ℹ️ Skipped - page is already crawled
| Filter | Status | Condition | Details |
|---|---|---|---|
| HTTP status | PASS | download_http_code = 200 | HTTP 200 |
| Age cutoff | FAIL | download_stamp > now() - 6 MONTH | 7 months ago |
| History drop | PASS | isNull(history_drop_reason) | No drop reason |
| Spam/ban | PASS | fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0 | ml_spam_score=0 |
| Canonical | PASS | meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed | Not set |
| Property | Value |
|---|---|
| URL | https://habr.com/en/sandbox/83079/ |
| Last Crawled | 2025-09-10 13:36:37 (7 months ago) |
| First Indexed | not set |
| HTTP Status Code | 200 |
| Meta Title | Полное доказательство Великой теоремы Ферма / Sandbox / Habr |
| Meta Description | Пьер Ферма утверждал, что: невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же... |
| Meta Canonical | null |
| Boilerpipe Text | Пьер Ферма утверждал, что: невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Как же подойти к доказательству этого утверждения Ферма?
(картинка для привлечения внимания)
Представим себе, что мы нашли или построили прямоугольный треугольник со следующими сторонами: катеты — , и гипотенузой где (p, q, k, n) — числа натуральные. Тогда по теореме Пифагора получим или . Таким образом, если мы найдем или построим такой треугольник, то мы опровергнем Ферма. Если же мы докажем, что такой треугольник не существует, то мы докажем теорему.
Так как в утверждении речь идёт о натуральных числах, то найдем, чему равняется разность квадратов двух нечетных натуральных чисел. Т.е. решим уравнение . Для этого построим прямоугольные треугольники, гипотенуза которых равна , а катет равен , где и (a > b) . Тогда по теореме Пифагора можно вычислить второй катет по формуле (1) , или (2) . Мы получили, что стороны этих треугольников равны и . Таким образом, мы можем перебрать все пары чисел a и b из натурального множества (назовем эти числа “генераторами” данного тождества) и получить все возможные треугольники с заданными свойствами , . Докажем необходимость данного решения. Перепишем (1) в виде . Так как Z и Y нечетные числа, значит можно написать ( Z — Y ) = 2b и (Z + Y )=2a. Решая их относительно Z и Y, получим Z = (a + b) и Y = (a — b). Тогда можно записать, что X = 4ab и, подставляя эти значения в (1) , получим . Примечание
Чтобы избежать получения подобных треугольников, и, учитывая, что Z и Y — нечетные числа по условию, числа a и b должны быть взаимно простыми и разной четности. Далее будем считать, что четным является число a . Для того, чтобы упорядочить распределение прямоугольных треугольников в множестве натуральных чисел N , поступим следующим образом: из этого множества вычтем все числа, которые являются четными степенями натуральных чисел. Обозначим это множество , где n — натуральное число. Затем из оставшихся натуральных чисел вычтем все числа, которые являются нечетными (≥3) степенями натуральных чисел и обозначим множество этих чисел как . Оставшиеся натуральные числа составят множество, числа которого есть натуральные числа в первой степени. Обозначим это множество . Очевидно, соединение этих 3-х множеств есть множество натуральных чисел, или . Множество представим как ряд = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………}. Представим множества и в виде рядов. Тогда множество будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n , а n — есть номер строки. Так первая строка состоит из квадратов всех чисел ряда , вторая строка состоит из 4-х степеней этих чисел и т.д. Рассмотрим множество , которое будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка которой будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень 2n+1 . (n — есть номер строки). Так первая строка этой матрицы состоит из кубов чисел ряда , вторая строка состоит из чисел ряда в пятой степени и т.д. Рассмотрим множество . Т.к. , то примем тот же алгоритм построения треугольников (см. выше). Найдем «генераторы» тождества, Это будут числа , где , составим тождество: (3) , мы получили множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Здесь — гипотенуза, — катет и — второй катет. Для опровержения утверждения Ферма нужно, чтобы стороны X, Y, Z искомого треугольника равнялись (4) . Где (p, q, k, n) — натуральные числа. По теореме Пифагора будем иметь или и утверждение Ферма будет опровергнуто. Из тождества видно, что . Рассмотрим последнее равенство , в этом равенстве « p » ни при каких значениях « a и b » не будет натуральным числом, если . Это означает, что в рассмотренном множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (4) .
Теперь рассмотрим множество . Обозначим (2n+1) как « m », тогда во множестве получим прямоугольные треугольники, описываемые тождеством (6) . Если мы сможем построить прямоугольный треугольник X, Y, Z со сторонами (7) , где , то мы опровергнем утверждение Ферма, т.к. по теореме Пифагора и (p, q и k) — натуральные числа. Надо, чтобы . Рассматривая последнее равенство заметим, что « p » не может быть натуральным числом ни при каких значениях « a и b », , если . Значит и в этом множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами (7) .
Однако из вышесказанного видно, что все доказательство сводится к анализу числа , где « » при любых натуральных « a и b » не будет натуральным числом в степени « m/2 ». Или же (8) при тех же условиях не будет натуральным числом в степени «m». Из доказательства видно, что «генераторами» тождества (6) являются числа « » из ряда Но, анализируя (8) , можно подставить вместо « » число . Так как есть четное число, (см.Примечание), то — натуральное число. После подстановки его в (8) получим , то есть натуральные числа в степени «m». Совершив вышеуказанную подстановку в тождество (6) , и, обозначив через , получим следующее тождество: . Мы получили множество прямоугольных треугольников со сторонами . Если ( k,q, p) — натуральные числа в нечетной степени, т.е. где r — любое нечетное число, а . Чтобы опровергнуть Ферма нужно, чтобы: В последнем равенстве при любых натуральных a и b , — числа натуральные, но первые два равенства невозможны, так как, если « m и r » любые нечетные числа, то — иррациональные числа, а числа в скобках — числа натуральные. Если же (k,q, p) — натуральные числа в четной степени, т.е. , то мы получим следующие равенства (5) . В данном варианте последнее равенство невозможно, т.к. извлекая корень m степени из обеих частей равенства получим , т.е. в скобках иррациональное число, а — натуральное. Это значит, что и в этом множестве не найдено «нужного» треугольника. А это значит, что для любых нечетных « m » утверждение Ферма верно, а значит, верно, для всех простых показателей «m ≥ 3».
Остается найти доказательство теоремы для четных показателей. Из (5) следует, что, если в каноническом разложении четного показателя степени есть нечетное простое число, то утверждение Ферма для этой степени верно. Очевидно, что этому условию отвечают все четные числа, кроме числа « 4 » и чисел кратных четырем, т.е. 8, 16, 32, 64 … и т.д. В разложении этих чисел есть только простое число 2 . Поэтому вышеприведенное доказательство не дает ответа для этих степеней.
Значит остается доказать теорему для « n = 4 ». Можно предположить, что у Ферма было общее доказательство, но не полное. Может быть, поэтому он и не записал свое доказательство. И только через несколько лет, создав свой метод «бесконечного или неопределенного спуска», он доказал, что не существует прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, у которого площадь равнялась бы квадрату натурального числа. После этого доказательство теоремы для « n = 4 » не составило труда. Это доказательство Ферма записал. И теорема оказалась доказанной полностью. |
| Markdown | β
[How to become an author](https://habr.com/en/sandbox/start/)
[My feed](https://habr.com/en/feed/)[All streams](https://habr.com/en/articles/)
[Login](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr/?back=/en/sandbox/83079/&hl=en)
May 30 2014 at 18:08
# Полное доказательство Великой теоремы Ферма
[Mathematics \*](https://habr.com/en/hubs/maths/)
Invite pending
Пьер Ферма утверждал, что:
> невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень, большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Как же подойти к доказательству этого утверждения Ферма?
(картинка для привлечения внимания)
Представим себе, что мы нашли или построили прямоугольный треугольник со следующими сторонами: катеты — ,  и гипотенузой  где **(p, q, k, n)** — числа натуральные. Тогда по теореме Пифагора получим  или . Таким образом, если мы найдем или построим такой треугольник, то мы опровергнем Ферма. Если же мы докажем, что такой треугольник не существует, то мы докажем теорему.
Так как в утверждении речь идёт о натуральных числах, то найдем, чему равняется разность квадратов двух нечетных натуральных чисел. Т.е. решим уравнение . Для этого построим прямоугольные треугольники, гипотенуза которых равна , а катет равен , где  и **(a \> b)**. Тогда по теореме Пифагора можно вычислить второй катет по формуле  **(1)**, или  **(2)**. Мы получили, что стороны этих треугольников равны  и . Таким образом, мы можем перебрать
все
пары чисел **a** и **b** из натурального множества (назовем эти числа “генераторами” данного тождества) и получить
все
возможные треугольники с заданными свойствами , . Докажем необходимость данного решения. Перепишем  **(1)** в виде . Так как Z и Y нечетные числа, значит можно написать ( Z — Y ) = 2b и (Z + Y )=2a. Решая их относительно Z и Y, получим Z = (a + b) и Y = (a — b). Тогда можно записать, что X = 4ab и, подставляя эти значения в  **(1)**, получим .
##### Примечание
Чтобы избежать получения подобных треугольников, и, учитывая, что **Z** и **Y** — нечетные числа по условию, числа **a** и **b** должны быть взаимно простыми и разной четности. Далее будем считать, что четным является число **a**. Для того, чтобы упорядочить распределение прямоугольных треугольников в множестве натуральных чисел **N**, поступим следующим образом: из этого множества вычтем все числа, которые являются четными степенями натуральных чисел. Обозначим это множество , где **n** — натуральное число. Затем из оставшихся натуральных чисел вычтем все числа, которые являются нечетными (≥3) степенями натуральных чисел и обозначим множество этих чисел как . Оставшиеся натуральные числа составят множество, числа которого есть натуральные числа в первой степени. Обозначим это множество . Очевидно, соединение этих 3-х множеств есть множество натуральных чисел, или . Множество  представим как ряд  = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17,………}. Представим множества  и  в виде рядов. Тогда множество  будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень **2n**, а **n** — есть номер строки. Так первая строка состоит из квадратов всех чисел ряда , вторая строка состоит из 4-х степеней этих чисел и т.д. Рассмотрим множество , которое будет представлять собой матрицу, состоящую из бесконечного числа строк, каждая строка которой будет состоять из чисел ряда , возведенных в степень **2n+1**. (n — есть номер строки). Так первая строка этой матрицы состоит из кубов чисел ряда , вторая строка состоит из чисел ряда  в пятой степени и т.д. Рассмотрим множество . Т.к. , то примем тот же алгоритм построения треугольников (см. выше). Найдем «генераторы» тождества, Это будут числа , где , составим тождество:  **(3)**, мы получили множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Здесь  — гипотенуза,  — катет и  — второй катет. Для опровержения утверждения Ферма нужно, чтобы стороны **X, Y, Z** искомого треугольника равнялись  **(4)**. Где (p, q, k, n) — натуральные числа. По теореме Пифагора будем иметь  или  и утверждение Ферма будет опровергнуто. Из тождества  видно, что . Рассмотрим последнее равенство , в этом равенстве «**p**» ни при каких значениях «**a** и **b**»  не будет натуральным числом, если . Это означает, что в рассмотренном множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами **(4)**.
Теперь рассмотрим множество . Обозначим **(2n+1)** как «**m**», тогда во множестве  получим прямоугольные треугольники, описываемые тождеством  **(6)**. Если мы сможем построить прямоугольный треугольник **X, Y, Z** со сторонами  **(7)**, где , то мы опровергнем утверждение Ферма, т.к. по теореме Пифагора  и (p, q и k) — натуральные числа. Надо, чтобы . Рассматривая последнее равенство заметим, что «**p**» не может быть натуральным числом ни при каких значениях «**a** и **b**», , если . Значит и в этом множестве треугольников не существует ни одного треугольника с искомыми сторонами **(7)**.
Однако из вышесказанного видно, что все доказательство сводится к анализу числа  , где «» при любых натуральных «**a** и **b**» не будет натуральным числом в степени «**m/2**». Или же  **(8)** при тех же условиях не будет натуральным числом в степени «m». Из доказательства видно, что «генераторами» тождества **(6)** являются числа «» из ряда  Но, анализируя  **(8)**, можно подставить вместо «» число . Так как  есть четное число, (см.Примечание), то  — натуральное число. После подстановки его в **(8)** получим , то есть натуральные числа в степени «m». Совершив вышеуказанную подстановку в тождество **(6)**, и, обозначив  через , получим следующее тождество: . Мы получили множество прямоугольных треугольников со сторонами . Если ( k,q, p) — натуральные числа в нечетной степени, т.е.  где r — любое нечетное число, а . Чтобы опровергнуть Ферма нужно, чтобы:  В последнем равенстве при любых натуральных **a** и **b**,  — числа натуральные, но первые два равенства невозможны, так как, если «**m** и **r**» любые нечетные числа, то  — иррациональные числа, а числа в скобках — числа натуральные. Если же (k,q, p) — натуральные числа в четной степени, т.е. , то мы получим следующие равенства  **(5)**. В данном варианте последнее равенство невозможно, т.к. извлекая корень m степени из обеих частей равенства получим , т.е. в скобках иррациональное число, а  — натуральное. Это значит, что и в этом множестве не найдено «нужного» треугольника. А это значит, что для любых
нечетных
«**m**» утверждение Ферма верно, а значит, верно, для всех простых показателей «m ≥ 3».
Остается найти доказательство теоремы для четных показателей. Из **(5)** следует, что, если в каноническом разложении четного показателя степени есть нечетное простое число, то утверждение Ферма для этой степени верно. Очевидно, что этому условию отвечают все четные числа, кроме числа «**4**» и чисел кратных четырем, т.е. **8, 16, 32, 64 …** и т.д. В разложении этих чисел есть только простое число **2**. Поэтому вышеприведенное доказательство не дает ответа для этих степеней.
Значит остается доказать теорему для «**n = 4**». Можно предположить, что у Ферма было общее доказательство, но не полное. Может быть, поэтому он и не записал свое доказательство. И только через несколько лет, создав свой метод «бесконечного или неопределенного спуска», он доказал, что не существует прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами, у которого площадь равнялась бы квадрату натурального числа. После этого доказательство теоремы для «**n = 4**» не составило труда. Это доказательство Ферма записал. И теорема оказалась доказанной полностью.
Tags:
- [теорема Ферма](https://habr.com/en/search/?target_type=posts&order=relevance&q=[%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0+%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0])
- [краткое доказательство](https://habr.com/en/search/?target_type=posts&order=relevance&q=[%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B5+%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE])
Hubs:
- [Mathematics](https://habr.com/en/hubs/maths/)
You can’t comment this publication because its author is not yet a [full member](https://habr.com/docs/help/registration/#standard) of the community. You will be able to contact the author only after he or she has been [invited](https://habr.com/docs/help/registration/#invite) by someone in the community. Until then, author’s username will be hidden by an alias.
## About the sandbox
This is the [Sandbox](https://habr.com/docs/help/sandbox/) — the part of Habr that accumulates all the debut publications of those who want to become full members of the community.
If you have an [invitation](https://habr.com/docs/help/registration/#invite) send it to the author of the pending publication you like in order to share the publication with the rest of Habr community so they can read and comment it.
To avoid any prejudice all the publications here are anonymous and nicknames are generated randomly.
## About publication's verification
Moderation won’t definitely be passed by:
- news, announcements and press releases;
- advertising materials;
- complaints about companies and services provided;
- pieces of program code without detailed explanations;
- publications previously published on other sites;
- monosyllabic materials (a couple of paragraphs or a video);
- articles that are weakly related to IT topics or not related to it at all;
- publications that violate the site [rules](https://habr.com/docs/help/rules/).
Moderation most likely won’t be passed by (or will be sent for revision):
- materials with a low (less than 75%) unique text index;
- publications without correctly placed punctuation marks, with emoticons, with an abundance of exclamation marks, unjustified emphasis on words and sentences;
- poorly designed publications ([more details](https://habr.com/docs/companies/design/));
- low quality translations.
Your account
- [Log in](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr/?back=/en/sandbox/83079/&hl=en)
- [Sign up](https://habr.com/kek/v1/auth/habrahabr-register/?back=/en/sandbox/83079/&hl=en)
Sections
- [Articles](https://habr.com/en/articles/)
- [News](https://habr.com/en/news/)
- [Hubs](https://habr.com/en/hubs/)
- [Authors](https://habr.com/en/users/)
- [Sandbox](https://habr.com/en/sandbox/)
Information
- [How it works](https://habr.com/en/docs/help/)
- [For authors](https://habr.com/en/docs/authors/codex/)
- [For companies](https://habr.com/en/docs/companies/corpblogs/)
- [Documents](https://habr.com/en/docs/docs/transparency/)
- [Agreement](https://account.habr.com/info/agreement/?hl=en_US)
- [Confidential](https://account.habr.com/info/confidential/?hl=en_US)
Services
- [Corporate blogs](https://company.habr.com/en/corporate-blogs/)
- [Advertising](https://company.habr.com/en/advertising/)
- [Native advertising](https://company.habr.com/en/native-special/)
- [Education programs](https://company.habr.com/en/education-programs/)
- [Startups](https://company.habr.com/en/hello-startup/)
Language settings
[Support](https://habr.com/en/feedback/)
© 2006–2025, [Habr](https://company.habr.com/en/) |
| Readable Markdown | null |
| Shard | 134 (laksa) |
| Root Hash | 14843476518697139734 |
| Unparsed URL | com,habr!/en/sandbox/83079/ s443 |