🕷️ Crawler Inspector

### 12\.1. Теорема Ферма Пусть функция *f* задана на множестве и *x*0  *X*. Напомним, что если для всех точек *x*  *X* выполняется неравенство *f*(*x*) \< *f*(*x*0) (соответственно неравенство *f*(*x*) \> *f*(*x*0)), то говорят, что функция *f* принимает в точке *x*0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве *X* (см. [п. 3.1](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0301.html)). Если в неравенстве *f*(*x*) \< *f*(*x*0) (соответственно в неравенстве *f*(*x*) \> *f*(*x*0)) заменить при *x**x*0 знак нестрогого неравенства на знак строгого неравенства, то получится определение точки *x*0, в которой функция *f* принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве *X*. Теорема 1 ([Ферма](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/persons/fermat.htm)). *Если функция определена в некоторой окрестности точки*, *принимает в этой точке наибольшее* (*наименьшее*) *значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную*, *то эта производная равна нулю.* Пусть функция *f* определена на окрестности *U*(*x*0) точки *x*0 и принимает в этой точке, например, наибольшее значение, т. е. для любой точки *x*  *U*(*x*0) выполняется неравенство *f*(*x*) \< *f*(*x*0). Тогда если *x* \< *x*0, то | | | |---|---| |  | (12.1) | а если *x* \> *x*0, то | | | |---|---| |  | (12.2) | По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел  поэтому в неравенствах (12.1) и (12.2) можно перейти к пределу при *x****x*0 (см. [свойство 4o](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0607.html#c4) пределов функций в п. 6.7). В результате получим соответственно *f'*(*x*0) \> 0 и *f'*(*x*0) \< 0. Следовательно, *f'*(*x*0) = 0.  Замечание 1. Формулировка теоремы Ферма на первый взгляд может показаться неестественной: в предположениях говорится о бесконечных производных, а в утверждении - о равенстве нулю производной. Однако на самом деле формулировка теоремы вполне корректна: *a priori* предполагается, что в точке существует производная (конечная или определенного знака бесконечная), и доказывается, что при выполнении дополнительного условия о достижении в рассматриваемой точке наибольшего или наименьшего значения указанная производная равна нулю. Иначе говоря, доказывается, что в точке, в которой принимается наибольшее в некоторой ее окрестности значение функции, не может существовать ни конечная, не равная нулю производная функции, ни определенного знака бесконечная производная. Поэтому в точке, в которой достигается наибольшее или наименьшее в ее окрестности значение функции, возможны следующие случаи: в этой точке существует конечная равная нулю производная; существует знаконеопределенная бесконечная производная; не существует никакой производной (ни конечной, ни бесконечной). Примером функции, для которой осуществляется первый случай, является функция *f*1(*x*) = *x*2; второй случай: ; третий: *f*3(*x*) = *\|x*\| (рис. [77]()). | | | | |---|---|---| |  |  |  | | Рис. 77 | | | Все эти функции принимают при *x* = 0 наименьшее значение, *f'*1(*x*) = 0, *f'*2(*x*) = 0, производная (конечная или бесконечная) функции *f*3 в точке *x* = 0 не существует. Замечание 2. В теореме Ферма существенно, что точка, в которой достигается экстремальное значение, является внутренней для рассматриваемого промежутка. Так, например, функция *f*(*x*) = *x*, рассматриваемая только на отрезке \[0,1\], принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах, а производная в них не обращается в нуль. *** [Дифференциалы высших порядков](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1103.html) [Оглавление](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/cont.html) [Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1202.html)

### 12\.1. Теорема Ферма Пусть функция *f* задана на множестве и *x*0  *X*. Напомним, что если для всех точек *x*  *X* выполняется неравенство *f*(*x*) \< *f*(*x*0) (соответственно неравенство *f*(*x*) \> *f*(*x*0)), то говорят, что функция *f* принимает в точке *x*0 наибольшее (наименьшее) значение на множестве *X* (см. [п. 3.1](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0301.html)). Если в неравенстве *f*(*x*) \< *f*(*x*0) (соответственно в неравенстве *f*(*x*) \> *f*(*x*0)) заменить при *x**x*0 знак нестрогого неравенства на знак строгого неравенства, то получится определение точки *x*0, в которой функция *f* принимает строго наибольшее (строго наименьшее) значение на множестве *X*. Теорема 1 ([Ферма](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/persons/fermat.htm)). *Если функция определена в некоторой окрестности точки*, *принимает в этой точке наибольшее* (*наименьшее*) *значение и имеет конечную или определенного знака бесконечную производную*, *то эта производная равна нулю.* Пусть функция *f* определена на окрестности *U*(*x*0) точки *x*0 и принимает в этой точке, например, наибольшее значение, т. е. для любой точки *x*  *U*(*x*0) выполняется неравенство *f*(*x*) \< *f*(*x*0). Тогда если *x* \< *x*0, то | | | |---|---| |  | (12.1) | а если *x* \> *x*0, то | | | |---|---| |  | (12.2) | По условию теоремы существует конечный или определенного знака бесконечный предел  поэтому в неравенствах (12.1) и (12.2) можно перейти к пределу при *x****x*0 (см. [свойство 4o](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0607.html#c4) пределов функций в п. 6.7). В результате получим соответственно *f'*(*x*0) \> 0 и *f'*(*x*0) \< 0. Следовательно, *f'*(*x*0) = 0.  Замечание 1. Формулировка теоремы Ферма на первый взгляд может показаться неестественной: в предположениях говорится о бесконечных производных, а в утверждении - о равенстве нулю производной. Однако на самом деле формулировка теоремы вполне корректна: *a priori* предполагается, что в точке существует производная (конечная или определенного знака бесконечная), и доказывается, что при выполнении дополнительного условия о достижении в рассматриваемой точке наибольшего или наименьшего значения указанная производная равна нулю. Иначе говоря, доказывается, что в точке, в которой принимается наибольшее в некоторой ее окрестности значение функции, не может существовать ни конечная, не равная нулю производная функции, ни определенного знака бесконечная производная. Поэтому в точке, в которой достигается наибольшее или наименьшее в ее окрестности значение функции, возможны следующие случаи: в этой точке существует конечная равная нулю производная; существует знаконеопределенная бесконечная производная; не существует никакой производной (ни конечной, ни бесконечной). Примером функции, для которой осуществляется первый случай, является функция *f*1(*x*) = *x*2; второй случай: ; третий: *f*3(*x*) = *\|x*\| (рис. [77]()). Все эти функции принимают при *x* = 0 наименьшее значение, *f'*1(*x*) = 0, *f'*2(*x*) = 0, производная (конечная или бесконечная) функции *f*3 в точке *x* = 0 не существует. Замечание 2. В теореме Ферма существенно, что точка, в которой достигается экстремальное значение, является внутренней для рассматриваемого промежутка. Так, например, функция *f*(*x*) = *x*, рассматриваемая только на отрезке \[0,1\], принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах, а производная в них не обращается в нуль. *** [Дифференциалы высших порядков](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1103.html) [Оглавление](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/cont.html) [Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях](http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m1202.html)