🕷️ Crawler Inspector

Часть II. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений *** | | | | |---|---|---| | [](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-04/s-04.html) | **§ О5. Дифференциальные уравнения на многообразиях** | [](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-06/s-06.html) | Крива свиль, да столяры хвалят. *Русская пословица* Фазовым пространством [математического маятника](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/m-15/m-15.html#NotionP) | | |---| | *x*′′ = –sin *x* | является плоскость (*x*, *x*′) и, как мы знаем, [фазовый портрет](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-13/s-13.html#NotionPP) маятника имеет вид, изображенный на [рис. 1](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig1). Поскольку при значениях *x*, отличающихся на 2π*k* (*k* ∈ **N**), маятник находится в одном и том же положении, удобно считать фазовым пространством маятника не плоскость, а цилиндр, получающийся из плоскости отождествлением точек, абсциссы которых отличаются на 2π*k*. Соответствующий фазовый портрет получается "наматыванием" фазового портрета маятника на плоскости на этот цилиндр (см. [рис. 2](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig2)).  Рис. 1.  Рис. 2. В данном очерке мы описываем формальную конструкцию, позволяющую рассматривать дифференциальные уравнения не только в линейных конечномерных пространствах, но и на произвольных гладких конечномерных многообразиях. От читателя требуется владение понятиями теории многообразия в объеме университетского курса топологии. Всюду ниже *r* — натуральное число, M — [*C**r*\+1*\-гладкое*]() *m-мерное многообразие*, задаваемое [*атласом*]() {Φ}, состоящим из [*карт*]() Φ: *U*→ **R***m* (*U* ⊆ M), TM — [*касательное расслоение*](), T*x*M — [*касательное к* M *в точке* *x* ∈ M *пространство*](), π: TM → M — [*каноническая проекция* TM *на* M:]() π(*y*) — это та точка *x* ∈ M, в которой *y* касается M, т. е. π(*y*) ∈ T*x*M. Если N и K — *C**r*\-гладкие многообразия и *f*: N → K — *C**r*\-гладкое отображение, то через *df*: TN → TK обозначается [*касательное отображение*](), *df*(*x*): T*x*N → T*f*(*x*)K при всех *x* ∈ N. По определению, *C**r*\-гладкое отображение *f*: M → TM называется [*векторным полем на многообразии*]() M, если π\[*f*(*x*)\] = *x* при всех *x* ∈ M, т. е. *f*(*x*) ∈ T*x*M (см. [рис. 3](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig3)). (Автономным) [*дифференциальным уравнением на многообразии*]() M называется уравнение вида | | | |---|---| | *x*′ = *f*(*x*). | (1) |  Рис. 3. *Решением уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1)* на интервале *J* ⊆ **R** называется *C**r*\+1\-гладкое отображение φ: *J* → M, обращающее уравнение [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1) в тождество на *J*: φ′(*t*) ≡ *f*\[φ(*t*)\] при всех *t* ∈ *J* (см. [рис. 4](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig4)). Подчеркнем, что φ′(*t*) при каждом *t* есть вектор из Tφ(*t*)M (который и должен совпадать с вектором *f*\[φ(*t*)\]). Как обычно, образ отображения φ называется [*траекторией решения*]() φ.  Рис. 4. Локально дифференциальное уравнение на *m*\-мерном многообразии ничем не отличается от дифференциального уравнения на **R***m*, т. е. системы *m* дифференциальных уравнений с *m* неизвестными. Смысл этого утверждения таков. Пусть Φ: *U* → **R***m* — карта на многообразии M, а φ: *J* → *U* — решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1). Определим на **R***m* отображение *F* = *d*Φ·*f*·Φ–1, т. е. положим *F*(*x*) = *d*Φ\[Φ–1(*x*)\](*f*\[Φ–1(*x*)\]) для всех *x* ∈ Φ(*U*), и рассмотрим в **R***m* (точнее, в Φ(*U*) ⊆ **R***m*) дифференциальное уравнение | | | |---|---| | *y*′ = *F*(*y*). | (2) | Тогда функция ψ: *J* → **R***m*, задаваемая формулой ψ(*t*) = Φ\[φ(*t*)\] есть решение уравнения [(2)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq2) и, наоборот, если ψ: *J* → Φ(*U*) — решение уравнения [(2)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq2), то φ(*t*) = Φ–1\[ψ(*t*)\] — решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1) (см. [рис. 5](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig5)). Действительно, если φ′(*t*) ≡ *f*\[φ(*t*)\] и ψ(*t*) = Φ\[φ(*t*)\], то | | |---| | ψ′(*t*) = *d*Φ\[φ(*t*)\]\[φ′(*t*)\] = *d*Φ\[φ(*t*)\](*f*\[φ(*t*)\]) = | | | |---| | \= *d*Φ\[Φ–1(ψ(*t*))\](*f*\[Φ–1(ψ(*t*))\]) = *F*\[ψ(*t*)\]. |  Рис. 5. Задача О5.1. Докажите обратное утверждение. В силу сказанного вся локальная теория обыкновенных дифференциальных уравнений без труда переносится на дифференциальные уравнения на многообразиях. Задача О5.2. Докажите, что для любых *t*0 ∈ **R** и *x*0 ∈ M найдется такое *T* \> 0, что уравнение [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1) имеет на \[*t*0 – *T*, *t*0 + *T*\] единственное решение, удовлетворяющее начальному условию *x*(*t*0) = *x*0. Поэтому в теории дифференциальных уравнений на многообразиях нетривиальными и содержательными являются лишь утверждения о глобальном поведении траекторий. Простейшим примером такого утверждения может служить важная **Теорема о глобальной продолжимости траекторий на многообразии.** *Если* M — *компактное многообразие, то любое решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1) [продолжимо](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionCable) на всю ось.* Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть φ: *J* → M — [максимальное](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionM) решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1). Нам нужно показать, что *J* = **R**. Допустим противное: *J* = (*a*, *b*) и, например, *b* \< +∞. Пусть {*t**k*} ⊂ *J* и *t**k* → *b* при *k* → ∞. В силу компактности M, не ограничивая общности, можно считать, что φ(*t**k*) → *x*0 ∈ M при *k* → ∞. Обозначим через ψ: (*b* – ε, *b* + ε) → M решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1), удовлетворяющее начальному условию *x*(*b*) = *x*0 (будем считать, что *b* – ε \> *a*). Задача О5.3. Покажите, что φ(*t*) ≡ ψ(*t*) при *t* ∈ (*b* – ε, *b*). Если теперь определить функцию ξ: (*a*, *b*\+ε) → M формулой | | | | |---|---|---| | | | | | ξ(*t*) = | { | φ(*t*) при *t* ∈ (*a*, *b* – ε/2), ψ(*t*) при *t*∈ {*b* – ε/2, *b* + ε), | то, как легко видеть, ξ будет [продолжением](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionC) решения φ, что противоречит его [максимальности](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionM). Аналогично показывается, что *a* = –∞. Условие компактности многообразия M в вышеприведенной теореме существенно. Задача О5.4. Пусть M = (0, 1) ⊂ **R** и топология на M наследуется из **R**. Решения уравнения *x*′ = 1 на M не [продолжимы](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionCable) на всю ось. Задача О5.5. Пусть M = **R**. Покажите, что уравнение *x*′ = *x*2 на M имеет [непродолжимые](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-03/s-03.html#NotionM) на всю ось решения. Доказанная теорема вкупе с единственностью решения (гарантируемой гладкостью правой части уравнения) позволяют построить [оператор сдвига *g**t*](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/m-25/m-25.html#NotionSOAE): M → M вдоль траекторий уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1) за время от 0 до *t*. Задача О5.6. Проведите полное доказательство. Задача О5.7. Покажите, что *g*0 — тождественное отображение на M и *g**t*\+*s* = *g**t*·*g**s* при любых *t*, *s* ∈ **R**. Кроме того, можно показать, что при каждом *t* ∈ **R** отображение *g**t* является *C**r*\-диффеоморфизмом на M. Однопараметрическая группа {*g**t*} диффеоморфизмов на M часто называется [*потоком на многообразии M, определяемым векторным полем*]() *f* (или уравнением [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1)). Верно и обратное утверждение: *Однопараметрическая группа* {*g**t*} *C**r**\-диффеоморфизмов на многообразии* M *такая, что* *g*0 = *I* *и* *g**t*\+*s* = *g**t*·*g**s* *является оператором сдвига (потоком), отвечающим векторному полю* | | | | | | | | | |---|---|---|---|---|---|---|---| | | | | | | | | | | *f*(*x*) = | ( | *d**dt* | *g**t*(*x*) | ) | \| | *x* = 0 | . | Задача О5.8. Докажите это утверждение. Классическая глобальная теория — [теория Пуанкаре — Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#NotionPBT) — для дифференциальных уравнений на многообразиях в общем случае не имеет места. Мы приведем один пример нарушения [теоремы Пуанкаре — Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#TheoremLC) и опишем один случай ее выполнения. [*Двумерный тор*]() **T**2 (поверхность "бублика"), по определению, это прямое произведение двух окружностей: **T**2 = *S*1×*S*1 (см. [рис. 6](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig6)). Его можно также представлять как квадрат \[0, 2π\]×\[0, 2π\] с отождествленными противоположными сторонами или (что нам наиболее удобно) как плоскость с отождествленными точками, координаты которых отличаются на векторы вида (2π*k*, 2π*n*), *k*, *n* ∈ **N**: **T**2 = **R**2/2π**N**2 (см. [рис. 6](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig6)). Отображение *c*: **R**2 → **T**2, задаваемое формулой | | |---| | *c*(*x*1, *x*2) = (*x*1 modd 2π, *x*2 modd 2π) ∈ *S*1×*S*1 |  Рис. 6. (здесь *a* modd 2π — "остаток" от деления *a* на 2π, т. е. число *b* ∈ \[0, 2π) такое, что *a* = 2π*k* + *b* при некотором *k* ∈ **N**), и обратное к нему (многозначное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторными полями на торе и 2π-периодическими по обеим переменным векторными полями на **R**2 (т. е. векторными полями *f*(*x*1, *x*2) такими, что *f*(*x*1 + 2π*k*, *x*2 + 2π*n*) ≡ *f*(*x*1, *x*2)). Простейшим примером, показывающим невыполнимость [теоремы Пуанкаре — Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#TheoremLC) для дифференциальных уравнений на [торе](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#Notion2DT), является дифференциальное уравнение, которое порождается (в соответствии с вышеописанной процедурой) дифференциальным уравнением на **R**2 вида | | | |---|---| | *x*′1\= α1, *x*′2\= α2. | (3) | Если отношение α2/α1 рационально (в этом случае соответствующий поток называют [*рациональной обмоткой тора*]()), то любая траектория на торе — замкнутая периодическая орбита, т. е. [цикл](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionC) (см. [рис. 7](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig7)). Задача О5.9. Докажите\!  Рис. 7. Если же это отношение иррационально (в этом случае говорят об [*иррациональной обмотке тора*]()), то любая траектория плотна на **T**2, вернее, [ω-предельным множеством](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionOLS) любой [траектории](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionT) является весь тор (см. [рис. 8](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#fig8)), хотя у соответствующего [векторного поля](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#NotionVFOM) и нет [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionSP).  Рис. 8. Задача О5.10. Докажите это, воспользовавшись тем фактом, что любая аддитивная подгруппа группы **R** либо плотна в **R**, либо дискретна. Причиной нарушения [теоремы Пуанкаре — Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#TheoremLC) на торе является отсутствие аналога [теоремы Жордана](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#TheoremJ), т. е. наличие на торе замкнутых кривых без самопересечений, которые не делят тор на две связные компоненты. В отличие от тора, на двумерной сфере *S*2 теорема Жордана выполнена. Поэтому имеет место **Теорема Пуанкаре — Бендиксона на сфере.** *Пусть f*: *S*2 → T*S*2 — *C**r*\+1\-*[гладкое векторное поле](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#NotionVFOM),* φ: **R** → *S*2 — *решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1), отвечающего этому полю. Тогда, если* [ω-*предельное множество*](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionOLS) Ω(*T*φ) *не содержит [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionSP), то оно является [циклом](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionC).* **Литературные указания.** Язык теории дифференциальных уравнений на многообразиях — это язык современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напр., \[[Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Arnold-Suppl), [Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Arnold), [Итоги науки и техники...](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Itogi-NT)\]). Потребность в их изучении появилась давно в связи с задачами описания механических систем с голономными связями \[[Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Arnold-M)\]. Литература по теории дифференциальных уравнений на многообразиях весьма обширна. Мы приводим, помимо уже цитированных, лишь классические книги полностью или частично, посвященные этому вопросу: \[[Андронов — Леонтович — Гордон — Майер](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Andronov-ea-QT), [Коддингтон — Левинсон](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Koddington-Levinson), [Немыцкий — Степанов](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Nemytskii-Stepanov), [Нитецки](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Nitezki), [Палис — ди Мелу](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Palais-diMelu), [Хартман](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/bibl.html#Bibl-Hartman)\]. **Задачи.** О5.11. Пусть *g**t* — поток на M и M1, M2 — [*инвариантные множества потока*](), т. е. *g**t*(M*i*) ⊆ M*i* (*i* = 1, 2) при всех *t* ∈ **R**. Докажите, что множества M1 ∪ M2, M1 ∩ M2 и M1\\M2 также инвариантны. О5.12. Пусть *T*φ — [траектория](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionT) решения уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1). Докажите, что [ω-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionOLS) Ω(*T*φ) [инвариантно](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#NotionFIS) относительно [потока](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#NotionF), определяемого уравнением [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq1). О5.13. Пусть M компактно. Докажите, что Ω(*T*φ) непусто, компактно и связно. О5.14. Пусть M = *S*2 и выполнены условия [теоремы Пуанкаре — Бендиксона на сфере](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#TheoremPBOS). Пусть *y* ∈ Ω(*T*φ), а *S* — лежащее в достаточно малой окрестности V*y* точки *y* *C**r*\-гладкое одномерное подмногообразие, содержащее точку *y* и *трансверсальное* *f*(*y*) (последнее означает, что векторы *f*(*y*) и T*y**S* в T*y**S*2 пересекаются под ненулевым углом). Пусть, наконец, *x**i* = φ(*t**i*) — последовательные точки пересечения траектории *T*φ с подмногообразием (дугой) *S*. Покажите, что последовательность {*x**i*} "монотонна" в том смысле, что *x**i* на *S* лежит между точками *x**i*–1 и *x**i*\+1 при всех достаточно больших *i*. О5.15. В условиях предыдущей задачи Ω(*T*φ) ∩ *S* = {*y*} (если, разумеется, окрестность V*y* достаточно мала). О5.16. Пользуясь результатами двух предыдущих задач, докажите [теорему Пуанкаре — Бендиксона на сфере](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#TheoremPBOS). О5.17. Докажите, что если векторное поле на *S*2 имеет (отличный от [стационарной точки](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionSP)) [цикл](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionC), то оно имеет по крайней мере две стационарные точки (ср. с [теоремой о стационарной точке](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-12/s-12.html#TheoremSP)). О5.18. Приведите пример дифференциального уравнения на сфере *S*2, имеющего [траекторию](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionT), [ω-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionOLP) которой представляет собой замкнутую кривую, состоящую из [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionSP). О5.19. Приведите пример дифференциального уравнения на трехмерном торе **T**3 = *S*1 × *S*1×*S*1, [ω-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionOLP) каждой [траектории](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-11/s-11.html#NotionT) которого совпадает с **T**3. О5.20. Пусть дифференциальное уравнение на [торе](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#Notion2DT) **T**2 таково, что соответствующее уравнение на плоскости имеет вид | | | |---|---| | *x*′1\= 1, *x*′2\= *f*(*x*1, *x*2). | (4) | [*Числом вращения μ(φ) траектории *T*φ на торе*]() называется предел lim*t*→∞ψ2(*t*)/ψ1(*t*), где (ψ1, ψ2) — соответствующее решению φ решение уравнения [(4)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-05/s-05.html#eq4). Пусть уравнение на торе имеет периодическую траекторию. Докажите, что для любой траектории предел, определяющий μ(φ), существует. О5.21. Покажите, что в условиях предыдущей задачи число μ(φ) не зависит от φ. Поэтому число μ = μ(φ) называют [*числом вращения уравнения*]() или *векторного поля*. О5.22. Докажите, что в задачах 20, 21 можно опустить требование существования периодической траектории. *** File based on translation from TEX by [TTH](http://hutchinson.belmont.ma.us/tth/), version 2.32. Created 16 Jan 2000, 12:56. Last modified 23 Apr 2002.