int (\\log x)^ndx=x\\displaystyle\\sum\_{k=0}^n(-1)^k{}\_n\\mathrm{P}\_k(\\log x)^{n-k}+C ∫(logx)ndx\=xk\=0∑n(−1)knPk(logx)n−k\+C n \= 2 , 3 n=2,3 n\=2,3 くらいはときどき登場するので覚えておくと時短に役立つかもしれません： ∫ ( log ⁡ x ) 2 d x \= x { ( log ⁡ x ) 2 − 2 log ⁡ x \+ 2 } \+ C \\displaystyle\\int (\\log x)^2dx=x\\{(\\log x)^2-2\\log x+2\\}+C ∫(logx)2dx\=x{(logx)2−2logx\+2}\+C ∫ ( log ⁡ x ) 3 d x \= x { ( log ⁡ x ) 3 − 3 ( log ⁡ x ) 2 \+ 6 log ⁡ x − 6 } \+ C \\displaystyle\\int (\\log x)^3dx=x\\{(\\log x)^3-3(\\log x)^2+6\\log x-6\\}+C ∫(logx)3dx\=x{(logx)3−3(logx)2\+6logx−6}\+C 証明の概略部分積分を使うと ∫ ( log ⁡ x ) n d x \= x ( log ⁡ x ) n − ∫ x n ( log ⁡ x ) n − 1 ⋅ 1 x d x \= x ( log ⁡ x ) n − n ∫ ( log ⁡ x ) n − 1 d x \\displaystyle\\int (\\log x)^ndx\\\\\\displaystyle=x(\\log x)^n-\\int xn(\\log x)^{n-1}\\cdot\\dfrac{1}{x}dx\\\\ =x(\\log x)^n-n\\displaystyle\\int (\\log x)^{n-1}dx ∫(logx)ndx\=x(logx)n−∫xn(logx)n−1⋅x1dx\=x(logx)n−n∫(logx)n−1dx となり ( log ⁡ x ) n (\\log x)^n (logx)n の積分が ( log ⁡ x ) n − 1 (\\log x)^{n-1} (logx)n−1 の積分に帰着できた。次に ( log ⁡ x ) n − 1 (\\log x)^{n-1} (logx)n−1 の積分に部分積分を使う。このような操作を n n n 回繰り返すと n n n 乗の公式が得られる。注： y \= log ⁡ x y=\\log x y\=logx と置換してから[瞬間部分積分](https://manabitimes.jp/math/823)を使っても導出できます。私は8時間半くらいは寝ないと日中の集中力・計算力が低下します。四当五落という言葉は好かんですね。 Tag:[積分公式一覧](https://manabitimes.jp/math/850) この記事の監修者 [マスオ東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る](https://manabitimes.jp/supervisors/1) - 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