ℹ️ Skipped - page is already crawled
| Filter | Status | Condition | Details |
|---|---|---|---|
| HTTP status | PASS | download_http_code = 200 | HTTP 200 |
| Age cutoff | PASS | download_stamp > now() - 6 MONTH | 1.4 months ago |
| History drop | PASS | isNull(history_drop_reason) | No drop reason |
| Spam/ban | PASS | fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0 | ml_spam_score=0 |
| Canonical | PASS | meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed | Not set |
| Property | Value | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| URL | https://dxdy.ru/post1164735.html | |||||||||
| Last Crawled | 2026-03-11 20:48:05 (1 month ago) | |||||||||
| First Indexed | 2018-01-19 14:52:43 (8 years ago) | |||||||||
| HTTP Status Code | 200 | |||||||||
| Content | ||||||||||
| Meta Title | Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма. : Великая теорема Ферма | |||||||||
| Meta Description | null | |||||||||
| Meta Canonical | null | |||||||||
| Boilerpipe Text | Приветствую Вас, математики!
С Вашего разрешения, позволю себе начать с небольшого философского вступительного слова. Великая теорема Ферма представляет собой некую искусную ловушку для математиков. В неё очень легко попасть, задумавшись над, казалось бы, простым вопросом, и практически невозможно выбраться, найдя хоть какое-то логическое решение. Все математики мира во все времена, начиная с самого П. Ферма и Л. Эйлера, находились и находятся в этой ловушке, включая Э. Уайлса.
Вначале все пытаются мыслить логически, затем ищут хоть какой-то выход, затем, не найдя выхода, от безысходности в растерянности мечутся по всей ловушке. Мне это также очень хорошо известно, поскольку я тоже прошёл сквозь все эти «круги ада»!
Я думаю, вряд ли П. Ферма мог найти полное доказательство этой теоремы. Скорей всего сработала математическая интуиция!
Что же касается справедливости теоремы, то тут я, к сожалению, должен сказать, что П. Ферма оказался действительно прав. Лично для меня была более приемлема мысль, что он заблуждался, и что всё же можно найти эту заветную тройку целых чисел, и этим контрпримером разбить теорему в пух и прах.
Однако, скажу для тех, кто ещё так думает, поверьте моему горькому опыту – великая теорема Ферма действительно верна! Но, знаю, это всё равно не будет являться аргументом, поскольку математики сами хотят проверить всё доказательство от А до Я. И если в нём будет хоть одна неточность или неоднозначность, то математики не получат полной уверенности в справедливости теоремы. Именно поэтому большинством математиков всего мира, якобы справедливое, доказательство Э. Уайлса не было воспринято как достоверное. Тем более, каждый человек понимает, что чем сложнее конструкция, тем больше в ней хрупких узлов, и тем проще её разрушить. Что касается самого Э. Уайлса, то на самом деле, я считаю, это очень несчастный человек. Он очень сильно хотел доказать эту теорему, и математический мир смирился с тем, что он её доказал. Ведь ребёнку проще что-то дать, чем отказать. Такая вот история случилась с ним. Можно хотя бы вспомнить случай, как он на ступеньках за час до своего выступления перед математическим сообществом пытался исправить ошибку в своём первом доказательстве в 1993 году. И хоть некоторые математики, видимо из чувства жалости к Э. Уайлсу или чтобы поставить хоть какую-то точку в этой всей бесконечной истории, признали его сложное доказательство верным, но в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь.
Не хочу с ним спорить. Время всё расставит на свои места. Всё равно получится так, как пел В. Цой в своей песни «Сосны на морском берегу»:
«И пускай фонари светят ярче далёких звёзд,
Фонари все погаснут, а звёзды будут светить!»
Итак, настало то время, друзья, когда я готов показать вам путь, с помощью которого можно выбраться из многовековой ловушки под названием «Великая теорема Ферма». Вслед за мной, вы сможете выбраться наружу и посмотреть, как устроена эта ловушка. Однако, этот трюк будет готов выполнить лишь тот, кто сможет принять элементарные математические новшества, найденные мной в процессе поиска решения этой непростой задачи.
Аналогично тому, как стала возможной левитация и полёт Дэвида Копперфильда или Человека в маске, после изобретения и применения множества тончайших невидимых человеческому глазу стальных нитей, полное доказательство ВТФ также стало возможным только после нахождения и применения универсальных формул разложения. Одну из них вы давно знаете – это знаменитая формула бинома Ньютона. Остальные же формулы до настоящего времени были неизвестны математике. Именно эти отсутствующие универсальные формулы и были тем недостающим звеном для разгадки великой тайны, оставленной нам П. Ферма.
Как и все загадки, и фокусы, ВТФ после её полного элементарного доказательства, в результате окажется уже неинтересной для тех, кто поймёт это доказательство. Ведь человеку интересно только всё неизведанное. Но, увидев такое разоблачение, математики, тем самым, расширят свой кругозор и смогут уже разгадывать ещё более сложные загадки. В этом-то и заключается процесс познания мира.
Ну, что ж, начнём. Как говорится, дорогу осилит идущий! Для начала, обозначим условия задачи.
Великая теорема Ферма имеет следующую формулировку:
Если
означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению:
(1)
не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа
,
и
.
Действительно, при
существуют тройки целых положительных чисел
,
и
. Это, так называемые, пифагоровы тройки. В данном элементарном доказательстве раскроем причину их существования. А также докажем, что для любой большей целой положительной степени
, начиная с
, не может существовать ни одна тройка целых положительных чисел
,
и
.
Для третьей степени приведём классическое доказательство Л. Эйлера, выполненное по методу бесконечного спуска.
Для доказательства этой теоремы, начиная с четвёртой степени, воспользуемся универсальными формулами разложения. И покажем, что для полного доказательства теоремы Ферма, необходимо и достаточно доказать её для четвёртой и любой простой степени.
Пифагоровы тройки.
Пифагоровыми тройками называются такие три целых положительных числа
,
и
, которые удовлетворяют уравнению:
. (2)
Прежде всего заметим, что числа
,
и
мы в праве считать попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если бы какие-нибудь два из них, например
и
, имели какого-нибудь общего делителя
, то, как показывает уравнение (2), и
должно было бы делиться на
, так что всё уравнение можно было бы сократить на
. Поэтому мы можем считать, что числа
,
и
с самого начала попарно не имеют общих делителей.
Далее, нетрудно заметить, что из чисел
и
одно непременно должно быть чётным, а другое нечётным. В самом деле, если бы они оба были чётными, то это означало бы, что у них есть общий делитель 2, - случай, который мы исключили. Если же они оба были бы нечётными, например,
,
,
то мы имели бы:
, (3)
откуда видно, что
, а, следовательно, и
есть чётное число, например,
, откуда
, то есть
должно делиться на 4; но равенство (3) ясно показывает, что
при делении на 4 дает в остатке 2. Таким образом предположение, что числа
и
оба нечётные, приводит нас к противоречию, и мы можем считать доказанным, что из двух чисел
и
одно должно быть чётным, а другое нечётным. Заметим, что в таком случае
, равное
, есть число обязательно нечётное, а, следовательно, и
должно быть нечётным числом.
Уравнение (2) можно записать в виде:
,
или в виде:
; (4)
причём, если считать, что число
в формуле (4) дополняется до числа
числом
, то есть
, то в таком случае
.
Сократим последнее уравнение на
, считая, что
, где
– некоторое целое число, в результате чего получим равенство:
.
Заметим, что числа
и
оба нечётные, поэтому число
всегда чётное. А значит, число
всегда будет целым при соответствующем целом дополнительном числе
. Это является важнейшим условием существования пифагоровых троек.
Например, для наглядности, возьмём одну пифагорову тройку:
,
,
. Для неё
;
;
;
;
. Здесь
,
.
Если число
, то число
следует брать по модулю.
В дальнейшем мы покажем, что для четвёртой степени и всех простых степеней, больших второй, такое одновременное существование целых чисел
и
невозможно по определённым причинам, вследствие чего не может существовать такой целый делитель
для целого числа
, что напрямую укажет на невозможность получить хотя бы одну тройку целых чисел
,
и
, подобно тому, как мы получаем пифагоровы тройки.
Доказательство теоремы Ферма для третьей степени.
Докажем, что уравнение:
(5)
не может иметь решений в целых числах
,
и
; при этом мы можем учитывать возможность отрицательных решений ввиду нечётности степени.
Допустим, что существует тройка целых, отличных от нуля чисел, удовлетворяющих уравнению (5); прежде всего мы можем считать эти числа
,
и
попарно не имеющими общих делителей, то есть взаимно простыми. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа
,
и
стали бы взаимно простыми.
Числа
и
не могут быть оба чётными, так как мы предположили их не имеющими общих делителей. Отсюда легко следует, что мы в праве считать одно из них чётным, а другое нечётным; в самом деле, если бы они оба были нечётными, то, как показывает уравнение (5),
было бы числом чётным, и мы бы могли заставить его играть роль прежнего
, переписав уравнение (5) в виде:
.
Итак, будем считать
чётным, а
– нечётным; уравнение (5) показывает, что
в таком случае нечётно, и, следовательно, числа
и
целые. Так как
и
, то из чисел
и
одно должно быть чётным, а другое нечётным. Мы получаем
.
Таким образом, при наших предположениях, выражение
также должно быть кубом целого числа; при этом, очевидно, мы можем считать
и
целыми числами, не имеющими общих делителей; более того, соотношение
(6)
показывает нам, что числа
,
и
мы можем считать положительными, не ограничивая этим общности задачи. Относительно
это ясно само собой;
и
, как показывает соотношение (6), имеют одинаковые знаки; если бы они были отрицательными, мы могли бы, изменив знаки чисел
,
и
(благодаря чему
, как показывает его выражение, также только переменило бы знак), сделать числа
и
положительными.
Поскольку число
– чётное, то полагая
, получаем:
;
но так как числа
и
– разной чётности, то
есть число нечётное; следовательно, написанное равенство требует, чтобы
делилось на 4.
Таким образом, произведение чисел
и
должно быть кубом целого числа; если сомножители не имеют общих делителей, то отсюда следует, что каждый из них в отдельности должен быть кубом некоторого целого числа. Посмотрим же, могут ли эти сомножители, или, что то же, могут ли числа
и
иметь общие делители. Если такой делитель есть, то вместе с числом
на него будет делиться и
, а, следовательно, и разность
; а так как числа
и
, по доказанному, общих делителей не имеют, то этим делителем может быть только число 3.
В зависимости от числа
оно может не делиться на простое число 3, а может и делиться на него. Для получения полного доказательства Великой теоремы Ферма для третьей степени рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: число
не делится на простое число 3.
Если
не делится на 3 и, следовательно, числа
и
не имеют общих делителей, то, как мы уже выяснили, каждое из них в отдельности должно быть кубом некоторого целого числа.
Теперь мы вступаем в область, так называемых, целых алгебраических чисел. Заметим, что
;
числа вида
, где
и
– обыкновенные целые числа, и представляют собою тот частный случай целых алгебраических чисел, с которыми нам здесь придётся иметь дело. Для этих чисел можно построить всю арифметику так же, как мы её строим для обыкновенных целых чисел. Определение делимости, делителя, кратного, абсолютно простого числа и так далее остаются теми же, как и в обычной арифметике. Сохраняется и большая часть её предложений; в частности, если произведение двух чисел этого нового вида равно кубу некоторого числа того же вида и если сомножители не имеют общих делителей, то каждый из них в отдельности будет кубом некоторого алгебраического числа того же вида.
Произведение чисел
и
есть, как мы показали, куб некоторого обыкновенного целого числа; но всякое обыкновенное целое число
принадлежит к классу наших новых целых чисел, ибо может быть представлено в виде
. Можно показать (мы не будем входить в эти подробности), что числа
и
не могут иметь общих делителей того же вида. Таким образом каждое из этих чисел должно быть кубом некоторого числа, и нетрудно убедиться, что эти новые числа должны отличаться друг от друга только знаком при
; в самом деле, полагая
, (7)
мы непосредственно убеждаемся, что число
должно быть кубом числа
.Отсюда мы находим:
Кроме того, раскрывая соотношение (7), мы получаем:
,
.
Так как
– число нечётное, то последняя формула показывает нам, что
должно быть числом нечётным, а
– чётным.
Так как, далее, число
, а, следовательно, и число
, должно быть кубом целого числа, то выражение
также должно быть кубом целого числа.
Три множителя
,
и
этого произведения попарно не могут иметь общих делителей, в чём легко убедиться, замечая, что число
– чётное и не может делиться на 3, так как тогда и
делилось бы на 3, в противоречие с нашим предположением. Отсюда следует, что каждый из этих трёх множителей в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая
,
,
,
мы, очевидно, получаем:
;
таким образом числа
,
и
также удовлетворяют уравнению (5). Легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному значению меньше чисел
,
и
первоначальной тройки. Поэтому мы находимся в условиях применимости принципа бесконечного спуска и можем считать предложение доказанным, потому что из существования второй тройки решений на основании доказанного будет следовать существование третьей и так далее. Таким образом, если бы уравнение (5) имело хоть одну тройку решений, то оно должно было бы иметь таких троек бесчисленное множество, бесконечный ряд, и в этом ряду последнее из трёх чисел от тройки к тройке становилось бы всё меньше и меньше, оставаясь целым и положительным, что создаёт очевидную нелепость. Отсюда следует, что уравнение (5) не может удовлетворяться никакой тройкой целых положительных чисел
,
и
.
Следовательно, этим утверждением мы завершили доказательство Великой теоремы Ферма для первого случая третьей степени, когда число
не делится на простое число 3.
Случай 2: число
делится на простое число 3.
В этом случае положим
, где
, подобно
, должно быть чётным числом и не может иметь общих делителей с
; так как
должно быть кубом целого числа и так как числа
и
, как легко убедиться, не могут иметь общих делителей, то каждое из этих чисел в отдельности есть куб некоторого целого числа.
Из того, что
есть куб целого числа, мы, так же как в первом случае, заключаем, что
,
,
причём на этот раз, как легко видеть,
должно быть нечётным, а
– чётным числом.
Последняя формула показывает, что
делится на 3.
Из того, что
должно быть кубом целого числа, мы, умножая это число на
и помня, что
делится на 3, находим, что и
должно быть кубом целого числа.
А так как множители
,
и
этого произведения, очевидно, попарно не могут иметь общих делителей, то каждый из них в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая
,
,
,
находим
;
таким образом мы и во втором случае приходим к существованию новой тройки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению (5), и эти новые числа опять, как легко проверить, по абсолютной величине меньше первоначальных, что означает, что мы и в этом случае приходим к возможности применять принцип бесконечного спуска и, следовательно, можем считать Великую теорему Ферма для второго случая третьей степени, когда число
делится на простое число 3, окончательно доказанной. | |||||||||
| Markdown | | | |
|---|---|
| [](https://dxdy.ru/) | Научный форум dxdyМатематика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки |
| |
|---|
| [Список форумов](https://dxdy.ru/) » [Математика](https://dxdy.ru/matematika-f63.html) » [Дискуссионные темы (М)](https://dxdy.ru/diskussionnye-temy-m-f28.html) » [Великая теорема Ферма](https://dxdy.ru/velikaya-teorema-ferma-f62.html) |
## [Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.](https://dxdy.ru/topic112687.html)
| | |
|---|---|
| | **[На страницу](https://dxdy.ru/post1164735.html "Перейти на страницу…") **1**, [2](https://dxdy.ru/topic112687-15.html), [3](https://dxdy.ru/topic112687-30.html), [4](https://dxdy.ru/topic112687-45.html), [5](https://dxdy.ru/topic112687-60.html), [6](https://dxdy.ru/topic112687-75.html) [След.](https://dxdy.ru/topic112687-15.html)** |
| | |
|---|---|
| | |
| | [Пред. тема](https://dxdy.ru/viewtopic.php?f=62&t=112687&view=previous) \| [След. тема](https://dxdy.ru/viewtopic.php?f=62&t=112687&view=next) |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**30\.10.2016, 23:22 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось TPB 10.11.2016, 06:38, всего редактировалось 1 раз. Приветствую Вас, математики\! С Вашего разрешения, позволю себе начать с небольшого философского вступительного слова. Великая теорема Ферма представляет собой некую искусную ловушку для математиков. В неё очень легко попасть, задумавшись над, казалось бы, простым вопросом, и практически невозможно выбраться, найдя хоть какое-то логическое решение. Все математики мира во все времена, начиная с самого П. Ферма и Л. Эйлера, находились и находятся в этой ловушке, включая Э. Уайлса. Вначале все пытаются мыслить логически, затем ищут хоть какой-то выход, затем, не найдя выхода, от безысходности в растерянности мечутся по всей ловушке. Мне это также очень хорошо известно, поскольку я тоже прошёл сквозь все эти «круги ада»\! Я думаю, вряд ли П. Ферма мог найти полное доказательство этой теоремы. Скорей всего сработала математическая интуиция! Что же касается справедливости теоремы, то тут я, к сожалению, должен сказать, что П. Ферма оказался действительно прав. Лично для меня была более приемлема мысль, что он заблуждался, и что всё же можно найти эту заветную тройку целых чисел, и этим контрпримером разбить теорему в пух и прах. Однако, скажу для тех, кто ещё так думает, поверьте моему горькому опыту – великая теорема Ферма действительно верна! Но, знаю, это всё равно не будет являться аргументом, поскольку математики сами хотят проверить всё доказательство от А до Я. И если в нём будет хоть одна неточность или неоднозначность, то математики не получат полной уверенности в справедливости теоремы. Именно поэтому большинством математиков всего мира, якобы справедливое, доказательство Э. Уайлса не было воспринято как достоверное. Тем более, каждый человек понимает, что чем сложнее конструкция, тем больше в ней хрупких узлов, и тем проще её разрушить. Что касается самого Э. Уайлса, то на самом деле, я считаю, это очень несчастный человек. Он очень сильно хотел доказать эту теорему, и математический мир смирился с тем, что он её доказал. Ведь ребёнку проще что-то дать, чем отказать. Такая вот история случилась с ним. Можно хотя бы вспомнить случай, как он на ступеньках за час до своего выступления перед математическим сообществом пытался исправить ошибку в своём первом доказательстве в 1993 году. И хоть некоторые математики, видимо из чувства жалости к Э. Уайлсу или чтобы поставить хоть какую-то точку в этой всей бесконечной истории, признали его сложное доказательство верным, но в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Не хочу с ним спорить. Время всё расставит на свои места. Всё равно получится так, как пел В. Цой в своей песни «Сосны на морском берегу»: «И пускай фонари светят ярче далёких звёзд, Фонари все погаснут, а звёзды будут светить!» Итак, настало то время, друзья, когда я готов показать вам путь, с помощью которого можно выбраться из многовековой ловушки под названием «Великая теорема Ферма». Вслед за мной, вы сможете выбраться наружу и посмотреть, как устроена эта ловушка. Однако, этот трюк будет готов выполнить лишь тот, кто сможет принять элементарные математические новшества, найденные мной в процессе поиска решения этой непростой задачи. Аналогично тому, как стала возможной левитация и полёт Дэвида Копперфильда или Человека в маске, после изобретения и применения множества тончайших невидимых человеческому глазу стальных нитей, полное доказательство ВТФ также стало возможным только после нахождения и применения универсальных формул разложения. Одну из них вы давно знаете – это знаменитая формула бинома Ньютона. Остальные же формулы до настоящего времени были неизвестны математике. Именно эти отсутствующие универсальные формулы и были тем недостающим звеном для разгадки великой тайны, оставленной нам П. Ферма. Как и все загадки, и фокусы, ВТФ после её полного элементарного доказательства, в результате окажется уже неинтересной для тех, кто поймёт это доказательство. Ведь человеку интересно только всё неизведанное. Но, увидев такое разоблачение, математики, тем самым, расширят свой кругозор и смогут уже разгадывать ещё более сложные загадки. В этом-то и заключается процесс познания мира. Ну, что ж, начнём. Как говорится, дорогу осилит идущий! Для начала, обозначим условия задачи. Великая теорема Ферма имеет следующую формулировку: Если  означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению:  (1) не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа ,  и . Действительно, при  существуют тройки целых положительных чисел ,  и . Это, так называемые, пифагоровы тройки. В данном элементарном доказательстве раскроем причину их существования. А также докажем, что для любой большей целой положительной степени , начиная с , не может существовать ни одна тройка целых положительных чисел ,  и . Для третьей степени приведём классическое доказательство Л. Эйлера, выполненное по методу бесконечного спуска. Для доказательства этой теоремы, начиная с четвёртой степени, воспользуемся универсальными формулами разложения. И покажем, что для полного доказательства теоремы Ферма, необходимо и достаточно доказать её для четвёртой и любой простой степени. Пифагоровы тройки. Пифагоровыми тройками называются такие три целых положительных числа ,  и , которые удовлетворяют уравнению: . (2) Прежде всего заметим, что числа ,  и  мы в праве считать попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если бы какие-нибудь два из них, например  и , имели какого-нибудь общего делителя , то, как показывает уравнение (2), и  должно было бы делиться на , так что всё уравнение можно было бы сократить на . Поэтому мы можем считать, что числа ,  и  с самого начала попарно не имеют общих делителей. Далее, нетрудно заметить, что из чисел  и  одно непременно должно быть чётным, а другое нечётным. В самом деле, если бы они оба были чётными, то это означало бы, что у них есть общий делитель 2, - случай, который мы исключили. Если же они оба были бы нечётными, например, , , то мы имели бы: , (3) откуда видно, что , а, следовательно, и  есть чётное число, например, , откуда , то есть  должно делиться на 4; но равенство (3) ясно показывает, что  при делении на 4 дает в остатке 2. Таким образом предположение, что числа  и  оба нечётные, приводит нас к противоречию, и мы можем считать доказанным, что из двух чисел  и  одно должно быть чётным, а другое нечётным. Заметим, что в таком случае , равное , есть число обязательно нечётное, а, следовательно, и  должно быть нечётным числом. Уравнение (2) можно записать в виде: , или в виде: ; (4) причём, если считать, что число  в формуле (4) дополняется до числа  числом , то есть , то в таком случае . Сократим последнее уравнение на , считая, что , где  – некоторое целое число, в результате чего получим равенство: . Заметим, что числа  и  оба нечётные, поэтому число  всегда чётное. А значит, число  всегда будет целым при соответствующем целом дополнительном числе . Это является важнейшим условием существования пифагоровых троек. Например, для наглядности, возьмём одну пифагорову тройку: , , . Для неё ; ; ; ;  . Здесь , . Если число , то число  следует брать по модулю. В дальнейшем мы покажем, что для четвёртой степени и всех простых степеней, больших второй, такое одновременное существование целых чисел  и  невозможно по определённым причинам, вследствие чего не может существовать такой целый делитель  для целого числа , что напрямую укажет на невозможность получить хотя бы одну тройку целых чисел ,  и , подобно тому, как мы получаем пифагоровы тройки. Доказательство теоремы Ферма для третьей степени. Докажем, что уравнение:  (5) не может иметь решений в целых числах ,  и ; при этом мы можем учитывать возможность отрицательных решений ввиду нечётности степени. Допустим, что существует тройка целых, отличных от нуля чисел, удовлетворяющих уравнению (5); прежде всего мы можем считать эти числа ,  и  попарно не имеющими общих делителей, то есть взаимно простыми. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа ,  и  стали бы взаимно простыми. Числа  и  не могут быть оба чётными, так как мы предположили их не имеющими общих делителей. Отсюда легко следует, что мы в праве считать одно из них чётным, а другое нечётным; в самом деле, если бы они оба были нечётными, то, как показывает уравнение (5),  было бы числом чётным, и мы бы могли заставить его играть роль прежнего , переписав уравнение (5) в виде: . Итак, будем считать  чётным, а  – нечётным; уравнение (5) показывает, что  в таком случае нечётно, и, следовательно, числа  и  целые. Так как  и , то из чисел  и  одно должно быть чётным, а другое нечётным. Мы получаем . Таким образом, при наших предположениях, выражение  также должно быть кубом целого числа; при этом, очевидно, мы можем считать  и  целыми числами, не имеющими общих делителей; более того, соотношение  (6) показывает нам, что числа ,  и  мы можем считать положительными, не ограничивая этим общности задачи. Относительно  это ясно само собой;  и , как показывает соотношение (6), имеют одинаковые знаки; если бы они были отрицательными, мы могли бы, изменив знаки чисел ,  и  (благодаря чему , как показывает его выражение, также только переменило бы знак), сделать числа  и  положительными. Поскольку число  – чётное, то полагая , получаем: ; но так как числа  и  – разной чётности, то  есть число нечётное; следовательно, написанное равенство требует, чтобы  делилось на 4. Таким образом, произведение чисел  и  должно быть кубом целого числа; если сомножители не имеют общих делителей, то отсюда следует, что каждый из них в отдельности должен быть кубом некоторого целого числа. Посмотрим же, могут ли эти сомножители, или, что то же, могут ли числа  и  иметь общие делители. Если такой делитель есть, то вместе с числом  на него будет делиться и , а, следовательно, и разность ; а так как числа  и , по доказанному, общих делителей не имеют, то этим делителем может быть только число 3. В зависимости от числа  оно может не делиться на простое число 3, а может и делиться на него. Для получения полного доказательства Великой теоремы Ферма для третьей степени рассмотрим оба возможных случая. Случай 1: число  не делится на простое число 3. Если  не делится на 3 и, следовательно, числа  и  не имеют общих делителей, то, как мы уже выяснили, каждое из них в отдельности должно быть кубом некоторого целого числа. Теперь мы вступаем в область, так называемых, целых алгебраических чисел. Заметим, что ; числа вида , где  и  – обыкновенные целые числа, и представляют собою тот частный случай целых алгебраических чисел, с которыми нам здесь придётся иметь дело. Для этих чисел можно построить всю арифметику так же, как мы её строим для обыкновенных целых чисел. Определение делимости, делителя, кратного, абсолютно простого числа и так далее остаются теми же, как и в обычной арифметике. Сохраняется и большая часть её предложений; в частности, если произведение двух чисел этого нового вида равно кубу некоторого числа того же вида и если сомножители не имеют общих делителей, то каждый из них в отдельности будет кубом некоторого алгебраического числа того же вида. Произведение чисел  и  есть, как мы показали, куб некоторого обыкновенного целого числа; но всякое обыкновенное целое число  принадлежит к классу наших новых целых чисел, ибо может быть представлено в виде . Можно показать (мы не будем входить в эти подробности), что числа  и  не могут иметь общих делителей того же вида. Таким образом каждое из этих чисел должно быть кубом некоторого числа, и нетрудно убедиться, что эти новые числа должны отличаться друг от друга только знаком при ; в самом деле, полагая , (7) мы непосредственно убеждаемся, что число  должно быть кубом числа .Отсюда мы находим:  Кроме того, раскрывая соотношение (7), мы получаем: , . Так как  – число нечётное, то последняя формула показывает нам, что  должно быть числом нечётным, а  – чётным. Так как, далее, число , а, следовательно, и число , должно быть кубом целого числа, то выражение  также должно быть кубом целого числа. Три множителя ,  и  этого произведения попарно не могут иметь общих делителей, в чём легко убедиться, замечая, что число  – чётное и не может делиться на 3, так как тогда и  делилось бы на 3, в противоречие с нашим предположением. Отсюда следует, что каждый из этих трёх множителей в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая , , , мы, очевидно, получаем: ; таким образом числа ,  и  также удовлетворяют уравнению (5). Легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному значению меньше чисел ,  и  первоначальной тройки. Поэтому мы находимся в условиях применимости принципа бесконечного спуска и можем считать предложение доказанным, потому что из существования второй тройки решений на основании доказанного будет следовать существование третьей и так далее. Таким образом, если бы уравнение (5) имело хоть одну тройку решений, то оно должно было бы иметь таких троек бесчисленное множество, бесконечный ряд, и в этом ряду последнее из трёх чисел от тройки к тройке становилось бы всё меньше и меньше, оставаясь целым и положительным, что создаёт очевидную нелепость. Отсюда следует, что уравнение (5) не может удовлетворяться никакой тройкой целых положительных чисел ,  и . Следовательно, этим утверждением мы завершили доказательство Великой теоремы Ферма для первого случая третьей степени, когда число  не делится на простое число 3. Случай 2: число  делится на простое число 3. В этом случае положим , где , подобно , должно быть чётным числом и не может иметь общих делителей с ; так как  должно быть кубом целого числа и так как числа  и , как легко убедиться, не могут иметь общих делителей, то каждое из этих чисел в отдельности есть куб некоторого целого числа. Из того, что  есть куб целого числа, мы, так же как в первом случае, заключаем, что , , причём на этот раз, как легко видеть,  должно быть нечётным, а  – чётным числом. Последняя формула показывает, что  делится на 3. Из того, что  должно быть кубом целого числа, мы, умножая это число на  и помня, что  делится на 3, находим, что и  должно быть кубом целого числа. А так как множители ,  и  этого произведения, очевидно, попарно не могут иметь общих делителей, то каждый из них в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая , , , находим ; таким образом мы и во втором случае приходим к существованию новой тройки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению (5), и эти новые числа опять, как легко проверить, по абсолютной величине меньше первоначальных, что означает, что мы и в этом случае приходим к возможности применять принцип бесконечного спуска и, следовательно, можем считать Великую теорему Ферма для второго случая третьей степени, когда число  делится на простое число 3, окончательно доказанной. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **Феликс Шмидель** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 00:01 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось Феликс Шмидель 31.10.2016, 00:53, всего редактировалось 1 раз. **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): Отсюда мы находим:  В последнем равенстве ошибка: вместо  должно быть . \-- Пн окт 31, 2016 00:53:45 -- Это может быть опечатка, поэтому я продолжаю проверять. **Цитата:** числа F, G и H также удовлетворяют уравнению (5). Легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному значению меньше чисел X, Y и Z первоначальной тройки. Какое из чисел  меньше , какое меньше , какое меньше ? Как это подсчитать? | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **Феликс Шмидель** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 01:35 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось Феликс Шмидель 31.10.2016, 02:12, всего редактировалось 4 раз(а). Ещё вопрос: в равенстве (7), почему  и  должны быть целыми числами, почему они не могут иметь в знаменателе ? \-- Пн окт 31, 2016 02:11:44 -- Почему в правой части равества (7) не может быть сомножителя, который является делителем единицы? | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 03:15 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось TPB 10.11.2016, 07:01, всего редактировалось 2 раз(а). **Феликс Шмидель в [сообщении \#1164558](http://dxdy.ru/post1164558.html#p1164558)** писал(а): **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): Отсюда мы находим:  В последнем равенстве ошибка: вместо  должно быть . \-- Пн окт 31, 2016 00:53:45 -- Это может быть опечатка, поэтому я продолжаю проверять. **Цитата:** числа ,  и  также удовлетворяют уравнению (5). Легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному значению меньше чисел ,  и  первоначальной тройки. Какое из чисел  меньше , какое меньше , какое меньше ? Как это подсчитать? Да, Вы правы! Конечно же там "". Что касается второго вопроса, отвечаю: 1\) ; ; ; ; ; ; ; . 2\) ; ; ; ; ;; . 3\) ; ; ; ; . Что касается третьего вопроса, отвечаю: Если числа  и  будут нецелыми, то мы никак не получим целые числа  и . \-- 31.10.2016, 02:25 -- **Феликс Шмидель в [сообщении \#1164602](http://dxdy.ru/post1164602.html#p1164602)** писал(а): Ещё вопрос: в равенстве (7), почему  и  должны быть целыми числами, почему они не могут иметь в знаменателе ? \-- Пн окт 31, 2016 02:11:44 -- Почему в правой части равенства (7) не может быть сомножителя, который является делителем единицы? Приведённое мной элементарное доказательство Л. Эйлера для 3-ей степени является общедоступным. Более детально в нём разобраться может помочь хотя бы книга М.М. Постникова. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **Феликс Шмидель** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 03:40 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось Феликс Шмидель 31.10.2016, 04:12, всего редактировалось 2 раз(а). **TPB в [сообщении \#1164622](http://dxdy.ru/post1164622.html#p1164622)** писал(а): Что касается третьего вопроса, отвечаю: Если числа E и D будут нецелыми, то мы никак не получим целые числа B и A. Почему? Например, . **Цитата:** Приведённое мной элементарное доказательство Л. Эйлера для 3-ей степени является общедоступным. Более детально в нём разобраться может помочь хотя бы книга М.М. Постникова. Вы хотите сказать, что Ваше доказательство это доказательство Эйлера? \-- Пн окт 31, 2016 04:11:13 -- В книге Постникова есть ответы на мои вопросы. Ваше доказательство это действительно доказательство Эйлера, приведённое там. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 07:59 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось TPB 10.11.2016, 07:08, всего редактировалось 1 раз. Конечно же, это доказательство Л. Эйлера\! **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): А также докажем, что для любой большей целой положительной степени , начиная с , не может существовать ни одна тройка целых положительных чисел ,  и . Для третьей степени приведём классическое доказательство Л. Эйлера, выполненное по методу бесконечного спуска. Для доказательства этой теоремы, начиная с четвёртой степени, воспользуемся универсальными формулами разложения. И покажем, что для полного доказательства теоремы Ферма, необходимо и достаточно доказать её для четвёртой и любой простой степени. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **shwedka** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 16:12 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось shwedka 31.10.2016, 17:23, всего редактировалось 1 раз. **TPB в [сообщении \#1164633](http://dxdy.ru/post1164633.html#p1164633)** писал(а): И покажем, что для полного доказательства теоремы Ферма, необходимо и достаточно доказать её для четвёртой и любой простой степени. не надо. это все и так знают, **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): Он очень сильно хотел доказать эту теорему, и математический мир смирился с тем, что он её доказал. Ведь ребёнку проще что-то дать, чем отказать. Такая вот история случилась с ним. Можно хотя бы вспомнить случай, как он на ступеньках за час до своего выступления перед математическим сообществом пытался исправить ошибку в своём первом доказательстве в 1993 году. И хоть некоторые математики, видимо из чувства жалости к Э. Уайлсу или чтобы поставить хоть какую-то точку в этой всей бесконечной истории, признали его сложное доказательство верным, но в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Вы грубо ошибаетесь. Доказательство многократно проверялось. Найдены более простые версии, Имеется немало изложений, доступных для хорошего выпускника-математика. Найдены обобщения результатов Уайлза. В моем университете периодически читается курс для аспирантов на эту тему. Так что верность доказательства Уайлза - не частное мнение, а установленный факт. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **shwedka** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 17:20 | |
| | |
|  | |
| | |
| **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Пожалуйста, укажите источник этой информации --- или признайтесь, что это Ваше измышление. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 19:22 | |
| | |
|  | |
| | |
| **shwedka в [сообщении \#1164721](http://dxdy.ru/post1164721.html#p1164721)** писал(а): **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Пожалуйста, укажите источник этой информации --- или признайтесь, что это Ваше измышление. Как я уже писал выше, я не хочу спорить с Э. Уайлсом. Об этом уже написано много статей, а со временем их будет ещё больше. Например, в одной из своих статей «У порога новой науки или что стоит за феноменом Великой теоремы Ферма» на сайте <http://yuri-andreevich-ivliev.narod.ru/> русский академик Юрий Андреевич Ивлиев пишет о сложившейся ситуации в математике, и в частности, о несправедливости доказательства Э. Уайлса. Да, что там доказательство Э. Уайлса. Возможно я открою для Вас большую тайну, если скажу, что даже самое простое доказательство самого П. Ферма для 4-ой степени, выполненное по методу бесконечного спуска, является неполным, так как в том виде, в каком оно везде публикуется, П. Ферма свою теорему доказывает лишь для половины возможных случаев, а значит, в целом его доказательство неверно\! | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **shwedka** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 20:30 | |
| | |
|  | |
| | |
| **TPB в [сообщении \#1164735](http://dxdy.ru/post1164735.html#p1164735)** писал(а): Как я уже писал выше, я не хочу спорить с Э. Уайлсом. Именно этим Вы и занимаетесь. Повторяю вопрос. **shwedka в [сообщении \#1164721](http://dxdy.ru/post1164721.html#p1164721)** писал(а): **Цитата:** TPB в сообщении \#1164538 писал(а): в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Пожалуйста, укажите источник этой информации --- или признайтесь, что это Ваше измышление. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 21:11 | |
| | |
|  | |
| | |
| **shwedka в [сообщении \#1164752](http://dxdy.ru/post1164752.html#p1164752)** писал(а): **TPB в [сообщении \#1164735](http://dxdy.ru/post1164735.html#p1164735)** писал(а): Как я уже писал выше, я не хочу спорить с Э. Уайлсом. Именно этим Вы и занимаетесь. Повторяю вопрос. **shwedka в [сообщении \#1164721](http://dxdy.ru/post1164721.html#p1164721)** писал(а): **Цитата:** TPB в сообщении \#1164538 писал(а): в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь. Пожалуйста, укажите источник этой информации --- или признайтесь, что это Ваше измышление. Если Вы хотите увидеть задокументированный факт дискомфорта в душе Э. Уаилса, то его конечно же в природе нет и быть не может в принципе. Для Вас же я указал один из источников, который даёт повод мне так думать. К тому же вопрос о несправедливости его доказательства со временем всё равно решится. И Э. Уаилс не может этого не понимать\! | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **shwedka** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 21:17 | |
| | |
|  | |
| | |
| Последний раз редактировалось shwedka 31.10.2016, 21:44, всего редактировалось 1 раз. **TPB в [сообщении \#1164770](http://dxdy.ru/post1164770.html#p1164770)** писал(а): Если Вы хотите увидеть задокументированный факт дискомфорта в душе Э. Уаилса, то его конечно же в природе нет и быть не может в принципе. Для Вас же я указал один из источников, который даёт повод мне так думать. К тому же вопрос о несправедливости его доказательства со временем всё равно решится. И Э. Уаилс не может этого не понимать\! Итак, Вы признаетесь, что заявление о душевном состоянии Уайлза -- Ваше измышление. Что же касается Ивлиева, то это известный графоман-ферматик, академик самозваных академий, повторяющий одну и ту же элементарную ошибку в многочисленных публикациях. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **cmpamer** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 21:34 | |
| | |
|  | |
| | |
| **TPB в [сообщении \#1164538](http://dxdy.ru/post1164538.html#p1164538)** писал(а): Великая теорема Ферма представляет собой некую искусную ловушку для математиков. Тема ловушки не раскрыта. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **TPB** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 21:49 | |
| | |
|  | |
| | |
| **shwedka в [сообщении \#1164771](http://dxdy.ru/post1164771.html#p1164771)** писал(а): **TPB в [сообщении \#1164770](http://dxdy.ru/post1164770.html#p1164770)** писал(а): Если Вы хотите увидеть задокументированный факт дискомфорта в душе Э. Уаилса, то его конечно же в природе нет и быть не может в принципе. Для Вас же я указал один из источников, который даёт повод мне так думать. К тому же вопрос о несправедливости его доказательства со временем всё равно решится. И Э. Уаилс не может этого не понимать\! Итак, Вы признаетесь, что заявление о душевном состоянии Уайлза -- Ваше измышление. Что же касается Ивлиева, то это известный графоман-ферматик, академик самозваных академий, повторяющий одну и ту же элементарную ошибку в многочисленных публикациях. Если я не прав, то так лучше для всех! Но, мне кажется, мы ушли от темы. Так математики никогда не увидят настоящее доказательство ВТФ. | |
|  | |
| | |
|---|---|
| **shwedka** | |
| | |
| **Re: Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма.**31\.10.2016, 21:55 | |
| | |
|  | |
| | |
| **TPB в [сообщении \#1164780](http://dxdy.ru/post1164780.html#p1164780)** писал(а): Но, мне кажется, мы ушли от темы. Так математики никогда не увидят настоящее доказательство ВТФ. Так давайте, пишите! Чтение будет до первой ошибки. Только беллетристики и копания в душе не надо\! | |
|  | |
| | | | |
|---|---|---|---|
| | Страница **1** из **6** | \[ Сообщений: 77 \] | **[На страницу](https://dxdy.ru/post1164735.html "Перейти на страницу…") **1**, [2](https://dxdy.ru/topic112687-15.html), [3](https://dxdy.ru/topic112687-30.html), [4](https://dxdy.ru/topic112687-45.html), [5](https://dxdy.ru/topic112687-60.html), [6](https://dxdy.ru/topic112687-75.html) [След.](https://dxdy.ru/topic112687-15.html)** |
| |
|---|
| [Список форумов](https://dxdy.ru/) » [Математика](https://dxdy.ru/matematika-f63.html) » [Дискуссионные темы (М)](https://dxdy.ru/diskussionnye-temy-m-f28.html) » [Великая теорема Ферма](https://dxdy.ru/velikaya-teorema-ferma-f62.html) |
Powered by [phpBB](http://www.phpbb.com/) © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group | |||||||||
| Readable Markdown | Приветствую Вас, математики\!
С Вашего разрешения, позволю себе начать с небольшого философского вступительного слова. Великая теорема Ферма представляет собой некую искусную ловушку для математиков. В неё очень легко попасть, задумавшись над, казалось бы, простым вопросом, и практически невозможно выбраться, найдя хоть какое-то логическое решение. Все математики мира во все времена, начиная с самого П. Ферма и Л. Эйлера, находились и находятся в этой ловушке, включая Э. Уайлса.
Вначале все пытаются мыслить логически, затем ищут хоть какой-то выход, затем, не найдя выхода, от безысходности в растерянности мечутся по всей ловушке. Мне это также очень хорошо известно, поскольку я тоже прошёл сквозь все эти «круги ада»\!
Я думаю, вряд ли П. Ферма мог найти полное доказательство этой теоремы. Скорей всего сработала математическая интуиция!
Что же касается справедливости теоремы, то тут я, к сожалению, должен сказать, что П. Ферма оказался действительно прав. Лично для меня была более приемлема мысль, что он заблуждался, и что всё же можно найти эту заветную тройку целых чисел, и этим контрпримером разбить теорему в пух и прах.
Однако, скажу для тех, кто ещё так думает, поверьте моему горькому опыту – великая теорема Ферма действительно верна! Но, знаю, это всё равно не будет являться аргументом, поскольку математики сами хотят проверить всё доказательство от А до Я. И если в нём будет хоть одна неточность или неоднозначность, то математики не получат полной уверенности в справедливости теоремы. Именно поэтому большинством математиков всего мира, якобы справедливое, доказательство Э. Уайлса не было воспринято как достоверное. Тем более, каждый человек понимает, что чем сложнее конструкция, тем больше в ней хрупких узлов, и тем проще её разрушить. Что касается самого Э. Уайлса, то на самом деле, я считаю, это очень несчастный человек. Он очень сильно хотел доказать эту теорему, и математический мир смирился с тем, что он её доказал. Ведь ребёнку проще что-то дать, чем отказать. Такая вот история случилась с ним. Можно хотя бы вспомнить случай, как он на ступеньках за час до своего выступления перед математическим сообществом пытался исправить ошибку в своём первом доказательстве в 1993 году. И хоть некоторые математики, видимо из чувства жалости к Э. Уайлсу или чтобы поставить хоть какую-то точку в этой всей бесконечной истории, признали его сложное доказательство верным, но в душе сам Э. Уайлс понимает, что его доказательство не лишено пробелов и неточностей. А мысль о том, что он уже никогда не сможет его подправить, ещё больше омрачает его жизнь.
Не хочу с ним спорить. Время всё расставит на свои места. Всё равно получится так, как пел В. Цой в своей песни «Сосны на морском берегу»:
«И пускай фонари светят ярче далёких звёзд,
Фонари все погаснут, а звёзды будут светить!»
Итак, настало то время, друзья, когда я готов показать вам путь, с помощью которого можно выбраться из многовековой ловушки под названием «Великая теорема Ферма». Вслед за мной, вы сможете выбраться наружу и посмотреть, как устроена эта ловушка. Однако, этот трюк будет готов выполнить лишь тот, кто сможет принять элементарные математические новшества, найденные мной в процессе поиска решения этой непростой задачи.
Аналогично тому, как стала возможной левитация и полёт Дэвида Копперфильда или Человека в маске, после изобретения и применения множества тончайших невидимых человеческому глазу стальных нитей, полное доказательство ВТФ также стало возможным только после нахождения и применения универсальных формул разложения. Одну из них вы давно знаете – это знаменитая формула бинома Ньютона. Остальные же формулы до настоящего времени были неизвестны математике. Именно эти отсутствующие универсальные формулы и были тем недостающим звеном для разгадки великой тайны, оставленной нам П. Ферма.
Как и все загадки, и фокусы, ВТФ после её полного элементарного доказательства, в результате окажется уже неинтересной для тех, кто поймёт это доказательство. Ведь человеку интересно только всё неизведанное. Но, увидев такое разоблачение, математики, тем самым, расширят свой кругозор и смогут уже разгадывать ещё более сложные загадки. В этом-то и заключается процесс познания мира.
Ну, что ж, начнём. Как говорится, дорогу осилит идущий! Для начала, обозначим условия задачи.
Великая теорема Ферма имеет следующую формулировку:
Если  означает какое угодно целое положительное число, большее нежели 2, то уравнению:  (1)
не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа ,  и .
Действительно, при  существуют тройки целых положительных чисел ,  и . Это, так называемые, пифагоровы тройки. В данном элементарном доказательстве раскроем причину их существования. А также докажем, что для любой большей целой положительной степени , начиная с , не может существовать ни одна тройка целых положительных чисел ,  и .
Для третьей степени приведём классическое доказательство Л. Эйлера, выполненное по методу бесконечного спуска.
Для доказательства этой теоремы, начиная с четвёртой степени, воспользуемся универсальными формулами разложения. И покажем, что для полного доказательства теоремы Ферма, необходимо и достаточно доказать её для четвёртой и любой простой степени.
Пифагоровы тройки.
Пифагоровыми тройками называются такие три целых положительных числа ,  и , которые удовлетворяют уравнению: . (2)
Прежде всего заметим, что числа ,  и  мы в праве считать попарно не имеющими общих делителей. В самом деле, если бы какие-нибудь два из них, например  и , имели какого-нибудь общего делителя , то, как показывает уравнение (2), и  должно было бы делиться на , так что всё уравнение можно было бы сократить на . Поэтому мы можем считать, что числа ,  и  с самого начала попарно не имеют общих делителей.
Далее, нетрудно заметить, что из чисел  и  одно непременно должно быть чётным, а другое нечётным. В самом деле, если бы они оба были чётными, то это означало бы, что у них есть общий делитель 2, - случай, который мы исключили. Если же они оба были бы нечётными, например,
, ,
то мы имели бы: , (3)
откуда видно, что , а, следовательно, и  есть чётное число, например, , откуда , то есть  должно делиться на 4; но равенство (3) ясно показывает, что  при делении на 4 дает в остатке 2. Таким образом предположение, что числа  и  оба нечётные, приводит нас к противоречию, и мы можем считать доказанным, что из двух чисел  и  одно должно быть чётным, а другое нечётным. Заметим, что в таком случае , равное , есть число обязательно нечётное, а, следовательно, и  должно быть нечётным числом.
Уравнение (2) можно записать в виде:
,
или в виде: ; (4)
причём, если считать, что число  в формуле (4) дополняется до числа  числом , то есть , то в таком случае .
Сократим последнее уравнение на , считая, что , где  – некоторое целое число, в результате чего получим равенство:
.
Заметим, что числа  и  оба нечётные, поэтому число  всегда чётное. А значит, число  всегда будет целым при соответствующем целом дополнительном числе . Это является важнейшим условием существования пифагоровых троек.
Например, для наглядности, возьмём одну пифагорову тройку: , , . Для неё ; ;
; ;  . Здесь , .
Если число , то число  следует брать по модулю.
В дальнейшем мы покажем, что для четвёртой степени и всех простых степеней, больших второй, такое одновременное существование целых чисел  и  невозможно по определённым причинам, вследствие чего не может существовать такой целый делитель  для целого числа , что напрямую укажет на невозможность получить хотя бы одну тройку целых чисел ,  и , подобно тому, как мы получаем пифагоровы тройки.
Доказательство теоремы Ферма для третьей степени.
Докажем, что уравнение:  (5)
не может иметь решений в целых числах ,  и ; при этом мы можем учитывать возможность отрицательных решений ввиду нечётности степени.
Допустим, что существует тройка целых, отличных от нуля чисел, удовлетворяющих уравнению (5); прежде всего мы можем считать эти числа ,  и  попарно не имеющими общих делителей, то есть взаимно простыми. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа ,  и  стали бы взаимно простыми.
Числа  и  не могут быть оба чётными, так как мы предположили их не имеющими общих делителей. Отсюда легко следует, что мы в праве считать одно из них чётным, а другое нечётным; в самом деле, если бы они оба были нечётными, то, как показывает уравнение (5),  было бы числом чётным, и мы бы могли заставить его играть роль прежнего , переписав уравнение (5) в виде: .
Итак, будем считать  чётным, а  – нечётным; уравнение (5) показывает, что  в таком случае нечётно, и, следовательно, числа
 и  целые. Так как  и , то из чисел  и  одно должно быть чётным, а другое нечётным. Мы получаем
.
Таким образом, при наших предположениях, выражение
 также должно быть кубом целого числа; при этом, очевидно, мы можем считать  и  целыми числами, не имеющими общих делителей; более того, соотношение
 (6)
показывает нам, что числа ,  и  мы можем считать положительными, не ограничивая этим общности задачи. Относительно  это ясно само собой;  и , как показывает соотношение (6), имеют одинаковые знаки; если бы они были отрицательными, мы могли бы, изменив знаки чисел ,  и  (благодаря чему , как показывает его выражение, также только переменило бы знак), сделать числа  и  положительными.
Поскольку число  – чётное, то полагая , получаем:
;
но так как числа  и  – разной чётности, то  есть число нечётное; следовательно, написанное равенство требует, чтобы  делилось на 4.
Таким образом, произведение чисел  и  должно быть кубом целого числа; если сомножители не имеют общих делителей, то отсюда следует, что каждый из них в отдельности должен быть кубом некоторого целого числа. Посмотрим же, могут ли эти сомножители, или, что то же, могут ли числа  и  иметь общие делители. Если такой делитель есть, то вместе с числом  на него будет делиться и , а, следовательно, и разность ; а так как числа  и , по доказанному, общих делителей не имеют, то этим делителем может быть только число 3.
В зависимости от числа  оно может не делиться на простое число 3, а может и делиться на него. Для получения полного доказательства Великой теоремы Ферма для третьей степени рассмотрим оба возможных случая.
Случай 1: число  не делится на простое число 3.
Если  не делится на 3 и, следовательно, числа  и  не имеют общих делителей, то, как мы уже выяснили, каждое из них в отдельности должно быть кубом некоторого целого числа.
Теперь мы вступаем в область, так называемых, целых алгебраических чисел. Заметим, что ;
числа вида , где  и  – обыкновенные целые числа, и представляют собою тот частный случай целых алгебраических чисел, с которыми нам здесь придётся иметь дело. Для этих чисел можно построить всю арифметику так же, как мы её строим для обыкновенных целых чисел. Определение делимости, делителя, кратного, абсолютно простого числа и так далее остаются теми же, как и в обычной арифметике. Сохраняется и большая часть её предложений; в частности, если произведение двух чисел этого нового вида равно кубу некоторого числа того же вида и если сомножители не имеют общих делителей, то каждый из них в отдельности будет кубом некоторого алгебраического числа того же вида.
Произведение чисел  и  есть, как мы показали, куб некоторого обыкновенного целого числа; но всякое обыкновенное целое число  принадлежит к классу наших новых целых чисел, ибо может быть представлено в виде . Можно показать (мы не будем входить в эти подробности), что числа  и  не могут иметь общих делителей того же вида. Таким образом каждое из этих чисел должно быть кубом некоторого числа, и нетрудно убедиться, что эти новые числа должны отличаться друг от друга только знаком при ; в самом деле, полагая
, (7)
мы непосредственно убеждаемся, что число  должно быть кубом числа .Отсюда мы находим:
Кроме того, раскрывая соотношение (7), мы получаем:
, .
Так как  – число нечётное, то последняя формула показывает нам, что  должно быть числом нечётным, а  – чётным.
Так как, далее, число , а, следовательно, и число , должно быть кубом целого числа, то выражение
также должно быть кубом целого числа.
Три множителя ,  и  этого произведения попарно не могут иметь общих делителей, в чём легко убедиться, замечая, что число  – чётное и не может делиться на 3, так как тогда и  делилось бы на 3, в противоречие с нашим предположением. Отсюда следует, что каждый из этих трёх множителей в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая
, , ,
мы, очевидно, получаем:
;
таким образом числа ,  и  также удовлетворяют уравнению (5). Легко подсчитать, что эти новые числа по абсолютному значению меньше чисел ,  и  первоначальной тройки. Поэтому мы находимся в условиях применимости принципа бесконечного спуска и можем считать предложение доказанным, потому что из существования второй тройки решений на основании доказанного будет следовать существование третьей и так далее. Таким образом, если бы уравнение (5) имело хоть одну тройку решений, то оно должно было бы иметь таких троек бесчисленное множество, бесконечный ряд, и в этом ряду последнее из трёх чисел от тройки к тройке становилось бы всё меньше и меньше, оставаясь целым и положительным, что создаёт очевидную нелепость. Отсюда следует, что уравнение (5) не может удовлетворяться никакой тройкой целых положительных чисел ,  и .
Следовательно, этим утверждением мы завершили доказательство Великой теоремы Ферма для первого случая третьей степени, когда число  не делится на простое число 3.
Случай 2: число  делится на простое число 3.
В этом случае положим , где , подобно , должно быть чётным числом и не может иметь общих делителей с ; так как
должно быть кубом целого числа и так как числа  и , как легко убедиться, не могут иметь общих делителей, то каждое из этих чисел в отдельности есть куб некоторого целого числа.
Из того, что  есть куб целого числа, мы, так же как в первом случае, заключаем, что
, ,
причём на этот раз, как легко видеть,  должно быть нечётным, а  – чётным числом.
Последняя формула показывает, что  делится на 3.
Из того, что  должно быть кубом целого числа, мы, умножая это число на  и помня, что  делится на 3, находим, что и 
должно быть кубом целого числа.
А так как множители ,  и  этого произведения, очевидно, попарно не могут иметь общих делителей, то каждый из них в отдельности должен быть кубом целого числа. Полагая
, , ,
находим ;
таким образом мы и во втором случае приходим к существованию новой тройки чисел, удовлетворяющих исходному уравнению (5), и эти новые числа опять, как легко проверить, по абсолютной величине меньше первоначальных, что означает, что мы и в этом случае приходим к возможности применять принцип бесконечного спуска и, следовательно, можем считать Великую теорему Ферма для второго случая третьей степени, когда число  делится на простое число 3, окончательно доказанной. | |||||||||
| ML Classification | ||||||||||
| ML Categories |
Raw JSON{
"/Science": 931,
"/Science/Mathematics": 929,
"/Science/Mathematics/Other": 795
} | |||||||||
| ML Page Types |
Raw JSON{
"/Article": 926,
"/Article/Tutorial_or_Guide": 386
} | |||||||||
| ML Intent Types |
Raw JSON{
"Informational": 999
} | |||||||||
| Content Metadata | ||||||||||
| Language | ru-ru | |||||||||
| Author | null | |||||||||
| Publish Time | not set | |||||||||
| Original Publish Time | 2018-01-19 14:52:43 (8 years ago) | |||||||||
| Republished | No | |||||||||
| Word Count (Total) | 4,112 | |||||||||
| Word Count (Content) | 2,314 | |||||||||
| Links | ||||||||||
| External Links | 3 | |||||||||
| Internal Links | 28 | |||||||||
| Technical SEO | ||||||||||
| Meta Nofollow | No | |||||||||
| Meta Noarchive | No | |||||||||
| JS Rendered | No | |||||||||
| Redirect Target | null | |||||||||
| Performance | ||||||||||
| Download Time (ms) | 148 | |||||||||
| TTFB (ms) | 147 | |||||||||
| Download Size (bytes) | 22,852 | |||||||||
| Shard | 83 (laksa) | |||||||||
| Root Hash | 13718435564815122483 | |||||||||
| Unparsed URL | ru,dxdy!/post1164735.html s443 | |||||||||