🕷️ Crawler Inspector

URL Lookup

Direct Parameter Lookup

Raw Queries and Responses

1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 84 (from laksa179)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa084.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
  -H 'X-ClickHouse-Database: crawler3' \
  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56","crawl_time":1772531352,"first_indexed_time":1685134787,"http_code":200,"src_unparsed":"ru,bigenc!\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56 s443","src_root_hash":"7925164987578067284","history_drop_reason":null,"meta_title":"Дифференциальная форма. Большая российская энциклопедия","meta_descriptions":["Дифференциа́льная фо́рма, 1) дифференциальная форма степени (-форма на дифференцируемом многообразии ) – раз ковариантное тензорное поле на . Её..."],"attrs_boilerpipe_text":"Дифференциа́льная фо́рма,\n1) дифференциальная форма степени\np\np\n(\np\np\n-форма на\nдифференцируемом многообразии\nM\nM\n) –\np\np\nраз ковариантное тензорное поле на\nM\nM\n. Её можно интерпретировать также как\np\np\n-линейное [над алгеброй\nF\n(\nM\n)\nF(M)\nгладких вещественных функций на\nM\nM\n]\nотображение\nX\n(\nM\n)\np\n→\nF\n(\nM\n)\n\\mathscr X(M)^p \\to F(M)\n, где\nX\n(\nM\n)\n\\mathscr X(M)\nесть\nF\n(\nM\n)\nF(M)\n-модуль гладких векторных полей на\nM\nM\n. Формы степени\n1\n1\nназывают также пфаффовыми формами. Примером такой формы является\nдифференциал\nd\nf\ndf\nгладкой функции\nf\nf\nна\nM\nM\n, определяемый следующим образом:\n(\nd\nf\n)\n(\nX\n)\n(df)(X)\n,\nX\n∈\nX\n(\nM\n)\nX \\in \\mathscr X(M)\n, есть\nпроизводная\nX\nf\nXf\nфункции\nf\nf\nпо направлению поля\nX\nX\n.\nРимановы метрики\nна многообразии\nM\nM\nслужат примерами симметрических дифференциальных форм степени\n2\n2\n. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений.\nЕсли\n(\nx\n1\n,\n…\n,\nx\nn\n)\n(x^1, \\dots, x^n)\n– локальная система координат в области\nU\n⊂\nM\nU\\subset M\n, то формы\nd\nx\n1\n,\n…\n,\nd\nx\nn\ndx^1,\\dots,dx^n\nсоставляют базис в кокасательном пространстве\nT\nx\n(\nM\n)\n∗\nT_x(M)^*\n,\nx\n∈\nU\nx\\in U\n. Поэтому (см. в статье\nВнешняя алгебра\n) любая внешняя\np\np\n-форма\nα\n\\alpha\nзаписывается в\nU\nU\nв виде\nα\n=\n∑\ni\n1\n,\n…\n,\ni\np\na\ni\n1\n,\n…\n,\ni\np\nd\nx\ni\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nx\ni\np\n,\n(1)\n\\alpha = \\sum_{i_1,\\dots,i_p} a_{i_1,\\dots,i_p} dx^{i_1} \\wedge \\dots \\wedge dx^{i_p}, \\tag{1}\nгде\na\ni\n1\n…\ni\np\na_{i_1 \\dots i_p}\n– функции в\nU\nU\n. В частности,\nd\nf\n=\n∂\nf\n∂\nx\ni\nd\nx\ni\n.\ndf = \\frac{\\partial f}{\\partial x^i} dx^i.\nПусть\nE\np\n=\nE\np\n(\nM\n)\nE^p = E^p(M)\n– пространство всех внешних\np\np\n-форм класса\nC\n∞\nC^\\infty\n, причём\nE\n0\n(\nM\n)\n=\nF\n(\nM\n)\nE^0(M) = F(M)\n. Внешнее умножение\nα\n∧\nβ\n\\alpha\\wedge\\beta\nпревращает\nE\n∗\n(\nM\n)\n=\n∑\np\n=\n0\nn\nE\np\n(\nM\n)\nE^*(M) = \\sum_{p=0}^n E^p(M)\n(где\nn\n=\nd\ni\nm\n \nM\nn = {\\rm dim}\\, M\n) в\nассоциативную\nградуированную\nалгебру над\nF\n(\nM\n)\nF(M)\n, удовлетворяющую условию градуированной коммутативности\nα\n∧\nβ\n=\n(\n−\n1\n)\np\nβ\n∧\nα\n,\nα\n∈\nE\np\n,\nβ\n∈\nE\nq\n.\n(2)\n\\alpha\\wedge\\beta = (-1)^p \\beta\\wedge\\alpha, \\qquad \\alpha \\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q. \\tag{2}\nГладкое отображение многообразий\nf\n:\nM\n→\nN\nf:M\\to N\nпорождает\nгомоморфизм\nf\n∗\n:\nE\n∗\n(\nN\n)\n→\nE\n∗\n(\nM\n)\nf^*: E^*(N) \\to E^*(M)\nалгебр над\nR\n\\mathbb R\n.\nПонятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого\np\n≥\n0\np\\ge 0\nсуществует единственное линейное отображение\nd\n:\nE\np\n→\nE\np\n+\n1\nd: E^p \\to E^{p+1}\n(внешний дифференциал), совпадающее при\np\n=\n0\np=0\nс введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:\nd\n(\nα\n∧\nβ\n)\n=\nd\nα\n∧\nβ\n+\n(\n−\n1\n)\np\nα\n∧\nd\nβ\n,\nα\n∈\nE\np\n,\nβ\n∈\nE\nq\n,\nd\n(\nd\nα\n)\n=\n0.\nd (\\alpha\\wedge\\beta) = d\\alpha\\wedge\\beta+(-1)^p \\alpha\\wedge d\\beta, \\quad \\alpha\\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q,\\quad d(d\\alpha)=0.\nВнешний дифференциал формы\nα\n\\alpha\n, записанной в локальных координатах в виде\n(\n1\n)\n(1)\n, выражается формулой\nd\nα\n=\n∑\ni\n1\n,\n…\n,\ni\np\nd\na\ni\n1\n…\ni\np\n∧\nd\nx\ni\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nx\ni\np\n.\nd\\alpha = \\sum_{i_1,\\dots,i_p} d a_{i_1\\dots i_p} \\wedge dx^{i_1}\\wedge \\dots \\wedge dx^{i_p}.\nЕго бескоординатная запись:\nd\nα\n(\nX\n1\n,\n…\n,\nX\np\n+\n1\n)\n=\n∑\ni\n=\n1\np\n+\n1\n(\n−\n1\n)\ni\n+\n1\nX\ni\nα\n(\nX\n1\n,\n…\n,\nX\n^\ni\n,\n…\n,\nX\np\n+\n1\n)\n−\n−\n∑\ni\n<\nj\n(\n−\n1\n)\ni\n+\nj\nα\n(\n[\nX\ni\n,\nX\nj\n]\n,\nX\n1\n,\n…\n,\nX\n^\ni\n,\n…\n,\nX\n^\nj\n,\n…\n,\nX\np\n+\n1\n)\n,\n\\begin{aligned}\n\nd\\alpha(X_1,\\dots,X_{p+1}) = \\sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X_i \\alpha(X_1, \\dots, \\hat X_i, \\dots, X_{p+1}) - \\\\ - \\sum_{i<j} (-1)^{i+j} \\alpha([X_i, X_j], X_1, \\dots, \\hat X_i, \\dots, \\hat X_j, \\dots, X_{p+1}),\n\n\\end{aligned}\nгде\nX\n1\n,\n…\n,\nX\np\n+\n1\n∈\nX\n(\nM\n)\nX_1,\\dots,X_{p+1}\\in \\mathscr X(M)\n. Оператор взятия\nпроизводной Ли\nL\nX\nL_X\n,\nX\n∈\nX\n(\nM\n)\nX\\in \\mathscr X(M)\n, на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношением\nL\nX\n=\nd\n∘\ni\nX\n+\ni\nX\n∘\nd\n,\nL_X = d \\circ i_X + i_X \\circ d,\nгде\ni\nX\n:\nE\np\n→\nE\np\n−\n1\ni_X: E^p \\to E^{p-1}\n– оператор внутреннего умножения на\nX\nX\n:\n(\ni\nX\nα\n)\n(\nX\n1\n,\n…\n,\nX\np\n−\n1\n)\n=\nα\n(\nX\n,\nX\n1\n,\n…\n,\nX\np\n−\n1\n)\n,\nα\n∈\nE\np\n(\nM\n)\n,\nX\n1\n,\n…\n,\nX\np\n−\n1\n∈\nX\n(\nM\n)\n.\n\\begin{aligned}\n\n(i_X \\alpha)(X_1, \\dots,X_{p-1}) = \\alpha(X, X_1, \\dots,X_{p-1}), \\\\ \\alpha \\in E^p(M), \\quad X_1,\\dots, X_{p-1} \\in \\mathscr X(M).\n\n\\end{aligned}\nОператор\nd\nd\nпревращает\nE\n∗\n(\nM\n)\nE^*(M)\nв коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно\nтеореме де Рама\n, алгебра когомологий\nH\n∗\n(\nM\n)\n=\n∑\np\n=\n0\nn\nH\np\n(\nM\n)\nH^*(M) = \\sum_{p=0}^n H^p(M)\nкомплекса де Рама\nизоморфна\nалгебре\nH\n∗\n(\nM\n,\nR\n)\nH^*(M, \\mathbb R)\nвещественных когомологий многообразия\nM\nM\n. В частности,\nH\np\n(\nR\nn\n)\n=\n0\nH^p(\\mathbb R^n) = 0\nпри\np\n>\n0\np>0\n(лемма Пуанкаре).\nС теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть\nD\nD\n– ограниченная область в\nR\np\n\\mathbb R^p\n,\ns\ns\n– гладкое отображение\nR\np\n→\nM\n\\mathbb R^p \\to M\n, определённое в окрестности замыкания\nD\nˉ\n\\bar D\n. Если\nα\n∈\nE\np\n(\nM\n)\n\\alpha \\in E^p(M)\n, то\ns\n∗\nα\n=\na\nd\nx\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nx\np\ns^* \\alpha = a dx^1 \\wedge \\dots\\wedge dx^p\n, где\na\na\n– гладкая функция в\nD\nˉ\n\\bar D\n. Интеграл формы\nα\n\\alpha\nпо поверхности\ns\ns\nопределяется формулой\n∫\ns\nα\n=\n∫\nD\na\n(\nx\n1\n,\n…\n,\nx\np\n)\nd\nx\n1\n…\nd\nx\np\n.\n\\int_s \\alpha = \\int_D a(x_1, \\dots, x_p) dx^1\\dots dx^p.\nЕсли\nD\nD\nимеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула\n∫\ns\nd\nα\n=\n∫\n∂\ns\nα\n,\nα\n∈\nE\np\n−\n1\n(\nM\n)\n,\n(3)\n\\int_s d\\alpha = \\int_{\\partial s} \\alpha, \\quad \\alpha \\in E^{p-1}(M), \\tag{3}\nгде\n∫\n∂\ns\nα\n\\int_{\\partial s} \\alpha\nопределяется как сумма интегралов формы\nα\n\\alpha\nпо гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница,\nГрина\n, Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также\nТеорема Стокса\n). В силу формулы (3) каждая замкнутая\np\np\n-форма\nα\n\\alpha\nопределяет\np\np\n-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе\ns\ns\nравно\n∫\ns\nα\n\\int_s \\alpha\n. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама.\nФормула (3) была опубликована в 1899 г.\nА. Пуанкаре\n(\nPoincaré. 1987\n), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно\nЭ. Картан\n(см.\nCartan. 1953\n) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй.\nНаряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в\nвекторном пространстве\nV\nV\nнад\nR\n\\mathbb R\n. Если\nV\nV\nявляется алгеброй, то в пространстве\nE\n(\nM\n,\nV\n)\nE(M, V)\nформ со значениями в\nV\nV\nопределено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра\nV\nV\nассоциативна, то и\nE\n(\nM\n,\nV\n)\nE(M,V)\nассоциативна; если\nV\nV\nкоммутативна, то\nE\n(\nM\n,\nV\n)\nE(M,V)\nградуированно-коммутативна [формула (2)]; если\nV\nV\n–\nалгебра Ли\n, то\nE\n(\nM\n,\nV\n)\nE(M,V)\n–\nградуированная алгебра Ли\n. Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть\nF\nF\n– гладкое векторное\nрасслоенное пространство\nс базой\nM\nM\n. Если сопоставить каждой точке\nx\n∈\nM\nx\\in M\nкососимметрическую\np\np\n-линейную функцию на\nT\nx\n(\nM\n)\nT_x(M)\nсо значениями в слое\nF\nx\nF_x\nрасслоения\nF\nF\n, то получится т. н.\nF\nF\n-значная\np\np\n-форма.\nF\nF\n-значную\np\np\n-форму можно интерпретировать также как\np\np\n-линейное [над\nF\n(\nM\n)\nF(M)\n] отображение модуля\nX\n(\nM\n)\np\n\\mathscr X(M)^p\nв модуль гладких\nсечений расслоения\nF\nF\n. Пространство таких форм обозначается\nE\np\n(\nF\n)\nE^p(F)\n. Если\nF\nF\nзадано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в\nF\nF\nзадана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай.\nФормы со значениями в\nкасательном расслоении\nT\n(\nM\n)\nT(M)\nназывают также векторными дифференциальными формами; векторные\np\np\n-формы можно отождествить с\np\np\nраз ковариантными и\n1\n1\nраз контравариантными тензорными полями на\nM\nM\n, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм\nE\n(\nM\n)\nE(M)\n(\nFrölicher. 1956\n). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях.\nАналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к\nX. Уитни\n(\nУитни. 1960\n), может быть использована для вычисления рациональных\nкогомологий\nсимплициального комплекса\nK\nK\n. Кусочно-линейной формой (или\nP\nL\nPL\n-формой) на\nK\nK\nназывается согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса\nK\nK\nи имеющих в качестве коэффициентов при записи в\nбарицентрических координатах\nмногочлены\nс рациональными коэффициентами.\nP\nL\nPL\n-формы на\nK\nK\nобразуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру\nE\nP\nL\n∗\n(\nK\n)\nE^*_{PL}(K)\nнад\nQ\n\\mathbb Q\n. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру\nH\n∗\n(\n∣\nK\n∣\n,\nQ\n)\nH^*(|K|, \\mathbb Q)\n, где\n∣\nK\n∣\n|K|\n–\nполиэдр\n, отвечающий комплексу\nK\nK\n. Алгебра\nE\nP\nL\n∗\n(\nK\n)\nE^*_{PL}(K)\nполностью определяет также рациональный\nгомотопический тип\n(в частности, ранги гомотопических групп) пространства\n∣\nK\n∣\n|K|\n. Аналогично алгебра\nE\n∗\n(\nM\n)\nE^*(M)\nна дифференцируемом многообразии\nМ\nМ\nопределяет его вещественный гомотопический тип (\nВещественная гомотопическая теория ... 1977\n).\nИсчисление внешних форм на комплексном\nаналитическом многообразии\nимеет ряд особенностей (\nУэллс. 1976\n). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства\nE\np\n(\nM\n,\nC\n)\nE^p(M, \\mathbb C)\nкомплекснозначных форм или пространства\nE\np\n(\nF\n)\nE^p(F)\n, где\nF\nF\n– голоморфное\nвекторное расслоение\nна\nM\nM\n. Имеет место разложение\nE\np\n(\nM\n,\nC\n)\n=\n∑\nr\n+\ns\n=\np\nE\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n,\nE^p(M, \\mathbb C) = \\sum_{r+s=p} E^{r,s}(M),\nгде\nE\nr\n,\ns\n(\nM\n)\nE^{r,s}(M)\n– пространство форм типа\n(\nr\n,\ns\n)\n(r,s)\n, т. е. форм\nα\n\\alpha\n, локально представимых в виде\n∑\na\ni\n1\n,\n…\n,\ni\nr\n,\nj\n1\n,\n…\nj\ns\nd\nz\ni\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nz\ni\nr\n∧\nd\nz\nˉ\nj\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nz\nˉ\nj\ns\n,\n\\sum a_{i_1,\\dots,i_r, j_1, \\dots j_s} dz^{i_1}\\wedge \\dots \\wedge dz^{i_r}\\wedge d\\bar z^{j_1}\\wedge \\dots \\wedge d\\bar z^{j_s},\nгде\n(\nz\n1\n,\n…\n,\nz\nn\n)\n(z^1,\\dots,z^n)\n– локальная аналитическая система координат на\nM\nM\n. Аналогично\nE\np\n(\nF\n)\n=\n∑\nr\n+\ns\n=\np\nE\nr\n,\ns\n(\nF\n)\n.\nE^p(F) = \\sum_{r+s=p} E^{r,s} (F).\nДалее,\nd\n=\nd\n′\n+\nd\n′\n′\nd=d'+d''\n, где\nd\n:\nE\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n→\nE\nr\n+\n1\n,\ns\n(\nM\n)\n,\nd\n′\n′\n:\nE\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n→\nE\nr\n,\ns\n+\n1\n(\nM\n)\n.\nd: E^{r,s}(M)\\to E^{r+1,s}(M),\\quad d'': E^{r,s}(M)\\to E^{r,s+1}(M).\nПри этом\nd\n′\n2\n=\nd\n′\n′\n2\n=\n0\nd'^2 = d''^2 = 0\n, так что\nd\n′\nd'\nи\nd\n′\n′\nd''\nопределяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора\nd\n′\n′\nd''\n(комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через\nH\nr\n,\ns\n(\nM\n)\nH^{r,s}(M)\n.\nd\n′\n′\nd''\n-коциклы типа\n(\np\n,\n0\n)\n(p,0)\nсуть\nголоморфные\np\np\n-формы. Для\nd\n′\n′\nd''\nсправедлива следующая лемма Гротендика: если\nα\n\\alpha\n– форма типа\n(\nr\n,\ns\n)\n(r,s)\nс\ns\n>\n0\ns>0\nв окрестности нуля пространства\nC\nn\n\\mathbb C^n\nи\nd\n′\n′\nα\n=\n0\nd''\\alpha = 0\n, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма\nβ\n\\beta\nтипа\n(\nr\n,\ns\n−\n1\n)\n(r,s-1)\n, что\nα\n=\nd\n′\n′\nβ\n\\alpha = d'' \\beta\n. Комплекс Дольбо можно определить также и для\nF\nF\n-значных форм, где\nF\nF\n– голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий\nH\nr\n,\ns\n(\nF\n)\nH^{r,s}(F)\n. Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:\nH\nr\n,\ns\n(\nF\n)\n≅\nH\ns\n(\nM\n,\nΩ\nr\n(\nF\n)\n)\n,\nH^{r,s}(F) \\cong H^s (M, \\Omega^r(F)),\nгде\nΩ\nr\n(\nF\n)\n\\Omega^r(F)\n– пучок ростков голоморфных\nF\nF\n-значных\nr\nr\n-форм (теорема Дольбо). В частности,\nH\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n≅\nH\ns\n(\nM\n,\nΩ\nr\n(\nM\n)\n)\n,\nH^{r,s}(M)\\cong H^s(M, \\Omega^r(M)),\nгде\nΩ\nr\n(\nM\n)\n\\Omega^r(M)\n– пучок ростков голоморфных\nr\nr\n-форм на\nM\nM\n. Существует\nспектральная последовательность\nс первым членом\n∑\nr\n,\ns\nH\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n\\sum_{r,s} H^{r, s}(M)\n, сходящаяся к\nH\n∗\n(\nM\n,\nC\n)\nH^*(M, \\mathbb C)\n.\nЭйлерова характеристика\nχ\n(\nM\n)\n\\chi(M)\nкомпактного комплексного многообразия\nM\nM\nвыражается через когомологии Дольбо по формуле\nχ\n(\nM\n)\n=\n∑\nr\n,\ns\n(\n−\n1\n)\nr\n+\ns\nd\ni\nm\n \nH\nr\n,\ns\n(\nM\n)\n.\n\\chi(M) = \\sum_{r,s} (-1)^{r+s} {\\rm dim}\\ H^{r,s}(M).\nДифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см.\nСтернберг. 1970\n,\nКартан. 1971\n). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются\nпотоки\n. Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье\nМодуль дифференциалов\n) позволяет определить дифференциальные формы на\nалгебраических многообразиях\nи на\nаналитических пространствах\n(см.\nДифференциальное исчисление\nна аналитических пространствах,\nКогомологии де Рама\n,\nДифференциал на римановой поверхности\n,\nГармоническая форма\n,\nГоломорфная форма\n,\nОператор Лапласа)\n.\n2) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть\nX\nX\n– неприводимое алгебраическое многообразие размерности\nd\nd\nнад\nалгебраически замкнутым полем\nk\nk\n,\nK\nK\n– его поле\nрациональных функций\n. Дифференциальной формой степени\nr\nr\nна\nX\nX\nназывается элемент\nK\nK\n-пространства\nΩ\nr\n(\nX\n)\n=\n∧\nr\nΩ\nK\n\/\nk\n1\n,\n\\Omega^r(X) = \\overset{r}{\\wedge} \\Omega^1_{K\/k},\nгде\nΩ\nK\n\/\nk\n\\Omega_{K\/k}\n– модуль дифференциалов поля\nK\nK\nнад полем\nk\nk\n. Если\nx\n1\n,\n…\n,\nx\nd\nx_1, \\dots, x_d\n– сепарабельный базис трансцендентности расширения\nK\n\/\nk\nK\/k\n, то каждая дифференциальная форма\nω\n∈\nΩ\nr\n(\nX\n)\n\\omega \\in \\Omega^r(X)\nзаписывается в виде\nω\n=\n∑\na\ni\n1\n…\ni\nr\nd\nx\ni\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nx\ni\nr\n,\n\\omega = \\sum a_{i_1\\dots i_r} dx_{i_1}\\wedge \\dots \\wedge dx_{i_r},\nгде\na\ni\n1\n…\ni\nr\n∈\nK\na_{i_1\\dots i_r}\\in K\n. Дифференциальная форма\nω\n\\omega\nназывается регулярной на\nоткрытом множестве\nU\n⊂\nX\nU \\subset X\n, если\nω\n\\omega\nпринадлежит подмодулю\nΩ\nk\n[\nU\n]\n\/\nk\nr\n\\Omega^r_{k[U]\/k}\nпространства\nΩ\nr\n(\nX\n)\n\\Omega^r(X)\n, рассматриваемого как\nмодуль над кольцом\nk\n[\nU\n]\nk[U]\nрегулярных функций на подмножестве\nU\nU\n. Дифференциальная форма\nω\n\\omega\nназывается регулярной, если любая точка\nx\n∈\nX\nx\\in X\nимеет такую окрестность\nU\nU\n, что\nω\n\\omega\nрегулярна на\nU\nU\n. Регулярные дифференциальные формы на\nX\nX\nобразуют модуль над\nk\n[\nX\n]\nk[X]\n, обозначаемый\nΩ\nr\n[\nX\n]\n\\Omega^r[X]\n. Его элементы отождествляются с сечениями пучка\nΩ\nX\n\/\nk\nr\n\\Omega^r_{X\/k}\nна многообразии\nX\nX\n. В окрестности любой точки\nx\n∈\nX\nx\\in X\nрегулярная дифференциальная форма\nω\n∈\nΩ\nr\n[\nX\n]\n\\omega\\in\\Omega^r[X]\nзаписывается в виде\nω\n=\n∑\nα\ni\n1\n…\ni\nr\nd\nf\ni\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nf\ni\nr\n,\n\\omega = \\sum \\alpha_{i_1\\dots i_r} df_{i_1}\\wedge\\dots\\wedge df_{i_r},\nгде функции\na\ni\n1\n…\ni\nr\n,\nf\ni\n1\n,\n…\n,\nf\ni\nr\na_{i_1\\dots i_r}, f_{i_1}, \\dots, f_{i_r}\nрегулярны в точке\nx\nx\n. Если\nX\nX\n– полное многообразие, то пространства\nΩ\nr\n[\nX\n]\n\\Omega^r[X]\nконечномерны, а в случае, когда\nX\nX\nнеособое, размерность\np\ng\n(\nX\n)\n=\nd\ni\nm\nk\nΩ\nd\n[\nX\n]\np_g(X) = {\\rm dim}_k \\Omega^d[X]\nназывается\nгеометрическим родом\nмногообразия\nX\nX\n. В случае, когда\nX\nX\n– полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство\nΩ\nr\n[\nX\n]\n\\Omega^r[X]\nсовпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени\nr\nr\nна соответствующем аналитическом пространстве\nX\na\nn\nX^{an}\n.\nПусть\nX\nX\n– нормальное многообразие и\nω\n∈\nΩ\nd\n[\nX\n]\n\\omega\\in\\Omega^d[X]\n; для любой точки\nx\n∈\nX\n(\n1\n)\nx\\in X^{(1)}\nкоразмерности\n1\n1\nдифференциальная форма\nω\n\\omega\nможет быть записана в виде\nω\n=\na\nd\nt\n∧\nd\nt\n1\n∧\n⋯\n∧\nd\nt\nd\n−\n1\n,\n(\n∗\n)\n\\omega = a dt\\wedge dt_1\\wedge\\dots\\wedge dt_{d-1}, \\tag{$*$}\nгде\na\na\nпринадлежит полю частных\nK\nx\nK_x\nлокального кольца\nO\nX\n,\nx\n\\mathcal O_{X,x}\n,\nt\nt\n– образующая его\nмаксимального идеала\n,\nt\n1\n,\n…\n,\nt\nd\n−\n1\nt_1,\\dots,t_{d-1}\n– сепарабельный базис трансцендентности над\nk\nk\nполя вычетов кольца\nO\nX\n,\nx\n\\mathcal O_{X, x}\n. Значение нормирования на элементе\na\na\n, определяемое кольцом\nO\nX\n,\nx\n\\mathcal O_{X, x}\n, не зависит от выбора представления\nω\n\\omega\nв виде\n(\n∗\n)\n(*)\nи обозначается\nν\nx\n(\nω\n)\n\\nu_x(\\omega)\n.\nДивизор\nD\n=\n∑\nx\n∈\nX\n(\n1\n)\nν\nx\n(\nω\n)\n{\nx\nˉ\n}\nD = \\sum_{x\\in X^{(1)}} \\nu_x(\\omega)\\{\\bar x\\}\nопределён и называется дивизором дифференциальной формы\nω\n\\omega\n. Дифференциальная форма\nω\n\\omega\nрегулярна тогда и только тогда, когда её дивизор\nD\n≥\n0\nD\\ge 0\n, т. е.\nν\nx\n(\nω\n)\n≥\n0\n\\nu_x(\\omega)\\ge 0\nдля всех\nx\n∈\nX\n(\n1\n)\nx\\in X^{(1)}\n. Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия\nX\nX\nи обозначается через\nK\nX\nK_X\n. Для неособого многообразия\nX\nX\nкласс\nK\nX\nK_X\nсовпадает с первым классом Чженя обратимого пучка\nΩ\nX\n\/\nk\nd\n\\Omega^d_{X\/k}\n, в частности\nΩ\nX\n\/\nk\nd\n≃\nO\nX\n(\nD\n)\n\\Omega^d_{X\/k} \\simeq \\mathcal O_X(D)\nдля любого\nD\n∈\nK\nX\nD \\in K_X\n.\nДля любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий\nf\n:\nX\n′\n→\nX\nf: X'\\to X\nопределён канонический гомоморфизм\nf\n∗\n:\nΩ\nr\n(\nX\n)\n→\nΩ\nr\n(\nX\n′\n)\n.\nf^*: \\Omega^r(X)\\to \\Omega^r(X').\nПри этом если\nX\nX\nи\nX\n′\nX'\n– неособые, а\nX\nX\n– полное, то\nf\n∗\nf^*\nпереводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия\nX\nX\nи\nX\n′\nX'\nбирационально изоморфны, то векторные пространства\nΩ\nr\n[\nX\n]\n\\Omega^r[X]\nи\nΩ\nr\n[\nX\n′\n]\n\\Omega^r[X']\nизоморфны над полем\nk\nk\n.\nДля любого\ni\n>\n1\ni>1\nэлементы\ni\ni\n–й симметрической степени\nS\ni\n(\nΩ\nr\n(\nX\n)\n)\nS^i(\\Omega^r(X))\nK\nK\n-пространства\nΩ\nr\n(\nX\n)\n\\Omega^r(X)\nназываются\ni\ni\n-кратными дифференциальными формами степени\nr\nr\nна\nX\nX\n. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка\nS\ni\n(\nΩ\nX\n\/\nk\nr\n)\nS^i(\\Omega^r_{X\/k})\n. Регулярные сечения\nω\n∈\nΓ\n(\nX\n,\nS\ni\n(\nΩ\nX\n\/\nk\nr\n)\n)\n\\omega \\in \\Gamma(X, S^i(\\Omega^r_{X\/k}))\nназываются регулярными\ni\ni\n-кратными дифференциальными формами степени\nr\nr\nна\nX\nX\n. Для неособого полного многообразия\nX\nX\nразмерность\nP\ni\n(\nX\n)\n=\nd\ni\nm\nk\nΓ\n(\nX\n,\nS\ni\n(\nΩ\nX\n\/\nk\nd\n)\n)\nP_i(X) = {\\rm dim}_k \\Gamma(X, S^i(\\Omega^d_{X\/k}))\nназывается\ni\ni\n-родом многообразия\nX\nX\n. Для бирационально изоморфных многообразий их\ni\ni\n-роды совпадают.\nДолгачёв Игорь Владимирович\n.\nПервая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979.\nОпубликовано \n27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).\nПоследнее обновление \n27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).","attrs_markdown":"Каталог\n\nКаталог\n\n[Стать автором]()\n\n[Войти]()  [Войти]()\n\nСтатья\n\nСтатья\n\nСтатья\n\n[Аннотация](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/annotation)\n\nАннотация\n\n[Аннотация](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/annotation)\n\n[Библиография](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/references)\n\nБиблиография\n\n[Библиография](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/references)\n\n[Версии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/versions)\n\nВерсии\n\n[Версии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-naia-forma-8b0c56\/versions)\n\nИнформация\n\nДифференциальная форма\n\n[Термины](https:\/\/bigenc.ru\/t\/terms)Термины\n\n# Дифференциальная форма\n\n![Математика](https:\/\/i.bigenc.ru\/resizer\/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault\/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120)\n\nОбласти знаний:\n\nДифференциальная геометрия и топология\n\n[Термины](https:\/\/bigenc.ru\/t\/terms)Термины\n\n# Дифференциальная форма\n\n**Дифференциа́льная фо́рма,** 1\\) дифференциальная форма степени p p p (p p p\\-форма на [дифференцируемом многообразии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsiruemoe-mnogoobrazie-ca4a5f) M M M) – p p p раз ковариантное тензорное поле на M M M. Её можно интерпретировать также как p p p\\-линейное \\[над алгеброй F ( M ) F(M) F(M) гладких вещественных функций на M M M\\] [отображение](https:\/\/bigenc.ru\/c\/otobrazhenie-f655a8) X ( M ) p → F ( M ) \\\\mathscr X(M)^p \\\\to F(M) X(M)p→F(M), где X ( M ) \\\\mathscr X(M) X(M) есть F ( M ) F(M) F(M)\\-модуль гладких векторных полей на M M M. Формы степени 1 1 1 называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является [дифференциал](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-d188dc) d f df df гладкой функции f f f на M M M, определяемый следующим образом: ( d f ) ( X ) (df)(X) (df)(X), X ∈ X ( M ) X \\\\in \\\\mathscr X(M) X∈X(M), есть [производная](https:\/\/bigenc.ru\/c\/proizvodnaia-68fd90) X f Xf Xf функции f f f по направлению поля X X X. [Римановы метрики](https:\/\/bigenc.ru\/c\/rimanova-metrika-2d3df3) на многообразии M M M служат примерами симметрических дифференциальных форм степени 2 2 2. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений.\n\nЕсли ( x 1 , … , x n ) (x^1, \\\\dots, x^n) (x1,…,xn) – локальная система координат в области U ⊂ M U\\\\subset M U⊂M, то формы d x 1 , … , d x n dx^1,\\\\dots,dx^n dx1,…,dxn составляют базис в кокасательном пространстве T x ( M ) ∗ T\\_x(M)^\\* Tx(M)∗, x ∈ U x\\\\in U x∈U. Поэтому (см. в статье [Внешняя алгебра](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vneshniaia-algebra-212f74)) любая внешняя p p p\\-форма α \\\\alpha α записывается в U U U в видеα \\= ∑ i 1 , … , i p a i 1 , … , i p d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p , (1) \\\\alpha = \\\\sum\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} a\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} dx^{i\\_1} \\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx^{i\\_p}, \\\\tag{1} α\\=i1,…,ip∑ai1,…,ipdxi1∧⋯∧dxip,(1)где a i 1 … i p a\\_{i\\_1 \\\\dots i\\_p} ai1…ip – функции в U U U. В частности,d f \\= ∂ f ∂ x i d x i . df = \\\\frac{\\\\partial f}{\\\\partial x^i} dx^i. df\\=∂xi∂fdxi.Пусть E p \\= E p ( M ) E^p = E^p(M) Ep\\=Ep(M) – пространство всех внешних p p p\\-форм класса C ∞ C^\\\\infty C∞, причём E 0 ( M ) \\= F ( M ) E^0(M) = F(M) E0(M)\\=F(M). Внешнее умножение α ∧ β \\\\alpha\\\\wedge\\\\beta α∧β превращает E ∗ ( M ) \\= ∑ p \\= 0 n E p ( M ) E^\\*(M) = \\\\sum\\_{p=0}^n E^p(M) E∗(M)\\=∑p\\=0nEp(M) (где n \\= d i m M n = {\\\\rm dim}\\\\, M n\\=dimM) в [ассоциативную](https:\/\/bigenc.ru\/c\/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256) [градуированную](https:\/\/bigenc.ru\/c\/graduirovannaia-algebra-94a1fb) алгебру над F ( M ) F(M) F(M), удовлетворяющую условию градуированной коммутативностиα ∧ β \\= ( − 1 ) p β ∧ α , α ∈ E p , β ∈ E q . (2) \\\\alpha\\\\wedge\\\\beta = (-1)^p \\\\beta\\\\wedge\\\\alpha, \\\\qquad \\\\alpha \\\\in E^p, \\\\quad \\\\beta \\\\in E^q. \\\\tag{2} α∧β\\=(−1)pβ∧α,α∈Ep,β∈Eq.(2)Гладкое отображение многообразий f : M → N f:M\\\\to N f:M→N порождает [гомоморфизм](https:\/\/bigenc.ru\/c\/gomomorfizm-5390b8) f ∗ : E ∗ ( N ) → E ∗ ( M ) f^\\*: E^\\*(N) \\\\to E^\\*(M) f∗:E∗(N)→E∗(M) алгебр над R \\\\mathbb R R.\n\nПонятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого p ≥ 0 p\\\\ge 0 p≥0 существует единственное линейное отображение d : E p → E p \\+ 1 d: E^p \\\\to E^{p+1} d:Ep→Ep\\+1 (внешний дифференциал), совпадающее при p \\= 0 p=0 p\\=0 с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:d ( α ∧ β ) \\= d α ∧ β \\+ ( − 1 ) p α ∧ d β , α ∈ E p , β ∈ E q , d ( d α ) \\= 0\\. d (\\\\alpha\\\\wedge\\\\beta) = d\\\\alpha\\\\wedge\\\\beta+(-1)^p \\\\alpha\\\\wedge d\\\\beta, \\\\quad \\\\alpha\\\\in E^p, \\\\quad \\\\beta \\\\in E^q,\\\\quad d(d\\\\alpha)=0. d(α∧β)\\=dα∧β\\+(−1)pα∧dβ,α∈Ep,β∈Eq,d(dα)\\=0\\.Внешний дифференциал формы α \\\\alpha α, записанной в локальных координатах в виде ( 1 ) (1) (1), выражается формулойd α \\= ∑ i 1 , … , i p d a i 1 … i p ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p . d\\\\alpha = \\\\sum\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} d a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_p} \\\\wedge dx^{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx^{i\\_p}. dα\\=i1,…,ip∑dai1…ip∧dxi1∧⋯∧dxip.Его бескоординатная запись:d α ( X 1 , … , X p \\+ 1 ) \\= ∑ i \\= 1 p \\+ 1 ( − 1 ) i \\+ 1 X i α ( X 1 , … , X ^ i , … , X p \\+ 1 ) − − ∑ i \\< j ( − 1 ) i \\+ j α ( \\[ X i , X j \\] , X 1 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X p \\+ 1 ) , \\\\begin{aligned} d\\\\alpha(X\\_1,\\\\dots,X\\_{p+1}) = \\\\sum\\_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X\\_i \\\\alpha(X\\_1, \\\\dots, \\\\hat X\\_i, \\\\dots, X\\_{p+1}) - \\\\\\\\ - \\\\sum\\_{i\\<j} (-1)^{i+j} \\\\alpha(\\[X\\_i, X\\_j\\], X\\_1, \\\\dots, \\\\hat X\\_i, \\\\dots, \\\\hat X\\_j, \\\\dots, X\\_{p+1}), \\\\end{aligned} dα(X1,…,Xp\\+1)\\=i\\=1∑p\\+1(−1)i\\+1Xiα(X1,…,X^i,…,Xp\\+1)−−i\\<j∑(−1)i\\+jα(\\[Xi,Xj\\],X1,…,X^i,…,X^j,…,Xp\\+1),где X 1 , … , X p \\+ 1 ∈ X ( M ) X\\_1,\\\\dots,X\\_{p+1}\\\\in \\\\mathscr X(M) X1,…,Xp\\+1∈X(M). Оператор взятия [производной Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/proizvodnaia-li-93e8d4) L X L\\_X LX, X ∈ X ( M ) X\\\\in \\\\mathscr X(M) X∈X(M), на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношениемL X \\= d ∘ i X \\+ i X ∘ d , L\\_X = d \\\\circ i\\_X + i\\_X \\\\circ d, LX\\=d∘iX\\+iX∘d,где i X : E p → E p − 1 i\\_X: E^p \\\\to E^{p-1} iX:Ep→Ep−1 – оператор внутреннего умножения на X X X:( i X α ) ( X 1 , … , X p − 1 ) \\= α ( X , X 1 , … , X p − 1 ) , α ∈ E p ( M ) , X 1 , … , X p − 1 ∈ X ( M ) . \\\\begin{aligned} (i\\_X \\\\alpha)(X\\_1, \\\\dots,X\\_{p-1}) = \\\\alpha(X, X\\_1, \\\\dots,X\\_{p-1}), \\\\\\\\ \\\\alpha \\\\in E^p(M), \\\\quad X\\_1,\\\\dots, X\\_{p-1} \\\\in \\\\mathscr X(M). \\\\end{aligned} (iXα)(X1,…,Xp−1)\\=α(X,X1,…,Xp−1),α∈Ep(M),X1,…,Xp−1∈X(M).Оператор d d d превращает E ∗ ( M ) E^\\*(M) E∗(M) в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно [теореме де Рама](https:\/\/bigenc.ru\/c\/teorema-de-rama-dc74ac), алгебра когомологийH ∗ ( M ) \\= ∑ p \\= 0 n H p ( M ) H^\\*(M) = \\\\sum\\_{p=0}^n H^p(M) H∗(M)\\=p\\=0∑nHp(M)комплекса де Рама [изоморфна](https:\/\/bigenc.ru\/c\/izomorfizm-637225) алгебре H ∗ ( M , R ) H^\\*(M, \\\\mathbb R) H∗(M,R) вещественных когомологий многообразия M M M. В частности, H p ( R n ) \\= 0 H^p(\\\\mathbb R^n) = 0 Hp(Rn)\\=0 при p \\> 0 p\\>0 p\\>0 (лемма Пуанкаре).\n\nС теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть D D D – ограниченная область в R p \\\\mathbb R^p Rp, s s s – гладкое отображение R p → M \\\\mathbb R^p \\\\to M Rp→M, определённое в окрестности замыкания D ˉ \\\\bar D Dˉ. Если α ∈ E p ( M ) \\\\alpha \\\\in E^p(M) α∈Ep(M), то s ∗ α \\= a d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p s^\\* \\\\alpha = a dx^1 \\\\wedge \\\\dots\\\\wedge dx^p s∗α\\=adx1∧⋯∧dxp, где a a a – гладкая функция в D ˉ \\\\bar D Dˉ. Интеграл формы α \\\\alpha α по поверхности s s s определяется формулой∫ s α \\= ∫ D a ( x 1 , … , x p ) d x 1 … d x p . \\\\int\\_s \\\\alpha = \\\\int\\_D a(x\\_1, \\\\dots, x\\_p) dx^1\\\\dots dx^p. ∫sα\\=∫Da(x1,…,xp)dx1…dxp.Если D D D имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула∫ s d α \\= ∫ ∂ s α , α ∈ E p − 1 ( M ) , (3) \\\\int\\_s d\\\\alpha = \\\\int\\_{\\\\partial s} \\\\alpha, \\\\quad \\\\alpha \\\\in E^{p-1}(M), \\\\tag{3} ∫sdα\\=∫∂sα,α∈Ep−1(M),(3)где ∫ ∂ s α \\\\int\\_{\\\\partial s} \\\\alpha ∫∂sα определяется как сумма интегралов формы α \\\\alpha α по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, [Грина](https:\/\/bigenc.ru\/c\/formuly-grina-a47325), Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также [Теорема Стокса](https:\/\/bigenc.ru\/c\/teorema-stoksa-ba1e30)). В силу формулы (3) каждая замкнутая p p p\\-форма α \\\\alpha α определяет p p p\\-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе s s s равно ∫ s α \\\\int\\_s \\\\alpha ∫sα. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама.\n\nФормула (3) была опубликована в 1899 г. [А. Пуанкаре](https:\/\/bigenc.ru\/c\/puankare-anri-9adfed) ([Poincaré. 1987](https:\/\/bigenc.ru\/b\/methodes-nouvelles-de-la-mecanique-celeste-2d745b)), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно [Э. Картан](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kartan-eli-329537) (см. [Cartan. 1953](https:\/\/bigenc.ru\/b\/oeuvres-completes-d6a60b)) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй.\n\nНаряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в [векторном пространстве](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vektornoe-prostranstvo-22e0fb) V V V над R \\\\mathbb R R. Если V V V является алгеброй, то в пространстве E ( M , V ) E(M, V) E(M,V) форм со значениями в V V V определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V V V ассоциативна, то и E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) ассоциативна; если V V V коммутативна, то E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) градуированно-коммутативна \\[формула (2)\\]; если V V V – [алгебра Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebra-li-da920e), то E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) – [градуированная алгебра Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/graduirovannaia-algebra-li-8b7297). Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть F F F – гладкое векторное [расслоенное пространство](https:\/\/bigenc.ru\/c\/rassloennoe-prostranstvo-990425) с базой M M M. Если сопоставить каждой точке x ∈ M x\\\\in M x∈M кососимметрическую p p p\\-линейную функцию на T x ( M ) T\\_x(M) Tx(M) со значениями в слое F x F\\_x Fx расслоения F F F, то получится т. н. F F F\\-значная p p p\\-форма. F F F\\-значную p p p\\-форму можно интерпретировать также как p p p\\-линейное \\[над F ( M ) F(M) F(M)\\] отображение модуля X ( M ) p \\\\mathscr X(M)^p X(M)p в модуль гладких [сечений расслоения](https:\/\/bigenc.ru\/c\/sechenie-rassloeniia-1bf284) F F F. Пространство таких форм обозначается E p ( F ) E^p(F) Ep(F). Если F F F задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F F F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай.\n\nФормы со значениями в [касательном расслоении](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kasatel-noe-rassloenie-34cac2) T ( M ) T(M) T(M) называют также векторными дифференциальными формами; векторные p p p\\-формы можно отождествить с p p p раз ковариантными и 1 1 1 раз контравариантными тензорными полями на M M M, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм E ( M ) E(M) E(M) ([Frölicher. 1956](https:\/\/bigenc.ru\/b\/theory-ot-vector-valued-differential-forms-ebb00e)). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях.\n\nАналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к [X. Уитни](https:\/\/bigenc.ru\/c\/uitni-khassler-b25f89) ([Уитни. 1960](https:\/\/bigenc.ru\/b\/geometricheskaia-teoriia-inte-9e4851)), может быть использована для вычисления рациональных [когомологий](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kogomologii-bb2eed) симплициального комплекса K K K. Кусочно-линейной формой (или P L PL PL\\-формой) на K K K называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса K K K и имеющих в качестве коэффициентов при записи в [барицентрических координатах](https:\/\/bigenc.ru\/c\/baritsentricheskie-koordinaty-309dd1) [многочлены](https:\/\/bigenc.ru\/c\/mnogochlen-aa52f7) с рациональными коэффициентами. P L PL PL\\-формы на K K K образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E P L ∗ ( K ) E^\\*\\_{PL}(K) EPL∗(K) над Q \\\\mathbb Q Q. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру H ∗ ( ∣ K ∣ , Q ) H^\\*(\\|K\\|, \\\\mathbb Q) H∗(∣K∣,Q), где ∣ K ∣ \\|K\\| ∣K∣ – [полиэдр](https:\/\/bigenc.ru\/c\/poliedr-3ada16), отвечающий комплексу K K K. Алгебра E P L ∗ ( K ) E^\\*\\_{PL}(K) EPL∗(K) полностью определяет также рациональный [гомотопический тип](https:\/\/bigenc.ru\/c\/gomotopicheskii-tip-f31463) (в частности, ранги гомотопических групп) пространства ∣ K ∣ \\|K\\| ∣K∣. Аналогично алгебра E ∗ ( M ) E^\\*(M) E∗(M) на дифференцируемом многообразии М М М определяет его вещественный гомотопический тип ([Вещественная гомотопическая теория ... 1977](https:\/\/bigenc.ru\/b\/veshchestvennaia-gomotopichesk-6e8558)).\n\nИсчисление внешних форм на комплексном [аналитическом многообразии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/analiticheskoe-mnogoobrazie-da6295) имеет ряд особенностей ([Уэллс. 1976](https:\/\/bigenc.ru\/b\/differentsial-noe-ischislen-21ab9b)). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства E p ( M , C ) E^p(M, \\\\mathbb C) Ep(M,C) комплекснозначных форм или пространства E p ( F ) E^p(F) Ep(F), где F F F – голоморфное [векторное расслоение](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vektornoe-rassloenie-8331db) на M M M. Имеет место разложениеE p ( M , C ) \\= ∑ r \\+ s \\= p E r , s ( M ) , E^p(M, \\\\mathbb C) = \\\\sum\\_{r+s=p} E^{r,s}(M), Ep(M,C)\\=r\\+s\\=p∑Er,s(M),где E r , s ( M ) E^{r,s}(M) Er,s(M) – пространство форм типа ( r , s ) (r,s) (r,s), т. е. форм α \\\\alpha α, локально представимых в виде∑ a i 1 , … , i r , j 1 , … j s d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i r ∧ d z ˉ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ˉ j s , \\\\sum a\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_r, j\\_1, \\\\dots j\\_s} dz^{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dz^{i\\_r}\\\\wedge d\\\\bar z^{j\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge d\\\\bar z^{j\\_s}, ∑ai1,…,ir,j1,…jsdzi1∧⋯∧dzir∧dzˉj1∧⋯∧dzˉjs,где ( z 1 , … , z n ) (z^1,\\\\dots,z^n) (z1,…,zn) – локальная аналитическая система координат на M M M. АналогичноE p ( F ) \\= ∑ r \\+ s \\= p E r , s ( F ) . E^p(F) = \\\\sum\\_{r+s=p} E^{r,s} (F). Ep(F)\\=r\\+s\\=p∑Er,s(F).Далее, d \\= d ′ \\+ d ′ ′ d=d'+d'' d\\=d′\\+d′′, гдеd : E r , s ( M ) → E r \\+ 1 , s ( M ) , d ′ ′ : E r , s ( M ) → E r , s \\+ 1 ( M ) . d: E^{r,s}(M)\\\\to E^{r+1,s}(M),\\\\quad d'': E^{r,s}(M)\\\\to E^{r,s+1}(M). d:Er,s(M)→Er\\+1,s(M),d′′:Er,s(M)→Er,s\\+1(M).При этом d ′ 2 \\= d ′ ′ 2 \\= 0 d'^2 = d''^2 = 0 d′2\\=d′′2\\=0, так что d ′ d' d′ и d ′ ′ d'' d′′ определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d ′ ′ d'' d′′ (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через H r , s ( M ) H^{r,s}(M) Hr,s(M). d ′ ′ d'' d′′\\-коциклы типа ( p , 0 ) (p,0) (p,0) суть [голоморфные](https:\/\/bigenc.ru\/c\/golomorfnaia-forma-d51fab) p p p\\-формы. Для d ′ ′ d'' d′′ справедлива следующая лемма Гротендика: если α \\\\alpha α – форма типа ( r , s ) (r,s) (r,s) с s \\> 0 s\\>0 s\\>0 в окрестности нуля пространства C n \\\\mathbb C^n Cn и d ′ ′ α \\= 0 d''\\\\alpha = 0 d′′α\\=0, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма β \\\\beta β типа ( r , s − 1 ) (r,s-1) (r,s−1), что α \\= d ′ ′ β \\\\alpha = d'' \\\\beta α\\=d′′β. Комплекс Дольбо можно определить также и для F F F\\-значных форм, где F F F – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий H r , s ( F ) H^{r,s}(F) Hr,s(F). Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:H r , s ( F ) ≅ H s ( M , Ω r ( F ) ) , H^{r,s}(F) \\\\cong H^s (M, \\\\Omega^r(F)), Hr,s(F)≅Hs(M,Ωr(F)),где Ω r ( F ) \\\\Omega^r(F) Ωr(F) – пучок ростков голоморфных F F F\\-значных r r r\\-форм (теорема Дольбо). В частности,H r , s ( M ) ≅ H s ( M , Ω r ( M ) ) , H^{r,s}(M)\\\\cong H^s(M, \\\\Omega^r(M)), Hr,s(M)≅Hs(M,Ωr(M)),где Ω r ( M ) \\\\Omega^r(M) Ωr(M) – пучок ростков голоморфных r r r\\-форм на M M M. Существует [спектральная последовательность](https:\/\/bigenc.ru\/c\/spektral-naia-posledovatel-nost-8ad4c4) с первым членом ∑ r , s H r , s ( M ) \\\\sum\\_{r,s} H^{r, s}(M) ∑r,sHr,s(M), сходящаяся к H ∗ ( M , C ) H^\\*(M, \\\\mathbb C) H∗(M,C). [Эйлерова характеристика](https:\/\/bigenc.ru\/c\/eilerova-kharakteristika-3ea20e) χ ( M ) \\\\chi(M) χ(M) компактного комплексного многообразия M M M выражается через когомологии Дольбо по формулеχ ( M ) \\= ∑ r , s ( − 1 ) r \\+ s d i m H r , s ( M ) . \\\\chi(M) = \\\\sum\\_{r,s} (-1)^{r+s} {\\\\rm dim}\\\\ H^{r,s}(M). χ(M)\\=r,s∑(−1)r\\+sdim Hr,s(M).Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. [Стернберг. 1970](https:\/\/bigenc.ru\/b\/lektsii-po-differentsial-noi-f05ef7), [Картан. 1971](https:\/\/bigenc.ru\/b\/differentsial-noe-ischislen-f1689d)). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются [потоки](https:\/\/bigenc.ru\/c\/potok-v-matematike-bae86e). Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье [Модуль дифференциалов](https:\/\/bigenc.ru\/c\/modul-differentsialov-cd5f8e)) позволяет определить дифференциальные формы на [алгебраических многообразиях](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebraicheskoe-mnogoobrazie-0ce828) и на [аналитических пространствах](https:\/\/bigenc.ru\/c\/analiticheskoe-prostranstvo-3e9bf7) (см. [Дифференциальное исчисление](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4) на аналитических пространствах, [Когомологии де Рама](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kogomologii-de-rama-385a15), [Дифференциал на римановой поверхности](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-na-rimanovoi-poverkhnosti-cbb214), [Гармоническая форма](https:\/\/bigenc.ru\/c\/garmonicheskaia-forma-76f7ce), [Голоморфная форма](https:\/\/bigenc.ru\/c\/golomorfnaia-forma-d51fab), [Оператор Лапласа)](https:\/\/bigenc.ru\/c\/operator-laplasa-8b92b1).\n\n2\\) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть X X X – неприводимое алгебраическое многообразие размерности d d d над [алгебраически замкнутым полем](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebraicheski-zamknutoe-pole-0b653a) k k k, K K K – его поле [рациональных функций](https:\/\/bigenc.ru\/c\/ratsional-naia-funktsiia-510ebc). Дифференциальной формой степени r r r на X X X называется элемент K K K\\-пространстваΩ r ( X ) \\= ∧ r Ω K \/ k 1 , \\\\Omega^r(X) = \\\\overset{r}{\\\\wedge} \\\\Omega^1\\_{K\/k}, Ωr(X)\\=∧rΩK\/k1,где Ω K \/ k \\\\Omega\\_{K\/k} ΩK\/k – модуль дифференциалов поля K K K над полем k k k. Если x 1 , … , x d x\\_1, \\\\dots, x\\_d x1,…,xd – сепарабельный базис трансцендентности расширения K \/ k K\/k K\/k, то каждая дифференциальная форма ω ∈ Ω r ( X ) \\\\omega \\\\in \\\\Omega^r(X) ω∈Ωr(X) записывается в видеω \\= ∑ a i 1 … i r d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i r , \\\\omega = \\\\sum a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r} dx\\_{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx\\_{i\\_r}, ω\\=∑ai1…irdxi1∧⋯∧dxir,где a i 1 … i r ∈ K a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r}\\\\in K ai1…ir∈K. Дифференциальная форма ω \\\\omega ω называется регулярной на [открытом множестве](https:\/\/bigenc.ru\/c\/otkrytoe-mnozhestvo-7f6e53) U ⊂ X U \\\\subset X U⊂X, если ω \\\\omega ω принадлежит подмодулю Ω k \\[ U \\] \/ k r \\\\Omega^r\\_{k\\[U\\]\/k} Ωk\\[U\\]\/kr пространства Ω r ( X ) \\\\Omega^r(X) Ωr(X), рассматриваемого как [модуль над кольцом](https:\/\/bigenc.ru\/c\/modul-nad-kol-tsom-5f3e16) k \\[ U \\] k\\[U\\] k\\[U\\] регулярных функций на подмножестве U U U. Дифференциальная форма ω \\\\omega ω называется регулярной, если любая точка x ∈ X x\\\\in X x∈X имеет такую окрестность U U U, что ω \\\\omega ω регулярна на U U U. Регулярные дифференциальные формы на X X X образуют модуль над k \\[ X \\] k\\[X\\] k\\[X\\], обозначаемый Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] Ωr\\[X\\]. Его элементы отождествляются с сечениями пучка Ω X \/ k r \\\\Omega^r\\_{X\/k} ΩX\/kr на многообразии X X X. В окрестности любой точки x ∈ X x\\\\in X x∈X регулярная дифференциальная форма ω ∈ Ω r \\[ X \\] \\\\omega\\\\in\\\\Omega^r\\[X\\] ω∈Ωr\\[X\\] записывается в видеω \\= ∑ α i 1 … i r d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i r , \\\\omega = \\\\sum \\\\alpha\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r} df\\_{i\\_1}\\\\wedge\\\\dots\\\\wedge df\\_{i\\_r}, ω\\=∑αi1…irdfi1∧⋯∧dfir,где функции a i 1 … i r , f i 1 , … , f i r a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r}, f\\_{i\\_1}, \\\\dots, f\\_{i\\_r} ai1…ir,fi1,…,fir регулярны в точке x x x. Если X X X – полное многообразие, то пространства Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] Ωr\\[X\\] конечномерны, а в случае, когда X X X неособое, размерность p g ( X ) \\= d i m k Ω d \\[ X \\] p\\_g(X) = {\\\\rm dim}\\_k \\\\Omega^d\\[X\\] pg(X)\\=dimkΩd\\[X\\] называется [геометрическим родом](https:\/\/bigenc.ru\/c\/geometricheskii-rod-a1db4b) многообразия X X X. В случае, когда X X X – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] Ωr\\[X\\] совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени r r r на соответствующем аналитическом пространстве X a n X^{an} Xan.\n\nПусть X X X – нормальное многообразие и ω ∈ Ω d \\[ X \\] \\\\omega\\\\in\\\\Omega^d\\[X\\] ω∈Ωd\\[X\\]; для любой точки x ∈ X ( 1 ) x\\\\in X^{(1)} x∈X(1) коразмерности 1 1 1 дифференциальная форма ω \\\\omega ω может быть записана в видеω \\= a d t ∧ d t 1 ∧ ⋯ ∧ d t d − 1 , ( ∗ ) \\\\omega = a dt\\\\wedge dt\\_1\\\\wedge\\\\dots\\\\wedge dt\\_{d-1}, \\\\tag{\\$\\*\\$} ω\\=adt∧dt1∧⋯∧dtd−1,(∗)где a a a принадлежит полю частных K x K\\_x Kx [локального кольца](https:\/\/bigenc.ru\/c\/lokal-noe-kol-tso-4ed1bc) O X , x \\\\mathcal O\\_{X,x} OX,x, t t t – образующая его [максимального идеала](https:\/\/bigenc.ru\/c\/maksimal-nyi-ideal-f87fd0), t 1 , … , t d − 1 t\\_1,\\\\dots,t\\_{d-1} t1,…,td−1 – сепарабельный базис трансцендентности над k k k поля вычетов кольца O X , x \\\\mathcal O\\_{X, x} OX,x. Значение нормирования на элементе a a a, определяемое кольцом O X , x \\\\mathcal O\\_{X, x} OX,x, не зависит от выбора представления ω \\\\omega ω в виде ( ∗ ) (\\*) (∗) и обозначается ν x ( ω ) \\\\nu\\_x(\\\\omega) νx(ω). [Дивизор](https:\/\/bigenc.ru\/c\/divizor-b54053)D \\= ∑ x ∈ X ( 1 ) ν x ( ω ) { x ˉ } D = \\\\sum\\_{x\\\\in X^{(1)}} \\\\nu\\_x(\\\\omega)\\\\{\\\\bar x\\\\} D\\=x∈X(1)∑νx(ω){xˉ}определён и называется дивизором дифференциальной формы ω \\\\omega ω. Дифференциальная форма ω \\\\omega ω регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор D ≥ 0 D\\\\ge 0 D≥0, т. е. ν x ( ω ) ≥ 0 \\\\nu\\_x(\\\\omega)\\\\ge 0 νx(ω)≥0 для всех x ∈ X ( 1 ) x\\\\in X^{(1)} x∈X(1). Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия X X X и обозначается через K X K\\_X KX. Для неособого многообразия X X X класс K X K\\_X KX совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка Ω X \/ k d \\\\Omega^d\\_{X\/k} ΩX\/kd, в частностиΩ X \/ k d ≃ O X ( D ) \\\\Omega^d\\_{X\/k} \\\\simeq \\\\mathcal O\\_X(D) ΩX\/kd≃OX(D)для любого D ∈ K X D \\\\in K\\_X D∈KX.\n\nДля любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий f : X ′ → X f: X'\\\\to X f:X′→X определён канонический гомоморфизмf ∗ : Ω r ( X ) → Ω r ( X ′ ) . f^\\*: \\\\Omega^r(X)\\\\to \\\\Omega^r(X'). f∗:Ωr(X)→Ωr(X′).При этом если X X X и X ′ X' X′ – неособые, а X X X – полное, то f ∗ f^\\* f∗ переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия X X X и X ′ X' X′ бирационально изоморфны, то векторные пространства Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] Ωr\\[X\\] и Ω r \\[ X ′ \\] \\\\Omega^r\\[X'\\] Ωr\\[X′\\] изоморфны над полем k k k.\n\nДля любого i \\> 1 i\\>1 i\\>1 элементы i i i–й симметрической степени S i ( Ω r ( X ) ) S^i(\\\\Omega^r(X)) Si(Ωr(X)) K K K\\-пространства Ω r ( X ) \\\\Omega^r(X) Ωr(X) называются i i i\\-кратными дифференциальными формами степени r r r на X X X. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка S i ( Ω X \/ k r ) S^i(\\\\Omega^r\\_{X\/k}) Si(ΩX\/kr). Регулярные сеченияω ∈ Γ ( X , S i ( Ω X \/ k r ) ) \\\\omega \\\\in \\\\Gamma(X, S^i(\\\\Omega^r\\_{X\/k})) ω∈Γ(X,Si(ΩX\/kr))называются регулярными i i i\\-кратными дифференциальными формами степени r r r на X X X. Для неособого полного многообразия X X X размерность P i ( X ) \\= d i m k Γ ( X , S i ( Ω X \/ k d ) ) P\\_i(X) = {\\\\rm dim}\\_k \\\\Gamma(X, S^i(\\\\Omega^d\\_{X\/k})) Pi(X)\\=dimkΓ(X,Si(ΩX\/kd))называется i i i\\-родом многообразия X X X. Для бирационально изоморфных многообразий их i i i\\-роды совпадают.\n\n[Онищик Аркадий Львович](https:\/\/bigenc.ru\/a\/a-onischik-d2b908), [Долгачёв Игорь Владимирович](https:\/\/bigenc.ru\/a\/iv-dolgachyov-95afbf). Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979.\n\nОпубликовано 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).  Последнее обновление 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).\n\nСвязаться с редакцией\n\n[\\#Алгебраические многообразия](https:\/\/bigenc.ru\/l\/algebraicheskie-mnogoobraziia-df86c1)[\\#Производные](https:\/\/bigenc.ru\/l\/proizvodnye-30d4d6)[\\#Римановы метрики](https:\/\/bigenc.ru\/l\/rimanovy-metriki-98543b)[\\#Ассоциативные кольца и алгебры](https:\/\/bigenc.ru\/l\/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-b21fc0)[\\#Гомоморфизм](https:\/\/bigenc.ru\/l\/gomomorfizm-47e7a2)[\\#Алгебры Ли](https:\/\/bigenc.ru\/l\/algebry-li-8e783c)[\\#Многочлен](https:\/\/bigenc.ru\/l\/mnogochlen-87bd34)[\\#Векторные расслоения](https:\/\/bigenc.ru\/l\/vektornye-rassloeniia-e18fd9)\n\nИнформация\n\n![Математика](https:\/\/i.bigenc.ru\/resizer\/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault\/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120)\n\nОбласти знаний:\n\nДифференциальная геометрия и топология\n\n- - [О портале](https:\/\/bigenc.ru\/p\/about-project)\n  - [Стать автором](https:\/\/bigenc.ru\/p\/author)\n  - [Партнёры](https:\/\/bigenc.ru\/p\/partners)\n  - [Правообладателям](https:\/\/bigenc.ru\/p\/copyright-holders)\n  - [Контакты](https:\/\/bigenc.ru\/p\/contacts)\n  - [Старая версия сайта](https:\/\/old.bigenc.ru\/)\n\n- Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия»  \n  Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации.  \n  Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года.  \n  ISSN: 2949-2076\n- Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия»   \n   Главный редактор: Кравец С. Л.   \n  Телефон редакции: [\\+7 (495) 917 90 00](tel:+74959179000)   \n  Эл. почта редакции: [secretar@greatbook.ru](mailto:secretar@greatbook.ru)\n\n- © АНО БРЭ, 2022 — 2026. Все права защищены.\n- Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.  \n  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.\n- Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению.  \n  Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.","attrs_readable_markdown":"**Дифференциа́льная фо́рма,** 1\\) дифференциальная форма степени p p (p p\\-форма на [дифференцируемом многообразии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsiruemoe-mnogoobrazie-ca4a5f) M M) – p p раз ковариантное тензорное поле на M M. Её можно интерпретировать также как p p\\-линейное \\[над алгеброй F ( M ) F(M) гладких вещественных функций на M M\\] [отображение](https:\/\/bigenc.ru\/c\/otobrazhenie-f655a8) X ( M ) p → F ( M ) \\\\mathscr X(M)^p \\\\to F(M), где X ( M ) \\\\mathscr X(M) есть F ( M ) F(M)\\-модуль гладких векторных полей на M M. Формы степени 1 1 называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является [дифференциал](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-d188dc) d f df гладкой функции f f на M M, определяемый следующим образом: ( d f ) ( X ) (df)(X), X ∈ X ( M ) X \\\\in \\\\mathscr X(M), есть [производная](https:\/\/bigenc.ru\/c\/proizvodnaia-68fd90) X f Xf функции f f по направлению поля X X. [Римановы метрики](https:\/\/bigenc.ru\/c\/rimanova-metrika-2d3df3) на многообразии M M служат примерами симметрических дифференциальных форм степени 2 2. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений.\n\nЕсли ( x 1 , … , x n ) (x^1, \\\\dots, x^n) – локальная система координат в области U ⊂ M U\\\\subset M, то формы d x 1 , … , d x n dx^1,\\\\dots,dx^n составляют базис в кокасательном пространстве T x ( M ) ∗ T\\_x(M)^\\*, x ∈ U x\\\\in U. Поэтому (см. в статье [Внешняя алгебра](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vneshniaia-algebra-212f74)) любая внешняя p p\\-форма α \\\\alpha записывается в U U в видеα \\= ∑ i 1 , … , i p a i 1 , … , i p d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p , (1) \\\\alpha = \\\\sum\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} a\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} dx^{i\\_1} \\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx^{i\\_p}, \\\\tag{1}где a i 1 … i p a\\_{i\\_1 \\\\dots i\\_p} – функции в U U. В частности,d f \\= ∂ f ∂ x i d x i . df = \\\\frac{\\\\partial f}{\\\\partial x^i} dx^i.Пусть E p \\= E p ( M ) E^p = E^p(M) – пространство всех внешних p p\\-форм класса C ∞ C^\\\\infty, причём E 0 ( M ) \\= F ( M ) E^0(M) = F(M). Внешнее умножение α ∧ β \\\\alpha\\\\wedge\\\\beta превращает E ∗ ( M ) \\= ∑ p \\= 0 n E p ( M ) E^\\*(M) = \\\\sum\\_{p=0}^n E^p(M) (где n \\= d i m M n = {\\\\rm dim}\\\\, M) в [ассоциативную](https:\/\/bigenc.ru\/c\/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256) [градуированную](https:\/\/bigenc.ru\/c\/graduirovannaia-algebra-94a1fb) алгебру над F ( M ) F(M), удовлетворяющую условию градуированной коммутативностиα ∧ β \\= ( − 1 ) p β ∧ α , α ∈ E p , β ∈ E q . (2) \\\\alpha\\\\wedge\\\\beta = (-1)^p \\\\beta\\\\wedge\\\\alpha, \\\\qquad \\\\alpha \\\\in E^p, \\\\quad \\\\beta \\\\in E^q. \\\\tag{2}Гладкое отображение многообразий f : M → N f:M\\\\to N порождает [гомоморфизм](https:\/\/bigenc.ru\/c\/gomomorfizm-5390b8) f ∗ : E ∗ ( N ) → E ∗ ( M ) f^\\*: E^\\*(N) \\\\to E^\\*(M) алгебр над R \\\\mathbb R.\n\nПонятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого p ≥ 0 p\\\\ge 0 существует единственное линейное отображение d : E p → E p \\+ 1 d: E^p \\\\to E^{p+1} (внешний дифференциал), совпадающее при p \\= 0 p=0 с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:d ( α ∧ β ) \\= d α ∧ β \\+ ( − 1 ) p α ∧ d β , α ∈ E p , β ∈ E q , d ( d α ) \\= 0\\. d (\\\\alpha\\\\wedge\\\\beta) = d\\\\alpha\\\\wedge\\\\beta+(-1)^p \\\\alpha\\\\wedge d\\\\beta, \\\\quad \\\\alpha\\\\in E^p, \\\\quad \\\\beta \\\\in E^q,\\\\quad d(d\\\\alpha)=0.Внешний дифференциал формы α \\\\alpha, записанной в локальных координатах в виде ( 1 ) (1), выражается формулойd α \\= ∑ i 1 , … , i p d a i 1 … i p ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p . d\\\\alpha = \\\\sum\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_p} d a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_p} \\\\wedge dx^{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx^{i\\_p}.Его бескоординатная запись:d α ( X 1 , … , X p \\+ 1 ) \\= ∑ i \\= 1 p \\+ 1 ( − 1 ) i \\+ 1 X i α ( X 1 , … , X ^ i , … , X p \\+ 1 ) − − ∑ i \\< j ( − 1 ) i \\+ j α ( \\[ X i , X j \\] , X 1 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X p \\+ 1 ) , \\\\begin{aligned} d\\\\alpha(X\\_1,\\\\dots,X\\_{p+1}) = \\\\sum\\_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X\\_i \\\\alpha(X\\_1, \\\\dots, \\\\hat X\\_i, \\\\dots, X\\_{p+1}) - \\\\\\\\ - \\\\sum\\_{i\\<j} (-1)^{i+j} \\\\alpha(\\[X\\_i, X\\_j\\], X\\_1, \\\\dots, \\\\hat X\\_i, \\\\dots, \\\\hat X\\_j, \\\\dots, X\\_{p+1}), \\\\end{aligned}где X 1 , … , X p \\+ 1 ∈ X ( M ) X\\_1,\\\\dots,X\\_{p+1}\\\\in \\\\mathscr X(M). Оператор взятия [производной Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/proizvodnaia-li-93e8d4) L X L\\_X, X ∈ X ( M ) X\\\\in \\\\mathscr X(M), на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношениемL X \\= d ∘ i X \\+ i X ∘ d , L\\_X = d \\\\circ i\\_X + i\\_X \\\\circ d,где i X : E p → E p − 1 i\\_X: E^p \\\\to E^{p-1} – оператор внутреннего умножения на X X:( i X α ) ( X 1 , … , X p − 1 ) \\= α ( X , X 1 , … , X p − 1 ) , α ∈ E p ( M ) , X 1 , … , X p − 1 ∈ X ( M ) . \\\\begin{aligned} (i\\_X \\\\alpha)(X\\_1, \\\\dots,X\\_{p-1}) = \\\\alpha(X, X\\_1, \\\\dots,X\\_{p-1}), \\\\\\\\ \\\\alpha \\\\in E^p(M), \\\\quad X\\_1,\\\\dots, X\\_{p-1} \\\\in \\\\mathscr X(M). \\\\end{aligned}Оператор d d превращает E ∗ ( M ) E^\\*(M) в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно [теореме де Рама](https:\/\/bigenc.ru\/c\/teorema-de-rama-dc74ac), алгебра когомологийH ∗ ( M ) \\= ∑ p \\= 0 n H p ( M ) H^\\*(M) = \\\\sum\\_{p=0}^n H^p(M)комплекса де Рама [изоморфна](https:\/\/bigenc.ru\/c\/izomorfizm-637225) алгебре H ∗ ( M , R ) H^\\*(M, \\\\mathbb R) вещественных когомологий многообразия M M. В частности, H p ( R n ) \\= 0 H^p(\\\\mathbb R^n) = 0 при p \\> 0 p\\>0 (лемма Пуанкаре).\n\nС теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть D D – ограниченная область в R p \\\\mathbb R^p, s s – гладкое отображение R p → M \\\\mathbb R^p \\\\to M, определённое в окрестности замыкания D ˉ \\\\bar D. Если α ∈ E p ( M ) \\\\alpha \\\\in E^p(M), то s ∗ α \\= a d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p s^\\* \\\\alpha = a dx^1 \\\\wedge \\\\dots\\\\wedge dx^p, где a a – гладкая функция в D ˉ \\\\bar D. Интеграл формы α \\\\alpha по поверхности s s определяется формулой∫ s α \\= ∫ D a ( x 1 , … , x p ) d x 1 … d x p . \\\\int\\_s \\\\alpha = \\\\int\\_D a(x\\_1, \\\\dots, x\\_p) dx^1\\\\dots dx^p.Если D D имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула∫ s d α \\= ∫ ∂ s α , α ∈ E p − 1 ( M ) , (3) \\\\int\\_s d\\\\alpha = \\\\int\\_{\\\\partial s} \\\\alpha, \\\\quad \\\\alpha \\\\in E^{p-1}(M), \\\\tag{3}где ∫ ∂ s α \\\\int\\_{\\\\partial s} \\\\alpha определяется как сумма интегралов формы α \\\\alpha по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, [Грина](https:\/\/bigenc.ru\/c\/formuly-grina-a47325), Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также [Теорема Стокса](https:\/\/bigenc.ru\/c\/teorema-stoksa-ba1e30)). В силу формулы (3) каждая замкнутая p p\\-форма α \\\\alpha определяет p p\\-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе s s равно ∫ s α \\\\int\\_s \\\\alpha. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама.\n\nФормула (3) была опубликована в 1899 г. [А. Пуанкаре](https:\/\/bigenc.ru\/c\/puankare-anri-9adfed) ([Poincaré. 1987](https:\/\/bigenc.ru\/b\/methodes-nouvelles-de-la-mecanique-celeste-2d745b)), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно [Э. Картан](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kartan-eli-329537) (см. [Cartan. 1953](https:\/\/bigenc.ru\/b\/oeuvres-completes-d6a60b)) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй.\n\nНаряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в [векторном пространстве](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vektornoe-prostranstvo-22e0fb) V V над R \\\\mathbb R. Если V V является алгеброй, то в пространстве E ( M , V ) E(M, V) форм со значениями в V V определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V V ассоциативна, то и E ( M , V ) E(M,V) ассоциативна; если V V коммутативна, то E ( M , V ) E(M,V) градуированно-коммутативна \\[формула (2)\\]; если V V – [алгебра Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebra-li-da920e), то E ( M , V ) E(M,V) – [градуированная алгебра Ли](https:\/\/bigenc.ru\/c\/graduirovannaia-algebra-li-8b7297). Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть F F – гладкое векторное [расслоенное пространство](https:\/\/bigenc.ru\/c\/rassloennoe-prostranstvo-990425) с базой M M. Если сопоставить каждой точке x ∈ M x\\\\in M кососимметрическую p p\\-линейную функцию на T x ( M ) T\\_x(M) со значениями в слое F x F\\_x расслоения F F, то получится т. н. F F\\-значная p p\\-форма. F F\\-значную p p\\-форму можно интерпретировать также как p p\\-линейное \\[над F ( M ) F(M)\\] отображение модуля X ( M ) p \\\\mathscr X(M)^p в модуль гладких [сечений расслоения](https:\/\/bigenc.ru\/c\/sechenie-rassloeniia-1bf284) F F. Пространство таких форм обозначается E p ( F ) E^p(F). Если F F задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай.\n\nФормы со значениями в [касательном расслоении](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kasatel-noe-rassloenie-34cac2) T ( M ) T(M) называют также векторными дифференциальными формами; векторные p p\\-формы можно отождествить с p p раз ковариантными и 1 1 раз контравариантными тензорными полями на M M, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм E ( M ) E(M) ([Frölicher. 1956](https:\/\/bigenc.ru\/b\/theory-ot-vector-valued-differential-forms-ebb00e)). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях.\n\nАналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к [X. Уитни](https:\/\/bigenc.ru\/c\/uitni-khassler-b25f89) ([Уитни. 1960](https:\/\/bigenc.ru\/b\/geometricheskaia-teoriia-inte-9e4851)), может быть использована для вычисления рациональных [когомологий](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kogomologii-bb2eed) симплициального комплекса K K. Кусочно-линейной формой (или P L PL\\-формой) на K K называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса K K и имеющих в качестве коэффициентов при записи в [барицентрических координатах](https:\/\/bigenc.ru\/c\/baritsentricheskie-koordinaty-309dd1) [многочлены](https:\/\/bigenc.ru\/c\/mnogochlen-aa52f7) с рациональными коэффициентами. P L PL\\-формы на K K образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E P L ∗ ( K ) E^\\*\\_{PL}(K) над Q \\\\mathbb Q. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру H ∗ ( ∣ K ∣ , Q ) H^\\*(\\|K\\|, \\\\mathbb Q), где ∣ K ∣ \\|K\\| – [полиэдр](https:\/\/bigenc.ru\/c\/poliedr-3ada16), отвечающий комплексу K K. Алгебра E P L ∗ ( K ) E^\\*\\_{PL}(K) полностью определяет также рациональный [гомотопический тип](https:\/\/bigenc.ru\/c\/gomotopicheskii-tip-f31463) (в частности, ранги гомотопических групп) пространства ∣ K ∣ \\|K\\|. Аналогично алгебра E ∗ ( M ) E^\\*(M) на дифференцируемом многообразии М М определяет его вещественный гомотопический тип ([Вещественная гомотопическая теория ... 1977](https:\/\/bigenc.ru\/b\/veshchestvennaia-gomotopichesk-6e8558)).\n\nИсчисление внешних форм на комплексном [аналитическом многообразии](https:\/\/bigenc.ru\/c\/analiticheskoe-mnogoobrazie-da6295) имеет ряд особенностей ([Уэллс. 1976](https:\/\/bigenc.ru\/b\/differentsial-noe-ischislen-21ab9b)). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства E p ( M , C ) E^p(M, \\\\mathbb C) комплекснозначных форм или пространства E p ( F ) E^p(F), где F F – голоморфное [векторное расслоение](https:\/\/bigenc.ru\/c\/vektornoe-rassloenie-8331db) на M M. Имеет место разложениеE p ( M , C ) \\= ∑ r \\+ s \\= p E r , s ( M ) , E^p(M, \\\\mathbb C) = \\\\sum\\_{r+s=p} E^{r,s}(M),где E r , s ( M ) E^{r,s}(M) – пространство форм типа ( r , s ) (r,s), т. е. форм α \\\\alpha, локально представимых в виде∑ a i 1 , … , i r , j 1 , … j s d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i r ∧ d z ˉ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ˉ j s , \\\\sum a\\_{i\\_1,\\\\dots,i\\_r, j\\_1, \\\\dots j\\_s} dz^{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dz^{i\\_r}\\\\wedge d\\\\bar z^{j\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge d\\\\bar z^{j\\_s},где ( z 1 , … , z n ) (z^1,\\\\dots,z^n) – локальная аналитическая система координат на M M. АналогичноE p ( F ) \\= ∑ r \\+ s \\= p E r , s ( F ) . E^p(F) = \\\\sum\\_{r+s=p} E^{r,s} (F).Далее, d \\= d ′ \\+ d ′ ′ d=d'+d'', гдеd : E r , s ( M ) → E r \\+ 1 , s ( M ) , d ′ ′ : E r , s ( M ) → E r , s \\+ 1 ( M ) . d: E^{r,s}(M)\\\\to E^{r+1,s}(M),\\\\quad d'': E^{r,s}(M)\\\\to E^{r,s+1}(M).При этом d ′ 2 \\= d ′ ′ 2 \\= 0 d'^2 = d''^2 = 0, так что d ′ d' и d ′ ′ d'' определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d ′ ′ d'' (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через H r , s ( M ) H^{r,s}(M). d ′ ′ d''\\-коциклы типа ( p , 0 ) (p,0) суть [голоморфные](https:\/\/bigenc.ru\/c\/golomorfnaia-forma-d51fab) p p\\-формы. Для d ′ ′ d'' справедлива следующая лемма Гротендика: если α \\\\alpha – форма типа ( r , s ) (r,s) с s \\> 0 s\\>0 в окрестности нуля пространства C n \\\\mathbb C^n и d ′ ′ α \\= 0 d''\\\\alpha = 0, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма β \\\\beta типа ( r , s − 1 ) (r,s-1), что α \\= d ′ ′ β \\\\alpha = d'' \\\\beta. Комплекс Дольбо можно определить также и для F F\\-значных форм, где F F – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий H r , s ( F ) H^{r,s}(F). Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:H r , s ( F ) ≅ H s ( M , Ω r ( F ) ) , H^{r,s}(F) \\\\cong H^s (M, \\\\Omega^r(F)),где Ω r ( F ) \\\\Omega^r(F) – пучок ростков голоморфных F F\\-значных r r\\-форм (теорема Дольбо). В частности,H r , s ( M ) ≅ H s ( M , Ω r ( M ) ) , H^{r,s}(M)\\\\cong H^s(M, \\\\Omega^r(M)),где Ω r ( M ) \\\\Omega^r(M) – пучок ростков голоморфных r r\\-форм на M M. Существует [спектральная последовательность](https:\/\/bigenc.ru\/c\/spektral-naia-posledovatel-nost-8ad4c4) с первым членом ∑ r , s H r , s ( M ) \\\\sum\\_{r,s} H^{r, s}(M), сходящаяся к H ∗ ( M , C ) H^\\*(M, \\\\mathbb C). [Эйлерова характеристика](https:\/\/bigenc.ru\/c\/eilerova-kharakteristika-3ea20e) χ ( M ) \\\\chi(M) компактного комплексного многообразия M M выражается через когомологии Дольбо по формулеχ ( M ) \\= ∑ r , s ( − 1 ) r \\+ s d i m H r , s ( M ) . \\\\chi(M) = \\\\sum\\_{r,s} (-1)^{r+s} {\\\\rm dim}\\\\ H^{r,s}(M).Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. [Стернберг. 1970](https:\/\/bigenc.ru\/b\/lektsii-po-differentsial-noi-f05ef7), [Картан. 1971](https:\/\/bigenc.ru\/b\/differentsial-noe-ischislen-f1689d)). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются [потоки](https:\/\/bigenc.ru\/c\/potok-v-matematike-bae86e). Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье [Модуль дифференциалов](https:\/\/bigenc.ru\/c\/modul-differentsialov-cd5f8e)) позволяет определить дифференциальные формы на [алгебраических многообразиях](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebraicheskoe-mnogoobrazie-0ce828) и на [аналитических пространствах](https:\/\/bigenc.ru\/c\/analiticheskoe-prostranstvo-3e9bf7) (см. [Дифференциальное исчисление](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4) на аналитических пространствах, [Когомологии де Рама](https:\/\/bigenc.ru\/c\/kogomologii-de-rama-385a15), [Дифференциал на римановой поверхности](https:\/\/bigenc.ru\/c\/differentsial-na-rimanovoi-poverkhnosti-cbb214), [Гармоническая форма](https:\/\/bigenc.ru\/c\/garmonicheskaia-forma-76f7ce), [Голоморфная форма](https:\/\/bigenc.ru\/c\/golomorfnaia-forma-d51fab), [Оператор Лапласа)](https:\/\/bigenc.ru\/c\/operator-laplasa-8b92b1).\n\n2\\) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть X X – неприводимое алгебраическое многообразие размерности d d над [алгебраически замкнутым полем](https:\/\/bigenc.ru\/c\/algebraicheski-zamknutoe-pole-0b653a) k k, K K – его поле [рациональных функций](https:\/\/bigenc.ru\/c\/ratsional-naia-funktsiia-510ebc). Дифференциальной формой степени r r на X X называется элемент K K\\-пространстваΩ r ( X ) \\= ∧ r Ω K \/ k 1 , \\\\Omega^r(X) = \\\\overset{r}{\\\\wedge} \\\\Omega^1\\_{K\/k},где Ω K \/ k \\\\Omega\\_{K\/k} – модуль дифференциалов поля K K над полем k k. Если x 1 , … , x d x\\_1, \\\\dots, x\\_d – сепарабельный базис трансцендентности расширения K \/ k K\/k, то каждая дифференциальная форма ω ∈ Ω r ( X ) \\\\omega \\\\in \\\\Omega^r(X) записывается в видеω \\= ∑ a i 1 … i r d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i r , \\\\omega = \\\\sum a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r} dx\\_{i\\_1}\\\\wedge \\\\dots \\\\wedge dx\\_{i\\_r},где a i 1 … i r ∈ K a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r}\\\\in K. Дифференциальная форма ω \\\\omega называется регулярной на [открытом множестве](https:\/\/bigenc.ru\/c\/otkrytoe-mnozhestvo-7f6e53) U ⊂ X U \\\\subset X, если ω \\\\omega принадлежит подмодулю Ω k \\[ U \\] \/ k r \\\\Omega^r\\_{k\\[U\\]\/k} пространства Ω r ( X ) \\\\Omega^r(X), рассматриваемого как [модуль над кольцом](https:\/\/bigenc.ru\/c\/modul-nad-kol-tsom-5f3e16) k \\[ U \\] k\\[U\\] регулярных функций на подмножестве U U. Дифференциальная форма ω \\\\omega называется регулярной, если любая точка x ∈ X x\\\\in X имеет такую окрестность U U, что ω \\\\omega регулярна на U U. Регулярные дифференциальные формы на X X образуют модуль над k \\[ X \\] k\\[X\\], обозначаемый Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\]. Его элементы отождествляются с сечениями пучка Ω X \/ k r \\\\Omega^r\\_{X\/k} на многообразии X X. В окрестности любой точки x ∈ X x\\\\in X регулярная дифференциальная форма ω ∈ Ω r \\[ X \\] \\\\omega\\\\in\\\\Omega^r\\[X\\] записывается в видеω \\= ∑ α i 1 … i r d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i r , \\\\omega = \\\\sum \\\\alpha\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r} df\\_{i\\_1}\\\\wedge\\\\dots\\\\wedge df\\_{i\\_r},где функции a i 1 … i r , f i 1 , … , f i r a\\_{i\\_1\\\\dots i\\_r}, f\\_{i\\_1}, \\\\dots, f\\_{i\\_r} регулярны в точке x x. Если X X – полное многообразие, то пространства Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] конечномерны, а в случае, когда X X неособое, размерность p g ( X ) \\= d i m k Ω d \\[ X \\] p\\_g(X) = {\\\\rm dim}\\_k \\\\Omega^d\\[X\\] называется [геометрическим родом](https:\/\/bigenc.ru\/c\/geometricheskii-rod-a1db4b) многообразия X X. В случае, когда X X – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени r r на соответствующем аналитическом пространстве X a n X^{an}.\n\nПусть X X – нормальное многообразие и ω ∈ Ω d \\[ X \\] \\\\omega\\\\in\\\\Omega^d\\[X\\]; для любой точки x ∈ X ( 1 ) x\\\\in X^{(1)} коразмерности 1 1 дифференциальная форма ω \\\\omega может быть записана в видеω \\= a d t ∧ d t 1 ∧ ⋯ ∧ d t d − 1 , ( ∗ ) \\\\omega = a dt\\\\wedge dt\\_1\\\\wedge\\\\dots\\\\wedge dt\\_{d-1}, \\\\tag{\\$\\*\\$}где a a принадлежит полю частных K x K\\_x [локального кольца](https:\/\/bigenc.ru\/c\/lokal-noe-kol-tso-4ed1bc) O X , x \\\\mathcal O\\_{X,x}, t t – образующая его [максимального идеала](https:\/\/bigenc.ru\/c\/maksimal-nyi-ideal-f87fd0), t 1 , … , t d − 1 t\\_1,\\\\dots,t\\_{d-1} – сепарабельный базис трансцендентности над k k поля вычетов кольца O X , x \\\\mathcal O\\_{X, x}. Значение нормирования на элементе a a, определяемое кольцом O X , x \\\\mathcal O\\_{X, x}, не зависит от выбора представления ω \\\\omega в виде ( ∗ ) (\\*) и обозначается ν x ( ω ) \\\\nu\\_x(\\\\omega). [Дивизор](https:\/\/bigenc.ru\/c\/divizor-b54053)D \\= ∑ x ∈ X ( 1 ) ν x ( ω ) { x ˉ } D = \\\\sum\\_{x\\\\in X^{(1)}} \\\\nu\\_x(\\\\omega)\\\\{\\\\bar x\\\\}определён и называется дивизором дифференциальной формы ω \\\\omega. Дифференциальная форма ω \\\\omega регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор D ≥ 0 D\\\\ge 0, т. е. ν x ( ω ) ≥ 0 \\\\nu\\_x(\\\\omega)\\\\ge 0 для всех x ∈ X ( 1 ) x\\\\in X^{(1)}. Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия X X и обозначается через K X K\\_X. Для неособого многообразия X X класс K X K\\_X совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка Ω X \/ k d \\\\Omega^d\\_{X\/k}, в частностиΩ X \/ k d ≃ O X ( D ) \\\\Omega^d\\_{X\/k} \\\\simeq \\\\mathcal O\\_X(D)для любого D ∈ K X D \\\\in K\\_X.\n\nДля любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий f : X ′ → X f: X'\\\\to X определён канонический гомоморфизмf ∗ : Ω r ( X ) → Ω r ( X ′ ) . f^\\*: \\\\Omega^r(X)\\\\to \\\\Omega^r(X').При этом если X X и X ′ X' – неособые, а X X – полное, то f ∗ f^\\* переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия X X и X ′ X' бирационально изоморфны, то векторные пространства Ω r \\[ X \\] \\\\Omega^r\\[X\\] и Ω r \\[ X ′ \\] \\\\Omega^r\\[X'\\] изоморфны над полем k k.\n\nДля любого i \\> 1 i\\>1 элементы i i–й симметрической степени S i ( Ω r ( X ) ) S^i(\\\\Omega^r(X)) K K\\-пространства Ω r ( X ) \\\\Omega^r(X) называются i i\\-кратными дифференциальными формами степени r r на X X. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка S i ( Ω X \/ k r ) S^i(\\\\Omega^r\\_{X\/k}). Регулярные сеченияω ∈ Γ ( X , S i ( Ω X \/ k r ) ) \\\\omega \\\\in \\\\Gamma(X, S^i(\\\\Omega^r\\_{X\/k}))называются регулярными i i\\-кратными дифференциальными формами степени r r на X X. Для неособого полного многообразия X X размерность P i ( X ) \\= d i m k Γ ( X , S i ( Ω X \/ k d ) ) P\\_i(X) = {\\\\rm dim}\\_k \\\\Gamma(X, S^i(\\\\Omega^d\\_{X\/k}))называется i i\\-родом многообразия X X. Для бирационально изоморфных многообразий их i i\\-роды совпадают.\n\n[Долгачёв Игорь Владимирович](https:\/\/bigenc.ru\/a\/iv-dolgachyov-95afbf). Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979.\n\nОпубликовано 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).  Последнее обновление 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).","meta_canonical":null}

3. Robots.txt Check

Query:

Response:

4. Spam/Ban Check

Query:

Response:

5. Seen Status Check

ℹ️ Skipped - page is already crawled

📄

INDEXABLE

✅

CRAWLED

1 month ago

🤖

ROBOTS SERVER UNREACHABLE

Failed to connect to robots server: Operation timed out after 2002 milliseconds with 0 bytes received

Page Info Filters

Filter	Status	Condition	Details
HTTP status	PASS	`download_http_code = 200`	HTTP 200
Age cutoff	PASS	`download_stamp > now() - 6 MONTH`	1.3 months ago
History drop	PASS	`isNull(history_drop_reason)`	No drop reason
Spam/ban	PASS	`fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0`	ml_spam_score=0
Canonical	PASS	`meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed`	Not set

Page Details

Property	Value
URL	https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56
Last Crawled	2026-03-03 09:49:12 (1 month ago)
First Indexed	2023-05-26 20:59:47 (2 years ago)
HTTP Status Code	200
Meta Title	Дифференциальная форма. Большая российская энциклопедия
Meta Description	Дифференциа́льная фо́рма, 1) дифференциальная форма степени (-форма на дифференцируемом многообразии ) – раз ковариантное тензорное поле на . Её...
Meta Canonical	null
Boilerpipe Text	Дифференциа́льная фо́рма, 1) дифференциальная форма степени p p ( p p -форма на дифференцируемом многообразии M M ) – p p раз ковариантное тензорное поле на M M . Её можно интерпретировать также как p p -линейное [над алгеброй F ( M ) F(M) гладких вещественных функций на M M ] отображение X ( M ) p → F ( M ) \mathscr X(M)^p \to F(M) , где X ( M ) \mathscr X(M) есть F ( M ) F(M) -модуль гладких векторных полей на M M . Формы степени 1 1 называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является дифференциал d f df гладкой функции f f на M M , определяемый следующим образом: ( d f ) ( X ) (df)(X) , X ∈ X ( M ) X \in \mathscr X(M) , есть производная X f Xf функции f f по направлению поля X X . Римановы метрики на многообразии M M служат примерами симметрических дифференциальных форм степени 2 2 . Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений. Если ( x 1 , … , x n ) (x^1, \dots, x^n) – локальная система координат в области U ⊂ M U\subset M , то формы d x 1 , … , d x n dx^1,\dots,dx^n составляют базис в кокасательном пространстве T x ( M ) ∗ T_x(M)^* , x ∈ U x\in U . Поэтому (см. в статье Внешняя алгебра ) любая внешняя p p -форма α \alpha записывается в U U в виде α = ∑ i 1 , … , i p a i 1 , … , i p d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p , (1) \alpha = \sum_{i_1,\dots,i_p} a_{i_1,\dots,i_p} dx^{i_1} \wedge \dots \wedge dx^{i_p}, \tag{1} где a i 1 … i p a_{i_1 \dots i_p} – функции в U U . В частности, d f = ∂ f ∂ x i d x i . df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i. Пусть E p = E p ( M ) E^p = E^p(M) – пространство всех внешних p p -форм класса C ∞ C^\infty , причём E 0 ( M ) = F ( M ) E^0(M) = F(M) . Внешнее умножение α ∧ β \alpha\wedge\beta превращает E ∗ ( M ) = ∑ p = 0 n E p ( M ) E^(M) = \sum_{p=0}^n E^p(M) (где n = d i m M n = {\rm dim}\, M ) в ассоциативную градуированную алгебру над F ( M ) F(M) , удовлетворяющую условию градуированной коммутативности α ∧ β = ( − 1 ) p β ∧ α , α ∈ E p , β ∈ E q . (2) \alpha\wedge\beta = (-1)^p \beta\wedge\alpha, \qquad \alpha \in E^p, \quad \beta \in E^q. \tag{2} Гладкое отображение многообразий f : M → N f:M\to N порождает гомоморфизм f ∗ : E ∗ ( N ) → E ∗ ( M ) f^: E^(N) \to E^(M) алгебр над R \mathbb R . Понятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого p ≥ 0 p\ge 0 существует единственное линейное отображение d : E p → E p + 1 d: E^p \to E^{p+1} (внешний дифференциал), совпадающее при p = 0 p=0 с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами: d ( α ∧ β ) = d α ∧ β + ( − 1 ) p α ∧ d β , α ∈ E p , β ∈ E q , d ( d α ) = 0. d (\alpha\wedge\beta) = d\alpha\wedge\beta+(-1)^p \alpha\wedge d\beta, \quad \alpha\in E^p, \quad \beta \in E^q,\quad d(d\alpha)=0. Внешний дифференциал формы α \alpha , записанной в локальных координатах в виде ( 1 ) (1) , выражается формулой d α = ∑ i 1 , … , i p d a i 1 … i p ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p . d\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_p} d a_{i_1\dots i_p} \wedge dx^{i_1}\wedge \dots \wedge dx^{i_p}. Его бескоординатная запись: d α ( X 1 , … , X p + 1 ) = ∑ i = 1 p + 1 ( − 1 ) i + 1 X i α ( X 1 , … , X ^ i , … , X p + 1 ) − − ∑ i < j ( − 1 ) i + j α ( [ X i , X j ] , X 1 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X p + 1 ) , \begin{aligned} d\alpha(X_1,\dots,X_{p+1}) = \sum_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X_i \alpha(X_1, \dots, \hat X_i, \dots, X_{p+1}) - \\ - \sum_{i<j} (-1)^{i+j} \alpha([X_i, X_j], X_1, \dots, \hat X_i, \dots, \hat X_j, \dots, X_{p+1}), \end{aligned} где X 1 , … , X p + 1 ∈ X ( M ) X_1,\dots,X_{p+1}\in \mathscr X(M) . Оператор взятия производной Ли L X L_X , X ∈ X ( M ) X\in \mathscr X(M) , на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношением L X = d ∘ i X + i X ∘ d , L_X = d \circ i_X + i_X \circ d, где i X : E p → E p − 1 i_X: E^p \to E^{p-1} – оператор внутреннего умножения на X X : ( i X α ) ( X 1 , … , X p − 1 ) = α ( X , X 1 , … , X p − 1 ) , α ∈ E p ( M ) , X 1 , … , X p − 1 ∈ X ( M ) . \begin{aligned} (i_X \alpha)(X_1, \dots,X_{p-1}) = \alpha(X, X_1, \dots,X_{p-1}), \\ \alpha \in E^p(M), \quad X_1,\dots, X_{p-1} \in \mathscr X(M). \end{aligned} Оператор d d превращает E ∗ ( M ) E^(M) в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно теореме де Рама , алгебра когомологий H ∗ ( M ) = ∑ p = 0 n H p ( M ) H^(M) = \sum_{p=0}^n H^p(M) комплекса де Рама изоморфна алгебре H ∗ ( M , R ) H^(M, \mathbb R) вещественных когомологий многообразия M M . В частности, H p ( R n ) = 0 H^p(\mathbb R^n) = 0 при p > 0 p>0 (лемма Пуанкаре). С теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть D D – ограниченная область в R p \mathbb R^p , s s – гладкое отображение R p → M \mathbb R^p \to M , определённое в окрестности замыкания D ˉ \bar D . Если α ∈ E p ( M ) \alpha \in E^p(M) , то s ∗ α = a d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p s^ \alpha = a dx^1 \wedge \dots\wedge dx^p , где a a – гладкая функция в D ˉ \bar D . Интеграл формы α \alpha по поверхности s s определяется формулой ∫ s α = ∫ D a ( x 1 , … , x p ) d x 1 … d x p . \int_s \alpha = \int_D a(x_1, \dots, x_p) dx^1\dots dx^p. Если D D имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула ∫ s d α = ∫ ∂ s α , α ∈ E p − 1 ( M ) , (3) \int_s d\alpha = \int_{\partial s} \alpha, \quad \alpha \in E^{p-1}(M), \tag{3} где ∫ ∂ s α \int_{\partial s} \alpha определяется как сумма интегралов формы α \alpha по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, Грина , Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также Теорема Стокса ). В силу формулы (3) каждая замкнутая p p -форма α \alpha определяет p p -мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе s s равно ∫ s α \int_s \alpha . Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама. Формула (3) была опубликована в 1899 г. А. Пуанкаре ( Poincaré. 1987 ), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно Э. Картан (см. Cartan. 1953 ) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй. Наряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в векторном пространстве V V над R \mathbb R . Если V V является алгеброй, то в пространстве E ( M , V ) E(M, V) форм со значениями в V V определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V V ассоциативна, то и E ( M , V ) E(M,V) ассоциативна; если V V коммутативна, то E ( M , V ) E(M,V) градуированно-коммутативна [формула (2)]; если V V – алгебра Ли , то E ( M , V ) E(M,V) – градуированная алгебра Ли . Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть F F – гладкое векторное расслоенное пространство с базой M M . Если сопоставить каждой точке x ∈ M x\in M кососимметрическую p p -линейную функцию на T x ( M ) T_x(M) со значениями в слое F x F_x расслоения F F , то получится т. н. F F -значная p p -форма. F F -значную p p -форму можно интерпретировать также как p p -линейное [над F ( M ) F(M) ] отображение модуля X ( M ) p \mathscr X(M)^p в модуль гладких сечений расслоения F F . Пространство таких форм обозначается E p ( F ) E^p(F) . Если F F задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай. Формы со значениями в касательном расслоении T ( M ) T(M) называют также векторными дифференциальными формами; векторные p p -формы можно отождествить с p p раз ковариантными и 1 1 раз контравариантными тензорными полями на M M , кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм E ( M ) E(M) ( Frölicher. 1956 ). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Аналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к X. Уитни ( Уитни. 1960 ), может быть использована для вычисления рациональных когомологий симплициального комплекса K K . Кусочно-линейной формой (или P L PL -формой) на K K называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса K K и имеющих в качестве коэффициентов при записи в барицентрических координатах многочлены с рациональными коэффициентами. P L PL -формы на K K образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E P L ∗ ( K ) E^_{PL}(K) над Q \mathbb Q . Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру H ∗ ( ∣ K ∣ , Q ) H^(\|K\|, \mathbb Q) , где ∣ K ∣ \|K\| – полиэдр , отвечающий комплексу K K . Алгебра E P L ∗ ( K ) E^_{PL}(K) полностью определяет также рациональный гомотопический тип (в частности, ранги гомотопических групп) пространства ∣ K ∣ \|K\| . Аналогично алгебра E ∗ ( M ) E^(M) на дифференцируемом многообразии М М определяет его вещественный гомотопический тип ( Вещественная гомотопическая теория ... 1977 ). Исчисление внешних форм на комплексном аналитическом многообразии имеет ряд особенностей ( Уэллс. 1976 ). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства E p ( M , C ) E^p(M, \mathbb C) комплекснозначных форм или пространства E p ( F ) E^p(F) , где F F – голоморфное векторное расслоение на M M . Имеет место разложение E p ( M , C ) = ∑ r + s = p E r , s ( M ) , E^p(M, \mathbb C) = \sum_{r+s=p} E^{r,s}(M), где E r , s ( M ) E^{r,s}(M) – пространство форм типа ( r , s ) (r,s) , т. е. форм α \alpha , локально представимых в виде ∑ a i 1 , … , i r , j 1 , … j s d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i r ∧ d z ˉ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ˉ j s , \sum a_{i_1,\dots,i_r, j_1, \dots j_s} dz^{i_1}\wedge \dots \wedge dz^{i_r}\wedge d\bar z^{j_1}\wedge \dots \wedge d\bar z^{j_s}, где ( z 1 , … , z n ) (z^1,\dots,z^n) – локальная аналитическая система координат на M M . Аналогично E p ( F ) = ∑ r + s = p E r , s ( F ) . E^p(F) = \sum_{r+s=p} E^{r,s} (F). Далее, d = d ′ + d ′ ′ d=d'+d'' , где d : E r , s ( M ) → E r + 1 , s ( M ) , d ′ ′ : E r , s ( M ) → E r , s + 1 ( M ) . d: E^{r,s}(M)\to E^{r+1,s}(M),\quad d'': E^{r,s}(M)\to E^{r,s+1}(M). При этом d ′ 2 = d ′ ′ 2 = 0 d'^2 = d''^2 = 0 , так что d ′ d' и d ′ ′ d'' определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d ′ ′ d'' (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через H r , s ( M ) H^{r,s}(M) . d ′ ′ d'' -коциклы типа ( p , 0 ) (p,0) суть голоморфные p p -формы. Для d ′ ′ d'' справедлива следующая лемма Гротендика: если α \alpha – форма типа ( r , s ) (r,s) с s > 0 s>0 в окрестности нуля пространства C n \mathbb C^n и d ′ ′ α = 0 d''\alpha = 0 , то в меньшей окрестности нуля существует такая форма β \beta типа ( r , s − 1 ) (r,s-1) , что α = d ′ ′ β \alpha = d'' \beta . Комплекс Дольбо можно определить также и для F F -значных форм, где F F – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий H r , s ( F ) H^{r,s}(F) . Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм: H r , s ( F ) ≅ H s ( M , Ω r ( F ) ) , H^{r,s}(F) \cong H^s (M, \Omega^r(F)), где Ω r ( F ) \Omega^r(F) – пучок ростков голоморфных F F -значных r r -форм (теорема Дольбо). В частности, H r , s ( M ) ≅ H s ( M , Ω r ( M ) ) , H^{r,s}(M)\cong H^s(M, \Omega^r(M)), где Ω r ( M ) \Omega^r(M) – пучок ростков голоморфных r r -форм на M M . Существует спектральная последовательность с первым членом ∑ r , s H r , s ( M ) \sum_{r,s} H^{r, s}(M) , сходящаяся к H ∗ ( M , C ) H^(M, \mathbb C) . Эйлерова характеристика χ ( M ) \chi(M) компактного комплексного многообразия M M выражается через когомологии Дольбо по формуле χ ( M ) = ∑ r , s ( − 1 ) r + s d i m H r , s ( M ) . \chi(M) = \sum_{r,s} (-1)^{r+s} {\rm dim}\ H^{r,s}(M). Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. Стернберг. 1970 , Картан. 1971 ). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются потоки . Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье Модуль дифференциалов ) позволяет определить дифференциальные формы на алгебраических многообразиях и на аналитических пространствах (см. Дифференциальное исчисление на аналитических пространствах, Когомологии де Рама , Дифференциал на римановой поверхности , Гармоническая форма , Голоморфная форма , Оператор Лапласа) . 2) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть X X – неприводимое алгебраическое многообразие размерности d d над алгебраически замкнутым полем k k , K K – его поле рациональных функций . Дифференциальной формой степени r r на X X называется элемент K K -пространства Ω r ( X ) = ∧ r Ω K / k 1 , \Omega^r(X) = \overset{r}{\wedge} \Omega^1_{K/k}, где Ω K / k \Omega_{K/k} – модуль дифференциалов поля K K над полем k k . Если x 1 , … , x d x_1, \dots, x_d – сепарабельный базис трансцендентности расширения K / k K/k , то каждая дифференциальная форма ω ∈ Ω r ( X ) \omega \in \Omega^r(X) записывается в виде ω = ∑ a i 1 … i r d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i r , \omega = \sum a_{i_1\dots i_r} dx_{i_1}\wedge \dots \wedge dx_{i_r}, где a i 1 … i r ∈ K a_{i_1\dots i_r}\in K . Дифференциальная форма ω \omega называется регулярной на открытом множестве U ⊂ X U \subset X , если ω \omega принадлежит подмодулю Ω k [ U ] / k r \Omega^r_{k[U]/k} пространства Ω r ( X ) \Omega^r(X) , рассматриваемого как модуль над кольцом k [ U ] k[U] регулярных функций на подмножестве U U . Дифференциальная форма ω \omega называется регулярной, если любая точка x ∈ X x\in X имеет такую окрестность U U , что ω \omega регулярна на U U . Регулярные дифференциальные формы на X X образуют модуль над k [ X ] k[X] , обозначаемый Ω r [ X ] \Omega^r[X] . Его элементы отождествляются с сечениями пучка Ω X / k r \Omega^r_{X/k} на многообразии X X . В окрестности любой точки x ∈ X x\in X регулярная дифференциальная форма ω ∈ Ω r [ X ] \omega\in\Omega^r[X] записывается в виде ω = ∑ α i 1 … i r d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i r , \omega = \sum \alpha_{i_1\dots i_r} df_{i_1}\wedge\dots\wedge df_{i_r}, где функции a i 1 … i r , f i 1 , … , f i r a_{i_1\dots i_r}, f_{i_1}, \dots, f_{i_r} регулярны в точке x x . Если X X – полное многообразие, то пространства Ω r [ X ] \Omega^r[X] конечномерны, а в случае, когда X X неособое, размерность p g ( X ) = d i m k Ω d [ X ] p_g(X) = {\rm dim}_k \Omega^d[X] называется геометрическим родом многообразия X X . В случае, когда X X – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство Ω r [ X ] \Omega^r[X] совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени r r на соответствующем аналитическом пространстве X a n X^{an} . Пусть X X – нормальное многообразие и ω ∈ Ω d [ X ] \omega\in\Omega^d[X] ; для любой точки x ∈ X ( 1 ) x\in X^{(1)} коразмерности 1 1 дифференциальная форма ω \omega может быть записана в виде ω = a d t ∧ d t 1 ∧ ⋯ ∧ d t d − 1 , ( ∗ ) \omega = a dt\wedge dt_1\wedge\dots\wedge dt_{d-1}, \tag{$$} где a a принадлежит полю частных K x K_x локального кольца O X , x \mathcal O_{X,x} , t t – образующая его максимального идеала , t 1 , … , t d − 1 t_1,\dots,t_{d-1} – сепарабельный базис трансцендентности над k k поля вычетов кольца O X , x \mathcal O_{X, x} . Значение нормирования на элементе a a , определяемое кольцом O X , x \mathcal O_{X, x} , не зависит от выбора представления ω \omega в виде ( ∗ ) () и обозначается ν x ( ω ) \nu_x(\omega) . Дивизор D = ∑ x ∈ X ( 1 ) ν x ( ω ) { x ˉ } D = \sum_{x\in X^{(1)}} \nu_x(\omega)\{\bar x\} определён и называется дивизором дифференциальной формы ω \omega . Дифференциальная форма ω \omega регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор D ≥ 0 D\ge 0 , т. е. ν x ( ω ) ≥ 0 \nu_x(\omega)\ge 0 для всех x ∈ X ( 1 ) x\in X^{(1)} . Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия X X и обозначается через K X K_X . Для неособого многообразия X X класс K X K_X совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка Ω X / k d \Omega^d_{X/k} , в частности Ω X / k d ≃ O X ( D ) \Omega^d_{X/k} \simeq \mathcal O_X(D) для любого D ∈ K X D \in K_X . Для любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий f : X ′ → X f: X'\to X определён канонический гомоморфизм f ∗ : Ω r ( X ) → Ω r ( X ′ ) . f^: \Omega^r(X)\to \Omega^r(X'). При этом если X X и X ′ X' – неособые, а X X – полное, то f ∗ f^* переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия X X и X ′ X' бирационально изоморфны, то векторные пространства Ω r [ X ] \Omega^r[X] и Ω r [ X ′ ] \Omega^r[X'] изоморфны над полем k k . Для любого i > 1 i>1 элементы i i –й симметрической степени S i ( Ω r ( X ) ) S^i(\Omega^r(X)) K K -пространства Ω r ( X ) \Omega^r(X) называются i i -кратными дифференциальными формами степени r r на X X . Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка S i ( Ω X / k r ) S^i(\Omega^r_{X/k}) . Регулярные сечения ω ∈ Γ ( X , S i ( Ω X / k r ) ) \omega \in \Gamma(X, S^i(\Omega^r_{X/k})) называются регулярными i i -кратными дифференциальными формами степени r r на X X . Для неособого полного многообразия X X размерность P i ( X ) = d i m k Γ ( X , S i ( Ω X / k d ) ) P_i(X) = {\rm dim}_k \Gamma(X, S^i(\Omega^d_{X/k})) называется i i -родом многообразия X X . Для бирационально изоморфных многообразий их i i -роды совпадают. Долгачёв Игорь Владимирович . Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979. Опубликовано 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3). Последнее обновление 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).
Markdown	Каталог Каталог [Стать автором]() [Войти]() [Войти]() Статья Статья Статья [Аннотация](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/annotation) Аннотация [Аннотация](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/annotation) [Библиография](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/references) Библиография [Библиография](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/references) [Версии](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/versions) Версии [Версии](https://bigenc.ru/c/differentsial-naia-forma-8b0c56/versions) Информация Дифференциальная форма [Термины](https://bigenc.ru/t/terms)Термины # Дифференциальная форма ![Математика](https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120) Области знаний: Дифференциальная геометрия и топология [Термины](https://bigenc.ru/t/terms)Термины # Дифференциальная форма Дифференциа́льная фо́рма, 1\) дифференциальная форма степени p p p (p p p\-форма на [дифференцируемом многообразии](https://bigenc.ru/c/differentsiruemoe-mnogoobrazie-ca4a5f) M M M) – p p p раз ковариантное тензорное поле на M M M. Её можно интерпретировать также как p p p\-линейное \[над алгеброй F ( M ) F(M) F(M) гладких вещественных функций на M M M\] [отображение](https://bigenc.ru/c/otobrazhenie-f655a8) X ( M ) p → F ( M ) \\mathscr X(M)^p \\to F(M) X(M)p→F(M), где X ( M ) \\mathscr X(M) X(M) есть F ( M ) F(M) F(M)\-модуль гладких векторных полей на M M M. Формы степени 1 1 1 называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является [дифференциал](https://bigenc.ru/c/differentsial-d188dc) d f df df гладкой функции f f f на M M M, определяемый следующим образом: ( d f ) ( X ) (df)(X) (df)(X), X ∈ X ( M ) X \\in \\mathscr X(M) X∈X(M), есть [производная](https://bigenc.ru/c/proizvodnaia-68fd90) X f Xf Xf функции f f f по направлению поля X X X. [Римановы метрики](https://bigenc.ru/c/rimanova-metrika-2d3df3) на многообразии M M M служат примерами симметрических дифференциальных форм степени 2 2 2. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений. Если ( x 1 , … , x n ) (x^1, \\dots, x^n) (x1,…,xn) – локальная система координат в области U ⊂ M U\\subset M U⊂M, то формы d x 1 , … , d x n dx^1,\\dots,dx^n dx1,…,dxn составляют базис в кокасательном пространстве T x ( M ) ∗ T\_x(M)^\* Tx(M)∗, x ∈ U x\\in U x∈U. Поэтому (см. в статье [Внешняя алгебра](https://bigenc.ru/c/vneshniaia-algebra-212f74)) любая внешняя p p p\-форма α \\alpha α записывается в U U U в видеα \= ∑ i 1 , … , i p a i 1 , … , i p d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p , (1) \\alpha = \\sum\_{i\_1,\\dots,i\_p} a\_{i\_1,\\dots,i\_p} dx^{i\_1} \\wedge \\dots \\wedge dx^{i\_p}, \\tag{1} α\=i1,…,ip∑ai1,…,ipdxi1∧⋯∧dxip,(1)где a i 1 … i p a\_{i\_1 \\dots i\_p} ai1…ip – функции в U U U. В частности,d f \= ∂ f ∂ x i d x i . df = \\frac{\\partial f}{\\partial x^i} dx^i. df\=∂xi∂fdxi.Пусть E p \= E p ( M ) E^p = E^p(M) Ep\=Ep(M) – пространство всех внешних p p p\-форм класса C ∞ C^\\infty C∞, причём E 0 ( M ) \= F ( M ) E^0(M) = F(M) E0(M)\=F(M). Внешнее умножение α ∧ β \\alpha\\wedge\\beta α∧β превращает E ∗ ( M ) \= ∑ p \= 0 n E p ( M ) E^\(M) = \\sum\_{p=0}^n E^p(M) E∗(M)\=∑p\=0nEp(M) (где n \= d i m M n = {\\rm dim}\\, M n\=dimM) в [ассоциативную](https://bigenc.ru/c/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256) [градуированную](https://bigenc.ru/c/graduirovannaia-algebra-94a1fb) алгебру над F ( M ) F(M) F(M), удовлетворяющую условию градуированной коммутативностиα ∧ β \= ( − 1 ) p β ∧ α , α ∈ E p , β ∈ E q . (2) \\alpha\\wedge\\beta = (-1)^p \\beta\\wedge\\alpha, \\qquad \\alpha \\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q. \\tag{2} α∧β\=(−1)pβ∧α,α∈Ep,β∈Eq.(2)Гладкое отображение многообразий f : M → N f:M\\to N f:M→N порождает [гомоморфизм](https://bigenc.ru/c/gomomorfizm-5390b8) f ∗ : E ∗ ( N ) → E ∗ ( M ) f^\: E^\(N) \\to E^\(M) f∗:E∗(N)→E∗(M) алгебр над R \\mathbb R R. Понятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого p ≥ 0 p\\ge 0 p≥0 существует единственное линейное отображение d : E p → E p \+ 1 d: E^p \\to E^{p+1} d:Ep→Ep\+1 (внешний дифференциал), совпадающее при p \= 0 p=0 p\=0 с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:d ( α ∧ β ) \= d α ∧ β \+ ( − 1 ) p α ∧ d β , α ∈ E p , β ∈ E q , d ( d α ) \= 0\. d (\\alpha\\wedge\\beta) = d\\alpha\\wedge\\beta+(-1)^p \\alpha\\wedge d\\beta, \\quad \\alpha\\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q,\\quad d(d\\alpha)=0. d(α∧β)\=dα∧β\+(−1)pα∧dβ,α∈Ep,β∈Eq,d(dα)\=0\.Внешний дифференциал формы α \\alpha α, записанной в локальных координатах в виде ( 1 ) (1) (1), выражается формулойd α \= ∑ i 1 , … , i p d a i 1 … i p ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p . d\\alpha = \\sum\_{i\_1,\\dots,i\_p} d a\_{i\_1\\dots i\_p} \\wedge dx^{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dx^{i\_p}. dα\=i1,…,ip∑dai1…ip∧dxi1∧⋯∧dxip.Его бескоординатная запись:d α ( X 1 , … , X p \+ 1 ) \= ∑ i \= 1 p \+ 1 ( − 1 ) i \+ 1 X i α ( X 1 , … , X ^ i , … , X p \+ 1 ) − − ∑ i \< j ( − 1 ) i \+ j α ( \[ X i , X j \] , X 1 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X p \+ 1 ) , \\begin{aligned} d\\alpha(X\_1,\\dots,X\_{p+1}) = \\sum\_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X\_i \\alpha(X\_1, \\dots, \\hat X\_i, \\dots, X\_{p+1}) - \\\\ - \\sum\_{i\<j} (-1)^{i+j} \\alpha(\[X\_i, X\_j\], X\_1, \\dots, \\hat X\_i, \\dots, \\hat X\_j, \\dots, X\_{p+1}), \\end{aligned} dα(X1,…,Xp\+1)\=i\=1∑p\+1(−1)i\+1Xiα(X1,…,X^i,…,Xp\+1)−−i\<j∑(−1)i\+jα(\[Xi,Xj\],X1,…,X^i,…,X^j,…,Xp\+1),где X 1 , … , X p \+ 1 ∈ X ( M ) X\_1,\\dots,X\_{p+1}\\in \\mathscr X(M) X1,…,Xp\+1∈X(M). Оператор взятия [производной Ли](https://bigenc.ru/c/proizvodnaia-li-93e8d4) L X L\_X LX, X ∈ X ( M ) X\\in \\mathscr X(M) X∈X(M), на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношениемL X \= d ∘ i X \+ i X ∘ d , L\_X = d \\circ i\_X + i\_X \\circ d, LX\=d∘iX\+iX∘d,где i X : E p → E p − 1 i\_X: E^p \\to E^{p-1} iX:Ep→Ep−1 – оператор внутреннего умножения на X X X:( i X α ) ( X 1 , … , X p − 1 ) \= α ( X , X 1 , … , X p − 1 ) , α ∈ E p ( M ) , X 1 , … , X p − 1 ∈ X ( M ) . \\begin{aligned} (i\_X \\alpha)(X\_1, \\dots,X\_{p-1}) = \\alpha(X, X\_1, \\dots,X\_{p-1}), \\\\ \\alpha \\in E^p(M), \\quad X\_1,\\dots, X\_{p-1} \\in \\mathscr X(M). \\end{aligned} (iXα)(X1,…,Xp−1)\=α(X,X1,…,Xp−1),α∈Ep(M),X1,…,Xp−1∈X(M).Оператор d d d превращает E ∗ ( M ) E^\(M) E∗(M) в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно [теореме де Рама](https://bigenc.ru/c/teorema-de-rama-dc74ac), алгебра когомологийH ∗ ( M ) \= ∑ p \= 0 n H p ( M ) H^\(M) = \\sum\_{p=0}^n H^p(M) H∗(M)\=p\=0∑nHp(M)комплекса де Рама [изоморфна](https://bigenc.ru/c/izomorfizm-637225) алгебре H ∗ ( M , R ) H^\(M, \\mathbb R) H∗(M,R) вещественных когомологий многообразия M M M. В частности, H p ( R n ) \= 0 H^p(\\mathbb R^n) = 0 Hp(Rn)\=0 при p \> 0 p\>0 p\>0 (лемма Пуанкаре). С теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть D D D – ограниченная область в R p \\mathbb R^p Rp, s s s – гладкое отображение R p → M \\mathbb R^p \\to M Rp→M, определённое в окрестности замыкания D ˉ \\bar D Dˉ. Если α ∈ E p ( M ) \\alpha \\in E^p(M) α∈Ep(M), то s ∗ α \= a d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p s^\ \\alpha = a dx^1 \\wedge \\dots\\wedge dx^p s∗α\=adx1∧⋯∧dxp, где a a a – гладкая функция в D ˉ \\bar D Dˉ. Интеграл формы α \\alpha α по поверхности s s s определяется формулой∫ s α \= ∫ D a ( x 1 , … , x p ) d x 1 … d x p . \\int\_s \\alpha = \\int\_D a(x\_1, \\dots, x\_p) dx^1\\dots dx^p. ∫sα\=∫Da(x1,…,xp)dx1…dxp.Если D D D имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула∫ s d α \= ∫ ∂ s α , α ∈ E p − 1 ( M ) , (3) \\int\_s d\\alpha = \\int\_{\\partial s} \\alpha, \\quad \\alpha \\in E^{p-1}(M), \\tag{3} ∫sdα\=∫∂sα,α∈Ep−1(M),(3)где ∫ ∂ s α \\int\_{\\partial s} \\alpha ∫∂sα определяется как сумма интегралов формы α \\alpha α по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, [Грина](https://bigenc.ru/c/formuly-grina-a47325), Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также [Теорема Стокса](https://bigenc.ru/c/teorema-stoksa-ba1e30)). В силу формулы (3) каждая замкнутая p p p\-форма α \\alpha α определяет p p p\-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе s s s равно ∫ s α \\int\_s \\alpha ∫sα. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама. Формула (3) была опубликована в 1899 г. [А. Пуанкаре](https://bigenc.ru/c/puankare-anri-9adfed) ([Poincaré. 1987](https://bigenc.ru/b/methodes-nouvelles-de-la-mecanique-celeste-2d745b)), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно [Э. Картан](https://bigenc.ru/c/kartan-eli-329537) (см. [Cartan. 1953](https://bigenc.ru/b/oeuvres-completes-d6a60b)) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй. Наряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в [векторном пространстве](https://bigenc.ru/c/vektornoe-prostranstvo-22e0fb) V V V над R \\mathbb R R. Если V V V является алгеброй, то в пространстве E ( M , V ) E(M, V) E(M,V) форм со значениями в V V V определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V V V ассоциативна, то и E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) ассоциативна; если V V V коммутативна, то E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) градуированно-коммутативна \[формула (2)\]; если V V V – [алгебра Ли](https://bigenc.ru/c/algebra-li-da920e), то E ( M , V ) E(M,V) E(M,V) – [градуированная алгебра Ли](https://bigenc.ru/c/graduirovannaia-algebra-li-8b7297). Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть F F F – гладкое векторное [расслоенное пространство](https://bigenc.ru/c/rassloennoe-prostranstvo-990425) с базой M M M. Если сопоставить каждой точке x ∈ M x\\in M x∈M кососимметрическую p p p\-линейную функцию на T x ( M ) T\_x(M) Tx(M) со значениями в слое F x F\_x Fx расслоения F F F, то получится т. н. F F F\-значная p p p\-форма. F F F\-значную p p p\-форму можно интерпретировать также как p p p\-линейное \[над F ( M ) F(M) F(M)\] отображение модуля X ( M ) p \\mathscr X(M)^p X(M)p в модуль гладких [сечений расслоения](https://bigenc.ru/c/sechenie-rassloeniia-1bf284) F F F. Пространство таких форм обозначается E p ( F ) E^p(F) Ep(F). Если F F F задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F F F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай. Формы со значениями в [касательном расслоении](https://bigenc.ru/c/kasatel-noe-rassloenie-34cac2) T ( M ) T(M) T(M) называют также векторными дифференциальными формами; векторные p p p\-формы можно отождествить с p p p раз ковариантными и 1 1 1 раз контравариантными тензорными полями на M M M, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм E ( M ) E(M) E(M) ([Frölicher. 1956](https://bigenc.ru/b/theory-ot-vector-valued-differential-forms-ebb00e)). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Аналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к [X. Уитни](https://bigenc.ru/c/uitni-khassler-b25f89) ([Уитни. 1960](https://bigenc.ru/b/geometricheskaia-teoriia-inte-9e4851)), может быть использована для вычисления рациональных [когомологий](https://bigenc.ru/c/kogomologii-bb2eed) симплициального комплекса K K K. Кусочно-линейной формой (или P L PL PL\-формой) на K K K называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса K K K и имеющих в качестве коэффициентов при записи в [барицентрических координатах](https://bigenc.ru/c/baritsentricheskie-koordinaty-309dd1) [многочлены](https://bigenc.ru/c/mnogochlen-aa52f7) с рациональными коэффициентами. P L PL PL\-формы на K K K образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E P L ∗ ( K ) E^\\_{PL}(K) EPL∗(K) над Q \\mathbb Q Q. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру H ∗ ( ∣ K ∣ , Q ) H^\(\\|K\\|, \\mathbb Q) H∗(∣K∣,Q), где ∣ K ∣ \\|K\\| ∣K∣ – [полиэдр](https://bigenc.ru/c/poliedr-3ada16), отвечающий комплексу K K K. Алгебра E P L ∗ ( K ) E^\\_{PL}(K) EPL∗(K) полностью определяет также рациональный [гомотопический тип](https://bigenc.ru/c/gomotopicheskii-tip-f31463) (в частности, ранги гомотопических групп) пространства ∣ K ∣ \\|K\\| ∣K∣. Аналогично алгебра E ∗ ( M ) E^\(M) E∗(M) на дифференцируемом многообразии М М М определяет его вещественный гомотопический тип ([Вещественная гомотопическая теория ... 1977](https://bigenc.ru/b/veshchestvennaia-gomotopichesk-6e8558)). Исчисление внешних форм на комплексном [аналитическом многообразии](https://bigenc.ru/c/analiticheskoe-mnogoobrazie-da6295) имеет ряд особенностей ([Уэллс. 1976](https://bigenc.ru/b/differentsial-noe-ischislen-21ab9b)). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства E p ( M , C ) E^p(M, \\mathbb C) Ep(M,C) комплекснозначных форм или пространства E p ( F ) E^p(F) Ep(F), где F F F – голоморфное [векторное расслоение](https://bigenc.ru/c/vektornoe-rassloenie-8331db) на M M M. Имеет место разложениеE p ( M , C ) \= ∑ r \+ s \= p E r , s ( M ) , E^p(M, \\mathbb C) = \\sum\_{r+s=p} E^{r,s}(M), Ep(M,C)\=r\+s\=p∑Er,s(M),где E r , s ( M ) E^{r,s}(M) Er,s(M) – пространство форм типа ( r , s ) (r,s) (r,s), т. е. форм α \\alpha α, локально представимых в виде∑ a i 1 , … , i r , j 1 , … j s d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i r ∧ d z ˉ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ˉ j s , \\sum a\_{i\_1,\\dots,i\_r, j\_1, \\dots j\_s} dz^{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dz^{i\_r}\\wedge d\\bar z^{j\_1}\\wedge \\dots \\wedge d\\bar z^{j\_s}, ∑ai1,…,ir,j1,…jsdzi1∧⋯∧dzir∧dzˉj1∧⋯∧dzˉjs,где ( z 1 , … , z n ) (z^1,\\dots,z^n) (z1,…,zn) – локальная аналитическая система координат на M M M. АналогичноE p ( F ) \= ∑ r \+ s \= p E r , s ( F ) . E^p(F) = \\sum\_{r+s=p} E^{r,s} (F). Ep(F)\=r\+s\=p∑Er,s(F).Далее, d \= d ′ \+ d ′ ′ d=d'+d'' d\=d′\+d′′, гдеd : E r , s ( M ) → E r \+ 1 , s ( M ) , d ′ ′ : E r , s ( M ) → E r , s \+ 1 ( M ) . d: E^{r,s}(M)\\to E^{r+1,s}(M),\\quad d'': E^{r,s}(M)\\to E^{r,s+1}(M). d:Er,s(M)→Er\+1,s(M),d′′:Er,s(M)→Er,s\+1(M).При этом d ′ 2 \= d ′ ′ 2 \= 0 d'^2 = d''^2 = 0 d′2\=d′′2\=0, так что d ′ d' d′ и d ′ ′ d'' d′′ определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d ′ ′ d'' d′′ (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через H r , s ( M ) H^{r,s}(M) Hr,s(M). d ′ ′ d'' d′′\-коциклы типа ( p , 0 ) (p,0) (p,0) суть [голоморфные](https://bigenc.ru/c/golomorfnaia-forma-d51fab) p p p\-формы. Для d ′ ′ d'' d′′ справедлива следующая лемма Гротендика: если α \\alpha α – форма типа ( r , s ) (r,s) (r,s) с s \> 0 s\>0 s\>0 в окрестности нуля пространства C n \\mathbb C^n Cn и d ′ ′ α \= 0 d''\\alpha = 0 d′′α\=0, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма β \\beta β типа ( r , s − 1 ) (r,s-1) (r,s−1), что α \= d ′ ′ β \\alpha = d'' \\beta α\=d′′β. Комплекс Дольбо можно определить также и для F F F\-значных форм, где F F F – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий H r , s ( F ) H^{r,s}(F) Hr,s(F). Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:H r , s ( F ) ≅ H s ( M , Ω r ( F ) ) , H^{r,s}(F) \\cong H^s (M, \\Omega^r(F)), Hr,s(F)≅Hs(M,Ωr(F)),где Ω r ( F ) \\Omega^r(F) Ωr(F) – пучок ростков голоморфных F F F\-значных r r r\-форм (теорема Дольбо). В частности,H r , s ( M ) ≅ H s ( M , Ω r ( M ) ) , H^{r,s}(M)\\cong H^s(M, \\Omega^r(M)), Hr,s(M)≅Hs(M,Ωr(M)),где Ω r ( M ) \\Omega^r(M) Ωr(M) – пучок ростков голоморфных r r r\-форм на M M M. Существует [спектральная последовательность](https://bigenc.ru/c/spektral-naia-posledovatel-nost-8ad4c4) с первым членом ∑ r , s H r , s ( M ) \\sum\_{r,s} H^{r, s}(M) ∑r,sHr,s(M), сходящаяся к H ∗ ( M , C ) H^\(M, \\mathbb C) H∗(M,C). [Эйлерова характеристика](https://bigenc.ru/c/eilerova-kharakteristika-3ea20e) χ ( M ) \\chi(M) χ(M) компактного комплексного многообразия M M M выражается через когомологии Дольбо по формулеχ ( M ) \= ∑ r , s ( − 1 ) r \+ s d i m H r , s ( M ) . \\chi(M) = \\sum\_{r,s} (-1)^{r+s} {\\rm dim}\\ H^{r,s}(M). χ(M)\=r,s∑(−1)r\+sdim Hr,s(M).Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. [Стернберг. 1970](https://bigenc.ru/b/lektsii-po-differentsial-noi-f05ef7), [Картан. 1971](https://bigenc.ru/b/differentsial-noe-ischislen-f1689d)). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются [потоки](https://bigenc.ru/c/potok-v-matematike-bae86e). Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье [Модуль дифференциалов](https://bigenc.ru/c/modul-differentsialov-cd5f8e)) позволяет определить дифференциальные формы на [алгебраических многообразиях](https://bigenc.ru/c/algebraicheskoe-mnogoobrazie-0ce828) и на [аналитических пространствах](https://bigenc.ru/c/analiticheskoe-prostranstvo-3e9bf7) (см. [Дифференциальное исчисление](https://bigenc.ru/c/differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4) на аналитических пространствах, [Когомологии де Рама](https://bigenc.ru/c/kogomologii-de-rama-385a15), [Дифференциал на римановой поверхности](https://bigenc.ru/c/differentsial-na-rimanovoi-poverkhnosti-cbb214), [Гармоническая форма](https://bigenc.ru/c/garmonicheskaia-forma-76f7ce), [Голоморфная форма](https://bigenc.ru/c/golomorfnaia-forma-d51fab), [Оператор Лапласа)](https://bigenc.ru/c/operator-laplasa-8b92b1). 2\) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть X X X – неприводимое алгебраическое многообразие размерности d d d над [алгебраически замкнутым полем](https://bigenc.ru/c/algebraicheski-zamknutoe-pole-0b653a) k k k, K K K – его поле [рациональных функций](https://bigenc.ru/c/ratsional-naia-funktsiia-510ebc). Дифференциальной формой степени r r r на X X X называется элемент K K K\-пространстваΩ r ( X ) \= ∧ r Ω K / k 1 , \\Omega^r(X) = \\overset{r}{\\wedge} \\Omega^1\_{K/k}, Ωr(X)\=∧rΩK/k1,где Ω K / k \\Omega\_{K/k} ΩK/k – модуль дифференциалов поля K K K над полем k k k. Если x 1 , … , x d x\_1, \\dots, x\_d x1,…,xd – сепарабельный базис трансцендентности расширения K / k K/k K/k, то каждая дифференциальная форма ω ∈ Ω r ( X ) \\omega \\in \\Omega^r(X) ω∈Ωr(X) записывается в видеω \= ∑ a i 1 … i r d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i r , \\omega = \\sum a\_{i\_1\\dots i\_r} dx\_{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dx\_{i\_r}, ω\=∑ai1…irdxi1∧⋯∧dxir,где a i 1 … i r ∈ K a\_{i\_1\\dots i\_r}\\in K ai1…ir∈K. Дифференциальная форма ω \\omega ω называется регулярной на [открытом множестве](https://bigenc.ru/c/otkrytoe-mnozhestvo-7f6e53) U ⊂ X U \\subset X U⊂X, если ω \\omega ω принадлежит подмодулю Ω k \[ U \] / k r \\Omega^r\_{k\[U\]/k} Ωk\[U\]/kr пространства Ω r ( X ) \\Omega^r(X) Ωr(X), рассматриваемого как [модуль над кольцом](https://bigenc.ru/c/modul-nad-kol-tsom-5f3e16) k \[ U \] k\[U\] k\[U\] регулярных функций на подмножестве U U U. Дифференциальная форма ω \\omega ω называется регулярной, если любая точка x ∈ X x\\in X x∈X имеет такую окрестность U U U, что ω \\omega ω регулярна на U U U. Регулярные дифференциальные формы на X X X образуют модуль над k \[ X \] k\[X\] k\[X\], обозначаемый Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] Ωr\[X\]. Его элементы отождествляются с сечениями пучка Ω X / k r \\Omega^r\_{X/k} ΩX/kr на многообразии X X X. В окрестности любой точки x ∈ X x\\in X x∈X регулярная дифференциальная форма ω ∈ Ω r \[ X \] \\omega\\in\\Omega^r\[X\] ω∈Ωr\[X\] записывается в видеω \= ∑ α i 1 … i r d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i r , \\omega = \\sum \\alpha\_{i\_1\\dots i\_r} df\_{i\_1}\\wedge\\dots\\wedge df\_{i\_r}, ω\=∑αi1…irdfi1∧⋯∧dfir,где функции a i 1 … i r , f i 1 , … , f i r a\_{i\_1\\dots i\_r}, f\_{i\_1}, \\dots, f\_{i\_r} ai1…ir,fi1,…,fir регулярны в точке x x x. Если X X X – полное многообразие, то пространства Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] Ωr\[X\] конечномерны, а в случае, когда X X X неособое, размерность p g ( X ) \= d i m k Ω d \[ X \] p\_g(X) = {\\rm dim}\_k \\Omega^d\[X\] pg(X)\=dimkΩd\[X\] называется [геометрическим родом](https://bigenc.ru/c/geometricheskii-rod-a1db4b) многообразия X X X. В случае, когда X X X – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] Ωr\[X\] совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени r r r на соответствующем аналитическом пространстве X a n X^{an} Xan. Пусть X X X – нормальное многообразие и ω ∈ Ω d \[ X \] \\omega\\in\\Omega^d\[X\] ω∈Ωd\[X\]; для любой точки x ∈ X ( 1 ) x\\in X^{(1)} x∈X(1) коразмерности 1 1 1 дифференциальная форма ω \\omega ω может быть записана в видеω \= a d t ∧ d t 1 ∧ ⋯ ∧ d t d − 1 , ( ∗ ) \\omega = a dt\\wedge dt\_1\\wedge\\dots\\wedge dt\_{d-1}, \\tag{\$\\$} ω\=adt∧dt1∧⋯∧dtd−1,(∗)где a a a принадлежит полю частных K x K\_x Kx [локального кольца](https://bigenc.ru/c/lokal-noe-kol-tso-4ed1bc) O X , x \\mathcal O\_{X,x} OX,x, t t t – образующая его [максимального идеала](https://bigenc.ru/c/maksimal-nyi-ideal-f87fd0), t 1 , … , t d − 1 t\_1,\\dots,t\_{d-1} t1,…,td−1 – сепарабельный базис трансцендентности над k k k поля вычетов кольца O X , x \\mathcal O\_{X, x} OX,x. Значение нормирования на элементе a a a, определяемое кольцом O X , x \\mathcal O\_{X, x} OX,x, не зависит от выбора представления ω \\omega ω в виде ( ∗ ) (\) (∗) и обозначается ν x ( ω ) \\nu\_x(\\omega) νx(ω). [Дивизор](https://bigenc.ru/c/divizor-b54053)D \= ∑ x ∈ X ( 1 ) ν x ( ω ) { x ˉ } D = \\sum\_{x\\in X^{(1)}} \\nu\_x(\\omega)\\{\\bar x\\} D\=x∈X(1)∑νx(ω){xˉ}определён и называется дивизором дифференциальной формы ω \\omega ω. Дифференциальная форма ω \\omega ω регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор D ≥ 0 D\\ge 0 D≥0, т. е. ν x ( ω ) ≥ 0 \\nu\_x(\\omega)\\ge 0 νx(ω)≥0 для всех x ∈ X ( 1 ) x\\in X^{(1)} x∈X(1). Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия X X X и обозначается через K X K\_X KX. Для неособого многообразия X X X класс K X K\_X KX совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка Ω X / k d \\Omega^d\_{X/k} ΩX/kd, в частностиΩ X / k d ≃ O X ( D ) \\Omega^d\_{X/k} \\simeq \\mathcal O\_X(D) ΩX/kd≃OX(D)для любого D ∈ K X D \\in K\_X D∈KX. Для любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий f : X ′ → X f: X'\\to X f:X′→X определён канонический гомоморфизмf ∗ : Ω r ( X ) → Ω r ( X ′ ) . f^\: \\Omega^r(X)\\to \\Omega^r(X'). f∗:Ωr(X)→Ωr(X′).При этом если X X X и X ′ X' X′ – неособые, а X X X – полное, то f ∗ f^\* f∗ переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия X X X и X ′ X' X′ бирационально изоморфны, то векторные пространства Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] Ωr\[X\] и Ω r \[ X ′ \] \\Omega^r\[X'\] Ωr\[X′\] изоморфны над полем k k k. Для любого i \> 1 i\>1 i\>1 элементы i i i–й симметрической степени S i ( Ω r ( X ) ) S^i(\\Omega^r(X)) Si(Ωr(X)) K K K\-пространства Ω r ( X ) \\Omega^r(X) Ωr(X) называются i i i\-кратными дифференциальными формами степени r r r на X X X. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка S i ( Ω X / k r ) S^i(\\Omega^r\_{X/k}) Si(ΩX/kr). Регулярные сеченияω ∈ Γ ( X , S i ( Ω X / k r ) ) \\omega \\in \\Gamma(X, S^i(\\Omega^r\_{X/k})) ω∈Γ(X,Si(ΩX/kr))называются регулярными i i i\-кратными дифференциальными формами степени r r r на X X X. Для неособого полного многообразия X X X размерность P i ( X ) \= d i m k Γ ( X , S i ( Ω X / k d ) ) P\_i(X) = {\\rm dim}\_k \\Gamma(X, S^i(\\Omega^d\_{X/k})) Pi(X)\=dimkΓ(X,Si(ΩX/kd))называется i i i\-родом многообразия X X X. Для бирационально изоморфных многообразий их i i i\-роды совпадают. [Онищик Аркадий Львович](https://bigenc.ru/a/a-onischik-d2b908), [Долгачёв Игорь Владимирович](https://bigenc.ru/a/iv-dolgachyov-95afbf). Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979. Опубликовано 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3). Последнее обновление 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3). Связаться с редакцией [\#Алгебраические многообразия](https://bigenc.ru/l/algebraicheskie-mnogoobraziia-df86c1)[\#Производные](https://bigenc.ru/l/proizvodnye-30d4d6)[\#Римановы метрики](https://bigenc.ru/l/rimanovy-metriki-98543b)[\#Ассоциативные кольца и алгебры](https://bigenc.ru/l/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-b21fc0)[\#Гомоморфизм](https://bigenc.ru/l/gomomorfizm-47e7a2)[\#Алгебры Ли](https://bigenc.ru/l/algebry-li-8e783c)[\#Многочлен](https://bigenc.ru/l/mnogochlen-87bd34)[\#Векторные расслоения](https://bigenc.ru/l/vektornye-rassloeniia-e18fd9) Информация ![Математика](https://i.bigenc.ru/resizer/resize?sign=YwquNkBjjvRkIItEEj84EA&filename=vault/0ebb84c68bb91060eb81d2a5da097bbf.webp&width=120) Области знаний: Дифференциальная геометрия и топология - - [О портале](https://bigenc.ru/p/about-project) - [Стать автором](https://bigenc.ru/p/author) - [Партнёры](https://bigenc.ru/p/partners) - [Правообладателям](https://bigenc.ru/p/copyright-holders) - [Контакты](https://bigenc.ru/p/contacts) - [Старая версия сайта](https://old.bigenc.ru/) - Научно-образовательный портал «Большая российская энциклопедия» Создан при финансовой поддержке Министерства цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации. Свидетельство о регистрации СМИ ЭЛ № ФС77-84198, выдано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор) 15 ноября 2022 года. ISSN: 2949-2076 - Учредитель: Автономная некоммерческая организация «Национальный научно-образовательный центр «Большая российская энциклопедия» Главный редактор: Кравец С. Л. Телефон редакции: [\+7 (495) 917 90 00](tel:+74959179000) Эл. почта редакции: [secretar@greatbook.ru](mailto:secretar@greatbook.ru) - © АНО БРЭ, 2022 — 2026. Все права защищены. - Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению. Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей. - Условия использования информации.Вся информация, размещенная на данном портале, предназначена только для использования в личных целях и не подлежит дальнейшему воспроизведению. Медиаконтент (иллюстрации, фотографии, видео, аудиоматериалы, карты, скан образы) может быть использован только с разрешения правообладателей.
Readable Markdown	Дифференциа́льная фо́рма, 1\) дифференциальная форма степени p p (p p\-форма на [дифференцируемом многообразии](https://bigenc.ru/c/differentsiruemoe-mnogoobrazie-ca4a5f) M M) – p p раз ковариантное тензорное поле на M M. Её можно интерпретировать также как p p\-линейное \[над алгеброй F ( M ) F(M) гладких вещественных функций на M M\] [отображение](https://bigenc.ru/c/otobrazhenie-f655a8) X ( M ) p → F ( M ) \\mathscr X(M)^p \\to F(M), где X ( M ) \\mathscr X(M) есть F ( M ) F(M)\-модуль гладких векторных полей на M M. Формы степени 1 1 называют также пфаффовыми формами. Примером такой формы является [дифференциал](https://bigenc.ru/c/differentsial-d188dc) d f df гладкой функции f f на M M, определяемый следующим образом: ( d f ) ( X ) (df)(X), X ∈ X ( M ) X \\in \\mathscr X(M), есть [производная](https://bigenc.ru/c/proizvodnaia-68fd90) X f Xf функции f f по направлению поля X X. [Римановы метрики](https://bigenc.ru/c/rimanova-metrika-2d3df3) на многообразии M M служат примерами симметрических дифференциальных форм степени 2 2. Часто, однако, термин «дифференциальная форма» относят к кососимметрическим, или внешним, дифференциальным формам, имеющим наибольшее число приложений. Если ( x 1 , … , x n ) (x^1, \\dots, x^n) – локальная система координат в области U ⊂ M U\\subset M, то формы d x 1 , … , d x n dx^1,\\dots,dx^n составляют базис в кокасательном пространстве T x ( M ) ∗ T\_x(M)^\, x ∈ U x\\in U. Поэтому (см. в статье [Внешняя алгебра](https://bigenc.ru/c/vneshniaia-algebra-212f74)) любая внешняя p p\-форма α \\alpha записывается в U U в видеα \= ∑ i 1 , … , i p a i 1 , … , i p d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p , (1) \\alpha = \\sum\_{i\_1,\\dots,i\_p} a\_{i\_1,\\dots,i\_p} dx^{i\_1} \\wedge \\dots \\wedge dx^{i\_p}, \\tag{1}где a i 1 … i p a\_{i\_1 \\dots i\_p} – функции в U U. В частности,d f \= ∂ f ∂ x i d x i . df = \\frac{\\partial f}{\\partial x^i} dx^i.Пусть E p \= E p ( M ) E^p = E^p(M) – пространство всех внешних p p\-форм класса C ∞ C^\\infty, причём E 0 ( M ) \= F ( M ) E^0(M) = F(M). Внешнее умножение α ∧ β \\alpha\\wedge\\beta превращает E ∗ ( M ) \= ∑ p \= 0 n E p ( M ) E^\(M) = \\sum\_{p=0}^n E^p(M) (где n \= d i m M n = {\\rm dim}\\, M) в [ассоциативную](https://bigenc.ru/c/assotsiativnye-kol-tsa-i-algebry-3dd256) [градуированную](https://bigenc.ru/c/graduirovannaia-algebra-94a1fb) алгебру над F ( M ) F(M), удовлетворяющую условию градуированной коммутативностиα ∧ β \= ( − 1 ) p β ∧ α , α ∈ E p , β ∈ E q . (2) \\alpha\\wedge\\beta = (-1)^p \\beta\\wedge\\alpha, \\qquad \\alpha \\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q. \\tag{2}Гладкое отображение многообразий f : M → N f:M\\to N порождает [гомоморфизм](https://bigenc.ru/c/gomomorfizm-5390b8) f ∗ : E ∗ ( N ) → E ∗ ( M ) f^\: E^\(N) \\to E^\(M) алгебр над R \\mathbb R. Понятие дифференциала функции обобщается следующим образом. Для всякого p ≥ 0 p\\ge 0 существует единственное линейное отображение d : E p → E p \+ 1 d: E^p \\to E^{p+1} (внешний дифференциал), совпадающее при p \= 0 p=0 с введённым выше дифференциалом и обладающее свойствами:d ( α ∧ β ) \= d α ∧ β \+ ( − 1 ) p α ∧ d β , α ∈ E p , β ∈ E q , d ( d α ) \= 0\. d (\\alpha\\wedge\\beta) = d\\alpha\\wedge\\beta+(-1)^p \\alpha\\wedge d\\beta, \\quad \\alpha\\in E^p, \\quad \\beta \\in E^q,\\quad d(d\\alpha)=0.Внешний дифференциал формы α \\alpha, записанной в локальных координатах в виде ( 1 ) (1), выражается формулойd α \= ∑ i 1 , … , i p d a i 1 … i p ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i p . d\\alpha = \\sum\_{i\_1,\\dots,i\_p} d a\_{i\_1\\dots i\_p} \\wedge dx^{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dx^{i\_p}.Его бескоординатная запись:d α ( X 1 , … , X p \+ 1 ) \= ∑ i \= 1 p \+ 1 ( − 1 ) i \+ 1 X i α ( X 1 , … , X ^ i , … , X p \+ 1 ) − − ∑ i \< j ( − 1 ) i \+ j α ( \[ X i , X j \] , X 1 , … , X ^ i , … , X ^ j , … , X p \+ 1 ) , \\begin{aligned} d\\alpha(X\_1,\\dots,X\_{p+1}) = \\sum\_{i=1}^{p+1} (-1)^{i+1} X\_i \\alpha(X\_1, \\dots, \\hat X\_i, \\dots, X\_{p+1}) - \\\\ - \\sum\_{i\<j} (-1)^{i+j} \\alpha(\[X\_i, X\_j\], X\_1, \\dots, \\hat X\_i, \\dots, \\hat X\_j, \\dots, X\_{p+1}), \\end{aligned}где X 1 , … , X p \+ 1 ∈ X ( M ) X\_1,\\dots,X\_{p+1}\\in \\mathscr X(M). Оператор взятия [производной Ли](https://bigenc.ru/c/proizvodnaia-li-93e8d4) L X L\_X, X ∈ X ( M ) X\\in \\mathscr X(M), на дифференциальных формах связан с внешним дифференциалом соотношениемL X \= d ∘ i X \+ i X ∘ d , L\_X = d \\circ i\_X + i\_X \\circ d,где i X : E p → E p − 1 i\_X: E^p \\to E^{p-1} – оператор внутреннего умножения на X X:( i X α ) ( X 1 , … , X p − 1 ) \= α ( X , X 1 , … , X p − 1 ) , α ∈ E p ( M ) , X 1 , … , X p − 1 ∈ X ( M ) . \\begin{aligned} (i\_X \\alpha)(X\_1, \\dots,X\_{p-1}) = \\alpha(X, X\_1, \\dots,X\_{p-1}), \\\\ \\alpha \\in E^p(M), \\quad X\_1,\\dots, X\_{p-1} \\in \\mathscr X(M). \\end{aligned}Оператор d d превращает E ∗ ( M ) E^\(M) в коцепной комплекс (комплекс де Рама). Коциклы этого комплекса называются замкнутыми формами, кограницы – точными формами. Согласно [теореме де Рама](https://bigenc.ru/c/teorema-de-rama-dc74ac), алгебра когомологийH ∗ ( M ) \= ∑ p \= 0 n H p ( M ) H^\(M) = \\sum\_{p=0}^n H^p(M)комплекса де Рама [изоморфна](https://bigenc.ru/c/izomorfizm-637225) алгебре H ∗ ( M , R ) H^\(M, \\mathbb R) вещественных когомологий многообразия M M. В частности, H p ( R n ) \= 0 H^p(\\mathbb R^n) = 0 при p \> 0 p\>0 (лемма Пуанкаре). С теоремой де Рама тесно связана другая операция – интегрирование дифференциальных форм. Пусть D D – ограниченная область в R p \\mathbb R^p, s s – гладкое отображение R p → M \\mathbb R^p \\to M, определённое в окрестности замыкания D ˉ \\bar D. Если α ∈ E p ( M ) \\alpha \\in E^p(M), то s ∗ α \= a d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x p s^\* \\alpha = a dx^1 \\wedge \\dots\\wedge dx^p, где a a – гладкая функция в D ˉ \\bar D. Интеграл формы α \\alpha по поверхности s s определяется формулой∫ s α \= ∫ D a ( x 1 , … , x p ) d x 1 … d x p . \\int\_s \\alpha = \\int\_D a(x\_1, \\dots, x\_p) dx^1\\dots dx^p.Если D D имеет кусочно-гладкую границу, то справедлива формула∫ s d α \= ∫ ∂ s α , α ∈ E p − 1 ( M ) , (3) \\int\_s d\\alpha = \\int\_{\\partial s} \\alpha, \\quad \\alpha \\in E^{p-1}(M), \\tag{3}где ∫ ∂ s α \\int\_{\\partial s} \\alpha определяется как сумма интегралов формы α \\alpha по гладким кускам границы, снабжённых естественными параметризациями. Частными случаями этой формулы являются классические формулы Ньютона – Лейбница, [Грина](https://bigenc.ru/c/formuly-grina-a47325), Гаусса – Остроградского, Стокса (см. также [Теорема Стокса](https://bigenc.ru/c/teorema-stoksa-ba1e30)). В силу формулы (3) каждая замкнутая p p\-форма α \\alpha определяет p p\-мерный сингулярный коцикл, значение которого на симплексе s s равно ∫ s α \\int\_s \\alpha. Это соответствие как раз и реализует изоморфизм из теоремы де Рама. Формула (3) была опубликована в 1899 г. [А. Пуанкаре](https://bigenc.ru/c/puankare-anri-9adfed) ([Poincaré. 1987](https://bigenc.ru/b/methodes-nouvelles-de-la-mecanique-celeste-2d745b)), который рассматривал внешние формы как подынтегральные выражения для образования интегральных инвариантов. Одновременно [Э. Картан](https://bigenc.ru/c/kartan-eli-329537) (см. [Cartan. 1953](https://bigenc.ru/b/oeuvres-completes-d6a60b)) дал близкое к современному определение внешних форм и внешнего дифференциала (вначале на пфаффовых формах), подчеркнув связь своей конструкции с внешней алгеброй. Наряду с определёнными выше скалярными внешними формами можно рассматривать внешние дифференциальные формы со значениями в [векторном пространстве](https://bigenc.ru/c/vektornoe-prostranstvo-22e0fb) V V над R \\mathbb R. Если V V является алгеброй, то в пространстве E ( M , V ) E(M, V) форм со значениями в V V определено естественное умножение (обобщение внешнего умножения). Если при этом алгебра V V ассоциативна, то и E ( M , V ) E(M,V) ассоциативна; если V V коммутативна, то E ( M , V ) E(M,V) градуированно-коммутативна \[формула (2)\]; если V V – [алгебра Ли](https://bigenc.ru/c/algebra-li-da920e), то E ( M , V ) E(M,V) – [градуированная алгебра Ли](https://bigenc.ru/c/graduirovannaia-algebra-li-8b7297). Часто рассматривается также следующее, ещё более общее понятие. Пусть F F – гладкое векторное [расслоенное пространство](https://bigenc.ru/c/rassloennoe-prostranstvo-990425) с базой M M. Если сопоставить каждой точке x ∈ M x\\in M кососимметрическую p p\-линейную функцию на T x ( M ) T\_x(M) со значениями в слое F x F\_x расслоения F F, то получится т. н. F F\-значная p p\-форма. F F\-значную p p\-форму можно интерпретировать также как p p\-линейное \[над F ( M ) F(M)\] отображение модуля X ( M ) p \\mathscr X(M)^p в модуль гладких [сечений расслоения](https://bigenc.ru/c/sechenie-rassloeniia-1bf284) F F. Пространство таких форм обозначается E p ( F ) E^p(F). Если F F задано локально постоянными функциями перехода или, что то же, в F F задана плоская связность, то можно корректно определить комплекс де Рама и обобщить теорему де Рама на этот случай. Формы со значениями в [касательном расслоении](https://bigenc.ru/c/kasatel-noe-rassloenie-34cac2) T ( M ) T(M) называют также векторными дифференциальными формами; векторные p p\-формы можно отождествить с p p раз ковариантными и 1 1 раз контравариантными тензорными полями на M M, кососимметричными по ковариантным индексам. С помощью векторных дифференциальных форм описываются дифференцирования алгебры внешних форм E ( M ) E(M) ([Frölicher. 1956](https://bigenc.ru/b/theory-ot-vector-valued-differential-forms-ebb00e)). Векторные формы (а также их обобщение – струйные формы) находят применение в теории деформаций комплексных и других дифференциально-геометрических структур на многообразиях. Аналоги дифференциальных форм можно построить также в симплициальной теории. Одна из таких конструкций, восходящая к [X. Уитни](https://bigenc.ru/c/uitni-khassler-b25f89) ([Уитни. 1960](https://bigenc.ru/b/geometricheskaia-teoriia-inte-9e4851)), может быть использована для вычисления рациональных [когомологий](https://bigenc.ru/c/kogomologii-bb2eed) симплициального комплекса K K. Кусочно-линейной формой (или P L PL\-формой) на K K называется согласованный набор дифференциальных форм, заданных на симплексах комплекса K K и имеющих в качестве коэффициентов при записи в [барицентрических координатах](https://bigenc.ru/c/baritsentricheskie-koordinaty-309dd1) [многочлены](https://bigenc.ru/c/mnogochlen-aa52f7) с рациональными коэффициентами. P L PL\-формы на K K образуют градуированно-коммутативную дифференциальную алгебру E P L ∗ ( K ) E^\\_{PL}(K) над Q \\mathbb Q. Интегрирование форм определяет изоморфизм алгебры когомологий этой алгебры на алгебру H ∗ ( ∣ K ∣ , Q ) H^\(\\|K\\|, \\mathbb Q), где ∣ K ∣ \\|K\\| – [полиэдр](https://bigenc.ru/c/poliedr-3ada16), отвечающий комплексу K K. Алгебра E P L ∗ ( K ) E^\\_{PL}(K) полностью определяет также рациональный [гомотопический тип](https://bigenc.ru/c/gomotopicheskii-tip-f31463) (в частности, ранги гомотопических групп) пространства ∣ K ∣ \\|K\\|. Аналогично алгебра E ∗ ( M ) E^\(M) на дифференцируемом многообразии М М определяет его вещественный гомотопический тип ([Вещественная гомотопическая теория ... 1977](https://bigenc.ru/b/veshchestvennaia-gomotopichesk-6e8558)). Исчисление внешних форм на комплексном [аналитическом многообразии](https://bigenc.ru/c/analiticheskoe-mnogoobrazie-da6295) имеет ряд особенностей ([Уэллс. 1976](https://bigenc.ru/b/differentsial-noe-ischislen-21ab9b)). В этой ситуации обычно рассматриваются пространства E p ( M , C ) E^p(M, \\mathbb C) комплекснозначных форм или пространства E p ( F ) E^p(F), где F F – голоморфное [векторное расслоение](https://bigenc.ru/c/vektornoe-rassloenie-8331db) на M M. Имеет место разложениеE p ( M , C ) \= ∑ r \+ s \= p E r , s ( M ) , E^p(M, \\mathbb C) = \\sum\_{r+s=p} E^{r,s}(M),где E r , s ( M ) E^{r,s}(M) – пространство форм типа ( r , s ) (r,s), т. е. форм α \\alpha, локально представимых в виде∑ a i 1 , … , i r , j 1 , … j s d z i 1 ∧ ⋯ ∧ d z i r ∧ d z ˉ j 1 ∧ ⋯ ∧ d z ˉ j s , \\sum a\_{i\_1,\\dots,i\_r, j\_1, \\dots j\_s} dz^{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dz^{i\_r}\\wedge d\\bar z^{j\_1}\\wedge \\dots \\wedge d\\bar z^{j\_s},где ( z 1 , … , z n ) (z^1,\\dots,z^n) – локальная аналитическая система координат на M M. АналогичноE p ( F ) \= ∑ r \+ s \= p E r , s ( F ) . E^p(F) = \\sum\_{r+s=p} E^{r,s} (F).Далее, d \= d ′ \+ d ′ ′ d=d'+d'', гдеd : E r , s ( M ) → E r \+ 1 , s ( M ) , d ′ ′ : E r , s ( M ) → E r , s \+ 1 ( M ) . d: E^{r,s}(M)\\to E^{r+1,s}(M),\\quad d'': E^{r,s}(M)\\to E^{r,s+1}(M).При этом d ′ 2 \= d ′ ′ 2 \= 0 d'^2 = d''^2 = 0, так что d ′ d' и d ′ ′ d'' определяют коцепные комплексы. Наиболее известен комплекс оператора d ′ ′ d'' (комплекс Дольбо), когомологии которого обозначаются через H r , s ( M ) H^{r,s}(M). d ′ ′ d''\-коциклы типа ( p , 0 ) (p,0) суть [голоморфные](https://bigenc.ru/c/golomorfnaia-forma-d51fab) p p\-формы. Для d ′ ′ d'' справедлива следующая лемма Гротендика: если α \\alpha – форма типа ( r , s ) (r,s) с s \> 0 s\>0 в окрестности нуля пространства C n \\mathbb C^n и d ′ ′ α \= 0 d''\\alpha = 0, то в меньшей окрестности нуля существует такая форма β \\beta типа ( r , s − 1 ) (r,s-1), что α \= d ′ ′ β \\alpha = d'' \\beta. Комплекс Дольбо можно определить также и для F F\-значных форм, где F F – голоморфное векторное расслоение. Это приводит к пространствам когомологий H r , s ( F ) H^{r,s}(F). Из леммы Гротендика вытекает следующий изоморфизм:H r , s ( F ) ≅ H s ( M , Ω r ( F ) ) , H^{r,s}(F) \\cong H^s (M, \\Omega^r(F)),где Ω r ( F ) \\Omega^r(F) – пучок ростков голоморфных F F\-значных r r\-форм (теорема Дольбо). В частности,H r , s ( M ) ≅ H s ( M , Ω r ( M ) ) , H^{r,s}(M)\\cong H^s(M, \\Omega^r(M)),где Ω r ( M ) \\Omega^r(M) – пучок ростков голоморфных r r\-форм на M M. Существует [спектральная последовательность](https://bigenc.ru/c/spektral-naia-posledovatel-nost-8ad4c4) с первым членом ∑ r , s H r , s ( M ) \\sum\_{r,s} H^{r, s}(M), сходящаяся к H ∗ ( M , C ) H^\(M, \\mathbb C). [Эйлерова характеристика](https://bigenc.ru/c/eilerova-kharakteristika-3ea20e) χ ( M ) \\chi(M) компактного комплексного многообразия M M выражается через когомологии Дольбо по формулеχ ( M ) \= ∑ r , s ( − 1 ) r \+ s d i m H r , s ( M ) . \\chi(M) = \\sum\_{r,s} (-1)^{r+s} {\\rm dim}\\ H^{r,s}(M).Дифференциальные формы являются важной составной частью аппарата дифференциальной геометрии (см. [Стернберг. 1970](https://bigenc.ru/b/lektsii-po-differentsial-noi-f05ef7), [Картан. 1971](https://bigenc.ru/b/differentsial-noe-ischislen-f1689d)). Они систематически используются также в топологии, теории дифференциальных уравнений, механике, теории комплексных многообразий и функций многих комплексных переменных. Обобщением дифференциальных форм, аналогичным обобщённым функциям, являются [потоки](https://bigenc.ru/c/potok-v-matematike-bae86e). Алгебраический аналог теории дифференциальных форм (см. в статье [Модуль дифференциалов](https://bigenc.ru/c/modul-differentsialov-cd5f8e)) позволяет определить дифференциальные формы на [алгебраических многообразиях](https://bigenc.ru/c/algebraicheskoe-mnogoobrazie-0ce828) и на [аналитических пространствах](https://bigenc.ru/c/analiticheskoe-prostranstvo-3e9bf7) (см. [Дифференциальное исчисление](https://bigenc.ru/c/differentsial-noe-ischislenie-5ba9f4) на аналитических пространствах, [Когомологии де Рама](https://bigenc.ru/c/kogomologii-de-rama-385a15), [Дифференциал на римановой поверхности](https://bigenc.ru/c/differentsial-na-rimanovoi-poverkhnosti-cbb214), [Гармоническая форма](https://bigenc.ru/c/garmonicheskaia-forma-76f7ce), [Голоморфная форма](https://bigenc.ru/c/golomorfnaia-forma-d51fab), [Оператор Лапласа)](https://bigenc.ru/c/operator-laplasa-8b92b1). 2\) Дифференциальная форма на алгебраическом многообразии, аналог понятия дифференциальной формы на дифференцируемом многообразии. Пусть X X – неприводимое алгебраическое многообразие размерности d d над [алгебраически замкнутым полем](https://bigenc.ru/c/algebraicheski-zamknutoe-pole-0b653a) k k, K K – его поле [рациональных функций](https://bigenc.ru/c/ratsional-naia-funktsiia-510ebc). Дифференциальной формой степени r r на X X называется элемент K K\-пространстваΩ r ( X ) \= ∧ r Ω K / k 1 , \\Omega^r(X) = \\overset{r}{\\wedge} \\Omega^1\_{K/k},где Ω K / k \\Omega\_{K/k} – модуль дифференциалов поля K K над полем k k. Если x 1 , … , x d x\_1, \\dots, x\_d – сепарабельный базис трансцендентности расширения K / k K/k, то каждая дифференциальная форма ω ∈ Ω r ( X ) \\omega \\in \\Omega^r(X) записывается в видеω \= ∑ a i 1 … i r d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i r , \\omega = \\sum a\_{i\_1\\dots i\_r} dx\_{i\_1}\\wedge \\dots \\wedge dx\_{i\_r},где a i 1 … i r ∈ K a\_{i\_1\\dots i\_r}\\in K. Дифференциальная форма ω \\omega называется регулярной на [открытом множестве](https://bigenc.ru/c/otkrytoe-mnozhestvo-7f6e53) U ⊂ X U \\subset X, если ω \\omega принадлежит подмодулю Ω k \[ U \] / k r \\Omega^r\_{k\[U\]/k} пространства Ω r ( X ) \\Omega^r(X), рассматриваемого как [модуль над кольцом](https://bigenc.ru/c/modul-nad-kol-tsom-5f3e16) k \[ U \] k\[U\] регулярных функций на подмножестве U U. Дифференциальная форма ω \\omega называется регулярной, если любая точка x ∈ X x\\in X имеет такую окрестность U U, что ω \\omega регулярна на U U. Регулярные дифференциальные формы на X X образуют модуль над k \[ X \] k\[X\], обозначаемый Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\]. Его элементы отождествляются с сечениями пучка Ω X / k r \\Omega^r\_{X/k} на многообразии X X. В окрестности любой точки x ∈ X x\\in X регулярная дифференциальная форма ω ∈ Ω r \[ X \] \\omega\\in\\Omega^r\[X\] записывается в видеω \= ∑ α i 1 … i r d f i 1 ∧ ⋯ ∧ d f i r , \\omega = \\sum \\alpha\_{i\_1\\dots i\_r} df\_{i\_1}\\wedge\\dots\\wedge df\_{i\_r},где функции a i 1 … i r , f i 1 , … , f i r a\_{i\_1\\dots i\_r}, f\_{i\_1}, \\dots, f\_{i\_r} регулярны в точке x x. Если X X – полное многообразие, то пространства Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] конечномерны, а в случае, когда X X неособое, размерность p g ( X ) \= d i m k Ω d \[ X \] p\_g(X) = {\\rm dim}\_k \\Omega^d\[X\] называется [геометрическим родом](https://bigenc.ru/c/geometricheskii-rod-a1db4b) многообразия X X. В случае, когда X X – полное многообразие над полем комплексных чисел, пространство Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] совпадает с пространством голоморфных дифференциальных форм степени r r на соответствующем аналитическом пространстве X a n X^{an}. Пусть X X – нормальное многообразие и ω ∈ Ω d \[ X \] \\omega\\in\\Omega^d\[X\]; для любой точки x ∈ X ( 1 ) x\\in X^{(1)} коразмерности 1 1 дифференциальная форма ω \\omega может быть записана в видеω \= a d t ∧ d t 1 ∧ ⋯ ∧ d t d − 1 , ( ∗ ) \\omega = a dt\\wedge dt\_1\\wedge\\dots\\wedge dt\_{d-1}, \\tag{\$\\$}где a a принадлежит полю частных K x K\_x [локального кольца](https://bigenc.ru/c/lokal-noe-kol-tso-4ed1bc) O X , x \\mathcal O\_{X,x}, t t – образующая его [максимального идеала](https://bigenc.ru/c/maksimal-nyi-ideal-f87fd0), t 1 , … , t d − 1 t\_1,\\dots,t\_{d-1} – сепарабельный базис трансцендентности над k k поля вычетов кольца O X , x \\mathcal O\_{X, x}. Значение нормирования на элементе a a, определяемое кольцом O X , x \\mathcal O\_{X, x}, не зависит от выбора представления ω \\omega в виде ( ∗ ) (\) и обозначается ν x ( ω ) \\nu\_x(\\omega). [Дивизор](https://bigenc.ru/c/divizor-b54053)D \= ∑ x ∈ X ( 1 ) ν x ( ω ) { x ˉ } D = \\sum\_{x\\in X^{(1)}} \\nu\_x(\\omega)\\{\\bar x\\}определён и называется дивизором дифференциальной формы ω \\omega. Дифференциальная форма ω \\omega регулярна тогда и только тогда, когда её дивизор D ≥ 0 D\\ge 0, т. е. ν x ( ω ) ≥ 0 \\nu\_x(\\omega)\\ge 0 для всех x ∈ X ( 1 ) x\\in X^{(1)}. Дивизоры любых двух дифференциальных форм эквивалентны, более того, дивизоры всех дифференциальных форм на данном алгебраическом многообразии образуют класс дивизоров относительно линейной эквивалентности. Этот класс называется каноническим классом многообразия X X и обозначается через K X K\_X. Для неособого многообразия X X класс K X K\_X совпадает с первым классом Чженя обратимого пучка Ω X / k d \\Omega^d\_{X/k}, в частностиΩ X / k d ≃ O X ( D ) \\Omega^d\_{X/k} \\simeq \\mathcal O\_X(D)для любого D ∈ K X D \\in K\_X. Для любого доминантного рационального отображения алгебраических многообразий f : X ′ → X f: X'\\to X определён канонический гомоморфизмf ∗ : Ω r ( X ) → Ω r ( X ′ ) . f^\: \\Omega^r(X)\\to \\Omega^r(X').При этом если X X и X ′ X' – неособые, а X X – полное, то f ∗ f^\* переводит регулярные дифференциальные формы в регулярные. В частности, если неособые полные многообразия X X и X ′ X' бирационально изоморфны, то векторные пространства Ω r \[ X \] \\Omega^r\[X\] и Ω r \[ X ′ \] \\Omega^r\[X'\] изоморфны над полем k k. Для любого i \> 1 i\>1 элементы i i–й симметрической степени S i ( Ω r ( X ) ) S^i(\\Omega^r(X)) K K\-пространства Ω r ( X ) \\Omega^r(X) называются i i\-кратными дифференциальными формами степени r r на X X. Каждую такую дифференциальную форму можно рассматривать как рациональное сечение пучка S i ( Ω X / k r ) S^i(\\Omega^r\_{X/k}). Регулярные сеченияω ∈ Γ ( X , S i ( Ω X / k r ) ) \\omega \\in \\Gamma(X, S^i(\\Omega^r\_{X/k}))называются регулярными i i\-кратными дифференциальными формами степени r r на X X. Для неособого полного многообразия X X размерность P i ( X ) \= d i m k Γ ( X , S i ( Ω X / k d ) ) P\_i(X) = {\\rm dim}\_k \\Gamma(X, S^i(\\Omega^d\_{X/k}))называется i i\-родом многообразия X X. Для бирационально изоморфных многообразий их i i\-роды совпадают. [Долгачёв Игорь Владимирович](https://bigenc.ru/a/iv-dolgachyov-95afbf). Первая публикация: «Математическая энциклопедия» под ред. И. М. Виноградова, 1979. Опубликовано 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3). Последнее обновление 27 февраля 2024 г. в 11:44 (GMT+3).
Shard	84 (laksa)
Root Hash	7925164987578067284
Unparsed URL	ru,bigenc!/c/differentsial-naia-forma-8b0c56 s443