ℹ️ Skipped - page is already crawled
| Filter | Status | Condition | Details |
|---|---|---|---|
| HTTP status | PASS | download_http_code = 200 | HTTP 200 |
| Age cutoff | PASS | download_stamp > now() - 6 MONTH | 0.8 months ago |
| History drop | PASS | isNull(history_drop_reason) | No drop reason |
| Spam/ban | PASS | fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0 | ml_spam_score=0 |
| Canonical | PASS | meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed | Not set |
| Property | Value |
|---|---|
| URL | https://habr.com/ru/sandbox/174136/ |
| Last Crawled | 2026-03-13 10:43:59 (25 days ago) |
| First Indexed | not set |
| HTTP Status Code | 200 |
| Meta Title | Великая теорема Ферма: тема закрыта. Простое и непротиворечивое доказательство / Песочница / Хабр |
| Meta Description | Я, конечно, понимаю, что ферматисты всем порядком поднадоели. Да и теорема уже доказана, аж в 1994 году. Но все же... У большинства людей, кто в теме, остался какой-то осадочек: доказательство Уайлса... |
| Meta Canonical | null |
| Boilerpipe Text | Великая теорема Ферма: тема закрыта. Простое и непротиворечивое доказательство
Ожидает приглашения
Я, конечно, понимаю, что ферматисты всем порядком поднадоели. Да и теорема уже доказана, аж в 1994 году. Но все же... У большинства людей, кто в теме, остался какой-то осадочек: доказательство Уайлса громоздко и малопонятно даже для многих математиков; неужели Ферма держал в голове что-то подобное, когда написал: «
Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки
»?
Предлагаю рассмотреть простое и непротиворечивое доказательство. Может, действительно после этого можно будет сказать, что тема закрыта?
Теорема
: для любого натурального числа n>2 уравнение
не имеет решений в целых натуральных x, y, z.
Метод
Решение диафантовых уравнений высших степеней с тремя переменными - дело достаточно трудоемкое. Поэтому вначале проведём алгебраические преобразования уравнения (1), позволяющие упростить рассуждения: разделим левую и правую часть уравнения (1) на y
n
:
Для начала примем, что
x, y, z
- положительные (на самом деле доказательство для отрицательных
x, y, z
ни чем не отличается). И введем обозначения:
Тогда последнее уравнение можно записать в виде:
Очевидно, что уравнение (2) тождественно уравнению (1), при этом a и Δ являются рациональными положительными числами:
Таким образом, доказательство Теоремы сводится к доказательству того, что уравнение (2) не имеет решений в положительных рациональных a и Δ при n > 2.
Используя этот метод докажем сначала Теорему для двух конкретных случаев: n=3 и n=4.
n=3
Уравнение (2) принимает вид (a + Δ)
3
− a
3
− 1 = 0. Раскрыв скобки получим:
Это приведённое кубическое уравнение относительно
Δ
. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то
Δ
может принимать значения 1 или -1. Отрицательное значение не соответствует условию (4). Поэтому, чтобы получить значения для
a
, подставим в (5)
Δ = 1
. Получим уравнение 3a + 3a
2
= 0, откуда
a
может принимать два значения:
a
1
= −1
,
a
2
= 0
. Оба значения не соответствуют условию (4). То есть при n = 3 уравнение (5) не имеет положительных рациональных корней. Это означает, что нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
n=4
Подставив в уравнение (2) значение n = 4 получим: (a + Δ)
4
− a
4
− 1 = 0 или:
Это приведённое уравнение четвёртой степени относительно
Δ
. Аналогично предыдущему случаю, согласно теоремы Безу, Δ может принимать только два рациональных значения 1 и -1, из которых по условию (4) нам подходит только одно: Δ = 1. Подставив его в уравнение (6) получим кубическое уравнение относительно
a
: 4a
3
+ 6a
2
+ 4a = 0. Очевидно, что положительных рациональных корней у этого уравнения нет. А, значит, и нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
Аналогичным образом можно проверить справедливость Теоремы для других значений n.
В общем случае
1) Для любых значений n > 2 уравнение (a + Δ)
n
− a
n
− 1 = 0 можно преобразовать к виду:
Учитывая, что при n=k Биноминальный коэффициент равен 1 и переставив слагаемые в обратном порядке, получаем более очевидную запись приведённого уравнения n-ой степени относительно Δ:
2) Доказательство Теоремы сводится к тому, чтобы доказать отсутствие положительных рациональных решений уравнения (7), то есть таких
a
и
Δ
, которые удовлетворяли бы условиям (3) и (4).
3) Решая уравнение (7) относительно
Δ
и принимая во внимание, что высший коэффициент и свободный член уравнения (7) равны 1, согласно теоремы Безу получаем единственное значение для Δ, удовлетворяющее условиям (3) и (4) - это Δ = 1.
4) При подстановке Δ = 1 в уравнение (7) получаем уравнение (n−1) - ой степени относительно
a
вида:
Так как Биномиальные коэффициенты положительны и по условию (4) a > 0, то очевидно, что уравнение (8) не имеет рациональных корней при любом n > 2. А это означает, что и уравнение (2) не может иметь рациональные положительные корни. То есть не существует таких a и Δ, которые удовлетворяли бы условиям (3), (4) и для которых выполнялось бы равенство (2). С учетом принятых изначально обозначений, из этого следует, что не существует натуральных x, y и z, удовлетворяющих условию (1) при n > 2.
Что и требовалось доказать.
Доказательство приведено для натуральных x, y, z. В случае отрицательных целых чисел доказательство то же самое, так как с отрицательными числами уравнение всегда можно свести к виду (1) путем переноса отрицательных членов в противоположную часть уравнения. |
| Markdown | [Все потоки](https://habr.com/ru/articles/)
[Войти](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr/?back=/ru/sandbox/174136/&hl=ru)
15 июл 2022 в 18:05
# Великая теорема Ферма: тема закрыта. Простое и непротиворечивое доказательство
[Математика \*](https://habr.com/ru/hubs/maths/) [Научно-популярное](https://habr.com/ru/hubs/popular_science/)
Ожидает приглашения
Я, конечно, понимаю, что ферматисты всем порядком поднадоели. Да и теорема уже доказана, аж в 1994 году. Но все же... У большинства людей, кто в теме, остался какой-то осадочек: доказательство Уайлса громоздко и малопонятно даже для многих математиков; неужели Ферма держал в голове что-то подобное, когда написал: «*Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки*»?
Предлагаю рассмотреть простое и непротиворечивое доказательство. Может, действительно после этого можно будет сказать, что тема закрыта?
**Теорема**: для любого натурального числа n\>2 уравнение
не имеет решений в целых натуральных x, y, z.
### Метод
Решение диафантовых уравнений высших степеней с тремя переменными - дело достаточно трудоемкое. Поэтому вначале проведём алгебраические преобразования уравнения (1), позволяющие упростить рассуждения: разделим левую и правую часть уравнения (1) на yn:
Для начала примем, что `x, y, z` - положительные (на самом деле доказательство для отрицательных `x, y, z` ни чем не отличается). И введем обозначения:
Тогда последнее уравнение можно записать в виде:
Очевидно, что уравнение (2) тождественно уравнению (1), при этом a и Δ являются рациональными положительными числами:
**Таким образом, доказательство Теоремы сводится к доказательству того, что уравнение (2) не имеет решений в положительных рациональных a и Δ при n \> 2.**
***
Используя этот метод докажем сначала Теорему для двух конкретных случаев: n=3 и n=4.
**n=3**Уравнение (2) принимает вид (a + Δ)3 − a3 − 1 = 0. Раскрыв скобки получим:
Это приведённое кубическое уравнение относительно **Δ**. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то **Δ** может принимать значения 1 или -1. Отрицательное значение не соответствует условию (4). Поэтому, чтобы получить значения для **a**, подставим в (5) **Δ = 1**. Получим уравнение 3a + 3a2 = 0, откуда **a** может принимать два значения: **a1 = −1**, **a2 = 0**. Оба значения не соответствуют условию (4). То есть при n = 3 уравнение (5) не имеет положительных рациональных корней. Это означает, что нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
**n=4**Подставив в уравнение (2) значение n = 4 получим: (a + Δ)4 − a4 − 1 = 0 или:
Это приведённое уравнение четвёртой степени относительно **Δ**. Аналогично предыдущему случаю, согласно теоремы Безу, Δ может принимать только два рациональных значения 1 и -1, из которых по условию (4) нам подходит только одно: Δ = 1. Подставив его в уравнение (6) получим кубическое уравнение относительно **a**: 4a3 + 6a2 + 4a = 0. Очевидно, что положительных рациональных корней у этого уравнения нет. А, значит, и нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
Аналогичным образом можно проверить справедливость Теоремы для других значений n.
***
### В общем случае
1\) Для любых значений n \> 2 уравнение (a + Δ)n − an − 1 = 0 можно преобразовать к виду:
Учитывая, что при n=k Биноминальный коэффициент равен 1 и переставив слагаемые в обратном порядке, получаем более очевидную запись приведённого уравнения n-ой степени относительно Δ:
2\) Доказательство Теоремы сводится к тому, чтобы доказать отсутствие положительных рациональных решений уравнения (7), то есть таких **a** и **Δ**, которые удовлетворяли бы условиям (3) и (4).
3\) Решая уравнение (7) относительно **Δ** и принимая во внимание, что высший коэффициент и свободный член уравнения (7) равны 1, согласно теоремы Безу получаем единственное значение для Δ, удовлетворяющее условиям (3) и (4) - это Δ = 1.
4\) При подстановке Δ = 1 в уравнение (7) получаем уравнение (n−1) - ой степени относительно **a** вида:
Так как Биномиальные коэффициенты положительны и по условию (4) a \> 0, то очевидно, что уравнение (8) не имеет рациональных корней при любом n \> 2. А это означает, что и уравнение (2) не может иметь рациональные положительные корни. То есть не существует таких a и Δ, которые удовлетворяли бы условиям (3), (4) и для которых выполнялось бы равенство (2). С учетом принятых изначально обозначений, из этого следует, что не существует натуральных x, y и z, удовлетворяющих условию (1) при n \> 2.
**Что и требовалось доказать.**
Доказательство приведено для натуральных x, y, z. В случае отрицательных целых чисел доказательство то же самое, так как с отрицательными числами уравнение всегда можно свести к виду (1) путем переноса отрицательных членов в противоположную часть уравнения.
Теги:
- [теорема ферма](https://habr.com/ru/search/?target_type=posts&order=relevance&q=[%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0])
- [доказательство](https://habr.com/ru/search/?target_type=posts&order=relevance&q=[%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE])
Хабы:
- [Математика](https://habr.com/ru/hubs/maths/)
- [Научно-популярное](https://habr.com/ru/hubs/popular_science/)
Данная статья не подлежит комментированию, поскольку её автор ещё не является [полноправным](https://habr.com/docs/help/registration/#standard) участником сообщества. Вы сможете связаться с автором только после того, как он получит [приглашение](https://habr.com/docs/help/registration/#invite) от кого-либо из участников сообщества. До этого момента его username будет скрыт псевдонимом.
## О песочнице
Это «[Песочница](https://habr.com/docs/help/sandbox/)» — раздел, в который попадают дебютные публикации пользователей, желающих стать полноправными участниками сообщества.
Если у вас есть [приглашение](https://habr.com/docs/help/registration/#invite), отправьте его автору понравившейся публикации — тогда её смогут прочитать и обсудить все остальные пользователи Хабра.
Чтобы исключить предвзятость при оценке, все публикации анонимны, псевдонимы показываются случайным образом.
## О модерации
Точно не пройдут модерацию:
- новости, анонсы и пресс-релизы;
- материалы рекламного характера;
- вакансии (для этого предназначена [«Хабр Карьера»](https://career.habr.com/))
- вопросы (используйте [«Хабр Q\&A»](https://qna.habr.com/));
- просьбы о помощи в решении задач;
- жалобы на компании и предоставляемые услуги;
- куски программного кода без подробных пояснений;
- публикации, ранее опубликованные на других сайтах;
- односложные материалы (пара абзацев или видеоролик);
- статьи, слабо относящиеся к IT-тематике или не относящиеся к ней вовсе;
- публикации, нарушающие [правила](https://habr.com/docs/help/rules/) сайта.
С большой вероятностью не пройдут модерацию (или будут отправлены на доработку):
- материалы с низким (менее 75%) показателем уникального текста;
- публикации без правильно расставленных знаков препинания, со смайликами, с обилием восклицательных знаков, неоправданным выделением слов и предложений;
- плохо оформленные публикации ([подробнее](https://habr.com/docs/companies/design/));
Ваш аккаунт
- [Войти](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr/?back=/ru/sandbox/174136/&hl=ru)
- [Регистрация](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr-register/?back=/ru/sandbox/174136/&hl=ru)
Разделы
- [Статьи](https://habr.com/ru/articles/)
- [Новости](https://habr.com/ru/news/)
- [Хабы](https://habr.com/ru/hubs/)
- [Компании](https://habr.com/ru/companies/)
- [Авторы](https://habr.com/ru/users/)
- [Песочница](https://habr.com/ru/sandbox/)
Информация
- [Устройство сайта](https://habr.com/ru/docs/help/)
- [Для авторов](https://habr.com/ru/docs/authors/codex/)
- [Для компаний](https://habr.com/ru/docs/companies/corpblogs/)
- [Документы](https://habr.com/ru/docs/docs/transparency/)
- [Соглашение](https://account.habr.com/info/agreement/?hl=ru_RU)
- [Конфиденциальность](https://account.habr.com/info/confidential/?hl=ru_RU)
Услуги
- [Корпоративный блог](https://company.habr.com/ru/corporate-blogs/)
- [Медийная реклама](https://company.habr.com/ru/advertising/)
- [Нативные проекты](https://company.habr.com/ru/native-special/)
- [Образовательные программы](https://company.habr.com/ru/education-programs/)
- [Стартапам](https://company.habr.com/ru/hello-startup/)
Настройка языка
[Техническая поддержка](https://habr.com/ru/feedback/)
© 2006–2026, [Habr](https://company.habr.com/) |
| Readable Markdown | ## Великая теорема Ферма: тема закрыта. Простое и непротиворечивое доказательство
Ожидает приглашения
Я, конечно, понимаю, что ферматисты всем порядком поднадоели. Да и теорема уже доказана, аж в 1994 году. Но все же... У большинства людей, кто в теме, остался какой-то осадочек: доказательство Уайлса громоздко и малопонятно даже для многих математиков; неужели Ферма держал в голове что-то подобное, когда написал: «*Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля эти для него слишком узки*»?
Предлагаю рассмотреть простое и непротиворечивое доказательство. Может, действительно после этого можно будет сказать, что тема закрыта?
**Теорема**: для любого натурального числа n\>2 уравнение
не имеет решений в целых натуральных x, y, z.
### Метод
Решение диафантовых уравнений высших степеней с тремя переменными - дело достаточно трудоемкое. Поэтому вначале проведём алгебраические преобразования уравнения (1), позволяющие упростить рассуждения: разделим левую и правую часть уравнения (1) на yn:
Для начала примем, что `x, y, z` - положительные (на самом деле доказательство для отрицательных `x, y, z` ни чем не отличается). И введем обозначения:
Тогда последнее уравнение можно записать в виде:
Очевидно, что уравнение (2) тождественно уравнению (1), при этом a и Δ являются рациональными положительными числами:
**Таким образом, доказательство Теоремы сводится к доказательству того, что уравнение (2) не имеет решений в положительных рациональных a и Δ при n \> 2.**
***
Используя этот метод докажем сначала Теорему для двух конкретных случаев: n=3 и n=4.
**n=3**Уравнение (2) принимает вид (a + Δ)3 − a3 − 1 = 0. Раскрыв скобки получим:
Это приведённое кубическое уравнение относительно **Δ**. Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то **Δ** может принимать значения 1 или -1. Отрицательное значение не соответствует условию (4). Поэтому, чтобы получить значения для **a**, подставим в (5) **Δ = 1**. Получим уравнение 3a + 3a2 = 0, откуда **a** может принимать два значения: **a1 = −1**, **a2 = 0**. Оба значения не соответствуют условию (4). То есть при n = 3 уравнение (5) не имеет положительных рациональных корней. Это означает, что нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
**n=4**Подставив в уравнение (2) значение n = 4 получим: (a + Δ)4 − a4 − 1 = 0 или:
Это приведённое уравнение четвёртой степени относительно **Δ**. Аналогично предыдущему случаю, согласно теоремы Безу, Δ может принимать только два рациональных значения 1 и -1, из которых по условию (4) нам подходит только одно: Δ = 1. Подставив его в уравнение (6) получим кубическое уравнение относительно **a**: 4a3 + 6a2 + 4a = 0. Очевидно, что положительных рациональных корней у этого уравнения нет. А, значит, и нет таких натуральных x, y, z, чтобы выполнялось равенство (1).
Аналогичным образом можно проверить справедливость Теоремы для других значений n.
***
### В общем случае
1\) Для любых значений n \> 2 уравнение (a + Δ)n − an − 1 = 0 можно преобразовать к виду:
Учитывая, что при n=k Биноминальный коэффициент равен 1 и переставив слагаемые в обратном порядке, получаем более очевидную запись приведённого уравнения n-ой степени относительно Δ:
2\) Доказательство Теоремы сводится к тому, чтобы доказать отсутствие положительных рациональных решений уравнения (7), то есть таких **a** и **Δ**, которые удовлетворяли бы условиям (3) и (4).
3\) Решая уравнение (7) относительно **Δ** и принимая во внимание, что высший коэффициент и свободный член уравнения (7) равны 1, согласно теоремы Безу получаем единственное значение для Δ, удовлетворяющее условиям (3) и (4) - это Δ = 1.
4\) При подстановке Δ = 1 в уравнение (7) получаем уравнение (n−1) - ой степени относительно **a** вида:
Так как Биномиальные коэффициенты положительны и по условию (4) a \> 0, то очевидно, что уравнение (8) не имеет рациональных корней при любом n \> 2. А это означает, что и уравнение (2) не может иметь рациональные положительные корни. То есть не существует таких a и Δ, которые удовлетворяли бы условиям (3), (4) и для которых выполнялось бы равенство (2). С учетом принятых изначально обозначений, из этого следует, что не существует натуральных x, y и z, удовлетворяющих условию (1) при n \> 2.
**Что и требовалось доказать.**
Доказательство приведено для натуральных x, y, z. В случае отрицательных целых чисел доказательство то же самое, так как с отрицательными числами уравнение всегда можно свести к виду (1) путем переноса отрицательных членов в противоположную часть уравнения. |
| Shard | 134 (laksa) |
| Root Hash | 14843476518697139734 |
| Unparsed URL | com,habr!/ru/sandbox/174136/ s443 |