🕷️ Crawler Inspector

URL Lookup

Direct Parameter Lookup

Raw Queries and Responses

1. Shard Calculation

Query:

Response:

Calculated Shard: 145 (from laksa066)

2. Crawled Status Check

Query:

curl -X POST \
  'http://laksa145.int.ahrefs:8124/' \
  -H 'Content-Type: text/plain' \
  -H 'X-ClickHouse-Database: crawler3' \
  -H 'Authorization: Basic YXBpOg==' \
  -d 'SELECT getAhrefsURLFromUnparsed(src_unparsed) AS found_url, ifNull(toUnixTimestamp(download_stamp), 0) AS crawl_time, ifNull(toUnixTimestamp(props_url_first_seen), 0) AS first_indexed_time, download_http_code AS http_code, src_unparsed AS src_unparsed, src_root_hash AS src_root_hash, history_drop_reason AS history_drop_reason, meta_title AS meta_title, meta_descriptions AS meta_descriptions, attrs_boilerpipe_text AS attrs_boilerpipe_text, attrs_markdown AS attrs_markdown, attrs_readable_markdown AS attrs_readable_markdown, meta_canonical AS meta_canonical FROM crawler3.page_info_local FINAL PREWHERE (src_root_hash, src_unparsed) IN ((getAhrefsRootHashFromUnparsed(getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s01/e0001645/index.shtml\')), getAhrefsUnparsedNoserviceFromURL(\'http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s01/e0001645/index.shtml\'))) FORMAT JSONEachRow'

Response:

{"found_url":"http:\/\/mathemlib.ru\/mathenc\/item\/f00\/s01\/e0001645\/index.shtml","crawl_time":1775650537,"first_indexed_time":1376050034,"http_code":200,"src_unparsed":"ru,mathemlib!\/mathenc\/item\/f00\/s01\/e0001645\/index.shtml h80","src_root_hash":"10820099066668670145","history_drop_reason":null,"meta_title":"ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ","meta_descriptions":["Статья энциклопедии 'ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ'"],"attrs_boilerpipe_text":" &nbsp\nНОВОСТИ\n  \nБИБЛИОТЕКА\n  \nЭНЦИКЛОПЕДИЯ\n  \nБИОГРАФИИ\n  \nКАРТА САЙТА\n  \nССЫЛКИ\n  \nО ПРОЕКТЕ\n &nbsp\nДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ\nДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой.\nПусть X - хаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки х ∈ X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства ℝ\nn\n, то X наз. локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U, φ), где φ -указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (х\n1\n, ..., х\nn\n), называемых координатами x в карте (U, φ).\nСемейство карт {(U\nα\n, φ\nα\n)}, α ∈ A, наз. n-мерным С\nk\n-атласом (0 ≤ k ≤ ∞, а) многообразия X, если: а) совокупность всех U\nα\nпокрывает X, Х= (∪\nα∈A\nU\nα\n; б) для любых α, β ∈ A таких, что U\nα\n∩ U\nβ\n≠ ∅, отображение\nпринадлежит дифференцируемости классу C\nk\n; φ\nα\nβ\nявляется дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки х из карты (U\nα\n, φ\nα\n) в карту (U\nβ\n, φ\nβ\n).\nДва С\nk\n-атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является С\nk\n-атласом. Совокупность С\nk\n-атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. C\nk\n-структурами, при 1 ≤ k ≤ ∞ - дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = а -аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное С\nk\n-структурой, называется С\nk\n-многообразием, или дифференцируемым многообразием класса C\nk\n.\nПонятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы φ\nα\nбиективными отображениями на открытые множества ℝ\nn\n; при этом топология С\nk\n-многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной n-мерной С\n0\n-структурой.\nЗадачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства ℝ\nn\nболее общие пространства ℂ\nn\nили даже К\nn\n, где К -полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K = ℂ соответствующая С\nk\n-структура, k ≥ 1, непременно оказывается С\na\n-структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.- комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная С\na\n-структура.\nНа любом С\na\n-многообразии есть согласованная с ней С\n∞\n-структура, и на С\nk\n-многообразии, 0 ≤ k ≤ ∞, -С\nr\n-структура, если 0 ≤ r ≤ k. Обратно, любое паракомпактное С\nr\n-многообразие, r ≥ 1, можно наделить С\na\n-структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С\n0\n-многообразие нельзя снабдить C\n1\n-структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число θ(n) C\n1\n-неизоморфных С\n∞\n-структур на n-мерной сфере таково:\nn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\nθ(n) 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1\nПусть f: X → Y - непрерывное отображение C\nr\n-многообразий X, Y; оно наз. C\nk\n- морфизмом (или C\nk\n-отображением, k ≤ r, или отображением класса C\nk\n) Д. м., если для любой пары карт (U\nα\n, φ\nα\n) на Х и (V\nβ\n, ψ\nβ\n) на Y такой, что f(U\nα\n) ⊂ V\nβ\n, отображение\nψ\nα\n○ f ○ φ\n-1\nβ\n: φ\nα\n(U\nα\n) → ψ\nβ\n(V\nβ\n) принадлежит классу C\nk\n. Биективное отображение f такое, что оно и f\n-1\nсуть С\nn\n-отображения, наз. С\nn\n- изоморфизмом (или диффеоморфизмом) класса С\nn\n. В этом случае X и Y и определяющие их С\nr\n-структуры наз. С\nn\n-изоморфными.\nПодпространство Y n-мерного С\nk\n-многообразия X наз. С\nk\n-подмногообразием размерности m в X, если для всякой точки y ∈ Y существуют ее окрестность V ⊂ Y и карта (U, φ) С\nk\n-структуры X такие, что V ⊂ U и φ индуцирует гомеоморфизм V на пересечение φ(U ∪ Y) с (замкнутым) подпространством ℝ\nm\n⊂ ℝ\nn\n; другими словами, существует карта с координатами х\n1\n, ..., х\nn\nтакая, что U ∪ Y определяется соотношениями х\nm+1\n= ... = х\nn\n= 0.\nОтображение f : X → Y наз. C\nk\n- вложением, если f(Х) есть С\nk\n-подмногообразие в Y, а X → f(X) - С\nk\n-диффеоморфизм. Всякое n-мерное C\nk\n-многообразие допускает вложение в ℝ\n2n+1\nи даже в ℝ\n2n\n. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений С\nk\n(Х, ℝ\n2n+1\n) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о С\na\n-струк-турах.\nВ топологии Д. м., иначе наз. дифференциальной топологией, - две основные проблемы. Первая - задача классификации Д. м. Существуют три основных класса Д. м.- замкнутые, компактные многообразия с краем и открытые. Важными инвариантами, различающими Д. м., являются гомотопический тип и касательное расслоение, в частности характеристические классы. С их помощью проведена классификация гладких структур для односвязных многообразий данного гомотопич. типа. С помощью другого инварианта - класса бордизма Д. м.- решена обобщенная Пуанкаре гипотеза, изучены неподвижные точки при действии группы на многообразии и т. д. При этом потребовалось введение дифференциальных структур на многообразиях с краем и аппарата сглаживания. Наконец, полезными здесь оказываются методы алгебраич. топологии, поскольку, напр., установлена триангулируемость произвольного С'-многообразия.\nВторая - задача классификации отображений Д. м. Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. задаче в отличие от вложений, полная классификация к-рых не получена (1978) (см. Топология вложений), и субмерсий, или расслоений, одного Д. м. в (на) другое. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости (стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование трансверсальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. Все это, а также задачи дифференциальной динамики, изучающей строение различных групп диффеоморфизмов, в частности интегральных траекторий и особых точек векторных полей на д. м. (динамических систем), и различные отношения эквивалентности: изотопия, топологическая и С\nk\n-сопряженность и т. п.. - диктует необходимость рассмотрения, наряду с конечномерными пространствами ℝ\nn\n, произвольных банаховых (или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. Д. м. отделимо тогда и только тогда, когда преобразования координат имеют замкнутый график. Получающиеся наделением такой структурой, вообще говоря, бесконечномерные многообразия, соответственно именуемые банаховыми (или гильбертовыми) многообразиями, типичным примером к-рых служат многообразия отображений конечномерных Д. м., оказываются полезным средством исследования и геометрич. интерпретацией задач аппроксимации отображений (как в указанной выше теореме вложения), анализа петель пространства - надлежащей области для построения теории Морса и т. д.\nД. м. являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. Там на Д. м. вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры - ориентации, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, к-рые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого Д. м. Простейший пример - выражение характеристич. классов через кривизну Д. м., наделенного линейной связностью.\nЛит.: [1] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [2] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [3] де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [4] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., Ы., 1967; [5] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [6] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; [7] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [8] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; [9] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [10] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; [11] Брекер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [12] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; [13] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [14] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [15] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975.\nСм. также лит. при статье Дифференциальная топология.\nМ. И. Войцеховский.\nИсточники:\nМатематическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.\nПОИСК:","attrs_markdown":"|   |   |   |\n|---|---|---|\n| [![](http:\/\/mathemlib.ru\/pic\/logo170.gif)](http:\/\/mathemlib.ru\/ \"Математика\") | \\&nbsp[НОВОСТИ](http:\/\/mathemlib.ru\/news\/ \"Новостные статьи по математике\") [БИБЛИОТЕКА](http:\/\/mathemlib.ru\/books\/ \"Книги по математике\") [ЭНЦИКЛОПЕДИЯ](http:\/\/mathemlib.ru\/mathenc\/ \"Математическая энциклопедия\") [БИОГРАФИИ](http:\/\/mathemlib.ru\/matematiki\/ \"Биографии математиков\") [КАРТА САЙТА](http:\/\/mathemlib.ru\/sitemap\/ \"Карта сайта по математике\") [ССЫЛКИ](http:\/\/mathemlib.ru\/catalog\/ \"Ссылки на сайты по математике\") [О ПРОЕКТЕ](http:\/\/mathemlib.ru\/about\/ \"О проекте БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ\") \\&nbsp ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой. Пусть X - хаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки х ∈ X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства ℝn, то X наз. локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U, φ), где φ -указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (х1, ..., хn), называемых координатами x в карте (U, φ). Семейство карт {(Uα, φα)}, α ∈ A, наз. n-мерным Сk\\-атласом (0 ≤ k ≤ ∞, а) многообразия X, если: а) совокупность всех Uα покрывает X, Х= (∪α∈A Uα; б) для любых α, β ∈ A таких, что Uα ∩ Uβ ≠ ∅, отображение ![](http:\/\/mathemlib.ru\/mathenc\/item\/f00\/s01\/e0001645\/pic\/355_01.jpg)принадлежит дифференцируемости классу Ck; φαβ является дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки х из карты (Uα, φα) в карту (Uβ, φβ). Два Сk\\-атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является Сk\\-атласом. Совокупность Сk\\-атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. Ck\\-структурами, при 1 ≤ k ≤ ∞ - дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = а -аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное Сk\\-структурой, называется Сk\\-многообразием, или дифференцируемым многообразием класса Ck. Понятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы φα биективными отображениями на открытые множества ℝn; при этом топология Сk\\-многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной n-мерной С0\\-структурой. Задачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства ℝn более общие пространства ℂn или даже Кn, где К -полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K = ℂ соответствующая Сk\\-структура, k ≥ 1, непременно оказывается Сa\\-структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.- комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная Сa\\-структура. На любом Сa\\-многообразии есть согласованная с ней С∞\\-структура, и на Сk\\-многообразии, 0 ≤ k ≤ ∞, -Сr\\-структура, если 0 ≤ r ≤ k. Обратно, любое паракомпактное Сr\\-многообразие, r ≥ 1, можно наделить Сa\\-структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С0\\-многообразие нельзя снабдить C1\\-структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число θ(n) C1\\-неизоморфных С∞\\-структур на n-мерной сфере таково: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 θ(n) 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 Пусть f: X → Y - непрерывное отображение Cr\\-многообразий X, Y; оно наз. Ck\\- морфизмом (или Ck\\-отображением, k ≤ r, или отображением класса Ck) Д. м., если для любой пары карт (Uα, φα) на Х и (Vβ, ψβ) на Y такой, что f(Uα) ⊂ Vβ, отображение ψα ○ f ○ φ\\-1β : φα(Uα) → ψβ(Vβ) принадлежит классу Ck. Биективное отображение f такое, что оно и f\\-1 суть Сn\\-отображения, наз. Сn - изоморфизмом (или диффеоморфизмом) класса Сn. В этом случае X и Y и определяющие их Сr\\-структуры наз. Сn\\-изоморфными. Подпространство Y n-мерного Сk\\-многообразия X наз. Сk\\-подмногообразием размерности m в X, если для всякой точки y ∈ Y существуют ее окрестность V ⊂ Y и карта (U, φ) Сk\\-структуры X такие, что V ⊂ U и φ индуцирует гомеоморфизм V на пересечение φ(U ∪ Y) с (замкнутым) подпространством ℝm ⊂ ℝn; другими словами, существует карта с координатами х1, ..., хn такая, что U ∪ Y определяется соотношениями хm+1 = ... = хn = 0. Отображение f : X → Y наз. Ck - вложением, если f(Х) есть Сk\\-подмногообразие в Y, а X → f(X) - Сk\\-диффеоморфизм. Всякое n-мерное Ck\\-многообразие допускает вложение в ℝ2n+1 и даже в ℝ2n. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений Сk(Х, ℝ2n+1) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о Сa\\-струк-турах. В топологии Д. м., иначе наз. дифференциальной топологией, - две основные проблемы. Первая - задача классификации Д. м. Существуют три основных класса Д. м.- замкнутые, компактные многообразия с краем и открытые. Важными инвариантами, различающими Д. м., являются гомотопический тип и касательное расслоение, в частности характеристические классы. С их помощью проведена классификация гладких структур для односвязных многообразий данного гомотопич. типа. С помощью другого инварианта - класса бордизма Д. м.- решена обобщенная Пуанкаре гипотеза, изучены неподвижные точки при действии группы на многообразии и т. д. При этом потребовалось введение дифференциальных структур на многообразиях с краем и аппарата сглаживания. Наконец, полезными здесь оказываются методы алгебраич. топологии, поскольку, напр., установлена триангулируемость произвольного С'-многообразия. Вторая - задача классификации отображений Д. м. Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. задаче в отличие от вложений, полная классификация к-рых не получена (1978) (см. Топология вложений), и субмерсий, или расслоений, одного Д. м. в (на) другое. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости (стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование трансверсальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. Все это, а также задачи дифференциальной динамики, изучающей строение различных групп диффеоморфизмов, в частности интегральных траекторий и особых точек векторных полей на д. м. (динамических систем), и различные отношения эквивалентности: изотопия, топологическая и Сk\\-сопряженность и т. п.. - диктует необходимость рассмотрения, наряду с конечномерными пространствами ℝn, произвольных банаховых (или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. Д. м. отделимо тогда и только тогда, когда преобразования координат имеют замкнутый график. Получающиеся наделением такой структурой, вообще говоря, бесконечномерные многообразия, соответственно именуемые банаховыми (или гильбертовыми) многообразиями, типичным примером к-рых служат многообразия отображений конечномерных Д. м., оказываются полезным средством исследования и геометрич. интерпретацией задач аппроксимации отображений (как в указанной выше теореме вложения), анализа петель пространства - надлежащей области для построения теории Морса и т. д. Д. м. являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. Там на Д. м. вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры - ориентации, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, к-рые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого Д. м. Простейший пример - выражение характеристич. классов через кривизну Д. м., наделенного линейной связностью. Лит.: \\[1\\] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; \\[2\\] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; \\[3\\] де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; \\[4\\] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., Ы., 1967; \\[5\\] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; \\[6\\] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; \\[7\\] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; \\[8\\] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; \\[9\\] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; \\[10\\] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; \\[11\\] Брекер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; \\[12\\] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; \\[13\\] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; \\[14\\] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; \\[15\\] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975. См. также лит. при статье Дифференциальная топология. М. И. Войцеховский.  Источники: Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил. ![top.mail.ru](http:\/\/d6.c2.bd.a1.top.mail.ru\/counter?js=na;id=1910510) |   |\n|   |   |   |\n| ПОИСК: |   |   |\n| ![](http:\/\/mathemlib.ru\/pic\/glass.gif) |   |   |\n| **© MATHEMLIB.RU, 2001-2021**  При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:  http:\/\/mathemlib.ru\/ '**Математическая библиотека**' [![Рейтинг@Mail.ru](http:\/\/d6.c2.bd.a1.top.mail.ru\/counter?id=1910510;t=68;l=1)](http:\/\/top.mail.ru\/jump?from=1910510) [![Rambler s Top100](http:\/\/counter.rambler.ru\/top100.cnt?2286552)](http:\/\/top100.rambler.ru\/navi\/2286552\/) [![](http:\/\/counter.yadro.ru\/logo?45.2)](http:\/\/www.liveinternet.ru\/click) |   |   |\n\nЗаказать учебную работу\n\nЗакажи выполнение студенческой работы, избавься от головной боли и сдай на отлично\n\n?\n\nВременно скрыть\n\nБольше не показывать\n\nКонсультант Анна\n\nНа связи\n\nя\n\nПомощник Анна\n\n**Закажи сегодня со скидкой до 35% на первый заказ.**  \nКакую работу нужно написать?\n\nДругую работу\n\nПомощник Анна","attrs_readable_markdown":null,"meta_canonical":null}

3. Robots.txt Check

Query:

Response:

4. Spam/Ban Check

Query:

Response:

5. Seen Status Check

ℹ️ Skipped - page is already crawled

📄

INDEXABLE

✅

CRAWLED

9 days ago

🤖

ROBOTS ALLOWED

Page Info Filters

Filter	Status	Condition	Details
HTTP status	PASS	`download_http_code = 200`	HTTP 200
Age cutoff	PASS	`download_stamp > now() - 6 MONTH`	0.3 months ago
History drop	PASS	`isNull(history_drop_reason)`	No drop reason
Spam/ban	PASS	`fh_dont_index != 1 AND ml_spam_score = 0`	ml_spam_score=0
Canonical	PASS	`meta_canonical IS NULL OR = '' OR = src_unparsed`	Not set

Page Details

Property	Value
URL	http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s01/e0001645/index.shtml
Last Crawled	2026-04-08 12:15:37 (9 days ago)
First Indexed	2013-08-09 12:07:14 (12 years ago)
HTTP Status Code	200
Meta Title	ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ
Meta Description	Статья энциклопедии 'ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ'
Meta Canonical	null
Boilerpipe Text	&nbsp НОВОСТИ БИБЛИОТЕКА ЭНЦИКЛОПЕДИЯ БИОГРАФИИ КАРТА САЙТА ССЫЛКИ О ПРОЕКТЕ &nbsp ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой. Пусть X - хаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки х ∈ X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства ℝ n , то X наз. локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U, φ), где φ -указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (х 1 , ..., х n ), называемых координатами x в карте (U, φ). Семейство карт {(U α , φ α )}, α ∈ A, наз. n-мерным С k -атласом (0 ≤ k ≤ ∞, а) многообразия X, если: а) совокупность всех U α покрывает X, Х= (∪ α∈A U α ; б) для любых α, β ∈ A таких, что U α ∩ U β ≠ ∅, отображение принадлежит дифференцируемости классу C k ; φ α β является дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки х из карты (U α , φ α ) в карту (U β , φ β ). Два С k -атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является С k -атласом. Совокупность С k -атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. C k -структурами, при 1 ≤ k ≤ ∞ - дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = а -аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное С k -структурой, называется С k -многообразием, или дифференцируемым многообразием класса C k . Понятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы φ α биективными отображениями на открытые множества ℝ n ; при этом топология С k -многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной n-мерной С 0 -структурой. Задачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства ℝ n более общие пространства ℂ n или даже К n , где К -полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K = ℂ соответствующая С k -структура, k ≥ 1, непременно оказывается С a -структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.- комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная С a -структура. На любом С a -многообразии есть согласованная с ней С ∞ -структура, и на С k -многообразии, 0 ≤ k ≤ ∞, -С r -структура, если 0 ≤ r ≤ k. Обратно, любое паракомпактное С r -многообразие, r ≥ 1, можно наделить С a -структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С 0 -многообразие нельзя снабдить C 1 -структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число θ(n) C 1 -неизоморфных С ∞ -структур на n-мерной сфере таково: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 θ(n) 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 Пусть f: X → Y - непрерывное отображение C r -многообразий X, Y; оно наз. C k - морфизмом (или C k -отображением, k ≤ r, или отображением класса C k ) Д. м., если для любой пары карт (U α , φ α ) на Х и (V β , ψ β ) на Y такой, что f(U α ) ⊂ V β , отображение ψ α ○ f ○ φ -1 β : φ α (U α ) → ψ β (V β ) принадлежит классу C k . Биективное отображение f такое, что оно и f -1 суть С n -отображения, наз. С n - изоморфизмом (или диффеоморфизмом) класса С n . В этом случае X и Y и определяющие их С r -структуры наз. С n -изоморфными. Подпространство Y n-мерного С k -многообразия X наз. С k -подмногообразием размерности m в X, если для всякой точки y ∈ Y существуют ее окрестность V ⊂ Y и карта (U, φ) С k -структуры X такие, что V ⊂ U и φ индуцирует гомеоморфизм V на пересечение φ(U ∪ Y) с (замкнутым) подпространством ℝ m ⊂ ℝ n ; другими словами, существует карта с координатами х 1 , ..., х n такая, что U ∪ Y определяется соотношениями х m+1 = ... = х n = 0. Отображение f : X → Y наз. C k - вложением, если f(Х) есть С k -подмногообразие в Y, а X → f(X) - С k -диффеоморфизм. Всякое n-мерное C k -многообразие допускает вложение в ℝ 2n+1 и даже в ℝ 2n . Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений С k (Х, ℝ 2n+1 ) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о С a -струк-турах. В топологии Д. м., иначе наз. дифференциальной топологией, - две основные проблемы. Первая - задача классификации Д. м. Существуют три основных класса Д. м.- замкнутые, компактные многообразия с краем и открытые. Важными инвариантами, различающими Д. м., являются гомотопический тип и касательное расслоение, в частности характеристические классы. С их помощью проведена классификация гладких структур для односвязных многообразий данного гомотопич. типа. С помощью другого инварианта - класса бордизма Д. м.- решена обобщенная Пуанкаре гипотеза, изучены неподвижные точки при действии группы на многообразии и т. д. При этом потребовалось введение дифференциальных структур на многообразиях с краем и аппарата сглаживания. Наконец, полезными здесь оказываются методы алгебраич. топологии, поскольку, напр., установлена триангулируемость произвольного С'-многообразия. Вторая - задача классификации отображений Д. м. Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. задаче в отличие от вложений, полная классификация к-рых не получена (1978) (см. Топология вложений), и субмерсий, или расслоений, одного Д. м. в (на) другое. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости (стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование трансверсальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. Все это, а также задачи дифференциальной динамики, изучающей строение различных групп диффеоморфизмов, в частности интегральных траекторий и особых точек векторных полей на д. м. (динамических систем), и различные отношения эквивалентности: изотопия, топологическая и С k -сопряженность и т. п.. - диктует необходимость рассмотрения, наряду с конечномерными пространствами ℝ n , произвольных банаховых (или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. Д. м. отделимо тогда и только тогда, когда преобразования координат имеют замкнутый график. Получающиеся наделением такой структурой, вообще говоря, бесконечномерные многообразия, соответственно именуемые банаховыми (или гильбертовыми) многообразиями, типичным примером к-рых служат многообразия отображений конечномерных Д. м., оказываются полезным средством исследования и геометрич. интерпретацией задач аппроксимации отображений (как в указанной выше теореме вложения), анализа петель пространства - надлежащей области для построения теории Морса и т. д. Д. м. являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. Там на Д. м. вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры - ориентации, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, к-рые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого Д. м. Простейший пример - выражение характеристич. классов через кривизну Д. м., наделенного линейной связностью. Лит.: [1] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; [2] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [3] де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; [4] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., Ы., 1967; [5] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; [6] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; [7] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; [8] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; [9] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; [10] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; [11] Брекер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; [12] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; [13] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; [14] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; [15] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975. См. также лит. при статье Дифференциальная топология. М. И. Войцеховский. Источники: Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил. ПОИСК:
Markdown	\| \| \| \| \|---\|---\|---\| \| [![](http://mathemlib.ru/pic/logo170.gif)](http://mathemlib.ru/ "Математика") \| \&nbsp[НОВОСТИ](http://mathemlib.ru/news/ "Новостные статьи по математике") [БИБЛИОТЕКА](http://mathemlib.ru/books/ "Книги по математике") [ЭНЦИКЛОПЕДИЯ](http://mathemlib.ru/mathenc/ "Математическая энциклопедия") [БИОГРАФИИ](http://mathemlib.ru/matematiki/ "Биографии математиков") [КАРТА САЙТА](http://mathemlib.ru/sitemap/ "Карта сайта по математике") [ССЫЛКИ](http://mathemlib.ru/catalog/ "Ссылки на сайты по математике") [О ПРОЕКТЕ](http://mathemlib.ru/about/ "О проекте БИБЛИОТЕКА ПО МАТЕМАТИКЕ") \&nbsp ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЕ МНОГООБРАЗИЕ - локально евклидово пространство, наделенное дифференциальной структурой. Пусть X - хаусдорфово топологич. пространство. Если для каждой точки х ∈ X найдется ее окрестность U, гомеоморфная открытому множеству пространства ℝn, то X наз. локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности п. Пара (U, φ), где φ -указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X в точке х. Таким образом, каждой точке соответствует набор n действительных чисел (х1, ..., хn), называемых координатами x в карте (U, φ). Семейство карт {(Uα, φα)}, α ∈ A, наз. n-мерным Сk\-атласом (0 ≤ k ≤ ∞, а) многообразия X, если: а) совокупность всех Uα покрывает X, Х= (∪α∈A Uα; б) для любых α, β ∈ A таких, что Uα ∩ Uβ ≠ ∅, отображение ![](http://mathemlib.ru/mathenc/item/f00/s01/e0001645/pic/355_01.jpg)принадлежит дифференцируемости классу Ck; φαβ является дифференцируемым отображением с отличным от нуля якобианом и наз. преобразованием координат точки х из карты (Uα, φα) в карту (Uβ, φβ). Два Сk\-атласа наз. эквивалентными, если их объединение снова является Сk\-атласом. Совокупность Сk\-атласов разбивается на классы эквивалентности, к-рые наз. Ck\-структурами, при 1 ≤ k ≤ ∞ - дифференциальными (или гладкими) структурами, при k = а -аналитическими структурами. Топологич. многообразие X, наделенное Сk\-структурой, называется Сk\-многообразием, или дифференцируемым многообразием класса Ck. Понятие дифференциальной структуры можно ввести для произвольного множества X, заменив гомеоморфизмы φα биективными отображениями на открытые множества ℝn; при этом топология Сk\-многообразия описывается как топология объединения, построенная по любому атласу соответствующей структуры. В этом случае n-мерные многообразия обладают очевидной n-мерной С0\-структурой. Задачи аналитич. и алгебраич. геометрии приводят к необходимости рассматривать в определении дифференциальной структуры вместо пространства ℝn более общие пространства ℂn или даже Кn, где К -полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K = ℂ соответствующая Сk\-структура, k ≥ 1, непременно оказывается Сa\-структурой, она наз. комплексно аналитической, или просто комплексной, а соответствующее Д. м.- комплексным многообразием. При этом на любом таком многообразии есть и естественная действительная Сa\-структура. На любом Сa\-многообразии есть согласованная с ней С∞\-структура, и на Сk\-многообразии, 0 ≤ k ≤ ∞, -Сr\-структура, если 0 ≤ r ≤ k. Обратно, любое паракомпактное Сr\-многообразие, r ≥ 1, можно наделить Сa\-структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма, см. ниже) единственна. Может, однако, случиться, что С0\-многообразие нельзя снабдить C1\-структурой (т. е. существуют несглаживаемые многообразия), а если это удается, то такая структура неединственна. Например, число θ(n) C1\-неизоморфных С∞\-структур на n-мерной сфере таково: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 θ(n) 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 Пусть f: X → Y - непрерывное отображение Cr\-многообразий X, Y; оно наз. Ck\- морфизмом (или Ck\-отображением, k ≤ r, или отображением класса Ck) Д. м., если для любой пары карт (Uα, φα) на Х и (Vβ, ψβ) на Y такой, что f(Uα) ⊂ Vβ, отображение ψα ○ f ○ φ\-1β : φα(Uα) → ψβ(Vβ) принадлежит классу Ck. Биективное отображение f такое, что оно и f\-1 суть Сn\-отображения, наз. Сn - изоморфизмом (или диффеоморфизмом) класса Сn. В этом случае X и Y и определяющие их Сr\-структуры наз. Сn\-изоморфными. Подпространство Y n-мерного Сk\-многообразия X наз. Сk\-подмногообразием размерности m в X, если для всякой точки y ∈ Y существуют ее окрестность V ⊂ Y и карта (U, φ) Сk\-структуры X такие, что V ⊂ U и φ индуцирует гомеоморфизм V на пересечение φ(U ∪ Y) с (замкнутым) подпространством ℝm ⊂ ℝn; другими словами, существует карта с координатами х1, ..., хn такая, что U ∪ Y определяется соотношениями хm+1 = ... = хn = 0. Отображение f : X → Y наз. Ck - вложением, если f(Х) есть Сk\-подмногообразие в Y, а X → f(X) - Сk\-диффеоморфизм. Всякое n-мерное Ck\-многообразие допускает вложение в ℝ2n+1 и даже в ℝ2n. Более того, множество таких вложений является всюду плотным в пространстве отображений Сk(Х, ℝ2n+1) относительно компактно-открытой топологии. Тем самым, рассмотрение Д. м. как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изложения их теории, на этом пути устанавливаются, напр., указанные выше теоремы о Сa\-струк-турах. В топологии Д. м., иначе наз. дифференциальной топологией, - две основные проблемы. Первая - задача классификации Д. м. Существуют три основных класса Д. м.- замкнутые, компактные многообразия с краем и открытые. Важными инвариантами, различающими Д. м., являются гомотопический тип и касательное расслоение, в частности характеристические классы. С их помощью проведена классификация гладких структур для односвязных многообразий данного гомотопич. типа. С помощью другого инварианта - класса бордизма Д. м.- решена обобщенная Пуанкаре гипотеза, изучены неподвижные точки при действии группы на многообразии и т. д. При этом потребовалось введение дифференциальных структур на многообразиях с краем и аппарата сглаживания. Наконец, полезными здесь оказываются методы алгебраич. топологии, поскольку, напр., установлена триангулируемость произвольного С'-многообразия. Вторая - задача классификации отображений Д. м. Прежде всего здесь выделяются классы иммерсий, или погружений, обобщающих вложения; их классификация сведена к гомотопич. задаче в отличие от вложений, полная классификация к-рых не получена (1978) (см. Топология вложений), и субмерсий, или расслоений, одного Д. м. в (на) другое. Важную роль, в частности, в вопросах устойчивости (стабильности) и в исследовании типичных особенностей отображений играет понятие трансверсальности отображения вдоль подмногообразия. Существование трансверсальных отображений обеспечивается теоремами типа Сарда теоремы. Все это, а также задачи дифференциальной динамики, изучающей строение различных групп диффеоморфизмов, в частности интегральных траекторий и особых точек векторных полей на д. м. (динамических систем), и различные отношения эквивалентности: изотопия, топологическая и Сk\-сопряженность и т. п.. - диктует необходимость рассмотрения, наряду с конечномерными пространствами ℝn, произвольных банаховых (или гильбертовых) пространств и определения соответствующих дифференциальных структур. При этом требуется выполнение разумных в отношении приложений дополнительных условий, напр. Д. м. отделимо тогда и только тогда, когда преобразования координат имеют замкнутый график. Получающиеся наделением такой структурой, вообще говоря, бесконечномерные многообразия, соответственно именуемые банаховыми (или гильбертовыми) многообразиями, типичным примером к-рых служат многообразия отображений конечномерных Д. м., оказываются полезным средством исследования и геометрич. интерпретацией задач аппроксимации отображений (как в указанной выше теореме вложения), анализа петель пространства - надлежащей области для построения теории Морса и т. д. Д. м. являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии. Там на Д. м. вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры - ориентации, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, к-рые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру. С другой стороны, использование той или иной структуры позволяет исследовать строение самого Д. м. Простейший пример - выражение характеристич. классов через кривизну Д. м., наделенного линейной связностью. Лит.: \[1\] Понтрягин Л. С., Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; \[2\] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; \[3\] де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956; \[4\] Ленг С., Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., Ы., 1967; \[5\] Рохлин В. А., Фукс Д. Б., Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; \[6\] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; \[7\] Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971; \[8\] Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1971; \[9\] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976; \[10\] Голубицкий М., Гийемин В., Устойчивые отображения и их особенности, пер. с англ., М., 1977; \[11\] Брекер Т., Ландер Л., Дифференцируемые ростки и катастрофы, пер. с англ., М., 1977; \[12\] Нитецки З., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975; \[13\] Стернберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970; \[14\] Годбийон К., Дифференциальная геометрия и аналитическая механика, пер. с франц., М., 1973; \[15\] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975. См. также лит. при статье Дифференциальная топология. М. И. Войцеховский. Источники: Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д - Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил. ![top.mail.ru](http://d6.c2.bd.a1.top.mail.ru/counter?js=na;id=1910510) \| \| \| \| \| \| \| ПОИСК: \| \| \| \| ![](http://mathemlib.ru/pic/glass.gif) \| \| \| \| © MATHEMLIB.RU, 2001-2021 При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' [![Рейтинг@Mail.ru](http://d6.c2.bd.a1.top.mail.ru/counter?id=1910510;t=68;l=1)](http://top.mail.ru/jump?from=1910510) [![Rambler s Top100](http://counter.rambler.ru/top100.cnt?2286552)](http://top100.rambler.ru/navi/2286552/) [![](http://counter.yadro.ru/logo?45.2)](http://www.liveinternet.ru/click) \| \| \| Заказать учебную работу Закажи выполнение студенческой работы, избавься от головной боли и сдай на отлично ? Временно скрыть Больше не показывать Консультант Анна На связи я Помощник Анна Закажи сегодня со скидкой до 35% на первый заказ. Какую работу нужно написать? Другую работу Помощник Анна
Readable Markdown	null
Shard	145 (laksa)
Root Hash	10820099066668670145
Unparsed URL	ru,mathemlib!/mathenc/item/f00/s01/e0001645/index.shtml h80