ℹ️ Skipped - page is already crawled
| Filter | Status | Condition | Details |
|---|---|---|---|
| HTTP status | PASS | download_http_code = 200 | HTTP 200 |
| Age cutoff | FAIL | download_stamp > now() - 6 MONTH | 7.2 months ago |
| History drop | PASS | isNull(history_drop_reason) | No drop reason |
| Spam/ban | PASS | fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0 | ml_spam_score=0 |
| Canonical | PASS | meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed | Not set |
| Property | Value |
|---|---|
| URL | http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html |
| Last Crawled | 2025-09-17 17:21:37 (7 months ago) |
| First Indexed | 2019-07-05 07:06:57 (6 years ago) |
| HTTP Status Code | 200 |
| Meta Title | § О5. Дифференциальные уравнения на многообразиях |
| Meta Description | null |
| Meta Canonical | null |
| Boilerpipe Text | Крива свиль, да столяры хвалят.
Русская пословица Фазовым пространством математического маятника является плоскость ( x , x ў )
и, как мы знаем, фазовый портрет маятника
имеет вид, изображенный на рис. 1 .
Поскольку при значениях x , отличающихся на 2 p k
( k О N ), маятник находится в одном и том же положении,
удобно считать фазовым пространством маятника не плоскость, а цилиндр,
получающийся из плоскости отождествлением точек, абсциссы которых
отличаются на 2 p k . Соответствующий фазовый портрет
получается "наматыванием" фазового портрета маятника на плоскости на этот цилиндр
(см. рис. 2 ).
Рис. 1. Рис. 2. В данном очерке мы описываем формальную конструкцию, позволяющую
рассматривать дифференциальные уравнения не только в линейных
конечномерных пространствах, но и на произвольных гладких
конечномерных многообразиях. От читателя требуется владение
понятиями теории многообразия в объеме университетского курса
топологии.
Всюду ниже r — натуральное число,
M — C r +1 -гладкое m-мерное многообразие , задаваемое атласом { F }, состоящим из
карт F :
U ® R m ( U Н M ),
T M — касательное расслоение ,
T x M — касательное к M
в точке x О M пространство , p : T M ® M — каноническая проекция T M на M : p ( y ) —
это та точка x О M ,
в которой y касается M , т. е. p ( y ) О T x M .
Если N и K — C r -гладкие многообразия и
f : N ® K — C r -гладкое
отображение, то через df :
T N ® T K
обозначается касательное отображение , df ( x ):
T x N ® T f ( x ) K
при всех x О N . По определению, C r -гладкое
отображение f : M ® T M
называется векторным полем на многообразии M , если
p [ f ( x )] = x
при всех x О M , т. е. f ( x ) О T x M
(см. рис. 3 ).
(Автономным) дифференциальным уравнением на
многообразии M называется уравнение вида
Рис. 3. Решением уравнения (1)
на интервале J Н R называется
C r +1 -гладкое отображение
j : J ® M , обращающее уравнение (1)
в тождество на J : jў ( t ) є f [ j ( t )]
при всех t О J
(см. рис. 4 ).
Подчеркнем, что jў ( t )
при каждом t есть вектор из
T j ( t ) M
(который и должен совпадать с вектором f [ j ( t )]).
Как обычно, образ отображения j
называется траекторией решения j .
Рис. 4. Локально дифференциальное уравнение на m -мерном
многообразии ничем не отличается от дифференциального уравнения на
R m , т. е. системы m
дифференциальных уравнений с m неизвестными.
Смысл этого утверждения таков. Пусть
F : U ® R m — карта на многообразии M ,
а j : J ® U — решение уравнения (1) .
Определим на R m отображение F = d F Ч f Ч F –1 , т. е. положим F ( x ) = d F [ F –1 ( x )]( f [ F –1 ( x )])
для всех x О F ( U ), и рассмотрим в
R m (точнее, в
F ( U ) Н R m ) дифференциальное уравнение
Тогда функция y : J ® R m , задаваемая формулой
y ( t ) = F [ j ( t )]
есть решение уравнения (2)
и, наоборот, если y :
J ® F ( U ) — решение уравнения (2) ,
то j ( t ) = F –1 [ y ( t )] —
решение уравнения (1) (см. рис. 5 ).
Действительно, если jў ( t )
є f [ j ( t )] и
y ( t ) = F [ j ( t )], то
yў ( t ) =
d F [ j ( t )][ jў ( t )]
= d F [ j ( t )] ( f [ j ( t )] ) =
= d F [ F –1 ( y ( t ))] ( f [ F –1 ( y ( t ))] )
= F [ y ( t )]. Рис. 5. Задача О5.1. Докажите обратное утверждение.
В силу сказанного вся локальная теория обыкновенных дифференциальных уравнений без труда
переносится на дифференциальные уравнения на многообразиях.
Задача О5.2. Докажите, что для любых
t 0 О R
и x 0 О M найдется такое T > 0,
что уравнение (1)
имеет на [ t 0 – T , t 0 + T ] единственное решение,
удовлетворяющее начальному условию x ( t 0 ) = x 0 . Поэтому в теории дифференциальных уравнений на многообразиях нетривиальными и содержательными
являются лишь утверждения о глобальном поведении траекторий. Простейшим примером такого
утверждения может служить важная
Теорема о глобальной продолжимости траекторий на многообразии. Если M — компактное многообразие,
то любое решение уравнения (1) продолжимо на всю ось. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть j :
J ® M —
максимальное решение
уравнения (1) . Нам нужно показать, что J = R .
Допустим противное: J = ( a , b )
и, например, b < + Ґ .
Пусть { t k } М J
и t k ® b
при k ® Ґ .
В силу компактности M , не ограничивая общности, можно считать, что
j ( t k ) ® x 0 О M при
k ® Ґ . Обозначим через y :
( b – e , b +
e ) ® M
решение уравнения (1) , удовлетворяющее начальному условию
x ( b ) = x 0 (будем считать, что
b – e > a ). Задача О5.3. Покажите, что j ( t )
є y ( t )
при t О ( b – e , b ).
Если теперь определить функцию x :
( a , b + e )
® M
формулой
x ( t ) = м н о j ( t ) при t О ( a , b – e /2), y ( t ) при t О
{ b – e /2, b + e ), то, как легко видеть, x
будет продолжением
решения j , что противоречит его
максимальности . Аналогично
показывается, что a = – Ґ . Условие компактности многообразия M в вышеприведенной теореме
существенно.
Задача О5.4. Пусть M =
(0, 1) М R и топология на M
наследуется из R . Решения уравнения x ў = 1
на M не продолжимы
на всю ось.
Задача О5.5. Пусть M = R .
Покажите, что уравнение x ў = x 2
на M имеет непродолжимые
на всю ось решения.
Доказанная теорема вкупе с единственностью решения (гарантируемой гладкостью правой части
уравнения) позволяют построить оператор сдвига
g t : M ® M вдоль траекторий уравнения (1) за время от
0 до t .
Задача О5.6. Проведите полное доказательство.
Задача О5.7. Покажите, что g 0 —
тождественное отображение на M и
g t + s = g t Ч g s
при любых t , s О R . Кроме того, можно показать, что при каждом
t О R
отображение g t является C r -диффеоморфизмом
на M . Однопараметрическая группа { g t }
диффеоморфизмов на M часто называется
потоком на многообразии
M , определяемым векторным полем f (или уравнением (1) ).
Верно и обратное утверждение: Однопараметрическая группа { g t }
C r -диффеоморфизмов на многообразии M такая, что g 0 = I и g t + s = g t Ч g s является оператором сдвига (потоком), отвечающим векторному полю f ( x ) = ж и d dt g t ( x ) ц ш к к к x = 0 . Задача О5.8. Докажите это утверждение.
Классическая глобальная теория — теория
Пуанкаре — Бендиксона — для дифференциальных
уравнений на многообразиях в общем случае не имеет места. Мы приведем один пример нарушения
теоремы Пуанкаре — Бендиксона
и опишем один случай ее выполнения.
Двумерный тор T 2 (поверхность "бублика"),
по определению, это прямое произведение двух окружностей: T 2 = S 1 × S 1
(см. рис. 6 ). Его можно также представлять как квадрат
[0, 2 p ]×[0, 2 p ]
с отождествленными противоположными сторонами или (что нам наиболее
удобно) как плоскость с отождествленными точками, координаты
которых отличаются на векторы вида (2 p k , 2 p n ), k , n О N : T 2 = R 2 /2 p N 2
(см. рис. 6 ). Отображение
c : R 2 ® T 2 , задаваемое формулой
c ( x 1 , x 2 ) = ( x 1
modd 2 p , x 2 modd 2 p )
О S 1 × S 1 Рис. 6. (здесь a modd 2 p — "остаток" от деления a на
2 p , т. е. число b О [0, 2 p )
такое, что a = 2 p k + b
при некотором k О N ),
и обратное к нему (многозначное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между
векторными полями на торе и 2 p -периодическими
по обеим переменным векторными полями на R 2 ( т. е. векторными полями
f ( x 1 , x 2 ) такими, что
f ( x 1 + 2 p k , x 2 + 2 p n )
є f ( x 1 , x 2 )). Простейшим примером, показывающим невыполнимость теоремы
Пуанкаре — Бендиксона для дифференциальных уравнений
на торе , является дифференциальное уравнение, которое
порождается (в соответствии с вышеописанной процедурой) дифференциальным уравнением на
R 2 вида
Если отношение a 2 / a 1
рационально (в этом случае соответствующий поток называют рациональной
обмоткой тора ), то любая траектория на торе — замкнутая
периодическая орбита, т. е. цикл
(см. рис. 7 ).
Задача О5.9. Докажите!
Рис. 7. Если же это отношение иррационально (в этом случае говорят об
иррациональной обмотке тора ), то любая траектория плотна на
T 2 , вернее,
w -предельным
множеством любой траектории является весь
тор (см. рис. 8 ),
хотя у соответствующего векторного поля и нет
стационарных точек .
Рис. 8. Задача О5.10. Докажите это, воспользовавшись
тем фактом, что любая аддитивная подгруппа группы R либо плотна в R , либо дискретна.
Причиной нарушения теоремы
Пуанкаре — Бендиксона на
торе является отсутствие аналога теоремы
Жордана , т. е. наличие на торе замкнутых кривых без самопересечений, которые
не делят тор на две связные компоненты.
В отличие от тора, на двумерной сфере S 2 теорема Жордана выполнена.
Поэтому имеет место
Теорема Пуанкаре — Бендиксона на сфере. Пусть f :
S 2 ® T S 2 — C r +1 - гладкое
векторное поле , j :
R ® S 2 — решение
уравнения (1) , отвечающего этому полю. Тогда, если w - предельное множество W ( T j ) не содержит стационарных точек ,
то оно является циклом . Литературные указания. Язык теории дифференциальных
уравнений на многообразиях — это язык современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений
(см., напр., [ Арнольд ,
Арнольд ,
Итоги науки и техники... ]).
Потребность в их изучении появилась давно в связи с задачами
описания механических систем с голономными связями
[ Арнольд ]. Литература по теории
дифференциальных уравнений на многообразиях весьма обширна. Мы
приводим, помимо уже цитированных, лишь классические книги
полностью или частично, посвященные этому вопросу:
[ Андронов — Леонтович — Гордон — Майер ,
Коддингтон — Левинсон ,
Немыцкий — Степанов ,
Нитецки ,
Палис — ди Мелу ,
Хартман ].
Задачи. О5.11. Пусть
g t — поток на M и
M 1 , M 2 —
инвариантные множества потока , т. е. g t ( M i )
Н M i ( i = 1, 2) при всех t О R . Докажите, что множества
M 1 И M 2 , M 1 З M 2 и M 1 \ M 2
также инвариантны.
О5.12. Пусть T j —
траектория решения уравнения (1) .
Докажите, что w -предельное
множество W ( T j ) инвариантно относительно потока , определяемого
уравнением (1) .
О5.13. Пусть M компактно. Докажите, что
W ( T j )
непусто, компактно и связно.
О5.14. Пусть M = S 2
и выполнены условия теоремы
Пуанкаре — Бендиксона на сфере .
Пусть y О W ( T j ), а
S — лежащее в достаточно малой окрестности
V y точки y C r -гладкое
одномерное подмногообразие, содержащее точку y и трансверсальное f ( y ) (последнее означает, что векторы f ( y ) и
T y S в
T y S 2
пересекаются под ненулевым углом). Пусть, наконец, x i = j ( t i ) —
последовательные точки пересечения траектории
T j с
подмногообразием (дугой) S . Покажите, что последовательность
{ x i } "монотонна" в том смысле, что x i на S
лежит между точками x i –1
и x i +1 при всех достаточно
больших i .
О5.15. В условиях предыдущей задачи
W ( T j )
З S = { y } (если, разумеется, окрестность
V y достаточно мала).
О5.16. Пользуясь результатами двух предыдущих задач, докажите
теорему Пуанкаре — Бендиксона на сфере .
О5.17. Докажите, что если векторное поле на S 2 имеет
(отличный от стационарной точки )
цикл , то оно имеет по крайней мере две стационарные
точки (ср. с теоремой о стационарной точке ).
О5.18. Приведите пример дифференциального уравнения на сфере
S 2 , имеющего траекторию ,
w -предельное
множество которой представляет собой замкнутую кривую, состоящую из
стационарных точек .
О5.19. Приведите пример дифференциального уравнения на трехмерном торе
T 3 = S 1 × S 1 × S 1 , w -предельное
множество каждой траектории которого совпадает
с T 3 .
О5.20. Пусть дифференциальное уравнение на торе T 2 таково, что соответствующее уравнение на плоскости имеет вид
Числом вращения
m ( j )
траектории T j на торе называется предел
lim t ®Ґ y 2 ( t )/ y 1 ( t ),
где ( y 1 ,
y 2 ) — соответствующее решению
j решение уравнения (4) .
Пусть уравнение на торе имеет периодическую траекторию. Докажите,
что для любой траектории предел, определяющий
m ( j ), существует.
О5.21. Покажите, что в условиях предыдущей задачи число
m ( j )
не зависит от j . Поэтому число m =
m ( j )
называют числом вращения уравнения или векторного поля .
О5.22. Докажите, что в задачах 20, 21 можно опустить требование
существования периодической траектории.
File based on translation from
T E X by T T H ,
version 2.32.
Created 16 Jan 2000, 12:56.
Last modified 23 Apr 2002.
|
| Markdown | Часть II. Очерки по теории обыкновенных дифференциальных уравнений
***
| | | |
|---|---|---|
| [](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-04/s-04.html) | **§ О5. Дифференциальные уравнения на многообразиях** | [](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-06/s-06.html) |
Крива свиль, да столяры хвалят.
*Русская пословица*
Фазовым пространством [математического маятника](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/m-15/m-15.html#NotionP)
| |
|---|
| *x*ўў = sin *x* |
является плоскость (*x*, *x*ў) и, как мы знаем, [фазовый портрет](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-13/s-13.html#NotionPP) маятника имеет вид, изображенный на [рис. 1](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig1). Поскольку при значениях *x*, отличающихся на 2p*k* (*k* О **N**), маятник находится в одном и том же положении, удобно считать фазовым пространством маятника не плоскость, а цилиндр, получающийся из плоскости отождествлением точек, абсциссы которых отличаются на 2p*k*. Соответствующий фазовый портрет получается "наматыванием" фазового портрета маятника на плоскости на этот цилиндр (см. [рис. 2](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig2)).
Рис. 1.
Рис. 2.
В данном очерке мы описываем формальную конструкцию, позволяющую рассматривать дифференциальные уравнения не только в линейных конечномерных пространствах, но и на произвольных гладких конечномерных многообразиях. От читателя требуется владение понятиями теории многообразия в объеме университетского курса топологии.
Всюду ниже *r* натуральное число, M [*C**r*\+1*\-гладкое*]() *m-мерное многообразие*, задаваемое [*атласом*]() {F}, состоящим из [*карт*]() F: *U*® **R***m* (*U* Н M), TM [*касательное расслоение*](), T*x*M [*касательное к* M *в точке* *x* О M *пространство*](), p: TM ® M [*каноническая проекция* TM *на* M:]() p(*y*) это та точка *x* О M, в которой *y* касается M, т. е. p(*y*) О T*x*M. Если N и K *C**r*\-гладкие многообразия и *f*: N ® K *C**r*\-гладкое отображение, то через *df*: TN ® TK обозначается [*касательное отображение*](), *df*(*x*): T*x*N ® T*f*(*x*)K при всех *x* О N.
По определению, *C**r*\-гладкое отображение *f*: M ® TM называется [*векторным полем на многообразии*]() M, если p\[*f*(*x*)\] = *x* при всех *x* О M, т. е. *f*(*x*) О T*x*M (см. [рис. 3](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig3)). (Автономным) [*дифференциальным уравнением на многообразии*]() M называется уравнение вида
| | |
|---|---|
| *x*ў = *f*(*x*). | (1) |
Рис. 3.
*Решением уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1)* на интервале *J* Н **R** называется *C**r*\+1\-гладкое отображение j: *J* ® M, обращающее уравнение [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1) в тождество на *J*: jў(*t*) є *f*\[j(*t*)\] при всех *t* О *J* (см. [рис. 4](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig4)). Подчеркнем, что jў(*t*) при каждом *t* есть вектор из Tj(*t*)M (который и должен совпадать с вектором *f*\[j(*t*)\]). Как обычно, образ отображения j называется [*траекторией решения*]() j.
Рис. 4.
Локально дифференциальное уравнение на *m*\-мерном многообразии ничем не отличается от дифференциального уравнения на **R***m*, т. е. системы *m* дифференциальных уравнений с *m* неизвестными. Смысл этого утверждения таков. Пусть F: *U* ® **R***m* карта на многообразии M, а j: *J* ® *U* решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1). Определим на **R***m* отображение *F* = *d*FЧ*f*ЧF1, т. е. положим *F*(*x*) = *d*F\[F1(*x*)\](*f*\[F1(*x*)\]) для всех *x* О F(*U*), и рассмотрим в **R***m* (точнее, в F(*U*) Н **R***m*) дифференциальное уравнение
| | |
|---|---|
| *y*ў = *F*(*y*). | (2) |
Тогда функция y: *J* ® **R***m*, задаваемая формулой y(*t*) = F\[j(*t*)\] есть решение уравнения [(2)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq2) и, наоборот, если y: *J* ® F(*U*) решение уравнения [(2)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq2), то j(*t*) = F1\[y(*t*)\] решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1) (см. [рис. 5](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig5)). Действительно, если jў(*t*) є *f*\[j(*t*)\] и y(*t*) = F\[j(*t*)\], то
| |
|---|
| yў(*t*) = *d*F\[j(*t*)\]\[jў(*t*)\] = *d*F\[j(*t*)\](*f*\[j(*t*)\]) = |
| |
|---|
| \= *d*F\[F1(y(*t*))\](*f*\[F1(y(*t*))\]) = *F*\[y(*t*)\]. |
Рис. 5.
Задача О5.1. Докажите обратное утверждение.
В силу сказанного вся локальная теория обыкновенных дифференциальных уравнений без труда переносится на дифференциальные уравнения на многообразиях.
Задача О5.2. Докажите, что для любых *t*0 О **R** и *x*0 О M найдется такое *T* \> 0, что уравнение [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1) имеет на \[*t*0 *T*, *t*0 + *T*\] единственное решение, удовлетворяющее начальному условию *x*(*t*0) = *x*0.
Поэтому в теории дифференциальных уравнений на многообразиях нетривиальными и содержательными являются лишь утверждения о глобальном поведении траекторий. Простейшим примером такого утверждения может служить важная
**Теорема о глобальной продолжимости траекторий на многообразии.** *Если* M *компактное многообразие, то любое решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1) [продолжимо](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionCable) на всю ось.*
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть j: *J* ® M [максимальное](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionM) решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1). Нам нужно показать, что *J* = **R**. Допустим противное: *J* = (*a*, *b*) и, например, *b* \< +Ґ. Пусть {*t**k*} М *J* и *t**k* ® *b* при *k* ® Ґ. В силу компактности M, не ограничивая общности, можно считать, что j(*t**k*) ® *x*0 О M при *k* ® Ґ. Обозначим через y: (*b* e, *b* + e) ® M решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1), удовлетворяющее начальному условию *x*(*b*) = *x*0 (будем считать, что *b* e \> *a*).
Задача О5.3. Покажите, что j(*t*) є y(*t*) при *t* О (*b* e, *b*).
Если теперь определить функцию x: (*a*, *b*\+e) ® M формулой
| | | |
|---|---|---|
| | | |
| x(*t*) = | м н о | j(*t*) при *t* О (*a*, *b* e/2), y(*t*) при *t*О {*b* e/2, *b* + e), |
то, как легко видеть, x будет [продолжением](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionC) решения j, что противоречит его [максимальности](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionM). Аналогично показывается, что *a* = Ґ.
Условие компактности многообразия M в вышеприведенной теореме существенно.
Задача О5.4. Пусть M = (0, 1) М **R** и топология на M наследуется из **R**. Решения уравнения *x*ў = 1 на M не [продолжимы](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionCable) на всю ось.
Задача О5.5. Пусть M = **R**. Покажите, что уравнение *x*ў = *x*2 на M имеет [непродолжимые](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-03/s-03.html#NotionM) на всю ось решения.
Доказанная теорема вкупе с единственностью решения (гарантируемой гладкостью правой части уравнения) позволяют построить [оператор сдвига *g**t*](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/m-25/m-25.html#NotionSOAE): M ® M вдоль траекторий уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1) за время от 0 до *t*.
Задача О5.6. Проведите полное доказательство.
Задача О5.7. Покажите, что *g*0 тождественное отображение на M и *g**t*\+*s* = *g**t*Ч*g**s* при любых *t*, *s* О **R**.
Кроме того, можно показать, что при каждом *t* О **R** отображение *g**t* является *C**r*\-диффеоморфизмом на M. Однопараметрическая группа {*g**t*} диффеоморфизмов на M часто называется [*потоком на многообразии M, определяемым векторным полем*]() *f* (или уравнением [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1)).
Верно и обратное утверждение: *Однопараметрическая группа* {*g**t*} *C**r**\-диффеоморфизмов на многообразии* M *такая, что* *g*0 = *I* *и* *g**t*\+*s* = *g**t*Ч*g**s* *является оператором сдвига (потоком), отвечающим векторному полю*
| | | | | | | | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | | | | | | |
| *f*(*x*) = | ж и | *d**dt* | *g**t*(*x*) | ц ш | к к к | *x* = 0 | . |
Задача О5.8. Докажите это утверждение.
Классическая глобальная теория [теория Пуанкаре Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#NotionPBT) для дифференциальных уравнений на многообразиях в общем случае не имеет места. Мы приведем один пример нарушения [теоремы Пуанкаре Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#TheoremLC) и опишем один случай ее выполнения.
[*Двумерный тор*]() **T**2 (поверхность "бублика"), по определению, это прямое произведение двух окружностей: **T**2 = *S*1×*S*1 (см. [рис. 6](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig6)). Его можно также представлять как квадрат \[0, 2p\]×\[0, 2p\] с отождествленными противоположными сторонами или (что нам наиболее удобно) как плоскость с отождествленными точками, координаты которых отличаются на векторы вида (2p*k*, 2p*n*), *k*, *n* О **N**: **T**2 = **R**2/2p**N**2 (см. [рис. 6](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig6)). Отображение *c*: **R**2 ® **T**2, задаваемое формулой
| |
|---|
| *c*(*x*1, *x*2) = (*x*1 modd 2p, *x*2 modd 2p) О *S*1×*S*1 |
Рис. 6.
(здесь *a* modd 2p "остаток" от деления *a* на 2p, т. е. число *b* О \[0, 2p) такое, что *a* = 2p*k* + *b* при некотором *k* О **N**), и обратное к нему (многозначное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторными полями на торе и 2p\-периодическими по обеим переменным векторными полями на **R**2 (т. е. векторными полями *f*(*x*1, *x*2) такими, что *f*(*x*1 + 2p*k*, *x*2 + 2p*n*) є *f*(*x*1, *x*2)).
Простейшим примером, показывающим невыполнимость [теоремы Пуанкаре Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#TheoremLC) для дифференциальных уравнений на [торе](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#Notion2DT), является дифференциальное уравнение, которое порождается (в соответствии с вышеописанной процедурой) дифференциальным уравнением на **R**2 вида
| | |
|---|---|
| *x*ў1\= a1, *x*ў2\= a2. | (3) |
Если отношение a2/a1 рационально (в этом случае соответствующий поток называют [*рациональной обмоткой тора*]()), то любая траектория на торе замкнутая периодическая орбита, т. е. [цикл](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionC) (см. [рис. 7](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig7)).
Задача О5.9. Докажите\!
Рис. 7.
Если же это отношение иррационально (в этом случае говорят об [*иррациональной обмотке тора*]()), то любая траектория плотна на **T**2, вернее, [w\-предельным множеством](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionOLS) любой [траектории](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionT) является весь тор (см. [рис. 8](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#fig8)), хотя у соответствующего [векторного поля](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#NotionVFOM) и нет [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionSP).
Рис. 8.
Задача О5.10. Докажите это, воспользовавшись тем фактом, что любая аддитивная подгруппа группы **R** либо плотна в **R**, либо дискретна.
Причиной нарушения [теоремы Пуанкаре Бендиксона](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#TheoremLC) на торе является отсутствие аналога [теоремы Жордана](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#TheoremJ), т. е. наличие на торе замкнутых кривых без самопересечений, которые не делят тор на две связные компоненты.
В отличие от тора, на двумерной сфере *S*2 теорема Жордана выполнена. Поэтому имеет место
**Теорема Пуанкаре Бендиксона на сфере.** *Пусть f*: *S*2 ® T*S*2 *C**r*\+1\-*[гладкое векторное поле](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#NotionVFOM),* j: **R** ® *S*2 *решение уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1), отвечающего этому полю. Тогда, если* [w-*предельное множество*](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionOLS) W(*T*j) *не содержит [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionSP), то оно является [циклом](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionC).*
**Литературные указания.** Язык теории дифференциальных уравнений на многообразиях это язык современной теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., напр., \[[Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Arnold-Suppl), [Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Arnold), [Итоги науки и техники...](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Itogi-NT)\]). Потребность в их изучении появилась давно в связи с задачами описания механических систем с голономными связями \[[Арнольд](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Arnold-M)\]. Литература по теории дифференциальных уравнений на многообразиях весьма обширна. Мы приводим, помимо уже цитированных, лишь классические книги полностью или частично, посвященные этому вопросу: \[[Андронов Леонтович Гордон Майер](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Andronov-ea-QT), [Коддингтон Левинсон](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Koddington-Levinson), [Немыцкий Степанов](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Nemytskii-Stepanov), [Нитецки](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Nitezki), [Палис ди Мелу](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Palais-diMelu), [Хартман](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/bibl.html#Bibl-Hartman)\].
**Задачи.** О5.11. Пусть *g**t* поток на M и M1, M2 [*инвариантные множества потока*](), т. е. *g**t*(M*i*) Н M*i* (*i* = 1, 2) при всех *t* О **R**. Докажите, что множества M1 И M2, M1 З M2 и M1\\M2 также инвариантны.
О5.12. Пусть *T*j [траектория](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionT) решения уравнения [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1). Докажите, что [w\-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionOLS) W(*T*j) [инвариантно](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#NotionFIS) относительно [потока](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#NotionF), определяемого уравнением [(1)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq1).
О5.13. Пусть M компактно. Докажите, что W(*T*j) непусто, компактно и связно.
О5.14. Пусть M = *S*2 и выполнены условия [теоремы Пуанкаре Бендиксона на сфере](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#TheoremPBOS). Пусть *y* О W(*T*j), а *S* лежащее в достаточно малой окрестности V*y* точки *y* *C**r*\-гладкое одномерное подмногообразие, содержащее точку *y* и *трансверсальное* *f*(*y*) (последнее означает, что векторы *f*(*y*) и T*y**S* в T*y**S*2 пересекаются под ненулевым углом). Пусть, наконец, *x**i* = j(*t**i*) последовательные точки пересечения траектории *T*j с подмногообразием (дугой) *S*. Покажите, что последовательность {*x**i*} "монотонна" в том смысле, что *x**i* на *S* лежит между точками *x**i*1 и *x**i*\+1 при всех достаточно больших *i*.
О5.15. В условиях предыдущей задачи W(*T*j) З *S* = {*y*} (если, разумеется, окрестность V*y* достаточно мала).
О5.16. Пользуясь результатами двух предыдущих задач, докажите [теорему Пуанкаре Бендиксона на сфере](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#TheoremPBOS).
О5.17. Докажите, что если векторное поле на *S*2 имеет (отличный от [стационарной точки](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionSP)) [цикл](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionC), то оно имеет по крайней мере две стационарные точки (ср. с [теоремой о стационарной точке](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-12/s-12.html#TheoremSP)).
О5.18. Приведите пример дифференциального уравнения на сфере *S*2, имеющего [траекторию](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionT), [w\-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionOLP) которой представляет собой замкнутую кривую, состоящую из [стационарных точек](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionSP).
О5.19. Приведите пример дифференциального уравнения на трехмерном торе **T**3 = *S*1 × *S*1×*S*1, [w\-предельное множество](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionOLP) каждой [траектории](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-11/s-11.html#NotionT) которого совпадает с **T**3.
О5.20. Пусть дифференциальное уравнение на [торе](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#Notion2DT) **T**2 таково, что соответствующее уравнение на плоскости имеет вид
| | |
|---|---|
| *x*ў1\= 1, *x*ў2\= *f*(*x*1, *x*2). | (4) |
[*Числом вращения m(j) траектории *T*j на торе*]() называется предел lim*t*®Ґy2(*t*)/y1(*t*), где (y1, y2) соответствующее решению j решение уравнения [(4)](http://w.ict.nsc.ru/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html#eq4). Пусть уравнение на торе имеет периодическую траекторию. Докажите, что для любой траектории предел, определяющий m(j), существует.
О5.21. Покажите, что в условиях предыдущей задачи число m(j) не зависит от j. Поэтому число m = m(j) называют [*числом вращения уравнения*]() или *векторного поля*.
О5.22. Докажите, что в задачах 20, 21 можно опустить требование существования периодической траектории.
***
File based on translation from TEX by [TTH](http://hutchinson.belmont.ma.us/tth/), version 2.32.
Created 16 Jan 2000, 12:56.
Last modified 23 Apr 2002. |
| Readable Markdown | null |
| Shard | 180 (laksa) |
| Root Hash | 14334465332674947980 |
| Unparsed URL | ru,nsc!ict,w,/books/textbooks/akhmerov/ode/s-05/s-05.html h80 |